Applicazione lineare

Sistemi lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari
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GiacoMiche
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Applicazione lineare

#1 Messaggioda GiacoMiche » lunedì 13 gennaio 2014, 10:28

Se ho una applicazione lineare da R3--->R4 so già che non può essere surgettiva...ma se prendo come esempio f : r3--->r4 (x1,x2,x3, x2 per x3) e applico questa funzione alla base canonica r3 trovo 3 vettori linearmente indipendenti (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)....se ora trovo un vettore r3 che va in r4 e questo ultimo vettore è linearmente indipendente con i 3 appena detti ho dimostrato che r3--->r4 è surgettiva.....prendo (0,1,1) che va in (0,1,1,1) che è linearmente indipendente con i tre vettori in r4.....O sbaglio qualcosa da qualche parte o l'applicazione non è lineare....non capisco proprio se c'è un problema di fondo e se si quale...Aspetto aiuti!Grazie!

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Re: Applicazione lineare

#2 Messaggioda GIMUSI » lunedì 13 gennaio 2014, 10:53

GiacoMiche ha scritto:Se ho una applicazione lineare da R3--->R4 so già che non può essere surgettiva...ma se prendo come esempio f : r3--->r4 (x1,x2,x3, x2 per x3) e applico questa funzione alla base canonica r3 trovo 3 vettori linearmente indipendenti (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)....se ora trovo un vettore r3 che va in r4 e questo ultimo vettore è linearmente indipendente con i 3 appena detti ho dimostrato che r3--->r4 è surgettiva.....prendo (0,1,1) che va in (0,1,1,1) che è linearmente indipendente con i tre vettori in r4.....O sbaglio qualcosa da qualche parte o l'applicazione non è lineare....non capisco proprio se c'è un problema di fondo e se si quale...Aspetto aiuti!Grazie!


di sicuro l'applicazione non è lineare :shock:
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Re: Applicazione lineare

#3 Messaggioda GiacoMiche » lunedì 13 gennaio 2014, 11:52

Eh infatti l'unica spiegazione plausibile...Comunque ora che ho capito l'errore,puoi dirmi anche se i restanti ragionamenti erano corretti? :P

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Re: Applicazione lineare

#4 Messaggioda GIMUSI » lunedì 13 gennaio 2014, 12:01

GiacoMiche ha scritto:Eh infatti l'unica spiegazione plausibile...Comunque ora che ho capito l'errore,puoi dirmi anche se i restanti ragionamenti erano corretti? :P


se l'applicazione non è lineare non credo abbia proprio senso parlare di vettori linearmente indipendenti o di basi allo scopo di mostrarne la surgettività... :)

magari puoi costruire vettori immagine che sono una base di R^4 come nel tuo esempio...ma non credo che questo garantisca che la f non lineare sia surgettiva...

ad esempio mi pare sia impossibile per la f indicata andare in (0,0,0,1) o in (0,1,0,1)
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Re: Applicazione lineare

#5 Messaggioda 13700 » lunedì 13 gennaio 2014, 16:05

GiacoMiche ha scritto:Se ho una applicazione lineare da R3--->R4 so già che non può essere surgettiva...ma se prendo come esempio f : r3--->r4 (x1,x2,x3, x2 per x3)


Mi sa che se la tua funzione prevede di moltiplicare tra loro le variabili o elevarle a potenza (o di fare cose peggiori tipo esponenziali, seni, logaritmi...) , non è lineare.

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Re: Applicazione lineare

#6 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 13 gennaio 2014, 16:55

Già, prova nel tuo esempio a calcolare f(0,1,1) e f(0,2,2). Se f fosse lineare la seconda dovrebbe essere il doppio della prima, e invece ...

Quanto poi a stabilire se una funzione (non lineare) da R^3 in R^4 è surgettiva o meno, quello è un problema tutt'altro che banale in generale. Qualcosa si potrebbe arrivare a dire in un corso di Analisi 2 (ad esempio che se è differenziabile ci sono le stesse "ostruzioni dimensionali" ad iniettività e surgettività del caso lineare), ma nel corso che faremo al secondo semestre (di sole 60 ore) non ci arriveremo di certo.


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