Isometrie dello spazio 1

Sistemi lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari
Messaggio
Autore
AntiLover
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 34
Iscritto il: giovedì 12 dicembre 2013, 18:33

Isometrie dello spazio 1

#1 Messaggioda AntiLover » martedì 11 febbraio 2014, 11:51

Quando faccio la simmetria rispetto al piano xy , usando il metodo delle basi, quale sarebbe la matrice di simmetria?

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1118
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Isometrie dello spazio 1

#2 Messaggioda GIMUSI » martedì 11 febbraio 2014, 14:13

AntiLover ha scritto:Quando faccio la simmetria rispetto al piano xy , usando il metodo delle basi, quale sarebbe la matrice di simmetria?


visto che x e y vanno in se stessi e z va in -z la matrice di simmetria è evidentemente:

\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & -1
 \end{pmatrix}

mi pare che in questo caso operare con il cambio di basi significhi calcolare:

\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 1
 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & -1
 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 1
 \end{pmatrix}
GIMUSI

AntiLover
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 34
Iscritto il: giovedì 12 dicembre 2013, 18:33

Re: Isometrie dello spazio 1

#3 Messaggioda AntiLover » martedì 11 febbraio 2014, 15:02

non mi è chiaro perché z va in -z :?

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1118
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Isometrie dello spazio 1

#4 Messaggioda GIMUSI » martedì 11 febbraio 2014, 15:11

AntiLover ha scritto:non mi è chiaro perché z va in -z :?


puoi vederla così...il piano xy è fisso (per definizione) quindi le prime due colonne sono determinate...trattandosi di una isometria per z hai due sole possibilità:

- (0,0,1) avresti l'identità

- (0,0,-1) che è appunto la simmetria
GIMUSI

AntiLover
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 34
Iscritto il: giovedì 12 dicembre 2013, 18:33

Re: Isometrie dello spazio 1

#5 Messaggioda AntiLover » martedì 11 febbraio 2014, 15:21

giusto! e quindi una volta fatto il prodotto, userò la matrice che ho trovato come matrice di simmetria negli altri punti? :? ps: queste isometrie mi stanno proprio antipatiche!

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1118
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Isometrie dello spazio 1

#6 Messaggioda GIMUSI » martedì 11 febbraio 2014, 18:56

AntiLover ha scritto:giusto! e quindi una volta fatto il prodotto, userò la matrice che ho trovato come matrice di simmetria negli altri punti? :? ps: queste isometrie mi stanno proprio antipatiche!


sono bellissime le isometrie :)
GIMUSI

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1118
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Isometrie dello spazio 1

#7 Messaggioda GIMUSI » martedì 11 febbraio 2014, 23:40

allego le soluzioni :?: con svolgimento :?: del test n.52 “Isometrie dello spazio 1”
Allegati
AL_Esercizi - Test 52 - ISOMETRIE DELLO SPAZIO 01.pdf
(1.63 MiB) Scaricato 169 volte
GIMUSI

AntiLover
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 34
Iscritto il: giovedì 12 dicembre 2013, 18:33

Re: Isometrie dello spazio 1

#8 Messaggioda AntiLover » martedì 11 febbraio 2014, 23:56

Scusami GIMUSI, io nel primo esercizio al punto (c) ho scritto il punto generico del piano come (3s, -2s-5t-7, 3t) ricavando la y e scrivendo tutto in funzione delle variabili x=s e z=t. Va bene anche in questo modo? Solo che svolgendo i calcoli non mi trovo con -21, ma con -7.

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1118
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Isometrie dello spazio 1

#9 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 12 febbraio 2014, 0:35

mi pare che l'equazione parametrica del piano sia

(3s, -2s-5t-7/3, 3t)

non credo però che sia un metodo conveniente...un modo alternativo comodo per le isometrie più semplici dei piani è sostituire x, y e z con i valori traslati:

x = x^* - 3

y = y^* + 1

z= z^* - 5

personalmente anche per i casi più complessi ho preferito utilizzare i trasformati di n e di un punto P appartenente al piano
GIMUSI

Angelica27
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 27
Iscritto il: giovedì 24 ottobre 2013, 15:54

Re: Isometrie dello spazio 1

#10 Messaggioda Angelica27 » mercoledì 12 febbraio 2014, 10:20

Svolgendo i calcoli con il tuo metodo, non mi ritrovo nel primo esercizio al punto c con il valore del termine noto. A me esce d = -19.

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1118
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Isometrie dello spazio 1

#11 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 12 febbraio 2014, 10:25

Angelica27 ha scritto:Svolgendo i calcoli con il tuo metodo, non mi ritrovo nel primo esercizio al punto c con il valore del termine noto. A me esce d = -19.


se lo svolgi con il semplice metodo che ho indicato sopra si ottiene:

2(x-3)+3(y+1)+5(z-5)+7=0

da cui:

2x+3y+5z-6+3-25+7=0

2x+3y+5z-21=0
GIMUSI

Angelica27
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 27
Iscritto il: giovedì 24 ottobre 2013, 15:54

Re: Isometrie dello spazio 1

#12 Messaggioda Angelica27 » mercoledì 12 febbraio 2014, 10:29

Prendendo un punto a caso appartenente al piano (ad es. P = (-1, 0, 1) e sommandolo al vettore di traslazione, ottengo il punto P' = (2, -1, -4). Se questo punto vado a sostituirlo nella generica equazione del piano (ax + by + cz + d = 0), ottengo d = - 19. Sarebbe giusto come procedimento? :roll:

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1118
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Isometrie dello spazio 1

#13 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 12 febbraio 2014, 10:32

Angelica27 ha scritto:Prendendo un punto a caso appartenente al piano (ad es. P = (-1, 0, 1) e sommandolo al vettore di traslazione, ottengo il punto P' = (2, -1, -4). Se questo punto vado a sostituirlo nella generica equazione del piano (ax + by + cz + d = 0), ottengo d = - 19. Sarebbe giusto come procedimento? :roll:


mi pare che sia P'= (2, -1, +4)
GIMUSI

Angelica27
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 27
Iscritto il: giovedì 24 ottobre 2013, 15:54

Re: Isometrie dello spazio 1

#14 Messaggioda Angelica27 » mercoledì 12 febbraio 2014, 10:48

Perdonami, ho visto un segno per un altro! :roll:


Torna a “Algebra Lineare”

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite