Anche gli insiemi un po' più brutti hanno diritto a un 1-extender!

Spazi di Banach, spazi di Hilbert, spazi di Sobolev, problemi variazionali, problemi di evoluzione
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tommy1996q
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Anche gli insiemi un po' più brutti hanno diritto a un 1-extender!

#1 Messaggioda tommy1996q » martedì 8 gennaio 2019, 22:08

Volevo cercare di aprire una discussione sulla possibilità che determinati insiemi (non necessariamente cilindri o insiemi con dominio regolare) ammettano un 1-extender.

In dimensione 1, è possibile estendere un intervallo a tutto [math]. Il metodo è spiegato sul Brezis, ma lo riporto per completezza. Supponiamo di avere una funzione [math]. Considero ora la funzione [math] che coincide con [math] sull'intervallo [math] e vale 0 altrove. Moltiplicando per una cutoff [math] che vale 1 fino a 1/4 e 0 da 3/4 in poi, si può dimostrare che [math]. A quel punto estendo per riflessione e ottengo una funzione di Sobolev su tutta la retta. Il ragionamento vale pure per [math], perciò sommando queste estensioni ottengo un 1-extender di [math].

Passiamo al caso in più dimensioni (facciamo in dimensione 2 per semplicità). Supponiamo di avere un quadratino. Estendendo 4 volte per riflessione (si guardi pag 254 del Brezis per la figura) si estende la funzione su un quadrato che contiene strettamente il quadratino di partenza. Moltiplicando per una funzione [math] che vale 1 sul quadrato piccolo e ha supporto contenuto nel quadrato grande, ecco che ho un'estensione su tutto [math] (imponendo la sobolev estesa uguale a 0 fuori dal quadrato grande, ovviamente).

La domanda è: il primo approccio potrebbe funzionare in dimensione più alta? Supponiamo di avere il quadratino [math] e si consideri [math]. Definisco [math] uguale a [math] se [math], mentre uguale a 0 se [math] e [math]. A questi punti considero [math] come nel caso di dimensione 1, e dovrei avere che [math]. Faccio la stessa cosa con [math]. A questo punto ottengo un’estensione tutta una striscia verticale. E con un altro passaggio in direzione delle ascisse estendo su tutto il piano.

Non mi sembra che si usi né che l’insieme sia limitato né che il bordo abbia qualche particolare regolarità. Alla fine l’estensione per riflessione dovrebbe tornare grazie alla scelta opportuna dell’estensione e usando argomenti di approssimazione (moltiplicare per una cutoff e usare convergenza dominata). Allo stesso modo dovrebbe tornare l’altra estensione usando la moltiplicazione per la [math]. Non dico che dovrebbe venire su tutti gli insiemi, ma ad esempio per domini semplici (cioè sottografici) di funzioni positive dovrebbe tornare, ed anche su insiemi non limitati. E francamente mi sembra troppo bello per essere vero.

Nel caso, dov’è che il castello di carte crolla? Inoltre usando le estensioni “per riflessione” con i giusti coefficienti mi sembra che in questo modo si possano ottenere m-extender forti su tutto lo spazio (altro motivo per cui mi sembra decisamente “troppo bello per essere vero”).

Se invece fosse tutto giusto, quali sarebbero alcuni esempi di domini dove questo ragionamento non funziona, e perché?

Si apra il dibattito!

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Massimo Gobbino
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Re: Anche gli insiemi un po' più brutti hanno diritto a un 1-extender!

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 9 gennaio 2019, 8:46

Beh, Sobolev-parlando, un rettangolo è uno degli insiemi più belli che ci siano!

L'esempio del quadrato riflesso 4 volte è molto bello ed istruttivo, e purtroppo mi sono dimenticato di farlo a lezione :oops:. Per la referenza direi che è alla sezione 9.2 del Brezis, visto che il numero di pagina dipende dall'edizione che uno usa.

In generale, non voglio dire che un 1-extender non si nega a nessuno, ma per lo meno non è così dura avercelo. Visto che la sezione degli esercizi sugli extender è una delle poche che si trova ad un livello decente di avanzamento, consiglierei di partire da quelli per farsi un po' di casistica. E poi anche nel compito del nuovo anno c'è un extender :wink: .

