Prodotti scalari - Esercizi teorici 2

[GIMUSI]

mi trovo in grande difficoltà con l'esercizio n.4 del test n.47 "Prodotti scalari - Esercizi teorici 2"

non riesco a capire come sia possibile che, in generale, due prodotti scalari definiti positivi ammettano una stessa base ortonormale

[Massimo Gobbino]

Inizia a pensare al caso in cui uno dei 2 è il prodotto scalare canonico ...

[GIMUSI]

cerco di spiegare qual è la difficoltà che incontro nella costruzione di una base ortonormale comune ai due prodotti scalari definiti positivi

supponiamo che le matrici associate ai due prodotti scalari definiti positivi siano: e (è sempre possibile ricondursi a questo caso)

ci proponiamo costruire una base ortonormale rispetto ad entrambi i prodotti scalari

sia il primo vettore della base, in generale risulterà:





affinché sia normalizzabile rispetto ai due prodotti scalari deve risultare:



e quindi:





cioè deve essere isotropo rispetto al prodotto scalare con matrice associata ...e questo non è possibile in generale

[Massimo Gobbino]

Ops, mi cospargo il capo di cenere

Ortonormale per tutti e 2 è una richiesta irricevibile (basta pensare a I e 2I ).

Intendevo dire ortogonale. Sorry, ma l'età gioca brutti scherzi

[GIMUSI]

dopo i svariati tentativi stavo per perdere le speranze...meglio così

il fatto strano sarebbe stato se l'avessi trovata...mi davano la medaglia fields

PS

quindi se fosse indefinita una sua base isotropa servirebbe allo scopo?

[GIMUSI]

allego le soluzioni con svolgimento del test n.47 “Prodotti scalari - Esercizi teorici 2”

[GIMUSI]

quindi se fosse indefinita una sua base isotropa servirebbe allo scopo?

ovviamente ho detto una sciocchezza...anche se fosse indefinita una sua base isotropa renderebbe uguali solo le diagonali di e

[Massimo Gobbino]

anche se fosse indefinita una sua base isotropa renderebbe uguali solo le diagonali di e

Certo, ed il problema non è di rendere uguali le diagonali, ma nullo contemporaneamente il resto. Tra l'altro, rendere uguali le diagonali è facile, nel senso che ci sono tantissimi gradi di libertà nella scelta delle basi che lo fanno, mentre rendere contemporaneamente nullo il resto è qualcosa che si può fare, tranne casi speciali (autovalori con molteplicità maggiore di 1), in modo sostanzialmente unico.

[Balengs]

Eccomi di nuovo...
mi sono avventurato in questa parte degli esercizi e sono arrivato fino al punto 4 (diagonalizzazione simultanea).
E quindi mi perdo quando



non mi è per nulla evidente perchè dovrebbe ancora essere simmetrica dopo il cambio di base fatto tramite gli autovettori ortonormali di A.
E' possibile avere una spiegazione? Sono completamente fuori strada...

Update: al punto 5a) mi sembra di procedere in maniera diversa rispetto alle soluzioni e vorrei essere sicuro quindi di non sbagliare. Per determinare che esiste una matrice simmetrica tale che ho fatto così:

ho "invocato" il teorema spettrale dicendo che sia A sia B essendo simmetriche possono essere diagonalizzate tramite matrice ortogonale di autovettori
quindi ho ragionato nel seguente modo:



(dato che sono simili hanno la stessa forma canonica)

quindi





Va bene come ragionamento oppure ho sballato? Mi sembrava simile a quanto visto nelle lezioni

[Massimo Gobbino]

Uhm, di quello che scrivi sul (5a) non mi torna nulla . In particolare non è vero che A e B sono simili. L'esercizio chiede di dimostrare che per ogni A simmetrica esiste almeno una B simmetrica la cui potenza 2013-esima è proprio A. In questo caso devi, in poche parole, dire come costruire B a partire da A. Avrai capito la cosa quando ti sarà chiara questa procedura, e saprai applicarla in casi concreti, ad esempio scrivendo una matrice 2*2 simmetrica a caso e trovando la B corrispondente. Per allenamento, puoi iniziare considerando la potenza terza invece di 2013-esima.

Anche sul 4 vale lo stesso approccio. Prendi 2 prodotti scalari definiti positivi a caso (ce ne sono tanti negli esercizi precedenti), e prova a trovare una base che sia ortogonale per entrambi.

E, soprattutto, lavora sugli esercizi a 5 stelle quando ti sono estremamente chiari quelli a 3 stelle.

[Balengs]

Grazie della risposta professore.
Proverò a rivedermi gli esercizi precedenti per capire cosa non mi è chiaro