Funzionali quadratici con v non nulle al bordo

Metodo indiretto, metodo diretto, rilassamento, Gamma convergenza
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teremin
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Funzionali quadratici con v non nulle al bordo

#1 Messaggioda teremin » sabato 15 settembre 2018, 19:42

Carissimi,

Sto cercando di risolvere il problema 3 del dello scritto del 25 dicembre 2015, punto (c).

A meno di un cambio di variabile [math], viene chiesto di studiare per quali l ha minimo il problema
$$ \min \left\{ G(v) = \int_0^l \dot{v}^2- v^2 : v(0) = 0,\ v(l) = 2016-\frac{7}{2}l \right\}$$

Io ho proceduto così:
0. Notare che la ELE è la classica [math], che ha come soluzioni (usando solo [math]) le [math]
1. La variazione seconda del funzionale è [math] stesso in qualsiasi candidato punto minimo. Quindi, se [math], non ci sono WLM e quindi neppure minimi globali.
2. Per [math] la ELE non ha soluzioni: infatti imponendo la condizione in [math] otteniamo [math], assurdo. Non essendoci DLM, non ci sono neanche minimi globali.
3. Per il caso [math], notiamo che l'eccesso di weierstrass è un quadrato perfetto [math], perciò usando la WRF otteniamo
$$F(u) - F(u_0) = \int_0^l E(x,u(x), p(x,u(x)), \dot{u}(x)) \ge 0$$
Perciò è effettivamente un minimo globale.

Visto che di solito faccio errori sparsi (e che all'inizio del post la 3 non riuscivo a farla da un'ora), potreste dirmi se è corretto e se in sede di scritto servirebbero argomentazioni ulteriori? Grazie!

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Re: Funzionali quadratici con v non nulle al bordo

#2 Messaggioda FApples97 » domenica 16 settembre 2018, 16:41

A me sembra corretto. Ma quindi ogni volta che [math] soddisfa (E), (J+) , (L+) e l'eccesso è sempre [math], allora possiamo dire che [math] è punto di minimo globale?

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Re: Funzionali quadratici con v non nulle al bordo

#3 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 17 settembre 2018, 11:32

Qualche osservazione da parte mia.

  • In realtà le domande in quel compito erano leggermente diverse.
  • In questo caso il cambio di variabile, che comunque è una buona idea, non semplifica molto la vita. La variazione seconda infatti sarebbe comunque la stessa.
  • Le argomentazioni di teremin mostrano correttamente la non esistenza di GM, e nemmeno di DLM, per [math].
  • Nel caso [math], in assenza di minimi globali, diventa interessante capire chi è l'inf.
  • La WRF dice che una certa [math] è minimo tra tutti i competitori che vivono in una certa zona, cioè quella ricoperta dal campo e in cui l'eccesso è positivo. Quindi se l'eccesso è positivo ovunque, ed il campo copre tutto (cosa che taremin non ha verificato), allora certamente abbiamo un GM. Questa è la tecnica che si usa, per esempio, con il problema di Didone cartesiano, e che si poiteva usare pure qui.
  • In alternativa all'eccesso+campo globale, si poteva usare anche il metodo diretto, dopo aver osservato (sempre per la teoria dei funzionali quadratici) che per ogni [math] esiste [math] tale che

    [math].

    Da qui in poi è la solita storia.

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Re: Funzionali quadratici con v non nulle al bordo

#4 Messaggioda FApples97 » lunedì 17 settembre 2018, 14:51

Massimo Gobbino ha scritto:
si poteva usare anche il metodo diretto, dopo aver osservato (sempre per la teoria dei funzionali quadratici) che per ogni [math] esiste [math] tale che

[math].

Questa disuguaglianza non aveva come ipotesi anche che le [math] si annullano in [math] e in [math] ? Nel nostro problema si ha [math] per [math].

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Re: Funzionali quadratici con v non nulle al bordo

#5 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 17 settembre 2018, 15:15

FApples97 ha scritto:Questa disuguaglianza non aveva come ipotesi anche che le [math] si annullano in [math] e in [math] ?


Giustissimo, sono stato troppo precipitoso :oops: .

Prima bisogna fare un cambio di variabili, "togliendo una retta" in modo da avere dato nullo al bordo. A quel punto si applica il metodo al nuovo problema. I termini aggiunti dovrebbero essere non influenti, ma non ho fatto i conti. Magari se qualcuno li fa può mostrare cosa accade.


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