Cambi di base 3

Sistemi lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari
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Cambi di base 3

#1 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 1 gennaio 2014, 10:51

allego le soluzioni :?: del test 35 "Cambi di base 3"
Allegati
AL_Esercizi - Test 35 - CAMBI DI BASE 03.pdf
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Re: Cambi di base 3

#2 Messaggioda alex994 » giovedì 23 gennaio 2014, 11:53

scusa GIMUSI ma la soluzione del secondo esercizio, colonna di destra mi viene
0 2 0
0 0 1
2 1 0

Per arrivare a questo risultato ho adottato un metodo credo "bovino", ovvero :
ho scritto la matrice N con le basi in arrivo, usando come vettori
v1=(1,0,0), v2=(0,1,0), v3=(0,0,1); poi ho fatto la sua inversa.
dopo di che ho fatto la matrice M con i vettori in arrivo, usando f(v1),f(v2),f(v3).
dopo di ciò ho fatto N^-1*M.

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Re: Cambi di base 3

#3 Messaggioda GIMUSI » giovedì 23 gennaio 2014, 12:16

alex994 ha scritto:scusa GIMUSI ma la soluzione del secondo esercizio, colonna di destra mi viene
0 2 0
0 0 1
2 1 0

Per arrivare a questo risultato ho adottato un metodo credo "bovino", ovvero :
ho scritto la matrice N con le basi in arrivo, usando come vettori
v1=(1,0,0), v2=(0,1,0), v3=(0,0,1); poi ho fatto la sua inversa.
dopo di che ho fatto la matrice M con i vettori in arrivo, usando f(v1),f(v2),f(v3).
dopo di ciò ho fatto N^-1*M.


c'è qualcosa che non mi torna...personalmente l'ho fatto a occhio...col metodo "bovino" procederei nel modo seguente:

il primo passo è determinare la matrice A associata a f nella base (in partenza e arrivo) v_1,v_2,v_3


A=\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 2 & 1 \\
  0 & 0 & 2
 \end{pmatrix}

il secondo passo è definire la matrice di cambio di base M; per l'esercizio cui ti riferisci la nuova base in partenza e arrivo diventa v_2,v_3,v_1...pertanto

M=\begin{pmatrix}
  0 & 0 & 1 \\
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0
 \end{pmatrix}

e la sua inversa è

M^-^1=M^t=\begin{pmatrix}
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 1 \\
  1 & 0 & 0
 \end{pmatrix}

ora M rappresenta il cambio di base dalla nuova alla vecchia quindi la matrice nella nuova base risulta

M^-^1AM=\begin{pmatrix}
  2 & 1 & 0 \\
  0 & 2 & 0 \\
  0 & 0 & 1
 \end{pmatrix}

puoi anche fare una verifica diretta di questo tipo...si sa ad esempio che

f(v_2) = 2v_2

allora nella nuova base, che ha v_2 come primo vettore, la prima colonna della matrice associata deve essere (2,0,0)

e così via per le altre colonne :)
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Re: Cambi di base 3

#4 Messaggioda alex994 » giovedì 23 gennaio 2014, 12:26

si ora mi torna il conto, avevo sbagliato l'inversa nella foga di fare gli esercizi

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Re: Cambi di base 3

#5 Messaggioda GIMUSI » giovedì 23 gennaio 2014, 12:33

alex994 ha scritto:si ora mi torna il conto, avevo sbagliato l'inversa nella foga di fare gli esercizi


ma hai usato lo stesso metodo?

non ho capito nella tua spiegazione precedente cosa sia la matrice N con la quale poi calcoli N^-^1M
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Re: Cambi di base 3

#6 Messaggioda alex994 » giovedì 23 gennaio 2014, 12:42

GIMUSI ha scritto:
alex994 ha scritto:si ora mi torna il conto, avevo sbagliato l'inversa nella foga di fare gli esercizi


ma hai usato lo stesso metodo?

non ho capito nella tua spiegazione precedente cosa sia la matrice N con la quale poi calcoli N^-^1M


la mia matrice N^-1 sarebbe la tua M^-1

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Re: Cambi di base 3

#7 Messaggioda GIMUSI » giovedì 23 gennaio 2014, 13:46

alex994 ha scritto:
GIMUSI ha scritto:
alex994 ha scritto:si ora mi torna il conto, avevo sbagliato l'inversa nella foga di fare gli esercizi


ma hai usato lo stesso metodo?

non ho capito nella tua spiegazione precedente cosa sia la matrice N con la quale poi calcoli N^-^1M


la mia matrice N^-1 sarebbe la tua M^-1


ok...quindi, con i tuoi simboli, la tua M è il prodotto AN

AN=\begin{pmatrix}
  0 & 0 & 1 \\
  2 & 1 & 0 \\
  0 & 2 & 0
 \end{pmatrix}

che rappresenta la matrice associata all'applicazione con base di partenza nuova e arrivo nella vecchia e che moltiplicata a sinistra per

N^-^1=\begin{pmatrix}
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 1 \\
  1 & 0 & 0
 \end{pmatrix}

ti dà la matrice cercata

così è ancora meglio perché si fa un prodotto matriciale in meno :)
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Re: Cambi di base 3

#8 Messaggioda AntiLover » mercoledì 12 febbraio 2014, 23:46

Quando devo determinare le matrici che rappresentano l'applicazione f (mi riferisco quindi all'esercizio che viene dopo la tabella), dovrei fare il procedimento inverso o no? Solo che mi viene difficile farlo. Utilizzando un metodo superbovino mi trovo con alcune matrici, quindi presumo che questo procedimento creato da me non sia per niente lecito!! :( :( :( :( quindi come devo procedere? Grazie

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Re: Cambi di base 3

#9 Messaggioda GIMUSI » giovedì 13 febbraio 2014, 9:42

AntiLover ha scritto:Quando devo determinare le matrici che rappresentano l'applicazione f (mi riferisco quindi all'esercizio che viene dopo la tabella), dovrei fare il procedimento inverso o no? Solo che mi viene difficile farlo. Utilizzando un metodo superbovino mi trovo con alcune matrici, quindi presumo che questo procedimento creato da me non sia per niente lecito!! :( :( :( :( quindi come devo procedere? Grazie


a suo tempo li ho risolti con metodo diretto...e non è detto che le soluzioni siano tutte corrette...mi sono riproposto di verificarlo anche con il metodo matriciale...

credo che si possa procedere nel modo seguente...

se M è la matrice cambio base che ha per colonne le componenti della nuova base rispetto alla vecchia...

effettuare il cambio base in arrivo equivale a moltiplicare la matrice A (in base v_1,v_2,v_3) per la matrice M^-^1

A^*=M^-^1A

quindi

M^-^1=A^*A^-^1

da cui si può ricavare M e quindi le componenti della nuova base rispetto alla vecchia

appena posso provo a rifarlo con questa procedura :)
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