Scritti d'esame 2019

Metodo indiretto, metodo diretto, rilassamento, Gamma convergenza
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Scritti d'esame 2019

#1 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 17 gennaio 2019, 13:30

Qui di seguito i testi degli scritti.
Allegati
CdV_19_CS3.pdf
Scritto appello 3 -- 23 Febbraio 2019
(36.08 KiB) Scaricato 15 volte
CdV_19_CS2.pdf
Scritto appello 2 -- 02 Febbraio 2019
(119.07 KiB) Scaricato 37 volte
CdV_19_CS1.pdf
Scritto appello 1 -- 15 Gennaio 2019
(34.53 KiB) Scaricato 67 volte

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Re: Scritti d'esame 2019

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 17 gennaio 2019, 13:32

E qui di seguito prima o poi (direi più poi che prima :D ) le tracce di soluzioni.

Nel frattempo però sarebbe auspicabile aprire la discussione.
Allegati
CdV_19_CS3_Sol.pdf
Scritto 3 (23 Febbraio 2019) -- Tracce di soluzioni
(1.4 MiB) Scaricato 21 volte
CdV_19_CS2_Sol.pdf
Scritto 2 (02 Febbraio 2019) -- Tracce di soluzioni
(1.28 MiB) Scaricato 64 volte
CdV_19_CS1_Sol.pdf
Scritto 1 (15 Gennaio 2019) -- Tracce di soluzioni
(999.48 KiB) Scaricato 92 volte

DanieleT
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Re: Scritti d'esame 2019

#3 Messaggioda DanieleT » lunedì 28 gennaio 2019, 20:57

Gentile Professore,

nel problema 4 per calcolare il rilassato di [math], visto che [math] non ha crescita superlineare, io avrei mostrato l'esistenza delle recovery sequences sulle affini a tratti. Leggendo la soluzione mi sembra di capire che, anche se non si ha crescita superlineare, in questo caso, si può comunque calcolare il rilassato usando il fatto che la funzione costantemente uguale a [math] è l'inviluppo convesso della funzione [math]. Come mai?

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Re: Scritti d'esame 2019

#4 Messaggioda DanieleT » martedì 29 gennaio 2019, 16:56

DanieleT ha scritto:Gentile Professore,

nel problema 4 per calcolare il rilassato di [math], visto che [math] non ha crescita superlineare, io avrei mostrato l'esistenza delle recovery sequences sulle affini a tratti. Leggendo la soluzione mi sembra di capire che, anche se non si ha crescita superlineare, in questo caso, si può comunque calcolare il rilassato usando il fatto che la funzione costantemente uguale a [math] è l'inviluppo convesso della funzione [math]. Come mai?

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Re: Scritti d'esame 2019

#5 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 30 gennaio 2019, 18:08

Avevo visto il messaggio, ma non sempre si ha il tempo di rispondere. Non sarebbe male se non dovessi farlo sempre io ... ci sarà qualcuno che in questo momento sta studiando la materia.

Il rilassato del funzionale

[math]

è l'integrale di [math] a tappeto. Questo è un enunciato piuttosto rapido e va interpretato. Detto con più dettagli, stiamo considerando il funzionale che vale l'espressione scritta sulle funzioni con una certa regolarità, e + infinito altrimenti in un certo ambiente più generale, ad esempio [math]. Il risultato è che il suo rilassato è l'integrale di [math] in tutto l'ambiente più generale.

La dimostrazione è banale per quanto riguarda la stima dal basso, mentre per quanto riguarda le recovery basta osservare che le affini a tratti sono un denso in energia (rispetto a questa energia banale) e per quelle è facile fare la costruzione.

Il risultato che citi tu è invece più complicato, e riguarda il caso di dipendenza dalla derivata (come in questo caso), ma con Lagrangiana superlineare all'infinito. In questo caso la conclusione è che il rilassato ha una rappresentazione simile con la convessificata. Detto così sembrerebbe la stessa cosa, ma invece la differenza è profonda quando andiamo a scrivere per bene le cose. Ora la vera tesi è che il rilassato è uguale all'espressione con la convessificata se u sta in un opportuno spazio, mentre è + infinito altrimenti. In altre parole, avere il rilassato finito vuol dire essere abbastanza regolari, al contrario del caso con il seno in cui chiunque ha il rilassato finito.

In termini di dimostrazione, la difficoltà diventa dimostrare la stima dal basso, perché in certi casi bisogna dimostrare che si sta sopra + infinito, il che non è banale come stare sopra [math] nel caso del seno.

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Re: Scritti d'esame 2019

#6 Messaggioda DanieleT » mercoledì 20 febbraio 2019, 15:36

Compito 2 Problema 4 parte (a)

Per dimostrare la gamma convergenza delle [math] al funzionale [math] su quale spazio stiamo estendendo i funzionali?

Speravo che bastasse considerare le seguenti estensioni ad [math]:

[math] se [math] è [math] con [math] e [math] ed [math] uguale ad infinito altrove su [math]

[math] se [math] è [math] con [math] e [math] ed [math] uguale ad infinito altrove su [math]

Ma così facendo non vedo come utilizzare il suggerimento di usare come recovery le [math], senza condizioni al bordo.

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Re: Scritti d'esame 2019

#7 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 21 febbraio 2019, 8:54

Giusto, giusto, bisogna epsilon-correggere il dato al bordo. Il suggerimento corretto è che

[math]

per ogni u regolare nulla al bordo.


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