Lemma DBR in Lp

[FabioC]

Non riesco a trovare una dimostrazione del lemma DBR se [math]f \in L^p. Un aiutino?

[Massimo Gobbino]

Uhm, non mi è chiaro che cosa non ti è chiaro ... Cosa non funziona nella dimostrazione per approssimazione?

[FabioC]

Che non posso mandare le approssimanti a [math]f + c perchè in generale non so se [math](f + c)^2 è integrabile.
Se invece approssimo [math](f+c)^{p-1} mi salta che sia a media nulla.

[Massimo Gobbino]

Se invece approssimo [math](f+c)^{p-1} mi salta che sia a media nulla.

Beh, ma la costante [math]c è nostra amica, quindi la possiamo scegliere in modo da annullare la media che ci serve.

P.S. Ad essere precisi la funzione da approssimare è [math]|f(x)-c|^{p-1}\operatorname{sign}(f(x)-c). E volendo essere puntigliosi occorrerebbe verificare che il [math]c esiste ...

[FabioC]

Eh, appunto, non mi sembra(va) per nulla evidente che la c opportuna esistesse. Grazie

[Massimo Gobbino]

non mi sembra(va)

Ora è chiaro perché la costante esiste?

[FabioC]

Sì, l'integrale della funzione da approssimare è continuo rispetto a c per convergenza dominata e ha limite più o meno infinito per c grande o piccola. Giusto?
(c'è qualche cosa da sistemare nel caso p=1, ma si aggiusta anche in quel caso)

[Massimo Gobbino]

Sì, l'integrale della funzione da approssimare è continuo rispetto a c per convergenza dominata e ha limite più o meno infinito per c grande o piccola. Giusto?

(c'è qualche cosa da sistemare nel caso p=1, ma si aggiusta anche in quel caso)

Giusto, perché con il solo segno si perde la continuità in [math]c. Ma con una bella [math]\arctan(f(x)-c) l'effetto è lo stesso .

[Massimo Gobbino]

E se [math]f stesse solo in [math]L^{1}_{loc}?