Simulazione scritto d'esame 6

Sistemi lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari
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Massimo Gobbino
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Simulazione scritto d'esame 6

#1 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 30 dicembre 2013, 11:54

Ecco la simulazione di Capodanno. Questa è l'ultima, dalla prossima volta si farà sul serio.

Buon lavoro e buon anno!

P.S. Io però continuo ad essere stupito dal fatto che c'è tanta gente iscritta all'esame, e poca che discute esercizi o anche solo che scarica gli scritti di prova! Tutti kamikaze gli altri?
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DaroB94
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Re: Simulazione scritto d'esame 6

#2 Messaggioda DaroB94 » giovedì 2 gennaio 2014, 14:32

Nel primo punto del primo esercizio:

Il fascio di piani mi torna (-3b-d)x+by+2bz+d=0

perchè non intersecasse mai la retta occorrerebbe che il vettore direttore del piano ( -3b-d, b, 2b) fosse perpendicolare al vettore direzionale della retta (1,1,1)

ma viene -3b-d+b+2b=0 da cui d=0

il piano dovrebbe essere -3x+y+2z=0, ma questo CONTIENE la retta data x=y=z (infatti 3x+x+2x=0 per ogni x di |R). Esso, quindi, si può considerare il piano richiesto oppure ho sbagliato qualcosa?

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Re: Simulazione scritto d'esame 6

#3 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 2 gennaio 2014, 15:02

DaroB94 ha scritto: ma questo CONTIENE la retta data x=y=z


Giusto! Mettendo i numeri a caso ho beccato una configurazione in cui il piano conteneva la retta :D, evento questo che ha probabilità 0. Ho aggiornato il file, aggiungendo 1 alla coordinata x di A e B. Questo dovrebbe cambiare le cose, a meno di nuovi casi particolari ... Meno male che c'è qualcuno che li trova ...

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Re: Simulazione scritto d'esame 6

#4 Messaggioda Ilmionomeèmaipiù » venerdì 3 gennaio 2014, 14:14

Ho una domanda. Come facciamo per i polinomi e le matrici, scrivendole sotto forma di vettori, come possiamo anche scrivere le funzioni trigonometriche sotto forma di vettori, in modo da inserirle nella matrice associata ad un' applicazione lineare? Grazie in anticipo della risposta. Il problema considerato sarebbe il numero 4, ovviamente.

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Re: Simulazione scritto d'esame 6

#5 Messaggioda Ilmionomeèmaipiù » venerdì 3 gennaio 2014, 15:23

Inoltre ho provato in ogni modo a trovare una combinazione lineare che mi dia sin^2(x), ma non ne trovo, a meno che non ci sia 1 come vettore dello span, infatti sin^2(x)=1/2+cos(2x)/2....voi come avete fatto?

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Re: Simulazione scritto d'esame 6

#6 Messaggioda Massimo Gobbino » venerdì 3 gennaio 2014, 15:36

Ilmionomeèmaipiù ha scritto:Inoltre ho provato in ogni modo a trovare una combinazione lineare che mi dia sin^2(x), ma non ne trovo, a meno che non ci sia 1 come vettore dello span


:oops: :oops: Giusto, sarà la deformazione professionale con le serie di Fourier, sarà che era l'ultimo dell'anno, ma ero proprio convinto di averci messo anche l'1 :oops: :oops:

Senza 1 non può venire (e sarebbe un bell'esercizio dimostrarlo). Quindi aggiungiamo pure l'1, così lo spazio diventa di dimensione 5, e tanto i conti successivi non cambiano di molto (correggo il testo).

Quanto poi al trasformare tutto in numeri, beh ... è il succo della nozione stessa di base. Le funzioni stesse sono vettori, intese come elementi di uno spazio vettoriale. Una volta fissata una base, le funzioni diventano quaterne di numeri (ora che c'è l'1 diventano quintuple di numeri).

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Re: Simulazione scritto d'esame 6

#7 Messaggioda Ilmionomeèmaipiù » venerdì 3 gennaio 2014, 16:21

grazie mille, ora è tutto più chiaro, è lo stesso dei polinomi in parole povere, basta aver fissato una base, grazie :)

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Re: Simulazione scritto d'esame 6

#8 Messaggioda Bertrand Russell » lunedì 6 gennaio 2014, 13:41

Scusate ragazzi ma è giusto dire che se due matrici sono simili allora hanno autovalori uguali?

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Re: Simulazione scritto d'esame 6

#9 Messaggioda GIMUSI » lunedì 6 gennaio 2014, 16:19

Bertrand Russell ha scritto:Scusate ragazzi ma è giusto dire che se due matrici sono simili allora hanno autovalori uguali?


si perché se Ax=\lambda x e A=M^-^1BM

allora

M^-^1BMx=\lambda x

e quindi

B(Mx)=\lambda (Mx)

By=\lambda y

pertanto gli autovalori sono gli stessi mentre gli autovettori vanno a finire in My
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Re: Simulazione scritto d'esame 6

#10 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 7 gennaio 2014, 19:00

Inoltre matrici simili implica stesso polinomio caratteristico, ed essendo gli autovalori tutte e sole le radici del caratteristico ...

Non vale però il viceversa: due matrici possono avere lo stesso polinomio caratteristico, ma non essere simili.

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Re: Simulazione scritto d'esame 6

#11 Messaggioda nomeutente » martedì 7 gennaio 2014, 22:11

Spiegatemi il quarto esercizio. Iniziamo con il punto a

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Re: Simulazione scritto d'esame 6

#12 Messaggioda Neomatrix092 » martedì 14 gennaio 2014, 11:16

Scusate,
nell'esercizio 4b, se io prendo le f(x)=1 e g(x)=sinx (o cos(x) è lo stesso) ottengo l'integrale tra 0 e 2pi uguale a 0, quindi come può essere il prodotto scalare definito positivo?

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Re: Simulazione scritto d'esame 6

#13 Messaggioda Neomatrix092 » giovedì 23 gennaio 2014, 9:42

...nessuno?

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Re: Simulazione scritto d'esame 6

#14 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 23 gennaio 2014, 9:57

Cosa vuol dire che il prodotto scalare è definito positivo?

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Re: Simulazione scritto d'esame 6

#15 Messaggioda Neomatrix092 » giovedì 23 gennaio 2014, 10:24

che presi due elementi qualsiasi dello s.v. il loro prodotto scalare è >0. Strettamente!. Al massimo in quel caso li può essere definito semipositivo...


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