Sottospazi vettoriali 3

Sistemi lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari
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crumiro
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Sottospazi vettoriali 3

#1 Messaggioda crumiro » sabato 9 novembre 2013, 20:28

Qualcuno che ha svolto gli esercizi "Sottospazi vettorial 3" , in particolari il seguente esercizio (il terzultimo di pag 30)
Spazio vettoriale R(4);
v1: (0,0,1,1)
v2: (0,1,1,0)
v3: (1,1,0,0)
w1: (1,1,1,1)
w2: (2,0,-2,0)

saprebbe spiegarmi , una volta calcolate la dimensione dello span V ( = 3) e dello span W (= 2), come trovo la dimensione dell'intersezione?
Applico la formula di Grassman, ma la dimensione ( v + w) è = 4 o può essere anche minore?
Grazie in anticipo :)

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Re: Sottospazi vettoriali 3

#2 Messaggioda GIMUSI » sabato 7 dicembre 2013, 23:28

e se li "gaussizzi" in un unica matrice, determini il rango = dim(V+W) e da questa con grassmann la dim dell'intersezione?
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Re: Sottospazi vettoriali 3

#3 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 8 dicembre 2013, 8:47

Esatto, il punto fondamentale è che quei 5 vettori, insieme, sono un sistema di generatori per V+W. In altre parole, V+W è lo Span di quei 5 vettori. Ovviamente non è detta che siano linearmente indipendenti insieme, anche se i primi 3 da soli lo sono e gli ultimi 2 da soli lo sono. Per determinare la dimensione non resta quindi che trovare un sottoinsieme massimale che sia linearmente indipendente oppure, in maniera più evoluta, fare il rango come suggerito da GIMUSI.

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Re: Sottospazi vettoriali 3

#4 Messaggioda e.rapuano » domenica 8 dicembre 2013, 11:41

Va bene anche se trovo prima la dimensione del sottospazio intersezione (dato che si tratta di un piano e uno spazio che si intersecano in un piano) e successivamente calcolo la dimensione di (V+W) ?

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Re: Sottospazi vettoriali 3

#5 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 8 dicembre 2013, 15:56

Ma come la trovi la dimensione dell'intersezione?

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Re: Sottospazi vettoriali 3

#6 Messaggioda e.rapuano » domenica 8 dicembre 2013, 20:26

Avevo creato dei parametri e scritto le "equazioni parametriche" rispettivamente dello spazio e del piano in R4 individuati dai vettori v1,v2,v3,w1 e w2...in altri termini:
t(0,0,1,1) + s(0,1,1,0) +r(1,1,0,0) che diventava (r,s+r,t+s,t) e poi
v(1,1,1,1) + w(2,0,-2,0) che diventava (v+2w,v,v-2w,v)
alla fine ho eguagliato a 2 a 2 queste "coordinate" e ho ottenuto un sistema: ho pensato che trovando un unica soluzione avrei avuto il punto d'intersezione, con un solo parametro libero ci sarebbe stata una retta e con 2 parametri liberi (com'è uscito) nell'intersezione si sarebbe avuto un piano. :roll:
So che forse è un ragionamento campato in aria...ma mi sembrava filasse.... :?

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Re: Sottospazi vettoriali 3

#7 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 11 dicembre 2013, 11:30

e.rapuano ha scritto:Avevo creato dei parametri e scritto le "equazioni parametriche" rispettivamente dello spazio e del piano in R4 individuati dai vettori v1,v2,v3,w1 e w2...in altri termini:
t(0,0,1,1) + s(0,1,1,0) +r(1,1,0,0) che diventava (r,s+r,t+s,t) e poi
v(1,1,1,1) + w(2,0,-2,0) che diventava (v+2w,v,v-2w,v)
alla fine ho eguagliato a 2 a 2 queste "coordinate" e ho ottenuto un sistema: ho pensato che trovando un unica soluzione avrei avuto il punto d'intersezione, con un solo parametro libero ci sarebbe stata una retta e con 2 parametri liberi (com'è uscito) nell'intersezione si sarebbe avuto un piano. :roll:
So che forse è un ragionamento campato in aria...ma mi sembrava filasse.... :?


il procedimento mi pare corretto...tuttavia avendo già i sottospazi in forma di vettori credo che in questo caso sia più semplice e rapido mettere i 5 vettori colonna in una matrice e applicare gauss...in questo modo si ottengono subito tutte le informazioni necessarie su dimensioni e basi
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Re: Sottospazi vettoriali 3

#8 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 11 dicembre 2013, 16:10

Concordo. In generale è facile trovare le dimensioni di V, W e V+W (basta "gaussizzare" opportune matrici o andare di D-rango). È anche abbastanza semplice produrre basi degli stessi spazi (basta interpretare bene quello che si è fatto con Gauss o andare a cercare i minori giusti se si è andati di D-rango). È facile pure avere la dimensione dell'intersezione, perché segue da Grassmann. Sono chiari a tutti questi procedimenti?

