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Continuità sequenziale vs grafico chiuso

Inviato: sabato 16 febbraio 2019, 17:55
da s.rotundo1
Ho un dubbio credo stupido ma che in questo momento non riesco a inquadrare.
Supponiamo di avere [math] spazi di Banach e che [math].
Alla lezione 66 abbiamo detto che il suo grafico è chiuso se, qualora [math] in [math] e [math] in [math], allora [math]. Ma questa non è la definizione di continuità per successioni? Io ricordavo di sì ma non può essere perché allora non servirebbe l'ipotesi di [math] lineare per dimostrare l'equivalenza con la continuità nel teorema del grafico chiuso.
Dove mi sto perdendo?

Re: Continuità sequenziale vs grafico chiuso

Inviato: sabato 16 febbraio 2019, 21:03
da C_Paradise
Semplicemente qui hai più ipotesi, infatti stiamo dicendo che se la coppia [math] allora [math], cioè abbiamo un’ipotesi sulla coppia, in particolare sappiamo già che le immagini convergono a qualcosa. Nel caso della definizione di continuità (valida in spazi metrici) sappiamo che se [math] allora [math] che è più forte come condizione perché l’ipotesi è solo sulle [math].

Quello che vale in generale è che se hai [math] tra spazi topologici T2. Allora se il grafico di [math] è compatto in [math] (con la topologia prodotto) allora [math] è continua.

Re: Continuità sequenziale vs grafico chiuso

Inviato: martedì 19 febbraio 2019, 8:51
da Massimo Gobbino
La questione è sottile, come giustamente osserva C_Paradise. Mi pare che durante la lezione ho commentato su questo, ma forse l'ho fatto solo a voce (per cui si sente nel video) e non scritto nel pdf perché era tardi. Se non sbaglio ho anche fatto il classico esempio di una funzione da R in R, ovviamente non lineare, che ha grafico chiuso ma non è continua.

Unica piccola aggiunta all'osservazione finale di C_Paradise è che l'equivalenza tra grafico chiuso e continuità si ha tutte le volte che lo spazio di arrivo Y è compatto (almeno in ambito metrico, sul topologico dovrebbe servire pure T2).