Applicazioni lineari 6

Sistemi lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari
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Applicazioni lineari 6

#1 Messaggioda GIMUSI » martedì 31 dicembre 2013, 11:21

allego le soluzioni :?: con svolgimento :?: dell'esercizio 1 del test n.33 "Applicazioni lineari 6"

vd. revisione successiva
Ultima modifica di GIMUSI il mercoledì 8 gennaio 2014, 0:17, modificato 1 volta in totale.
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Re: Applicazioni lineari 6

#2 Messaggioda GIMUSI » martedì 31 dicembre 2013, 17:52

allego le soluzioni :?: con svolgimento :?: dell'esercizio 2 del test n.33 "Applicazioni lineari 6"

vd. revisione successiva
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Re: Applicazioni lineari 6

#3 Messaggioda GIMUSI » martedì 31 dicembre 2013, 18:50

allego le soluzioni :?: con svolgimento :?: dell'esercizio 3 del test n.33 "Applicazioni lineari 6"

vd. revisione successiva
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Re: Applicazioni lineari 6

#4 Messaggioda GIMUSI » martedì 31 dicembre 2013, 19:26

allego le soluzioni con svolgimento dell'esercizio 4 del test n.33 "Applicazioni lineari 6"

ora in rev01 grazie al contributo di "13700"

vd. revisione successiva
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Re: Applicazioni lineari 6

#5 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 31 dicembre 2013, 19:35

I punti (2a) e (3a) mi convincono abbastanza, il (2b) mi convince poco (ma la faccenda è burocratica), nel (3b) le dimensioni non mi tornano.

Lo so, è un po' criptico, ma il nuovo anno porterà consiglio, e magari qualche collaboratore in più alla risoluzione di questi esercizi.

Auguroni a tutti!

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Re: Applicazioni lineari 6

#6 Messaggioda GIMUSI » martedì 31 dicembre 2013, 19:39

Massimo Gobbino ha scritto:I punti (2a) e (3a) mi convincono abbastanza, il (2b) mi convince poco (ma la faccenda è burocratica), nel (3b) le dimensioni non mi tornano.

Lo so, è un po' criptico, ma il nuovo anno porterà consiglio, e magari qualche collaboratore in più alla risoluzione di questi esercizi.

Auguroni a tutti!


infatti ho molti dubbi anche io...e li vorrei condividere e discutere...

grazie 1000 e tantissimi auguri anche a lei e tutti gli altri studenti del forum :D
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Re: Applicazioni lineari 6

#7 Messaggioda GIMUSI » martedì 31 dicembre 2013, 19:56

allego le soluzioni :?: con svolgimento :?: dell'esercizio 5 del test n.33 "Applicazioni lineari 6"

nei prossimi giorni cercherò di rivedere i punti dubbi segnalati dal prof...

ora è proprio giunto il momento di andare a festeggiare...ancora tanti auguri a tutti :D
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Re: Applicazioni lineari 6

#8 Messaggioda GIMUSI » venerdì 3 gennaio 2014, 11:07

Massimo Gobbino ha scritto:...nel (3b) le dimensioni non mi tornano.


ho ripensato all'esercizio (3b) e (anche sulla base del (1b)) mi verrebbe da riconfermare che la dimensione è 4...perché la base è composta dalle quattro applicazioni:

f_1_3(v_1)=(1,2,3)

f_2_3(v_2)=(1,2,3)

f_3_1(v_3)=v_1

f_3_2(v_3)=v_2
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Re: Applicazioni lineari 6

#9 Messaggioda 13700 » venerdì 3 gennaio 2014, 12:41

Ehm, nel 2b perché alfa deve essere diverso da 0? anche l'applicazione che butta tutto in 0 dovrebbe andare bene, anche se è banale, perché sennò non è uno spazio vettoriale, tra il resto...

Nel 3b, non mi torna una cosa: f_13 eccetera come le definisci? non dovresti dare 3 condizioni come facevi prima? non capisco .. :(

Poi ti volevo chiedere ... nel 4a ho fatto la tua dimostrazione f(f(v))=0 vuol dire che f(v) sta nel ker, ma f(v) è l'immagine... però poi come fai a scegliere le basi in quel modo? Cioè ... se l'immagine sta nel ker ... non lo so, c'è qualcosa che non capisco :?

