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Limite all'infinito in due variabili, validità metodo

Inviato: domenica 25 maggio 2014, 15:15
da DaroB94
Il mio obiettvo è stabilire quali sono l'estremo inferiore e superiore della funzione f(x,y) = 2x + 2y - x^2 * y^2 ristretta all'insieme A ={ (x,y) di R^2 : 0 =< x , 0 =< y <= 1}

per trovare il limite superiore ho svolto il limite all'infinito lungo la direzione (t,0)

lim t->+inf di f(t,0) = lim t->inf (2t) = +inf e quindi estr sup = +inf

per trovare l'estremo inferiore mi sono dato alla creatività, ed è qui che vorrei sapere se ho svolto passaggi corretti oppure sbagliati matematicamente

ho scritto il limite in coordinate poleri (P = rho , T = theta)

lim P->+inf di ( 2PcosT + 2PsinT - P^4 cos^2(T) sin^2(T) )

dato che l'insieme su cui devo studiare questo limite all'infinito è un rettangolo, ho pensato che l'angolo theta, man mano che il vettore va all'infinito, deve necessariamente tendere a 0

per cui ho imposto anche che T -> 0, ma allora T-> 1/P

lim P->+inf di ( 2Pcos(1/P) + 2Psin(1/P) - P^4 cos^2(1/P) sin^2(1/P) ) =

sviluppando coseni e seni con taylor :

= lim P->+inf di ( 2P + 2P/P - P^4 / P^2 ) = lim P->+inf di ( 2P + 2 - P^2 ) = -inf e da qui estr inf = -inf

Ciò che ho scritto è corretto oppure è una enorme bestialità? Nel secondo caso, come andrebbe svolto correttamente l'esercizio proposto?

Re: Limite all'infinito in due variabili, validità metodo

Inviato: domenica 25 maggio 2014, 17:34
da GIMUSI
per il limite inferiore credo sia sufficiente fare una cosa analoga sulla restrizione y=1

allego qui lo svolgimento con qualche aggiunta non essenziale :)

PS credo che questo tipo di esercizi vada postato nella sezione "Calcolo Differenziale in più variabili"

Re: Limite all'infinito in due variabili, validità metodo

Inviato: domenica 25 maggio 2014, 20:45
da Massimo Gobbino
DaroB94: quello che hai scritto non si può definire "enorme bestialità", ma sicuramente "enorme brutalità". Per trovare inf/sup bastano le due restrizioni y=0 e y=1, come nelle prime 2 righe della soluzione di GIMUSI. Il resto, come osservato, non serve.

Già che ci sono, sposto nella sezione giusta ...

Re: Limite all'infinito in due variabili, validità metodo

Inviato: lunedì 26 maggio 2014, 10:11
da DaroB94
Ok, effettivamente è molto più semplice così, grazie per l'aiuto :D