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Gamma convergence 3

Inviato: lunedì 25 gennaio 2016, 19:25
da Carmine
Prof, nell'esercizio 3 la seconda disuguaglianza è in generale falsa. Infatti:

- Se (f_n), (g_n) sono successioni di funzioni identicamente nulle, si ha uguaglianza;

- Se (f_n)=((-1)^n), (g_n)=(-(-1)^n), si ha il minore stretto;

- Se (f_n)=(-g_n), e per ogni n si ha f_n(x)=0 se x \ne 0 e f_n(0)=1 se x=0, allora si ha il maggiore stretto (in 0).

Spulciando un po' su internet, ho visto che una formula vera è la seguente:

\displaystyle \Gamma-\lim_{n \to \infty} \sup (f_n+g_n)(x) \ge

\displaystyle \ge \Gamma-\lim_{n \to \infty} \sup (f_n)(x) + \Gamma-\lim_{n \to \infty} \inf (g_n)(x)

anche se ho pensato che la disuguaglianza che avesse Lei in mente (sicuramente vera e facilmente dimostrabile) fosse:

\displaystyle \Gamma^+-\lim_{n \to \infty} \sup (f_n+g_n)(x) \le

\displaystyle \le \Gamma^+-\lim_{n \to \infty} \sup (f_n)(x) + \Gamma^+-\lim_{n \to \infty} \sup (g_n)(x)

Re: Gamma convergence 3

Inviato: lunedì 25 gennaio 2016, 20:48
da Carmine
Comunque l'affermazione all'esercizio 4, punto b, è falsa.

Re: Gamma convergence 3

Inviato: mercoledì 27 gennaio 2016, 15:30
da Massimo Gobbino
Quella disuguaglianza con il Gamma-limsup della somma è davvero delirante. Non ho idea di cosa io volessi dire :shock: :shock: .

Tra l'altro è pure contraddittoria: se con il Gamma-liminf ci può essere disuguaglianza stretta anche in presenza di Gamma-limite, di certo non ci può essere l'opposto per il Gamma-limsup. Certamente con i Gamma+ limiti tutto si inverte, ma banalmente, e poi quelli li ho messi solo nell'ultima scheda.

Ora provo a correggere. Grazie per la segnalazione.