Area parallelogramma in R4

Sistemi lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari
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LucaI
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Area parallelogramma in R4

#1 Messaggioda LucaI » giovedì 5 giugno 2014, 13:07

Buongiorno a tutti,

sono un "collega infiltrato" di informatica, studente lavoratore e utilizzatore a distanza delle videolezioni.
Mi chiedevo se qualcuno poteva venirmi in aiuto con il seguente esercizio:

Calcolare l'area del parallelogramma di lati i vettori (1,1,1,0) e (1,1,1,1).
(la risposta è \sqrt{5})

A prima vista mi sembrava semplice e invece chissà perché non mi viene.

Dunque, ho proceduto così:

1 - anche se mi piacerebbe, non posso usare |v_1 \times v_2  | = |v_1| |v_2| sin\alpha perché ho 2 vettori in \mathbb{R}^4 (o almeno, se si può, io non ho capito come)
2 - calcolo |v_1| = \sqrt{3}
3 - calcolo |v_2| = \sqrt{4}
4 - area = |v_1||v_2|sin \alpha = \sqrt{3}\sqrt{4}sin\alpha
5 - sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha
6 - cos\alpha = \frac{<v_1, v_2>}{|v_1||v_2|} = \frac{3}{\sqrt{3}\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}
7 - ora so che sin\alpha=\sqrt{\ - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}
8 - area = \sqrt{3}\sqrt{4}\frac{1}{2}=\sqrt{3}

Insomma, gira gira mi viene \sqrt{3} invece di \sqrt{5} e non riesco a capirne il motivo.
Qualcuno vede l'orrore?

Thx, L-

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GIMUSI
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Re: Area parallelogramma in R4

#2 Messaggioda GIMUSI » giovedì 5 giugno 2014, 14:59

il tuo risultato mi pare corretto...

un altro modo di vederlo è calcolare con GS la componente di v_1 ortogonale a v_2

v_1_o_r_t = (1,1,1,0)-3/4(1,1,1,1)=(1/4,1/4,1/4,-3/4)

e poi calcolare l'area

area = |v_1_o_r_t|*|v_2|=\sqrt12/16*2=\sqrt3
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Re: Area parallelogramma in R4

#3 Messaggioda LucaI » giovedì 5 giugno 2014, 16:01

Boh, l'ho trovato in un tema d'esame… ci può anche stare che sia sbagliato il correttore e che il pdf non sia mai stato aggiornato.
P.S.: grazie!


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