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Re: Anche gli insiemi un po' più brutti hanno diritto a un 1-extender!

#3 Messaggioda tommy1996q » giovedì 10 gennaio 2019, 21:59

Credo di aver risolto il punto b dell'ultimo esercizio della new-year edition. Come pensavo, quella cuspide crea parecchi problemi. Posto quello che credo sia un controesempio qua sotto.

[+] Es_4_NYE
Considero la funzione [math], e dico che appartiene a [math]. Infatti sia lei che la sua derivata appartengono a [math]. Allora non può esistere un 1-extender. Se esistesse, per immersione avrei che l'estesa di [math] sarebbe continua, mentre in 0 evidentemente non lo è.

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Re: Anche gli insiemi un po' più brutti hanno diritto a un 1-extender!

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 14 gennaio 2019, 19:39

Diciamo che questo esercizio dovrebbe chiarire quali sono i peggiori nemici degli 1-extender. Un altro esempio, analogo a dire la verità, si trova nella terza scheda di esercizi sulle estensoni.

[+] Grandi_Nemici
Cuspidi e restringimenti.

Questi sono solo esempi basic di come la geometria del dominio può influenzare le immersioni di Sobolev. Volendo, si potrebbe dimostrare che nel dominio del NYE--4 valgono le immersioni con esponenti diversi, che tengono conto di "quanto si stringe il dominio in quella cuspide".

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#5 Messaggioda tommy1996q » lunedì 14 gennaio 2019, 19:55

Restringimenti in che senso? Per quanto riguarda il discorso delle cuspidi, il fatto che dipenda da quanto si stringe il dominio si può vedere dal fatto che (mi corregga se sbaglio) i triangoli si estendono. Il motivo dovrebbe essere questo:

[+] Ext_triangoli
Ogni triangolo è affine a un triangolo rettangolo di cateti lunghi 1 e lungo gli assi. A questo punto rifletto due volte per avere un quadrato (rombo). A meno di ruotare e riflettere un altro po’ di volte come fa Brezis (e la riflessione non dovrei aver problemi a farla, anche in presenza di cuspidi eventualmente), si può estendere. Da notare il fatto che i cambi di variabili usati preservano la sobolevità


P.S. Non mi funziona lo spoiler, ho provato 10 volte ma non capisco cosa non gli vada bene

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Re: Anche gli insiemi un po' più brutti hanno diritto a un 1-extender!

#6 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 14 gennaio 2019, 20:51

tommy1996q ha scritto:P.S. Non mi funziona lo spoiler, ho provato 10 volte ma non capisco cosa non gli vada bene


[+] Cosa_non_gli_va_bene
I maledetti computer di oggi, specie i mac, fanno quello che vogliono loro, non quello che vogliamo noi :evil: :evil: .

Sicuramente hai abilitato la funzione "smart quotes", che sostituisce i doppi trattini della tastiera con dei trattini strani (aperti e chiusi), che il BBCode non sa interpretare (ci vuole un occhio di lince per vedere la differenza, ma guarda bene!). Disabilita quella funzione, altrimenti avrai problemi in tutti i programmi che richiedono quei simboli (ad esempio tutti i linguaggi di programmazione).

Certo tutti i triangoli ammettono un extender, così come tutti i domini con bordo Lipschitz (basta un ulteriore passaggio di approssimazione rispetto alla dimostrazione che abbiamo visto nel caso smooth). La cosa buffa è che tu abbia bisogno di due passaggi di riflessione per passare da un triangolo rettangolo "canonico" ad un quadrato :lol:.

I restringimenti sono i domini che diventano sottili all'infinito, come quello dell'ultimo esercizio delle schede sugli extender. La mera riflessione, ovviamente, non è mai problematica.

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Re: Anche gli insiemi un po' più brutti hanno diritto a un 1-extender!

#7 Messaggioda tommy1996q » lunedì 14 gennaio 2019, 22:30

Grazie dell’aiuto con lo spoiler, non ci avrei mai pensato! (anche perché non ho odea di cosa sia lo “smart quotes”, ma vabbè).

Tornando alla matematica, effettivamente riflettere rispetto l’ipotenusa sarebbe più furbo :lol:
Per quanto riguarda i domini lipshitziani, si riferisce ad esempio al caso del sopragrafico di [math]? In quel caso si manda tutto in una striscia e si estende quella direttamente su tutto il piano, in modo analogo a come sul Brezis si estende un intervallo (Teorema VIII.5), o almeno credo si faccia così.