L'unico punto in cui serve il lavoro sporco è per avere una base dell'intersezione, se questa è diversa da {0}, per la quale bisogna procedere alla e.rapuano.

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Re: Sottospazi vettoriali 3

#9 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 11 dicembre 2013, 16:46

Massimo Gobbino ha scritto:Concordo. In generale è facile trovare le dimensioni di V, W e V+W (basta "gaussizzare" opportune matrici o andare di D-rango). È anche abbastanza semplice produrre basi degli stessi spazi (basta interpretare bene quello che si è fatto con Gauss o andare a cercare i minori giusti se si è andati di D-rango). È facile pure avere la dimensione dell'intersezione, perché segue da Grassmann. Sono chiari a tutti questi procedimenti?

L'unico punto in cui serve il lavoro sporco è per avere una base dell'intersezione, se questa è diversa da {0}, per la quale bisogna procedere alla e.rapuano.


per la base dell'intersezione a me piace procedere secondo l'esempio della lezione 35...mettendo in matrice i vettori delle due basi e risolvendo il sistema omogeneo sulla matrice "gaussizzata"...in questo modo si hanno i coefficienti che annullano la combinazione e quindi anche l'intersezione dei due sottospazi secondo entrambe le basi :mrgreen:
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Re: Sottospazi vettoriali 3

#10 Messaggioda nomeutente » giovedì 26 dicembre 2013, 13:15

Potreste allegare le soluzioni? Grazie :D

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Re: Sottospazi vettoriali 3

#11 Messaggioda GIMUSI » venerdì 27 dicembre 2013, 0:33

nomeutente ha scritto:Potreste allegare le soluzioni? Grazie :D


allego le soluzioni :?: per il test n.25 "Sottospazi vettoriali 3" (in magenta sono indicate le basi per il sottospazio intersezione)

nella versione rev01 sono state corrette su indicazione di e.rapuano le soluzioni degli esercizi 6 e 8
Allegati
AL_Esercizi - Test 25 - SOTTOSPAZI VETTORIALI 03_rev01.pdf
(184.18 KiB) Scaricato 268 volte
Ultima modifica di GIMUSI il venerdì 27 dicembre 2013, 22:18, modificato 1 volta in totale.
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Re: Sottospazi vettoriali 3

#12 Messaggioda e.rapuano » venerdì 27 dicembre 2013, 11:07

Come base del sottospazio inteserzione nel 5° esercizio io mi trovo il vettore (-2,0,1).
Al 6° le dimensioni che mi trovo sono (in ordine): 2 2 2 2;
All'8°: 2 2 1 3;
9°: 3 2 2 3;

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Re: Sottospazi vettoriali 3

#13 Messaggioda GIMUSI » venerdì 27 dicembre 2013, 22:11

e.rapuano ha scritto:Come base del sottospazio inteserzione nel 5° esercizio io mi trovo il vettore (-2,0,1)


mi pare che (-2,0,1) non vada bene...non appartiene a nessuno dei due sottospazi :roll:

e.rapuano ha scritto:Al 6° le dimensioni che mi trovo sono (in ordine): 2 2 2 2;
All'8°: 2 2 1 3;
9°: 3 2 2 3;


:oops: hai ragione...per il 6° e l'8° ho gaussizzato malissimo...:cry: correggo la tabella in rev01

per il 9° invece riconfermo 3 2 1 4...se prendi la matrice dei primi 4 vettori il rango è 4 :D
GIMUSI

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Re: Sottospazi vettoriali 3

#14 Messaggioda e.rapuano » sabato 28 dicembre 2013, 9:19

ok, corretto! :D

matt_93
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Re: Sottospazi vettoriali 3

#15 Messaggioda matt_93 » giovedì 23 gennaio 2014, 18:47

ho un dubbio:
nell'esercizio 6, non mi torna la base dell'intersezione perchè sicuramente ho sbagliato qualcosa nei calcoli del secondo metodo descirtto dal prof nella lezione 35....posso sapere come viene trattato, passo per passo?
grazie.


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