Raccolta di esercizi - Minimizing the distance from a point - Ex.4

Spazi di Banach, spazi di Hilbert, spazi di Sobolev, problemi variazionali, problemi di evoluzione
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s.rotundo1
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Raccolta di esercizi - Minimizing the distance from a point - Ex.4

#1 Messaggioda s.rotundo1 » lunedì 4 febbraio 2019, 21:41

Riporto il testo dell'esercizio.
Siano [math] Hilbert separabile, [math] chiuso, [math]. Determinare se è vero che esiste [math] t.c. [math] per ogni [math].

Vorrei sapere se la mia soluzione è corretta.
[+]
Forniamo un controesempio.
Sia [math] l'insieme degli elementi di una base hilbertiana. Ogni successione [math] in [math] per cui esiste [math] tale che [math] sono elementi della successione frequentemente, o non ha limite o ha per limite uno degli [math] per [math]. Altrimenti si ha che la successione è tale che se [math], allora [math] definitivamente, per cui definitivamente diventa una sottosuccessione di un riordinamento della base hilbertiana originale, che è ancora una base hilbertiana, le cui sottosuccessioni non sono di Cauchy e dunque non hanno limite. Per cui i possibili limiti di successioni in [math] sono gli stessi elementi di [math]. Questo ci dice che [math] è chiuso.
Sia ora [math], e sia [math] una successione minimizzante. Questa non ammette sottosuccessioni convergenti, dunque non può essere convergente in [math], per cui non esiste alcun punto di minimo.

C_Paradise
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Re: Raccolta di esercizi - Minimizing the distance from a point - Ex.4

#2 Messaggioda C_Paradise » lunedì 4 febbraio 2019, 23:01

Ciao! Non mi tornano le ultime due righe, ad esempio se prendo [math] ho che tutti i punti di [math] sono di minimo. L’esempio si dovrebbe sistemare prendendo [math] e considerando sempre [math], ti convince? In ogni caso non sto dicendo che il tuo esempio non va bene, ma che quanto scritto nelle ultime due righe non sembra funzionare per 0..

s.rotundo1
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Re: Raccolta di esercizi - Minimizing the distance from a point - Ex.4

#3 Messaggioda s.rotundo1 » martedì 5 febbraio 2019, 4:53

Giusto! Avevo appena detto che [math] può essere convergente solo ad elementi di [math]. In effetti l'origine rovina tutto.
Ti ringrazio per il suggerimento.
Prendiamo [math].
Sia [math] successione. Allora per ogni [math] si ha che esiste [math] tale che [math] con [math] tale che se [math] allora [math].
[math] è dunque una successione in [math].
Se esistono [math] e [math] tali che [math] frequentemente allora [math] non ha limite e dunque non lo ha neanche [math], oppure ha limite uguale a un certo [math] per [math] (e pertanto si avrà anche [math]). In quest'ultimo caso [math].
Se invece definitivamente si ha che se [math], allora [math], si può dedurre che [math]
[math].
Per cui [math] non può essere di Cauchy e dunque non può convergere.
Tutto ciò ci dice che [math] è chiuso.
Sia dunque [math] e sia [math] una successione minimizzante. Qualora convergesse, convergerebbe a un certo [math] con [math] della base hilbertiana.
Ma [math], per cui abbiamo un assurdo.


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