Distanza con prodotto scalare non standard

[LucaI]

Ciao a tutti,

mi capita di avere, nello spazio vettoriale
,
sul quale è definito il prodotto scalare
,
due funzioni: e .
Devo calcolare la distanza tra le due funzioni.

Ok, chiamata la distanza tra f(t) e g(t), e chiamato , so che .
Bene, diciamo che una possibilità sarebbe quella di prendere l'integrale e fare direttamente:


Ok, diciamo che un modo un attimino migliore per fare il calcolo è scegliere e come base e calcolarsi la matrice B associata al prodotto scalare.

Per la cronaca:

Gli integrali in questo caso sono un momento più maneggevoli, ma non di tanto e allora mi chiedevo (e perdonatemi se sto scrivendo una fesseria gigantesca):

non è che per caso la meravigliosa matrice B esiste un modo (la vogliamo chiamare magia?) per calcolarla più rapidamente?
Se ad esempio ho la matrice è, se non ho calcolato male,
Tutto questo ha per caso a che fare con la trasformata di Fourier alla quale mi pare abbia fatto accenno il prof. Gobbino in qualche video lezione?

Sorry per il lungo post e per le inevitabili bestialità che avrò scritto.

Ciao, L-

[LucaI]

Gli zeri sono dovuti al fatto che e sono tra loro ortogonali.
Il perché lo siano e come si dimostri mi è oscuro...

[LucaI]

Fermo restando che a questo punto sono più i dubbi delle certezze, ho trovato una spiegazione (che non ho ancora fatto in tempo a leggere per intero) su "Matematica per l'ingegneria dell'informazione" di G.C.Barozzi, che, se non ho capito male, dice che nello spazio di dimensione N delle funzioni continue (e non ho approfondito quante volte integrabili, presumo infinitamente) una base ortogonale è costituita dalla N + 1 funzioni così fatte: 1/2, cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x), …, cos(Nx), sin(Nx).
Tra loro sono ortogonali (presenta la dimostrazione) e l'integrale .

Ovviamente nel caso sopra avevo l'intervallo e conseguente dimezzamento del valore dell'integrale.

Mi permangono dubbi in generale che forse la lettura del capitolo aiuterà a dissipare.

L-

[Massimo Gobbino]

Gli zeri sono dovuti al fatto che e sono tra loro ortogonali.
Il perché lo siano e come si dimostri mi è oscuro...

Questo è un facile esercizio di analisi 1 che si fa tutti gli anni. Un qualunque prodotto di seni e/o coseni si può sempre trasformare in una somma mediante le opportune formule trigonometriche che, guarda caso, si chiamano internazionalmente product to sum. A quel punto l'integrale di un prodotto, oggetto strano, diventa l'integrale di una somma, che si sa fare facilmente e tende a venire nullo quando si ha a che fare con funzioni trigonometriche integrate su un periodo ...

[Massimo Gobbino]

Tutto questo ha per caso a che fare con la trasformata di Fourier alla quale mi pare abbia fatto accenno il prof. Gobbino in qualche video lezione?

Tutto questo è la serie di Fourier in versione edulcorata, cioè finito dimensionale. La serie di Fourier altro non è che una base ortonormale in dimensione infinita, ed è costituita dagli autovettori di un'applicazione lineare simmetrica in dimensione infinita (c'è sotto un mega teorema spettrale). Maggiori dettagli si trovano nella seconda parte del corso SSSUP 2013/2014.

[LucaI]

Grazie professore.

[Massimo Gobbino]

nello spazio di dimensione N delle funzioni continue (e non ho approfondito quante volte integrabili, presumo infinitamente) una base ortogonale è costituita dalla N + 1 funzioni così fatte: 1/2, cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x), …, cos(Nx), sin(Nx).

Per essere precisi ... lo spazio delle funzioni continue è di dimensione infinita ... e poi bisogna precisare definite dove ...

Quello che è vero è che le N+1 funzioni che hai scritto generano un sottospazio di dimensione N+1 dello spazio delle funzioni continue in , e sono una base ortogonale del sottospazio stesso.

[LucaI]

Grazie professore, leggo solo oggi la risposta ed in effetti mi raccapriccio da solo per parecchie delle cose che ho scritto!