Funzioni che stanno a malapena in W^{m,p}

Spazi di Banach, spazi di Hilbert, spazi di Sobolev, problemi variazionali, problemi di evoluzione
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tommy1996q
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Funzioni che stanno a malapena in W^{m,p}

#1 Messaggioda tommy1996q » sabato 26 gennaio 2019, 18:14

Nella lezione del 5/11 si dava un esempio di funzione che stava in [math] ma non in [math] con [math]. La funzione è [math]. Quando se ne calcola il gradiente, la sua norma elevata alla [math] dovrebbe essere una cosa del tipo [math]. Il problema è che andando a integrare mi verrebbe divergente. Probabilmente sto sbagliando una sciocchezza che però non riesco a individuare. Non ho capito, in particolare, cosa si intenda per [math], se la norma del vettore [math] o il logaritmo di [math].

Chiederei aiuto anche per un'altra questione: a un certo punto, in un altro esempio di minimalità, si faceva riferimento a [math]. Questo me lo ricordo distintamente. Il problema è che ho spulciato per 3 volte tutti gli appunti e non ho trovato niente. Se qualcuno ha qualche indizio su dove si trovi quell'esempio, mi aiuterebbe non poco :lol: (ovviamente cancellerò quest'ultima parte una volta trovato)

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Massimo Gobbino
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Re: Funzioni che stanno a malapena in W^{m,p}

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » sabato 26 gennaio 2019, 19:39

Quell'esempio è un errore mio, veniale perché si corregge facilmente. Quella funzione ha il comportamento giusto nell'origine e all'infinito; il problema è l'annullamento del logaritmo anche in 1. Si rimedia facilmente considerando la funzione

[math]

Aggiungendo 1 ed il quadrato nel denominatore si evita il problema quando [math], e si sistema anche il caso p=1.

Il doppio logaritmo è alla fine della lezione 30, e serviva per mostrare che le funzioni in [math] del disco nel piano possono non essere limitate. In realtà basta un logaritmo solo, purché elevato alla potenza opportuna. Nel disco in dimensione 2 la funzione

[math]

sta in [math]ma non è limitata per ogni [math]. L'esempio si generalizza facilmente a tutte le dimensioni. La funzione

[math]

ha il pregio di andare bene in tutte le dimensioni (sta in [math] ma non è limitata).

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Re: Funzioni che stanno a malapena in W^{m,p}

#3 Messaggioda Firnen » sabato 24 agosto 2019, 12:16

Il +1 aggiunto non dovrebbe essere nell'argomento del logaritmo? Grazie a questo esempio son stati costruiti i controesempi ( traslazioni e sistemazione degli indici) dell' esercizio 4 dello scritto 5? Come si riscalano precisamente e da dove nasce l'idea per il caso p<2 ?

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Re: Funzioni che stanno a malapena in W^{m,p}

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 27 agosto 2019, 19:37

Firnen ha scritto:Il +1 aggiunto non dovrebbe essere nell'argomento del logaritmo?


:? :? Perché lo vuoi aggiungere nell'argomento del logaritmo? La funzione di quell'1 è di evitare che il denominatore si annulli anche quando [math].


Firnen ha scritto:Grazie a questo esempio son stati costruiti i controesempi ( traslazioni e sistemazione degli indici) dell' esercizio 4 dello scritto 5? Come si riscalano precisamente e da dove nasce l'idea per il caso p<2 ?


Qui capisco poco la domanda. Le funzioni con potenze e logaritmi al denominatore tornano sempre utili quando si vuole stare "giusto giusto" in qualche spazio [math], come nei classici esercizi "trovare una funzione in (0,1) che sta in [math] se e solo [math] o se e solo se [math]".

Per quanto riguarda l'ultima domanda, mi pare che si riferisca all'esercizio 4a del compito 2019-5. Se è così, l'osservazione fondamentale è che su intervalli finiti che se ne stanno lontani da 0 le funzioni [math] e [math] hanno la stessa sommabilità, in quanto il cambio di variabili e la sua inversa hanno derivata limitata. Quindi è assurdo sperare che [math] stia in [math] se [math] non sta almeno in [math]. Il controesempio è una qualunque funzione che non stia per pochissimo in [math], e quindi sta in tutti gli [math] precedenti. Questo porta ad usare [math] al denominatore. L'aggiunta di [math] a moltiplicare serve solo per sistemare il problema all'infinito. La funzione

[math]

sarebbe andata ugualmente bene.


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