Sottospazi vettoriali 4

Sistemi lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari
Messaggio
Autore
Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1120
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Sottospazi vettoriali 4

#16 Messaggioda GIMUSI » lunedì 30 dicembre 2013, 15:49

13700 ha scritto:Uhm se il sistema che ho scritto io è giusto, ci sono anche cose che non sono combinazione lineare di I e B... perché ha almeno dimensione 3 l'insieme delle soluzioni, ma se è generato da I e B, ha dimensione 2.


no no...nell'esercizio B non è invertibile...il caso discusso si riferisce all'ipotesi di B invertibile...

appena faccio il sistemone confrontiamo i risultati :)
GIMUSI

13700
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 31
Iscritto il: domenica 29 dicembre 2013, 16:33

Re: Sottospazi vettoriali 4

#17 Messaggioda 13700 » lunedì 30 dicembre 2013, 16:09

Beh ma prendi una B tipo (come da suggerimento :P )
1 0 0
0 2 0
0 0 3
allora se metti A come
a b c
d e f
g h i
L'equazione BA=AB ti da (sistemoni forever!)
a=a
b=2b
c=3c
2d=d
2e=2e
2f=3f
3g=g
3h=2h
3i=3i
e ti viene
b=c=d=f=g=h=0
e su a,e,i non hai condizioni. Quindi tutte le matrici
a 0 0
0 e 0
0 0 i
vanno bene e sono uno spazio di dimensione 3.

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1120
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Sottospazi vettoriali 4

#18 Messaggioda GIMUSI » lunedì 30 dicembre 2013, 16:25

13700 ha scritto:Beh ma prendi una B tipo (come da suggerimento :P )
1 0 0
0 2 0
0 0 3
...
Quindi tutte le matrici
a 0 0
0 e 0
0 0 i
vanno bene e sono uno spazio di dimensione 3.


ok...ora ho capito che intendevi...se è così conviene fare sempre il sistemone...credevo che almeno per il caso B invertibile esistesse un criterio generale :(
GIMUSI

13700
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 31
Iscritto il: domenica 29 dicembre 2013, 16:33

Re: Sottospazi vettoriali 4

#19 Messaggioda 13700 » lunedì 30 dicembre 2013, 16:26

Beh, sicuramente c'è un criterio se è diagonale XD visto che ho fatto il conto! Se è diagonale le soluzioni sono tutte le altre diagonali!

Avatar utente
Massimo Gobbino
Amministratore del Sito
Amministratore del Sito
Messaggi: 2205
Età: 51
Iscritto il: lunedì 29 novembre 2004, 19:00
Località: Pisa
Contatta:

Re: Sottospazi vettoriali 4

#20 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 30 dicembre 2013, 16:31

13700 ha scritto:Se è diagonale le soluzioni sono tutte le altre diagonali!


Beh, parliamone, prova a mettere due o tre uni sulla diagonale :P :wink:

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1120
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Sottospazi vettoriali 4

#21 Messaggioda GIMUSI » lunedì 30 dicembre 2013, 16:36

Massimo Gobbino ha scritto:
13700 ha scritto:Se è diagonale le soluzioni sono tutte le altre diagonali!


Beh, parliamone, prova a mettere due o tre uni sulla diagonale :P :wink:


io non dico più niente...ci rinuncio :cry:
GIMUSI

13700
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 31
Iscritto il: domenica 29 dicembre 2013, 16:33

Re: Sottospazi vettoriali 4

#22 Messaggioda 13700 » lunedì 30 dicembre 2013, 16:44

Massimo Gobbino ha scritto:
13700 ha scritto:Se è diagonale le soluzioni sono tutte le altre diagonali!


Beh, parliamone, prova a mettere due o tre uni sulla diagonale :P :wink:


Beh, tutte le altre diagonali sono soluzioni :P Comunque anche con due dui sulla diagonale sembra che cambi...

Avatar utente
Massimo Gobbino
Amministratore del Sito
Amministratore del Sito
Messaggi: 2205
Età: 51
Iscritto il: lunedì 29 novembre 2004, 19:00
Località: Pisa
Contatta:

Re: Sottospazi vettoriali 4

#23 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 30 dicembre 2013, 16:53

GIMUSI ha scritto:io non dico più niente...ci rinuncio :cry:


e fai bene! Caratterizzare tutte le matrici A che commutano con una matrice B assegnata è un problema per nulla banale, e che non si semplifica affatto assumendo B invertibile. Certamente ci sono tutte le potenze di B, e tutte le combinazioni lineari di potenze di B, le quali poi dopo un po' finiscono per via del polinomio minimo :D. Ma talvolta c'è pure dell'altro, come nel caso degli uni ripetuti sulla diagonale.

Ovviamente di fronte ad una B specifica il problema si risolve facilmente con il metodo bovino del sistemone, ma una regola generale diventa complicata da escogitare. Per approfondire si può sempre fare una ricerca in internet, a partire da qui:

http://en.wikipedia.org/wiki/Commuting_matrices

Un esercizio molto più facile è il seguente: trovare le matrici n*n che commutano con *tutte* le altre matrici n*n.

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1120
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Sottospazi vettoriali 4

#24 Messaggioda GIMUSI » lunedì 30 dicembre 2013, 18:19

Massimo Gobbino ha scritto:
GIMUSI ha scritto:io non dico più niente...ci rinuncio :cry:


e fai bene! Caratterizzare tutte le matrici A che commutano con una matrice B assegnata è un problema per nulla banale, e che non si semplifica affatto assumendo B invertibile. Certamente ci sono tutte le potenze di B, e tutte le combinazioni lineari di potenze di B, le quali poi dopo un po' finiscono per via del polinomio minimo :D. Ma talvolta c'è pure dell'altro, come nel caso degli uni ripetuti sulla diagonale.