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Re: Applicazioni lineari 6

#10 Messaggioda GIMUSI » venerdì 3 gennaio 2014, 14:37

13700 ha scritto:Ehm, nel 2b perché alfa deve essere diverso da 0? anche l'applicazione che butta tutto in 0 dovrebbe andare bene, anche se è banale, perché sennò non è uno spazio vettoriale, tra il resto...


se \alpha fosse zero andrebbe tutto a finire nel Ker(f)...quindi è un caso da escludere...

più che altro mi chiedo se sia necessario introdurlo...mi viene da pensare che che mandare v_3 in (1,2,3) sia del tutto equivalente a mandarlo in (2,4,6)...

13700 ha scritto:Nel 3b, non mi torna una cosa: f_13 eccetera come le definisci? non dovresti dare 3 condizioni come facevi prima? non capisco .. :(


nel punto (3a) si chiede che f(w)\in V...allora è sufficiente mandare f(v_3) in una qualsiasi combinazione lineare di v_1 e v_2

nel punto (3b) invece si chiede di dare la dimensione di tutte le applicazioni tali che f(w)\in V...e queste dovrebbero avere come base le 4 applicazioni f_i_j che ho indicato (la logica è la medesima che ho seguito nel punto 1b)

13700 ha scritto:Poi ti volevo chiedere ... nel 4a ho fatto la tua dimostrazione f(f(v))=0 vuol dire che f(v) sta nel ker, ma f(v) è l'immagine... però poi come fai a scegliere le basi in quel modo? Cioè ... se l'immagine sta nel ker ... non lo so, c'è qualcosa che non capisco :?


ho notato solo ora che ho scritto erroneamente che v_1,v_2,...,v_k sono base di v_k_+_1,v_k_+_2,...,v_n...ovviamente intendevo che sono base delle loro immagini...è un passaggio decisivo che non ho esplicitato bene...ripeto qui il ragionamento...

- supponiamo che il Ker(f) abbia dimensione k e quindi come base i k vettori v_1,v_2,...,v_k

- allora Im(f) deve avere dimensione n-k e come base n-k vettori v_k_+_1,v_k_+_2,...,v_n (dim(Ker) + dim(Im) = n)

- se Im(f)\subseteq Ker(f) significa che gli n-k vettori immagine della base di Im(f) si possono scrivere come combinazione lineare dei k vettori base del Ker

(qui il passaggio fondamentale che ho saltato)

- i vettori immagine della base di Im(f) non solo devo essere non nulli (altrimenti i v_k_+_1,v_k_+_2,...,v_n sarebbero nel Ker) ma devono anche essere linearmente indipendenti (altrimenti anche le corrispondenti combinazioni lineari nulle dei v_k_+_1,v_k_+_2,...,v_n finirebbero nel Ker)

- pertanto deve risultare k\geq n-k
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Re: Applicazioni lineari 6

#11 Messaggioda 13700 » venerdì 3 gennaio 2014, 15:05

GIMUSI ha scritto:
se \alpha fosse zero andrebbe tutto a finire nel Ker(f)...quindi è un caso da escludere...

Beh allora è inutile andare avanti: se non contiene lo 0, non è un sottospazio di End(quellarobalì), no? Avevo letto erroneamente che l'immagine di f dovesse stare dentro W e non essere uguale.

più che altro mi chiedo se sia necessario introdurlo...mi viene da pensare che che mandare v_3 in (1,2,3) sia del tutto equivalente a mandarlo in (2,4,6)...


Boh, per descriverle tutte io farei una cosa tipo: fisso v1, v2, v3 e poi dico che f(v1)=0, f(v2)=0, f(v3)=k(1,2,3) ... al variare di k diverso da 0 per quel che dicevi prima. A questo punto posso pure scrivere la matrice (con un po' di conti). Far variare v3 mi sembra più brutto: non c'è modo di dire che due diversi v3 non mi diano la stessa funzione f, quindi magari le ho descritte tutte ma in modo non unico ... vabbeh che non è richiesto.


nel punto (3a) si chiede che f(w)\in V...allora è sufficiente mandare f(v_3) in una qualsiasi combinazione lineare di v_1 e v_2

si chiede anche che f(v) stia in W... questo dicevo.

nel punto (3b) invece si chiede di dare la dimensione di tutte le applicazioni tali che f(w)\in V...e queste dovrebbero avere come base le 4 applicazioni f_i_j che ho indicato (la logica è la medesima che ho seguito nel punto 1b)

no, quello che volevo dire io ... tu imponi ad esempio che f_1 sia tale che f_1(v1)=(1,2,3) e ok ... ma cosa fa f_1 su v2 e su v_3? devi dirlo sennò non hai descritto una funzione, ma tante.

