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necessità di Hint per esercizio calcolo variazioni(es 3 23/settembre/2017)

Inviato: giovedì 8 febbraio 2018, 0:11
da Andrea_s
Buonasera a tutto il forum, ho delle difficoltà nello svolgere la parte b dell'esercizio 3 dell' esame di elementi di calcolo delle variazioni del 23 settembre 2017.
Ecco il testo

[math]

(a) Determine for which values of [math] the infimum is actually a minimum.
(b) Determine for which values of [math] the minimum exists and is negative.

un breve sketch delle mie considerazioni sulla situazione
(a) se cos(x) è negativo ho una situazione analoga al caso [math] che ha infimum -infinito,
se cos(x) è positivo il minimo esiste per applicazione del metodo diretto
(b) osservo che l'integrale appliccato alla funzione nulla u0 è nullo, studiando la variazione seconda di u0 concludo che per
[math] u0 non è un weak local minimum, quindi il minimum deve essere negativo.
Il mio problema è che non so che considerazioni posso fare per l<Pi, dove u0 è addirittura uno strong local minimum....
Ogni suggerimento è super gradito :)

Re: necessità di Hint per esercizio calcolo variazioni(es 3 23/settembre/2017)

Inviato: giovedì 8 febbraio 2018, 18:58
da Massimo Gobbino
Ho spostato nella sezione di CdV per renderlo più visibile ai potenziali interessati.

(a) Ma allora quali sono i valori del parametro per cui il minimo esiste?

(b) Ma quale sarebbe la variazione seconda calcolata nella funzione nulla? Quando ha un segno?

Re: necessità di Hint per esercizio calcolo variazioni(es 3 23/settembre/2017)

Inviato: venerdì 9 febbraio 2018, 14:57
da Crusp
Provo a dare una risposta al punto (b):

(Purtroppo non sono capace di metterlo come spoiler) [EDIT by Massimo Gobbino: l'ho fatto io :D e ho anche aggiunto un pezzettino mancante in una formula]

[+] soluzione_punto_b
Per quanto detto nel punto (a) il minimo dovrebbe esistere quando [math].

Sia quindi [math]. Si osserva che [math] è soluzione dell'equazione di Eulero associata al funzionale. Vorrei adesso far vedere che [math] è il minimo globale e quindi che non esiste nessun valore di [math] tale per cui il minimo è negativo.

Si osservi che il nostro funzionale è maggiore uguale a [math], per il quale, se non ho sbagliato i conti, si vede che [math] è un minimo globale. Infatti sia [math] un competitore (con v nulla al bordo).

Si consideri allora [math]. Facendo uno sviluppo di Taylor con resto di Lagrange si trova:

[math]

con [math] variazione seconda di [math]e [math]. (Dove si è sfruttato il fatto che [math] è soluzione dell'ELE anche per questo secondo funzionale.)

Calcolando [math] viene fuori che è sempre maggiore o uguale a 0, quindi in effetti [math] è un minimo globale.

Re: necessità di Hint per esercizio calcolo variazioni(es 3 23/settembre/2017)

Inviato: venerdì 9 febbraio 2018, 15:43
da Andrea_s
Buonasera,

ehm si in effetti avrei dovuto scrivere in questa sezione del forum :oops: .

@Crusp
Eh si...mi torna tutto quello che hai scritto... non mi sarebbe mai venuto in mente di usare una funzione ausiliaria per risolvere il problema... e grazie mille che ti sei preso la briga di spendere del tempo per rispondermi :D.
Tra l'altro mi sa che si possa anche evitare di calcolare [math], osservando che la lagrangiana di [math] è convessa rispetto alle variabili [math] e [math], e quindi, insieme al fatto che [math] verifica la ELE di [math] e le condizioni al bordo, concludere che [math] è in effetti un minimo di [math].

Re: necessità di Hint per esercizio calcolo variazioni(es 3 23/settembre/2017)

Inviato: venerdì 9 febbraio 2018, 16:22
da Andrea_s
Tuttavia ora che ci penso meglio sorge un problema non da poco usando la funzione ausiliaria [math], ovvero con [math] vale [math], quindi quello che si prova davvero è che [math] ... e non basta per risolvere il problema :cry:

Re: necessità di Hint per esercizio calcolo variazioni(es 3 23/settembre/2017)

Inviato: venerdì 9 febbraio 2018, 16:32
da Andrea_s
Massimo Gobbino ha scritto:Ho spostato nella sezione di CdV per renderlo più visibile ai potenziali interessati.

(a) Ma allora quali sono i valori del parametro per cui il minimo esiste?

(b) Ma quale sarebbe la variazione seconda calcolata nella funzione nulla? Quando ha un segno?


(a) per [math] ho esistenza del minimo (metodo diretto)
(b) qui avevo sbagliato qualche conto :oops: , comunque la domanda se [math] sia un global minimum per certi valori di l mi rimane:

la variazione seconda di [math] è [math] per la quale la condizione (L+) è verificata [math] e la condizione (J) non è verificata per [math].
quindi per [math] il minimo esiste ed è negativo.
Ma ora non saprei come procedere per vedere se il minimo globale è in effetti [math] per [math]

Re: necessità di Hint per esercizio calcolo variazioni(es 3 23/settembre/2017)

Inviato: venerdì 9 febbraio 2018, 17:50
da Massimo Gobbino
Mi pare che ormai ci siamo.

  • Per [math] l'inf viene [math] (ma va giustificato bene).

  • Per [math] il minimo esiste ed è negativo (esiste per il metodo diretto, è negativo perché la soluzione nulla soddisfa (L+) ma non (J), e quindi non è nemmeno DLM).

  • Per [math] il minimo è zero in quanto

    [math]

    e quest'ultimo è un funzionale quadratico non negativo.

Re: necessità di Hint per esercizio calcolo variazioni(es 3 23/settembre/2017)

Inviato: venerdì 9 febbraio 2018, 19:23
da Andrea_s
Grazie mille dell'aiuto :D

Re: necessità di Hint per esercizio calcolo variazioni(es 3 23/settembre/2017)

Inviato: sabato 10 febbraio 2018, 17:40
da Crusp
Grazie a entrambi! :)