Spazio R^3 e base ortogonale

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maimoneg
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Spazio R^3 e base ortogonale

#1 Messaggioda maimoneg » mercoledì 16 gennaio 2019, 16:01

Domanda agli amici del Forum:

Dati tre vettori v1,v2,v3, a casaccio in uno spazio vettoriale R^3, per trovare una base ortogonale
anzichè usare G-S non è più sbrigativo applicare due volte il teorema misteroso (prodotto vettoriale o interno) ?
Uso (x) come simbolo di prodotto interno.
1) v1 x v2 e si ottiene un vettore perpendicolare al piano formato da v1 e v2 che chiamo v3.
2) si scarta v1 oppure v2 e si ripete il trodotto tra i due rimanenti che già sono perpendicolari:
2) v2 x v3 = v4 e ho finito.
Così facendo i vettori v2, v3 e v4 sono mutuamente perpendicolari.
Penso correttamente se dico che il procedimento può essere ampliato ad uno spazio vettoriale R^n, oppure no?
Cordiali saluti
Giuseppe Maimone

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Massimo Gobbino
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Re: Spazio R^3 e base ortogonale

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 22 gennaio 2019, 13:57

maimoneg ha scritto:Dati tre vettori v1,v2,v3, a casaccio in uno spazio vettoriale R^3, per trovare una base ortogonale
anzichè usare G-S non è più sbrigativo applicare due volte il teorema misteroso (prodotto vettoriale o interno) ?
Uso (x) come simbolo di prodotto interno.
1) v1 x v2 e si ottiene un vettore perpendicolare al piano formato da v1 e v2 che chiamo v3.
2) si scarta v1 oppure v2 e si ripete il prodotto tra i due rimanenti che già sono perpendicolari:
2) v2 x v3 = v4 e ho finito.
Così facendo i vettori v2, v3 e v4 sono mutuamente perpendicolari.


Mi sembra un'ottima ed interessante osservazione :D :D . Da tener presente per il futuro.

Piccola nota: di solito il prodotto "interno" è quello scalare, mentre quello "esterno" è quello vettore. In ogni caso i termini interno ed esterno sono un po' datati e di conseguenza in disuso.

maimoneg ha scritto:Penso correttamente se dico che il procedimento può essere ampliato ad uno spazio vettoriale R^n, oppure no?


Direi che funziona in generale :D .

Lo svantaggio rispetto a GS è che i determinanti diventano pesanti computazionalmente quando la dimensione sale. Un po' come quando si calcola la matrice inversa con la matrice dei cofattori oppure con Gauss-Jordan.


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