Metodo diretto - Esercizio 1 pagina 27

Metodo indiretto, metodo diretto, rilassamento, Gamma convergenza
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Step93
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Metodo diretto - Esercizio 1 pagina 27

#1 Messaggioda Step93 » venerdì 5 febbraio 2016, 9:29

Buongiorno Professore e salve a tutti,
avrei bisogno di un chiarimento su un esercizio. Ho qualche problema con il secondo funzionale dell'esercizio 1 a pagina 27: ho cercato in tutti i modi di ottenere una limitazione sulla derivata per trovare una nozione di convergenza tuttavia non riesco a trovarla, ho il sentore che il minimo non esista ma non riesco a dimostrarlo formalmente. Qualcuno saprebbe aiutarmi??
Grazie mille in anticipo. :D

Carmine
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Re: Metodo diretto - Esercizio 1 pagina 27

#2 Messaggioda Carmine » venerdì 5 febbraio 2016, 15:57

Provo a rispondere io :D

Dunque, effettivamente il minimo per il funzionale:

\displaystyle F_2(u) = \int_0^1 u^2+\arctan(\dot{u}^2) \ dx

non esiste. Per vederlo, innanzitutto notiamo che sicuramente per ogni u \in C^1([0,1]) con u(0)=1 vale F_2(u) \ge 0. In realtà vale F_2(u)>0, in quanto se poni F_2(u)=0 ottieni che ||\dot{u}||_{L^2}^2=0 e ||u||_{L^2}^2=0, da cui u \equiv 0, e ciò è assurdo.

Per concludere, allora, possiamo mostrare che:

\displaystyle \inf_{u \in C^1([0,1]) , u(0)=1} F_2(u)=0

Si può dimostrare ciò in un paio di modi, dipende dalle tue conoscenze. Ti do le idee, poi tu ti metti a posto i conti:
- Consideri la successione (\phi_n)_{n \in \mathbb{N}^+} ove \phi_n(x)=0 se x \ge 1/n, e \phi_n(x)=1-q_nx(x-2/n) se x \le 1/n, con q_n opportuna costante (insomma, da 0 a 1/n una mezza parabola, e poi nulla a tappeto: l'importante è che il vertice della parabola sia nel punto (1/n,0)). Se sviluppi i conti, hai facilmente che F_2(\phi_n) \le 1/n(1+\pi/2), da cui la tesi;
- Se hai studiato la parte relativa al rilassamento, puoi usare il fatto che l'estremo inferiore del funzionale è uguale all'estremo inferiore del funzionale rilassato, ad esempio, in C^0([0,1]) con u(0)=1, il quale è sicuramente non negativo ma minore o uguale del funzionale di partenza (dovrebbe essere uguale, però non ho fatto i conti quindi ci metto solo mezza mano sul fuoco). A questo punto, consideri la successione di funzioni (\psi_n)_{n \in \mathbb{N}^+} ove \psi_n è fatta collegando i punti (0,1),(1/n,0),(1,0) (affine a tratti), e concludi come sopra (i conti vengono più facili, e le funzioni sono più facili da immaginare).

Moralmente, stai prendendo la successione (\psi_n)_{n \in \mathbb{N}^+}, e poi stai raccordando nel punto 1/n in maniera C^1: tale raccordo non cambia la sostanza, ossia la convergenza delle immagini secondo F_2 a 0.

Consiglio per il futuro: quando la parte sulla derivata è limitata, oppure ha crescita meno che lineare, e se intuisci che il minimo del funzionale sia una certa funzione u_0 che però non appartiene all'insieme dove stai operando (come in questo caso, è evidente che l'inf sia realizzato dalla funzione nulla), allora ciò presuppone la non esistenza del minimo. Infatti è standard generare una successione di funzioni dove ognuna è uguale a u_0 tra 1/n e 1-1/n, e poi in quei due intervallini usa parecchia derivata per soddisfare le condizioni al bordo.

Spero di essere stato chiaro, se hai dubbi scrivi pure, qualcuno ti risponderà :D

EDIT: Prof., non sarebbe il caso di spostare ciò nella sezione "Minimum problems 3"?

Step93
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Re: Metodo diretto - Esercizio 1 pagina 27

#3 Messaggioda Step93 » sabato 6 febbraio 2016, 18:11

Grazie mille davvero, ho capito molto bene.


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