Esercizi Rette nel Piano 3

Sistemi lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari
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ferdinando
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Esercizi Rette nel Piano 3

#1 Messaggioda ferdinando » giovedì 10 ottobre 2013, 10:48

Qualcuno che ha fatto gli esercizi di rette nel piano 3, potrebbe postare le soluzioni e il procedimento con cui ha risolto uno degli esercizi ?
Grazie in anticipo

Alessio
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Re: Esercizi Rette nel Piano 3

#2 Messaggioda Alessio » domenica 13 ottobre 2013, 12:16

Uso come esempio la prima retta e il primo punto dell'esercizio.
y = 2x (Xo;Yo) = (1;1)

Per essere parallele due rette devono avere lo stesso coefficiente angolare quindi m1 = m2
y = mx + n y = 2x + n
Poi devi imporre alla retta di passare per (1;1) quindi sostituisci (1;1) a (x;y)
y = 2x +n 1 = 2*1 + n
Ricavi n
n = -1
Quindi la retta parallela a y = 2x e passante per (1;1) è
y = 2x - 1

Per essere perpendicolari due rette i loro coefficienti angolari devono rispettare la seguente relazione
m2 = - 1/m1
Quindi
y = m2*x + n y = -1/2 + n
Poi devi imporre alla retta di passare per (1;1) quindi sostituisci (1;1) a (x;y)
y = -1/2*x +n 1 = -1/2*1 + n
Ricavi n
n = 3/2
Quindi la retta perpendicolare a y = 2x e passante per (1;1) è
y = -1/2*x + 3/2

Per la retta perpendicolare a y = 2x e passante per l'Orgine (0;0) devi ripetere gli stessi passaggi
eseguiti per la retta perpendicolare e passante per (1;1) , ma stavolta devi imporre alla retta di passare per (0;0)

Se qualcosa non ti è chiaro oppure noti qualcosa di sbagliato nel mio metodo di risoluzione puoi consultare la seguente pagina
http://users.dma.unipi.it/~gobbino/Tablet/Precorsi/PCM08/PCM08_08-1.pdf

Spero di esserti stato di aiuto.
Ti sarei molto grato se mi spiegassi come svolgere la seconda parte gli esercizi Rette nel piano 1.

Grazie ancora, Alessio.

ferdinando
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Re: Esercizi Rette nel Piano 3

#3 Messaggioda ferdinando » lunedì 14 ottobre 2013, 9:53

Ciao grazie della risposta.
ti spiego come trovo i parametri della retta utilizzando un esempio.
la retta cartesiana è x-y+3 e la parametrica è (a+bt,2-5t).
riporto la parametrica alla seguente forma (a;2)+t(b;-5) : il punto (a;2) passa per la retta indicata quindi inserisco il punto nella cartesiana : (a)-(2)+3=0 ---- a = -1. Poi so che il coefficente della retta cartesiana (m=1) non è altro che -5/b ( che non è altro che la tengente del vettore se non sbaglio) quindi scrivo (-5/b)=1 e b = -5
spero di esserti stato d'aiuto

e.rapuano
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Re: Esercizi Rette nel Piano 3

#4 Messaggioda e.rapuano » domenica 20 ottobre 2013, 17:10

Io ho trovato più difficili gli esercizi della seconda parte di "rette nel piano 3"...
per trovare le rette che formano angolo "theta" col semiasse positivo delle x o con la retta data, faccio bene a ragionare semplicemente sui vettori velocità e poi porre la condizione di passaggio per (x0,y0)? i conti sembrano tornare, ma i risultati sono un pò brutti... :?
c'è qualcuno di voi che ha fatto questi esercizi affinchè confrontiamo i risultati?
per esempio...al secondo esercizio di questa seconda parte...ho la retta x+2y=7 e il punto (x0=1,y0=0) e theta=45°.
mi escono r1: y=x+1
r2: y=(3/(2+sqrt13))*(x-1)
sqrt è la radice quadrata...scusate le tante parentesi ma avevo detto che era brutto! XD

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Massimo Gobbino
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Re: Esercizi Rette nel Piano 3

#5 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 20 ottobre 2013, 18:20

e.rapuano ha scritto:Io ho trovato più difficili gli esercizi della seconda parte di "rette nel piano 3"...

ed in effetti lo sono: in fondo è l'ultimo esercizio sulle rette.

e.rapuano ha scritto:per trovare le rette che formano angolo "theta" col semiasse positivo delle x o con la retta data, faccio bene a ragionare semplicemente sui vettori velocità e poi porre la condizione di passaggio per (x0,y0)? i conti sembrano tornare, ma i risultati sono un pò brutti... :?

Quando si tratta di angoli, i risultati in qualche modo contengono seni e coseni di quegli angoli, quindi qualche radice è inevitabile.

e.rapuano ha scritto:al secondo esercizio di questa seconda parte...ho la retta x+2y=7 e il punto (x0=1,y0=0) e theta=45°.
mi escono r1: y=x+1

Uhm, non passa per il punto ...

e.rapuano ha scritto:r2: y=(3/(2+sqrt13))*(x-1)
sqrt è la radice quadrata...scusate le tante parentesi ma avevo detto che era brutto! XD

Le rette che passano per (1,0) e formano un angolo di 45 gradi con la retta data sono due ... per questo si richiede r2 ed r3.