Ovviamente di fronte ad una B specifica il problema si risolve facilmente con il metodo bovino del sistemone, ma una regola generale diventa complicata da escogitare. Per approfondire si può sempre fare una ricerca in internet, a partire da qui:

http://en.wikipedia.org/wiki/Commuting_matrices

Un esercizio molto più facile è il seguente: trovare le matrici n*n che commutano con *tutte* le altre matrici n*n.


il fatto che sia un problema complesso un po' mi solleva :D ...certo che prima di fare delle affermazioni generali bisogna starci bene attenti :roll:

le matrici che commutano con tutte?...io direi solo quelle multiple di I...ma sul tema non ho più certezze :cry:
GIMUSI

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1120
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Sottospazi vettoriali 4

#25 Messaggioda GIMUSI » lunedì 30 dicembre 2013, 22:12

13700 ha scritto:Beh io nel frattempo ho provato a fare il prodottone tra matrici con 9 incognite :oops:
se cerchiamo una matrice A fatta come
a b c
d e f
g h i
e imponiamo BA=AB viene una cosa così
2a+d=2a+2c (posto (1,1))
2b+e=a+c (posto (1,2))
2c+f=b (posto (1,3))
g=2d+2f (posto (2,1))
h=d+f (posto (2,2))
i=e (posto (2,3))
e poi mi vengono di nuovo le prime tre equazioni ...
le equazioni sono 6, le incognite sono 9, quindi ci sono almeno 3 parametri ... per cui dovrebbe essere di dimensione almeno 3, no?


ecco l'ho rifatto...solo che a me vengono solo due parametri liberi...ho aggiornato il file in rev01...le matrici che ottengo funzionano (una è l'identità e l'altra azzera da destra e da sinistra il prodotto per B)...prova a verificare quelle che vengono fuori a te :)
GIMUSI

13700
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 31
Iscritto il: domenica 29 dicembre 2013, 16:33

Re: Sottospazi vettoriali 4

#26 Messaggioda 13700 » lunedì 30 dicembre 2013, 22:59

Uhm io avevo sbagliato a scrivere l'ultima riga di B :oops:
Il sistema mi torna come il tuo, ma comunque tre parametri ... non capisco l'ultima equazione della graffa: a me viene 2b+e-h-i=0 (e non -2h-i). In quel modo dovrebbe venirti un parametro in più!
Anche perché pensavo che visto che B ha 3 autovalori reali tutti diversi, dovrebbe comportarsi come la matrice diagonale di prima con 1,2,3 ...basterebbe fare il problema nella base in cui B è diagonale, no?

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1120
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Sottospazi vettoriali 4

#27 Messaggioda GIMUSI » lunedì 30 dicembre 2013, 23:07

13700 ha scritto:Uhm io avevo sbagliato a scrivere l'ultima riga di B :oops:
Il sistema mi torna come il tuo, ma comunque tre parametri ... non capisco l'ultima equazione della graffa: a me viene 2b+e-h-i=0 (e non -2h-i). In quel modo dovrebbe venirti un parametro in più!


hai ragione...mi son perso un "h" per strada...mannaggia...vado in rev02
GIMUSI

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1120
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Sottospazi vettoriali 4

#28 Messaggioda GIMUSI » lunedì 30 dicembre 2013, 23:14

GIMUSI ha scritto:
13700 ha scritto:Uhm io avevo sbagliato a scrivere l'ultima riga di B :oops:
Il sistema mi torna come il tuo, ma comunque tre parametri ... non capisco l'ultima equazione della graffa: a me viene 2b+e-h-i=0 (e non -2h-i). In quel modo dovrebbe venirti un parametro in più!


hai ragione...mi son perso un "h" per strada...mannaggia...vado in rev02


anche con questa correzione il sistema mi dà h=0...la soluzione non cambia mi risultano sempre due parametri liberi e come base di V le due matrici indicate...ma qual è al terza matrice che ottieni come base?
GIMUSI

13700
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 31
Iscritto il: domenica 29 dicembre 2013, 16:33

Re: Sottospazi vettoriali 4

#29 Messaggioda 13700 » martedì 31 dicembre 2013, 0:09

Boh, ad esempio mi vengono queste tre
I, B, C
con C data da
-1, -1, 1
2, 2, -2
0, 0, 0

Del resto, visto che si era detto che B è una soluzione, lei c'è ... l'identità c'è .. e pure a te te ne veniva una diversa da B e da I no?

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1120
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Sottospazi vettoriali 4

#30 Messaggioda GIMUSI » martedì 31 dicembre 2013, 9:04

13700 ha scritto:Boh, ad esempio mi vengono queste tre
I, B, C
con C data da
-1, -1, 1
2, 2, -2
0, 0, 0

Del resto, visto che si era detto che B è una soluzione, lei c'è ... l'identità c'è .. e pure a te te ne veniva una diversa da B e da I no?


ecco...c'era un altro coefficiente sbagliato nel matricione...ora anche "h" è libero e ottengo le tre matrici di base...ho aggiornato il file in rev02 :D
GIMUSI


Torna a “Algebra Lineare”

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 2 ospiti