13700 ha scritto:Poi ti volevo chiedere ... nel 4a ho fatto la tua dimostrazione f(f(v))=0 vuol dire che f(v) sta nel ker, ma f(v) è l'immagine... però poi come fai a scegliere le basi in quel modo? Cioè ... se l'immagine sta nel ker ... non lo so, c'è qualcosa che non capisco :?


ho notato solo ora che ho scritto erroneamente che v_1,v_2,...,v_k sono base di v_k_+_1,v_k_+_2,...,v_n...ovviamente intendevo che sono base delle loro immagini


no vabbeh questo l'avevo capito..
...è un passaggio decisivo che non ho esplicitato bene...ripeto qui il ragionamento...

- supponiamo che il Ker(f) abbia dimensione k e quindi come base i k vettori v_1,v_2,...,v_k

- allora Im(f) deve avere dimensione n-k e come base n-k vettori v_k_+_1,v_k_+_2,...,v_n (dim(Ker) + dim(Im) = n)

- se Im(f)\subseteq Ker(f) significa che gli n-k vettori immagine della base di Im(f) si possono scrivere come combinazione lineare dei k vettori base del Ker

(qui il passaggio fondamentale che ho saltato)

- i vettori immagine della base di Im(f) non solo devo essere non nulli (altrimenti i v_k_+_1,v_k_+_2,...,v_n sarebbero nel Ker) ma devono anche essere linearmente indipendenti (altrimenti anche le corrispondenti combinazioni lineari nulle dei v_k_+_1,v_k_+_2,...,v_n finirebbero nel Ker)

- pertanto deve risultare k\geq n-k


Ma questo l'avevo capito, l'unica mia obiezione era come facesse ad essere v1,...,vn una base di V .... come scrivi all'inizio?

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Re: Applicazioni lineari 6

#12 Messaggioda Massimo Gobbino » venerdì 3 gennaio 2014, 15:16

13700 ha scritto:Beh allora è inutile andare avanti: se non contiene lo 0, non è un sottospazio di End(quellarobalì), no?


Esatto: non è un sottospazio per ragioni burocratiche: manca lo zero! Se non fosse per quello, lo sarebbe!

13700 ha scritto:tu imponi ad esempio che f_1 sia tale che f_1(v1)=(1,2,3) e ok ... ma cosa fa f_1 su v2 e su v_3? devi dirlo sennò non hai descritto una funzione, ma tante.


Saggia osservazione :D. Resta aperta la questione della dimensione del (3b).

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Re: Applicazioni lineari 6

#13 Messaggioda GIMUSI » venerdì 3 gennaio 2014, 15:39

Massimo Gobbino ha scritto:
13700 ha scritto:Beh allora è inutile andare avanti: se non contiene lo 0, non è un sottospazio di End(quellarobalì), no?


Esatto: non è un sottospazio per ragioni burocratiche: manca lo zero! Se non fosse per quello, lo sarebbe!

13700 ha scritto:tu imponi ad esempio che f_1 sia tale che f_1(v1)=(1,2,3) e ok ... ma cosa fa f_1 su v2 e su v_3? devi dirlo sennò non hai descritto una funzione, ma tante.


Saggia osservazione :D. Resta aperta la questione della dimensione del (3b).


mi sono un po' perso...vorrei ragioniare su un punto per volta...la conclusione del esercizio 1 valgono?...END(V,W) è uno spazio vettoriale e le applicazioni f_i_j(v_i)=a_i_jf(w_j) con i v_i base di V e i w_j base di W sono una sua base ? :?
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Re: Applicazioni lineari 6

#14 Messaggioda GIMUSI » venerdì 3 gennaio 2014, 15:45

13700 ha scritto:Ma questo l'avevo capito, l'unica mia obiezione era come facesse ad essere v1,...,vn una base di V .... come scrivi all'inizio?


è semplicemente una assunzione visto che V ha base finita :|
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Re: Applicazioni lineari 6

#15 Messaggioda 13700 » venerdì 3 gennaio 2014, 15:58

GIMUSI ha scritto:
13700 ha scritto:Ma questo l'avevo capito, l'unica mia obiezione era come facesse ad essere v1,...,vn una base di V .... come scrivi all'inizio?


è semplicemente una assunzione visto che V ha base finita :|


Uhm ... sì ma poi dici anche che i primi k sono una base del nucleo e i restanti sono una base dell'immagine... ma se il nucleo contiene l'immagine questo non è possibile.


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