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Domanda Autovettori/Autospazi

Inviato: venerdì 3 gennaio 2014, 16:49
da DaroB94
Ho una domanda che mi stava turbando 5 minuti fa...

Parlando d'autovalori, autospazi... com'è possibile che un Autospazio abbia dimensione maggiore di 1?
So che l'autospazio è lo spazio generato dall'autovettore relativo a un autovalore, ma esso è un solo vettore.
Tuttavia so che la molteplicità geometrica può benissimo essere maggiore di 1 e che si calcola con

Mg= dim(ker(Matrice - Autovalore*Identità))

Non capisco come un vettore possa produrre uno spazio a due o più dimensioni, quando so che un piano ad esempio si origina dalla combinazione lineare di due vettori.

Cos'è che m'è sfuggito?

Re: Domanda Autovettori/Autospazi

Inviato: venerdì 3 gennaio 2014, 16:54
da GIMUSI
DaroB94 ha scritto:Ho una domanda che mi stava turbando 5 minuti fa...

Parlando d'autovalori, autospazi... com'è possibile che un Autospazio abbia dimensione maggiore di 1?
So che l'autospazio è lo spazio generato dall'autovettore relativo a un autovalore, ma esso è un solo vettore.
Tuttavia so che la molteplicità geometrica può benissimo essere maggiore di 1 e che si calcola con

Mg= dim(ker(Matrice - Autovalore*Identità))

Non capisco come un vettore possa produrre uno spazio a due o più dimensioni, quando so che un piano ad esempio si origina dalla combinazione lineare di due vettori.

Cos'è che m'è sfuggito?


ma a un autovalore possono corrispondere più autovettori (è necessario che sia MA>1)

pensa alla matrice identità nxn...ha un unico autovalore (con MA=n) e un autospazio di dimensione n (MG=n)

Re: Domanda Autovettori/Autospazi

Inviato: venerdì 3 gennaio 2014, 17:12
da DaroB94
Giusto, nel caso dell'identità ad esempio qualunque vettore è un autovettore e e l'autospazio è lo spazio di partenza. Grazie!

Re: Domanda Autovettori/Autospazi

Inviato: venerdì 3 gennaio 2014, 17:40
da GIMUSI
GIMUSI ha scritto:ma a un autovalore possono corrispondere più autovettori (è necessario che sia se MA>1)


parlare di "più autovettori" non ha molto senso visto che se esistono sono sempre infiniti (a meno che non si intendano normalizzati e con segno definito :?: )

detto meglio...visto che 1\leq MG\leq MA...a un autovalore con MA>1 possono corrispondere autospazi di dimensione maggiore di 1 (ma in ogni caso \leq MA)

Re: Domanda Autovettori/Autospazi

Inviato: sabato 11 gennaio 2014, 19:04
da nomeutente
Domanda: Ma se ho, ad esempio, una matrice con 2 autovalori uguali che però hanno molt. algebrica = molt.geometrica la posso diagonalizzare comunque? cioè con blocchi di Jordan da 1 o i due uguali mi daranno comunque un blocco da 2 con l'1 a destra?

Re: Domanda Autovettori/Autospazi

Inviato: domenica 12 gennaio 2014, 11:13
da GIMUSI
nomeutente ha scritto:Domanda: Ma se ho, ad esempio, una matrice con 2 autovalori uguali che però hanno molt. algebrica = molt.geometrica la posso diagonalizzare comunque? cioè con blocchi di Jordan da 1 o i due uguali mi daranno comunque un blocco da 2 con l'1 a destra?


In generale io l'ho capita così (lez. 37-44):

1 - Teoremi vari: una matrice qualsiasi (n*n a coeff. reali o complessi) è diagonalizzabile se e solo se per ogni autovalore \lambda risulta MG(\lambda)=MA(\lambda) (si dimostra infatti che questo garantisce l'esistenza di una base di autovettori); caso particolare: se gli autovalori sono tutti distinti per ogni \lambda risulta MG(\lambda)=MA(\lambda)=1; caso ultraparticolare (teorema spettrale): una matrice reale simmetrica si diagonalizza mediante una base ortonormale.

2 - Teorema forma di jordan in C: una matrice qualsiasi (n*n a coeff. reali o complessi) è sempre jordanizzabile; ad ogni autovalore \lambda corrispondono MG(\lambda) blocchi di jordan tali che la somma delle dimensioni dei blocchi risulti pari a MA(\lambda) (il caso della diagonalizzazione può essere considerato un caso particolare di jordanizzazione con tutti i blocchi di dimensione 1*1).

3 - Teorema forma di jordan reale: ogni matrice reale si può portare nella forma di jordan reale; in generale una matrice n*n a coeff. reali si jordanizza in C; se esistono autovalori complessi questi si presentano a coppie coniugate (la traccia = somma dei \lambda è un numero reale) allora i rispettivi 2 blocchi k*k si possono "sostituire" con un unico blocco a coefficienti reali 2k*2k fatto di k blocchetti 2x2 sulla diagonale con accanto ("sopra") k-1 blocchetti di I_2_*_2.

Re: Domanda Autovettori/Autospazi

Inviato: domenica 12 gennaio 2014, 11:34
da nomeutente
Ok. Ora però metti caso che un autovalore abbia mg = ma = 2. Saranno due blocchi da 1 dello stesso autovalore?

Re: Domanda Autovettori/Autospazi

Inviato: domenica 12 gennaio 2014, 11:41
da GIMUSI
nomeutente ha scritto:Ok. Ora però metti caso che un autovalore abbia mg = ma = 2. Saranno due blocchi da 1 dello stesso autovalore?


certo che sì...è un autovalore buono con il suo bel autospazio...e se fosse MA=4 con MG=2?

Re: Domanda Autovettori/Autospazi

Inviato: lunedì 13 gennaio 2014, 10:03
da nomeutente
Direi due blocchi da 2

Re: Domanda Autovettori/Autospazi

Inviato: lunedì 13 gennaio 2014, 10:46
da GIMUSI
nomeutente ha scritto:Direi due blocchi da 2


e perché escludere il caso di un blocco da 1 e uno da 3?

Re: Domanda Autovettori/Autospazi

Inviato: lunedì 13 gennaio 2014, 11:20
da nomeutente
Mmm dimmelo tu :D

Re: Domanda Autovettori/Autospazi

Inviato: lunedì 13 gennaio 2014, 11:42
da GIMUSI
nomeutente ha scritto:Mmm dimmelo tu :D


si deve guardare la molteplicità dell'autovalore nel polinomio minimo...se è 3 ci sono un blocco da tre e uno da uno...se è 2 ci sono due blocchi da due :)

Re: Domanda Autovettori/Autospazi

Inviato: lunedì 13 gennaio 2014, 11:44
da nomeutente
Avevo pensato anch'io al polinomio minimo anche perché su Wikipedia c'è un esempio :D
Grazie comunque

Re: Domanda Autovettori/Autospazi

Inviato: lunedì 13 gennaio 2014, 11:47
da nomeutente
Scusami ma ho un'altra domanda: per la base che mi da Jordan(matrice M), che faccio?
Intendo sempre con più autovalori coincidenti

Re: Domanda Autovettori/Autospazi

Inviato: lunedì 13 gennaio 2014, 11:48
da GIMUSI
nomeutente ha scritto:Avevo pensato anch'io al polinomio minimo anche perché su Wikipedia c'è un esempio :D
Grazie comunque


ma non vale guardare wikipedia :cry: