Campi di Weierstrass sempre globali? Mmm..

Metodo indiretto, metodo diretto, rilassamento, Gamma convergenza
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teremin
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Campi di Weierstrass sempre globali? Mmm..

#1 Messaggioda teremin » martedì 18 settembre 2018, 22:17

Carissimi,

Mi chiedevo stamattina un criterio sufficiente per l'esistenza di campi di Weierstrass "globali", ovvero con una famiglia [math] con [math] che varia in tutto [math] invece che in un intervallino. Per iniziare, diciamo che abbiamo un'equazione differenziale in forma normale
$$ \ddot u = f(x,u, \dot{u})$$
E diciamo che esiste un campo di weierstrass locale intorno a una certa soluzione [math]. Dico allora (ma secondo me è sbagliato) che esiste un campo di Weierstrass globale facendo così: prendo il campo di Weierstrass locale [math] con [math], (domanda: lo richiediamo [math] per essere campo di Weierstrass?).
Pongo allora
$$ w(\epsilon,x) = u( \alpha \arctan ( \epsilon ), x)$$
Dove [math] è la cosa giusta per far quadrare gli intervalli, ovvero [math]. Continua a esser crescente in [math], a verificare l'equazione a [math] fissato, e volendo sono C^1 se prima l'abbiamo assunto.

Come corollario, avremmo il seguente
Fatto: sia [math], e sia assegnato il problema di minimo relativo con DBC. Supponiamo che per un certo [math] soluzione di ELE valgano [math]. Allora [math] è GM (senza convessità!!).

Dimostrazione: Sia [math] un altro competitore. Per L^+, J^+ esiste un campo locale attorno a u_0, dunque anche un anche un campo globale. Sia [math] questo campo di Weierstrass globale, e [math] la slope function associata. Allora:
(1) L'eccesso di Weierstrass è sempre positivo:
$$ E(x,s,p,q) = (q^2 -f(x,s) )-(p^2-f(x,s) ) -(q-p)2p = (q-p)^2 \ge 0 $$
(2) Calcoliamo con la (WRF), che vale perche abbiamo le DBC assegnate:
$$F(w) - F(u) = \int_a^b E(x,w(x), p(x,w(x) ), \dot{w}(x) ) \ge 0 $$

E niente... Voi ci credete?

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Re: Campi di Weierstrass sempre globali? Mmm..

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 19 settembre 2018, 16:29

Io non ci credo :mrgreen: e l'errore mi sembra abbastanza evidente :shock: :shock: ... la globalità di una campo non sta nel dove varia il parametro, ma nel quanto ricoprono le curve.

Tra l'altro, ci sono facili esempi di SLM che non sono GM: un esempio potrebbe essere la funzione identicamente nulla con Lagrangiana

[math]

su un intervallo piccolino (non ho fatto i conti, ma se qualcuno vuole cimentarsi è il benvenuto).

teremin
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Re: Campi di Weierstrass sempre globali? Mmm..

#3 Messaggioda teremin » giovedì 20 settembre 2018, 17:49

Eh si, poi me sono accorto... che scemo!


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