Pagina 1 di 1

Forme quadratiche 2

Inviato: mercoledì 6 febbraio 2019, 16:51
da savfici
Salve a tutti, in riferimento al foglio di esercizi "Forme quadratiche 2", nel secondo esercizio si chiede, dal punto c fino alla fine, di determinare i valori di a per cui la forma quadratica risulti definita positiva/negativa/nulla su un sottospazio di dimensione 1/2.. o sul sottospazio generato da uno o più vettori specifici.

Nel secondo caso, ad esempio al punto h, dove vengono dati i due vettori (1,1,3) e (0,2,1), devo considerare il sottospazio generato dallo span di questi due vettori e dunque posso assegnare ad esempio due parametri t al primo vettore e s al secondo, ricavare le componenti x, y, z come combinazioni lineari dei due parametri ( quindi x=t, y=t+2s z=3t+s ) e sostituirle nell'equazione della forma quadratica per poi rispondere alla richiesta, trovando i valori di a?

Nel primo caso citato sopra, invece, sapendo di dover lavorare con la tecnica del completamento dei quadrati, come posso procedere utilizzando la dimensione del sottospazio richiesto?

Grazie

Re: Forme quadratiche 2

Inviato: domenica 10 febbraio 2019, 10:58
da Massimo Gobbino
Il post è un po' vago ... prova a postare uno svolgimento completo di qualcosa, così ci sarà qualcosa di concreto su cui discutere.

Re: Forme quadratiche 2

Inviato: martedì 12 febbraio 2019, 11:49
da savfici
Come posso procedere a questo punto?

(il riferimento è sempre all'esercizio 2, domanda "h")

Re: Forme quadratiche 2

Inviato: domenica 17 febbraio 2019, 19:25
da savfici
Nessuno?

Re: Forme quadratiche 2

Inviato: lunedì 18 febbraio 2019, 9:36
da gino
Ti conviene calcolare la forma bilineare [math] associata sul sottospazio alla restrizione della forma quadratica [math]. Per cui in pratica posti [math] [math]
Ottieni [math]
[math]
[math]
per cui la matrice associata è [math] che è definita positiva se e solo se (essendo una 2 per 2) traccia e determinante sono positivi e prova a fare gli ultimi conti.

Re: Forme quadratiche 2

Inviato: mercoledì 20 febbraio 2019, 19:14
da savfici
gino ha scritto:Ti conviene calcolare la forma bilineare [math] associata sul sottospazio alla restrizione della forma quadratica [math]. Per cui in pratica posti [math] [math]
Ottieni [math]
[math]
[math]
per cui la matrice associata è [math] che è definita positiva se e solo se (essendo una 2 per 2) traccia e determinante sono positivi e prova a fare gli ultimi conti.


Grazie dell'aiuto! La formula usata nel finale è quella di polarizzazione, giusto? In realtà cercavo un metodo base base (che non utilizzasse le forme bilineari, dato che non le abbiamo affrontate con il Professore), ma a questo punto mi pare di capire che non ci siano via alternative :o

Re: Forme quadratiche 2

Inviato: giovedì 21 febbraio 2019, 9:02
da Massimo Gobbino
@savfici, occhio che la soluzione di gino è la stessa tua, modulo qualche probabile piccolo errore di calcolo! Non c'è sotto nessuna formula o concetto misterioso.

Dopo aver costruito l'espressione in t ed s, basta vedere quando quella è definita positiva, il che si riduce allo studio di una matrice simmetrica 2*2, che è la stessa di gino.

Infatti quello che fa gino è restringere la forma quadratica al sottospazio 2-dim generato dai due vettori, solo che lo fa in maniera più elegante calcolando solo i prodotti scalari tra gli elementi della base. Il conto però fondamentalmente è lo stesso.

Re: Forme quadratiche 2

Inviato: giovedì 21 febbraio 2019, 10:53
da savfici
Sostanzialmente la mia espressione finale (nella foto), sulla quale mi ero bloccato, rappresenta un'altra sorta di forma quadratica in t ed s (invece che in x , y e z ), di cui devo normalmente discutere la segnatura in funzione di a, ad esempio con la matrice associata, ottenendo i conti simili a quelli di Gino..
Corretto o sbaglio ancora?

Re: Forme quadratiche 2

Inviato: giovedì 21 febbraio 2019, 16:09
da Massimo Gobbino
savfici ha scritto:Corretto o sbaglio ancora?

Corretto :D .

Re: Forme quadratiche 2

Inviato: giovedì 21 febbraio 2019, 16:14
da savfici
Grazie :D