Scritti d'esame 2019

Spazi di Banach, spazi di Hilbert, spazi di Sobolev, problemi variazionali, problemi di evoluzione
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gino
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Re: Scritti d'esame 2019

#16 Messaggioda gino » venerdì 7 giugno 2019, 23:52

Per la seconda domanda direi di sì nel senso che sia la forte [math] che la debole [math] implicano la debole [math] (la debole [math] vuol dire che [math] per ogni [math] quindi in particolare per ogni [math] che è la debole [math]), quindi concludo per unicità del limite debole.

(tutti i discorsi in [math] limitato)

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Re: Scritti d'esame 2019

#17 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 9 giugno 2019, 19:09

gino ha scritto:abbiamo trovato [math] che realizza il sup in [math]; non vorrei che [math]?


Giusto. Anche qui meglio ricorrere ad un fatto generale. Se [math] in [math] e [math] è equi-limitato in [math], allora [math] esiste e sta in [math].

La tecnica è classica: estraggo una sotto-successione in modo da far convergere i gradienti debolmente a qualcosa in [math] (questo in realtà andrebbe fatto component-wise), e poi dimostro con il solito lemma (passaggio al limite nell'integrazione per parti) che il qualcosa è proprio il gradiente di [math].

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Re: Scritti d'esame 2019

#18 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 12 giugno 2019, 10:50

Sto correggendo lo scritto di giugno, e voglio segnalare un modo standard in cui quasi tutti stanno perdendo dei punti. Le parole convessità e stretta convessità della Lagrangiana non sono la panacea di tutti i mali, ed in particolare di esistenza ed unicità. Pensiamo ai funzionali

[math]

In entrambi i casi la Lagrangiana è convessa in (s,p) e strettamente convessa in p, ma senza BC nel primo caso ci sono problemi di unicità e nel secondo pure di esistenza.

Detto in termini pratici, l'unico modo per non perdere punti sulla parte di unicità è di esplicitare i conti. Quello basato sulla convessità non è un enunciato, ma un metodo, che si adatta a tanti problemi con BC diverse. Se uno dovesse scrivere un enunciato, ne dovrebbe in realtà scrivere una decina, e non ci sarebbe mai quello che serve nel caso in questione. Il metodo invece è sempre lo stesso, ma va adattato.

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Re: Scritti d'esame 2019

#19 Messaggioda gino » mercoledì 12 giugno 2019, 11:20

Massimo Gobbino ha scritto:Sto correggendo lo scritto di giugno, e voglio segnalare un modo standard in cui quasi tutti stanno perdendo dei punti. Le parole convessità e stretta convessità della Lagrangiana non sono la panacea di tutti i mali, ed in particolare di esistenza ed unicità..


Però se [math] strettamente convessa e si è trovato [math] tale che [math] per ogni [math] allora si può concludere esistenza e unicità giusto?

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Re: Scritti d'esame 2019

#20 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 12 giugno 2019, 18:44

gino ha scritto:Però se [math] strettamente convessa e si è trovato [math] tale che [math] per ogni [math] allora si può concludere esistenza e unicità giusto?


Strettamente convessa in quali variabili? E se c'è pure la x come la gestiamo? Insomma, si fa prima a scrivere il passaggio chiave che a tirare fuori la versione dell'enunciato che si adatta al caso specifico.


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