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Dubbio Sulle Forme Quadratiche

Inviato: mercoledì 16 gennaio 2019, 20:07
da matt_frascarelli
Ciao a tutti! :D

Ho un dubbio su un concetto nelle forme quadratiche.
Sapendo che q(v1) > 0 si può affermare che, applicando la forma a un qualunque vettore dello span(v1), il risultato sarà maggiore di zero perché q(av) = a^2q(v).

Lo stesso vale anche quando ho due vettori?
Ovvero, se q(v1) >0 e q(v2) > 0, posso fare lo stesso ragionamento sullo span(v1,v2)? E con più vettori?

Mi scuso nel caso in cui abbia sbagliato sezione, e vi ringrazio per le risposte :wink:

Re: Dubbio Sulle Forme Quadratiche

Inviato: venerdì 18 gennaio 2019, 12:55
da Massimo Gobbino
Beh, prova con

[math]

Si ha [math], e tuttavia ...

Re: Dubbio Sulle Forme Quadratiche

Inviato: venerdì 18 gennaio 2019, 14:14
da matt_frascarelli
Grazie mille per la risposta!
Comunque credo di aver capito...
Dovrebbe dipendere tutto dalla segnatura, cioè se n+ = 2 esistono infiniti sottospazi di dim <= 2 in cui la forma è definita positiva.
Quindi in questo caso posso trovare due vettori positivi (lin. Ind.) e affermare che il loro span è un sottospazio di dim = 2 in cui la forma è positiva.
Nel caso da lei proposto la forma è indefinita ed è impossibile trovare un sottospazio di dim 2 in cui è definita positiva, perché siamo in R2.

Magari studiando la segnatura e prendendo vettori a “occhio” è possibile, nei casi più semplici, evitare di completare i quadrati per ottenere sottospazi in cui è definita positiva, negativa. Giusto?

Re: Dubbio Sulle Forme Quadratiche

Inviato: venerdì 18 gennaio 2019, 19:20
da Massimo Gobbino
matt_frascarelli ha scritto:Magari studiando la segnatura e prendendo vettori a “occhio” è possibile, nei casi più semplici, evitare di completare i quadrati per ottenere sottospazi in cui è definita positiva, negativa. Giusto?


Sbagliato :D . L'unico caso in cui andando a caso si può rispondere è in dimensione 2 quando la forma è indefinita (basta essere fortunati e trovare a caso un vettore su cui è positiva e uno su cui è negativa).

Se siamo in dimensione 37 e troviamo 10 vettori su cui è positiva e 27 su cui è negativa (anche tutti linearmente indipendenti tra di loro), possiamo dedurre solo che l'indice di positività e di negatività sono almeno uno, ma nulla di più.

Re: Dubbio Sulle Forme Quadratiche

Inviato: venerdì 18 gennaio 2019, 20:04
da matt_frascarelli
Grazie, allora niente furbate... :shock:
Vada per il completamento dei quadrati!