Raccolta di esercizi - Minimizing the distance from a point - Ex.2
Inviato: lunedì 4 febbraio 2019, 17:49
da s.rotundo1
Riporto il testo dell'esercizio.
Sia [math]\mathbb{R}^2 con la norma definita da [math]||(x,y)||_1=|x|+|y| per ogni [math](x,y)\in \mathbb{R}^2.
a)Verificare che sia una vera norma su [math]\mathbb{R}^2;
b)Dimostrare che per ogni [math]K\subseteq \mathbb{R}^2 chiuso non vuoto esiste [math]z\in K che minimizzi la distanza da [math](3,4);
c)Trovare l'insieme dei punti di minimo per i seguenti sottoinsiemi chiusi convessi:
1- [math]K_1=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | y=0\}
2- [math]K_2=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | x+y=3\}
3- [math]K_3=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | ||(x,y)||_1\le 8\}
4- [math]K_4=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | ||(x,y)||_1\le 1\}
5- [math]K_5=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | ||(x,y)||_1\le 6\}
Vorrei capire se la mia soluzione va bene.
Sia [math]\mathbb{R}^2 con la norma definita da [math]||(x,y)||_1=|x|+|y| per ogni [math](x,y)\in \mathbb{R}^2.
a)Verificare che sia una vera norma su [math]\mathbb{R}^2;
b)Dimostrare che per ogni [math]K\subseteq \mathbb{R}^2 chiuso non vuoto esiste [math]z\in K che minimizzi la distanza da [math](3,4);
c)Trovare l'insieme dei punti di minimo per i seguenti sottoinsiemi chiusi convessi:
1- [math]K_1=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | y=0\}
2- [math]K_2=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | x+y=3\}
3- [math]K_3=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | ||(x,y)||_1\le 8\}
4- [math]K_4=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | ||(x,y)||_1\le 1\}
5- [math]K_5=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | ||(x,y)||_1\le 6\}
Vorrei capire se la mia soluzione va bene.
- [+]
- a) La positività e l'essere nullo solo per il vettore nullo sono ovvie.
Vediamo l'omogeneità:
[math]||\lambda (x,y)||_1=|\lambda x|+|\lambda y|=|\lambda| (|x|+|y|)=|\lambda| ||(x,y)||_1
Vediamo la subadditività:
[math]||(x_1+x_2,y_1+y_2)||_1=|x_1+x_2|+|y_1+y_2|\le |x_1|+|x_2|+|y_1|+|y_2|=||(x_1,y_1)||_1+||(x_2,y_2||_1
b)Esiste [math]r>0 tale che [math]C=\overline{B((3,4),r)}\cap K\neq \emptyset. Osserviamo che [math]Cè limitato perché contenuto nella palla, e chiuso perché intersezione di chiusi. Dunque [math]C è compatto. Osserviamo inoltre che le distanze da [math](3,4) dei punti di [math]K fuori dalla palla devono essere per forza maggiori di [math]r, mentre quelle dei punti appartenenti alla palla sono minori o uguali a [math]r, dunque se esiste il minimo deve trovarsi nella palla e dunque in [math]C. Poiché [math]C è compatto e la funzione [math]y \mapsto ||x−y|| è continua, per il teorema di Weierstrass esiste il minimo su [math]C e quindi su [math]K.
c)
1- Sia [math](x,y)\in K_1. Allora [math](x,y)=(x,0).
[math]||(x,0)-(3,4)||_1=|x-3|+4\ge 4
L'uguaglianza vale se e solo se [math]x=3, dunque l'unico punto di minimo è il punto [math](3,0).
2- Sia [math](x,y)\in K_2. Allora [math](x,y)=(x,-x+3).
Basterà allora studiare i punti di minimo della funzione [math]f(x)=||(x,-x+3)-(3,4)||_1=|x-3|+|x+1|.
Per [math]x\le -1 vale [math]f(x)=-2x+2; per [math]-1\le x \le 3 vale [math]f(x)=4; per [math]x\ge 3 vale [math]f(x)=2x-2. Per la continuità di [math]f, dati i coefficienti angolari delle rette che la definiscono, deduciamo che [math]f assume minimo per [math]-1\le x \le 3. Dunque l'insieme dei punti di minimo è [math]\{(x,-x+3)\in \mathbb{R}^2 | -1\le x \le 3\}
3- Osserviamo che [math](3,4)\in K_3, dunque il minimo è pari a [math]0 ed è assunto solamente in [math](3,4).
4- La retta [math]y=-x+1 divide [math]\mathbb{R}^2 in due semipiani, uno contenente il punto [math](3,4) e l'altro contenente [math]K_4 (di fatto parte del bordo di [math]K_4 è contenuta nella retta). Se riusciamo a dimostrare che per ogni punto della parte interna del semipiano contenente [math]K_4 trovo un punto sulla retta di distanza da [math](3,4) minore, allora avremo come conseguenza che i punti di minimo devono appartenere alla porzione del bordo di [math]K_4 che appartiene alla retta.
I punti appartenenti alla parte interna di cui sopra devono necessariamente appartenere a una retta di equazione del tipo [math]y=-x+k con [math]k<1.
[math]||(x,-x+k)-(3,4)||_1=|x-3|+|x-k+4|>|x-3|+|x+3|=|x-3|+|x-1+4|=||(x,-x+1)-(3,4)||_1
Abbiamo dunque che i punti di minimo appartengono alla parte del bordo di [math]K_4 che sta sulla retta [math]y=-x+1, ovvero alla parte del bordi di [math]K_4 che sta nel primo quadrante (assi compresi).
Osserviamo adesso che ogni punto in tale porzione di bordo ha la stessa distanza da [math](3,4).
Infatti, la parte di [math]K_4 interessata si estende per [math]x\in[0,1]. In tale intervallo la distanza risulta essere [math]||(x,-x+1)-(3,4)||_1=|x-3|+|x+3|=-x+3+x+3=6.
Pertanto concludiamo che l'insieme dei punti di minimo è [math]\{(x,-x+1)\in \mathbb{R}^2 | 0\le x \le 1\}.
5- Analogamente a quanto visto prima, i punti di minimo devono trovarsi sulla parte di [math]K_5 che interseca la retta [math]y=-x+6. Basterà dunque studiare la funzione [math]f(x)=||(x,-x+6)-(3,4)||_1=|x-3|+|x-2| nell'intervallo [math][0,6]. Dallo studio delle rette che definiscono [math]f e per la sua continuità, in maniera analoga al caso di [math]K_1 deduciamo che [math]f ha minimo per [math]2\le x \le 3. Pertanto l'insieme dei punti di minimo è [math]\{(x,-x+6)\in \mathbb{R}^2 | 2\le x \le 3\}.