Solidi di rotazione, calcolo superifci

Integrali multipli, anche impropri
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Filippo.ingrasciotta
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Solidi di rotazione, calcolo superifci

#1 Messaggioda Filippo.ingrasciotta » giovedì 23 gennaio 2014, 11:38

Nel fare esercizi mi sono trovato in difficoltà quando dovevo cercare baricentro e superfici dei solidi ottenuti per rotazione.
Un esempio che può essere molto banale ma che già mi fa commettere errori è quello di un cilindro:
0<=y<=1 , 0<=z<=2 e con asse di rotazione l'asse Z .

Bene il cacolo del volume mi viene molto semplice, ed infatti è corretto.

Nel cacolare le coordinate dei baricentri applico la definizione che c'è anche sul libro ovvero Xg= 1/Volume * integrale triplo di x in dx dy e dz ( scusate ma non so dove posso trovare i simboli per evitare di scriverlo a lettere.

In questo caso mi viene Xg=0 , Yg=0 e Zg=0 ....invece il risultato sarebbe (0,0,1).
Mi si azzerano tutti perchè essendo sul piano yz ho imposto che x=0 quindi quando svolgo l'integrale e ho x che varia tra 0 e 0 mi si annulla tutto.

Sicuramente farò un errore stupido e banale ma al momento non me ne sto rendendo conto..

Altro problema viene fuori quando ne devo calcolare la superficie, per calcolarla essendo un cilindro ho semplicemente fatto 2 volte area di base per la superficie della "colonna" , c'è un modo più "matematico" per riuscire a calcolarla?

Ringrazio anticipatamente chiunque mi risponda :)

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GIMUSI
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Re: Solidi di rotazione, calcolo superifci

#2 Messaggioda GIMUSI » giovedì 23 gennaio 2014, 15:12

Filippo.ingrasciotta ha scritto:Nel fare esercizi mi sono trovato in difficoltà quando dovevo cercare baricentro e superfici dei solidi ottenuti per rotazione.
Un esempio che può essere molto banale ma che già mi fa commettere errori è quello di un cilindro:
0<=y<=1 , 0<=z<=2 e con asse di rotazione l'asse Z .

Bene il cacolo del volume mi viene molto semplice, ed infatti è corretto.

Nel cacolare le coordinate dei baricentri applico la definizione che c'è anche sul libro ovvero Xg= 1/Volume * integrale triplo di x in dx dy e dz ( scusate ma non so dove posso trovare i simboli per evitare di scriverlo a lettere.

In questo caso mi viene Xg=0 , Yg=0 e Zg=0 ....invece il risultato sarebbe (0,0,1).
Mi si azzerano tutti perchè essendo sul piano yz ho imposto che x=0 quindi quando svolgo l'integrale e ho x che varia tra 0 e 0 mi si annulla tutto.

Sicuramente farò un errore stupido e banale ma al momento non me ne sto rendendo conto..

Altro problema viene fuori quando ne devo calcolare la superficie, per calcolarla essendo un cilindro ho semplicemente fatto 2 volte area di base per la superficie della "colonna" , c'è un modo più "matematico" per riuscire a calcolarla?

Ringrazio anticipatamente chiunque mi risponda :)


quando parli di cilindro intendi con equazione x^2+y^2=1?

per scrivere in latex basta utilizzare i simboli indicati in http://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Mathematics

scritta una formula basta selezionarla e premere il tasto "tex" nell'editor :)
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Re: Solidi di rotazione, calcolo superifci

#3 Messaggioda ghisi » giovedì 23 gennaio 2014, 15:48

Filippo.ingrasciotta ha scritto:In questo caso mi viene Xg=0 , Yg=0 e Zg=0 ....invece il risultato sarebbe (0,0,1).
Mi si azzerano tutti perchè essendo sul piano yz ho imposto che x=0 quindi quando svolgo l'integrale e ho x che varia tra 0 e 0 mi si annulla tutto.


Il cilindro è un solido di R^3 quindi non è possibile che una coordinata sia sempre nulla. Sul piano yz si trova semplicemente la figura da cui il solido si ottiene per rotazione. Per quanto riguarda il modo di calcolare il baricentro vai a leggere l'argomento aperto da r.et3 e la relativa risposta.

Per la superficie di un solido di rotazione: anche in questo caso c'è la formula di Guldino: la trovi ovunque, ad esempio sulle schede ed e' analoga a quella per i volumi solo che al posto di un dominio piano stai ruotando una curva (o un'unione di curve)

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Re: Solidi di rotazione, calcolo superifci

#4 Messaggioda Filippo.ingrasciotta » giovedì 23 gennaio 2014, 15:49

ok riscrivo meglio il testo dice :
Calcola Volume, Baricentro e Superficie della seguente figura ruotata attorno all'asse Z

figura:0\leq y\leq1 , 0\leq z\leq2

Ora per il calcolo del volume applico la formula V = \pi * \int_0^2 \varphi (z) ^2 dz dove \varphi(z) = 1

Svolgendo i calcoli infatti ottengo 2\pi

Quando mi trovo a cercare le coordinate del baricentro applico la formula

Xg = 1/V * \iiint x dxdydz
Yg = 1/V * \iiint y dxdydz
Zg= 1/V * \iiint z dxdydz

Ora il fatto è che essendo sul piano ZY ho imposto che la X sia 0 , ma essendoci il dx in ogni integrale ottengo sempre una x che mi vale 0 e annulla ovviamente l'integrale. Ovviamente sbaglio, però non me ne capacito di dove.

Passando ora al calcolo della superficie non ho proprio idea di cosa utilizzare se non le formule già note per calcolare la superficie del cilindro. Devo invece applicare qualche formula che comprende integrali?

PS: spero che così si capisca meglio la richiesta

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Re: Solidi di rotazione, calcolo superifci

#5 Messaggioda GIMUSI » giovedì 23 gennaio 2014, 16:50

per il baricentro forse dovresti impostare l'integrale in coordinate cilindriche...ad esempio per la coordinata x:

x_G=(1/V)\int\limits_0^2\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^1r^2cos\theta dr d\theta dz
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Re: Solidi di rotazione, calcolo superifci

#6 Messaggioda Filippo.ingrasciotta » giovedì 23 gennaio 2014, 19:18

Si si perfetto, col cilindro mi è tornato perfettamente! Spiegazione chiarissima grazie ancora!


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