Supponiamo invece di avere il solragrafico di una parabola (dovrebbe essere un esercizio della raccolta). Ovviamente non ho lipshitzianità, e direi che non si può estendere, ma non riesco a trovare un controesempio in questo caso. Penso che i problemi dovrebbero nascere all’infinito, ma non trovo controesempi.

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#8 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 15 gennaio 2019, 11:37

tommy1996q ha scritto:Per quanto riguarda i domini lipshitziani, si riferisce ad esempio al caso del sopragrafico di [math]?


Mi riferisco a qualunque cosa che sia localmente sopra/sotto/destra/sinistra grafico di una funzione Lipschitz (cosa che tecnicamente si traduce nell'essere bi-Lipschitz, anziché diffeomorfi, al semicubetto canonico). Ad esempio tutti i poligoni rientrano in questa classe, mentre le cuspidi non ci rientrano.

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#9 Messaggioda tommy1996q » mercoledì 16 gennaio 2019, 11:23

Massimo Gobbino ha scritto:Mi riferisco a qualunque cosa che sia localmente sopra/sotto/destra/sinistra grafico di una funzione Lipschitz (cosa che tecnicamente si traduce nell'essere bi-Lipschitz, anziché diffeomorfi, al semicubetto canonico). Ad esempio tutti i poligoni rientrano in questa classe, mentre le cuspidi non ci rientrano.


Bilipshitz non l’avevo mai sentito come termine...
Cioè, quello che mi turbava un attimo con le “figure spigolose” tipo poligoni è che con cambi di variabile C1 e con Jacobiana limitata in norma non dovrei essere in grado di levarmi di torno i punti angolosi (o almeno credo). Voglio dire, capisco che effettivamente se non ci sono problemi per triangoli e quadrilateri, verosimilmente non ce ne saranno per n-agoni in generale, ma non saprei come formalizzare la cosa.

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#10 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 16 gennaio 2019, 19:26

tommy1996q ha scritto:quello che mi turbava un attimo con le “figure spigolose” tipo poligoni è che con cambi di variabile C1 e con Jacobiana limitata in norma non dovrei essere in grado di levarmi di torno i punti angolosi (o almeno credo).

Appunto. Non te li puoi levare di torno con cambi di variabili C1, ma puoi farlo con cambi bi-Lipschitz (che poi vuol dire Lipschitz con inversa Lipschitz). La teoria con questi cambi è praticamente la stessa del caso C1, solo con un passaggio di approssimazione in più.

Un'alternativa per i poligoni è scomporre tutto in triangoli.

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Re: Anche gli insiemi un po' più brutti hanno diritto a un 1-extender!

#11 Messaggioda tommy1996q » domenica 20 gennaio 2019, 12:26

Ha per caso qualche esempio concreto facile, o qualche riferimento dove approfondire la questione? Non avendo mai usato cambi di variabile del genere volevo vederli fatti almeno una volta, magari applicati proprio al problema in questione. Per quanto riguarda la scomposizione in triangoli, proverò a pensarci, ma a occhio e croce direi che il problema più grosso è che quando si vanno a sommare le estensioni sui vari triangoli, in generale si ottiene una Sobolev su tutto il piano, che però non coincide con la funzione di partenza sul poligono. Credo, comunque, che sia abbastanza facile costruire delle estensioni a mano per cui, sommate, sul poligono coincidano esattamente con la funzione di partenza.

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#12 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 20 gennaio 2019, 15:29

tommy1996q ha scritto:Non avendo mai usato cambi di variabile del genere volevo vederli fatti almeno una volta, magari applicati proprio al problema in questione.


Ma qual è il problema in questione?

Il caso standard di estensione Lipschitz è quello in cui si vuole 1-estendere a partire dal sopragrafico di |x|. Mi pare sia trattato in uno degli esempi in una delle schede di esercizi. Con l'ovvio cambio di variabili si manda nel semipiano superiore e poi si lavora lì.

In effetti i triangoli con i poligoni non funzionano benissimo. Molto meglio vederli localmente come specie di valori assoluti.


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