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Re: Esercizi Rette nel Piano 3

#6 Messaggioda e.rapuano » mercoledì 23 ottobre 2013, 14:24

si, in effetti r1 dovrebbe essere y=x-1...
r3 esce simile a r2 ma con un "meno" al posto di un "più...ma è comunque un risultato accettabile?

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Re: Esercizi Rette nel Piano 3

#7 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 24 ottobre 2013, 13:36

Uhm, un possibile vettore velocità per la retta data è v_1=(-2,1).

Un possibile vettore velocità per la tua r2 è v_2=\left(1,\frac{3}{2+\sqrt{13}}\right).

Ora, se tu avessi ragione, il coseno dell'angolo compreso tra i due vettori, dedotto dalla solita formula per il prodotto scalare

\langle v_1,v_2\rangle=\|v_1\|\cdot\|v_2\|\cdot\cos\theta

dovrebbe venire \frac{\sqrt{2}}{2}. Ora io non sono stato a fare i calcoli, ma mi sembra strano che quella radice di 13 se ne vada magicamente.

Btw, a me le rette r2 ed r3 vengono y=-3x+3 e y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3} :D :D Per vedere se ho ragione prova a calcolare quale angolo formano con la retta data.

[Edit: corretto dopo la segnalazione di Roland]

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Re: Esercizi Rette nel Piano 3

#8 Messaggioda Angelica27 » giovedì 24 ottobre 2013, 15:59

Mi perdoni professore, ma io proprio non ho capito come svolgere questo esercizio. Riesco a calcolare tranquillamente la retta che forma l'angolo teta col semiasse delle x, ma la seconda parte proprio mi sfugge. Come faccio a trovare le due rette dato l'angolo che formano? :?

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Re: Esercizi Rette nel Piano 3

#9 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 24 ottobre 2013, 16:22

Consideriamo l'esempio dal quale siamo partiti. Ci è stata data una retta che ha come vettore direzione, tra i tanti possibili, il vettore v_1=(-2,1).

Il vettore direzione di r2 ed r3 deve formare un certo angolo con v_1. Siano quindi a e b le componenti dei vettori direzione che stiamo cercando. Si tratta di imporre, usando la solita formula, che

-2a+b=\sqrt{5}\cdot\sqrt{a^2+b^2}\cdot\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)

dove il +- è dovuto al fatto che va bene sia l'angolo di 45 che quello di 135 ...

Si tratta ora di risolvere questa equazione. Facendo i quadrati e raccogliendo un po' di roba si arriva a

3a^2-8ab-3b^2=0

Ora forse conviene ricordare che, in fondo, quello che ci interessa è il coefficiente angolare, cioè m=b/a. Dividendo tutto per a^2 e cambiando segno troviamo quindi

3m^2+8m-3=0

da cui i due possibili valori di m (-3 e 1/3).

[Edit: corretto dopo la segnalazione di Roland]

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Re: Esercizi Rette nel Piano 3

#10 Messaggioda Angelica27 » giovedì 24 ottobre 2013, 17:23

Ma come vettore v1, io prendo quello che ovviamente passa per il punto (x0; y0) che mi viene dato? Per esempio, nel primo esercizio, io prendo il vettore (-1;0)? O ho appena detto una castroneria? :?

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Re: Esercizi Rette nel Piano 3

#11 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 24 ottobre 2013, 17:46

La seconda ... :mrgreen:

Quello che ho chiamato v1 è il vettore direzione (o velocità) della retta data, cioè il vettore v che compare quando si scrive la retta in forma parametrica P_0+tv. Per questo gli esercizi di passaggio da una forma all'altra vengono prima. Sarebbe poi sempre meglio dire "uno dei vettori direzione", perché se un vettore va bene, allora vanno bene anche tutti i suoi multipli.

Nei primi 4 esercizi (della parte che stiamo discutendo), possibili vettori direzione sono (1,-1), (-2,1), (0,1), (1,-2). Chi scrive gli altri 5?

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Re: Esercizi Rette nel Piano 3

#12 Messaggioda Roland » giovedì 24 ottobre 2013, 19:30

Gli altri vettori potrebbero essere : (3,4) (-1,3) (-1,3) (2,-1) (2,1)

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Re: Esercizi Rette nel Piano 3

#13 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 24 ottobre 2013, 22:08

Roland ha scritto:Gli altri vettori potrebbero essere : (3,4) (-1,3) (-1,3) (2,-1) (2,1)


:D :D

Chi scrive le equazioni di r1, r2, r3 nel primo esercizio?

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Re: Esercizi Rette nel Piano 3

#14 Messaggioda Roland » giovedì 24 ottobre 2013, 22:49

Se i conti non mi tradiscono le equazioni sono:
r1: y=x+1
r2: x=-1
r3: y=0

ma nell'esercizio 2 la retta r2 non dovrebbe essere y=-3x+3 ? , anche perche' m' x m = -1 (le rette sono perpendicolari)

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Re: Esercizi Rette nel Piano 3

#15 Messaggioda Massimo Gobbino » venerdì 25 ottobre 2013, 8:02

Roland ha scritto:ma nell'esercizio 2 la retta r2 non dovrebbe essere y=-3x+3 ?


Giustissimo :oops: :oops: ho corretto i post precedenti :D


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