Forme quadratiche 2

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savfici
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Forme quadratiche 2

#1 Messaggioda savfici » mercoledì 6 febbraio 2019, 16:51

Salve a tutti, in riferimento al foglio di esercizi "Forme quadratiche 2", nel secondo esercizio si chiede, dal punto c fino alla fine, di determinare i valori di a per cui la forma quadratica risulti definita positiva/negativa/nulla su un sottospazio di dimensione 1/2.. o sul sottospazio generato da uno o più vettori specifici.

Nel secondo caso, ad esempio al punto h, dove vengono dati i due vettori (1,1,3) e (0,2,1), devo considerare il sottospazio generato dallo span di questi due vettori e dunque posso assegnare ad esempio due parametri t al primo vettore e s al secondo, ricavare le componenti x, y, z come combinazioni lineari dei due parametri ( quindi x=t, y=t+2s z=3t+s ) e sostituirle nell'equazione della forma quadratica per poi rispondere alla richiesta, trovando i valori di a?

Nel primo caso citato sopra, invece, sapendo di dover lavorare con la tecnica del completamento dei quadrati, come posso procedere utilizzando la dimensione del sottospazio richiesto?

Grazie

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Re: Forme quadratiche 2

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 10 febbraio 2019, 10:58

Il post è un po' vago ... prova a postare uno svolgimento completo di qualcosa, così ci sarà qualcosa di concreto su cui discutere.

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Re: Forme quadratiche 2

#3 Messaggioda savfici » martedì 12 febbraio 2019, 11:49

Come posso procedere a questo punto?

(il riferimento è sempre all'esercizio 2, domanda "h")
Allegati
IMG_3883[36].jpg
Es 2 forme quadratiche 2, punto h
(3.29 MiB) Mai scaricato

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Re: Forme quadratiche 2

#4 Messaggioda savfici » domenica 17 febbraio 2019, 19:25

Nessuno?

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Re: Forme quadratiche 2

#5 Messaggioda gino » lunedì 18 febbraio 2019, 9:36

Ti conviene calcolare la forma bilineare [math] associata sul sottospazio alla restrizione della forma quadratica [math]. Per cui in pratica posti [math] [math]
Ottieni [math]
[math]
[math]
per cui la matrice associata è [math] che è definita positiva se e solo se (essendo una 2 per 2) traccia e determinante sono positivi e prova a fare gli ultimi conti.

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Re: Forme quadratiche 2

#6 Messaggioda savfici » mercoledì 20 febbraio 2019, 19:14

gino ha scritto:Ti conviene calcolare la forma bilineare [math] associata sul sottospazio alla restrizione della forma quadratica [math]. Per cui in pratica posti [math] [math]
Ottieni [math]
[math]
[math]
per cui la matrice associata è [math] che è definita positiva se e solo se (essendo una 2 per 2) traccia e determinante sono positivi e prova a fare gli ultimi conti.


Grazie dell'aiuto! La formula usata nel finale è quella di polarizzazione, giusto? In realtà cercavo un metodo base base (che non utilizzasse le forme bilineari, dato che non le abbiamo affrontate con il Professore), ma a questo punto mi pare di capire che non ci siano via alternative :o

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Re: Forme quadratiche 2

#7 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 21 febbraio 2019, 9:02

@savfici, occhio che la soluzione di gino è la stessa tua, modulo qualche probabile piccolo errore di calcolo! Non c'è sotto nessuna formula o concetto misterioso.

Dopo aver costruito l'espressione in t ed s, basta vedere quando quella è definita positiva, il che si riduce allo studio di una matrice simmetrica 2*2, che è la stessa di gino.

Infatti quello che fa gino è restringere la forma quadratica al sottospazio 2-dim generato dai due vettori, solo che lo fa in maniera più elegante calcolando solo i prodotti scalari tra gli elementi della base. Il conto però fondamentalmente è lo stesso.

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Re: Forme quadratiche 2

#8 Messaggioda savfici » giovedì 21 febbraio 2019, 10:53

Sostanzialmente la mia espressione finale (nella foto), sulla quale mi ero bloccato, rappresenta un'altra sorta di forma quadratica in t ed s (invece che in x , y e z ), di cui devo normalmente discutere la segnatura in funzione di a, ad esempio con la matrice associata, ottenendo i conti simili a quelli di Gino..
Corretto o sbaglio ancora?

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Re: Forme quadratiche 2

#9 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 21 febbraio 2019, 16:09

savfici ha scritto:Corretto o sbaglio ancora?

Corretto :D .

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Re: Forme quadratiche 2

#10 Messaggioda savfici » giovedì 21 febbraio 2019, 16:14

Grazie :D


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