Forum Studenti

Ecco una simulazione di scritto natalizia, tra un cenone, un pranzo ed un brindisi.

Buon Natale a tutti!

[EDIT 28-12-2013] Ho corretto il file.

Gli esercizi mi tornano più o meno tutti, tuttavia al punto b del 4° esercizio sto riscontrando delle difficoltà.
La segnatura del prodotto scalare infatti mi torna ++- per a!=1( oppure ++0 se a=1) e non capisco come si possa ottenere l'identità da (M^t)BM, visto che B dovrebbe essere definita positiva.

Giustissimo. Era sbagliata la posizione del 3 , che va in fondo a destra. Ho corretto il file.

Scusate la mia ignoranza... ma che diavolo è il piede dell'altezza? mai sentito in vita mia

Credo sia il punto sul lato dove "arriva" l'altezza.

Me lo sono fatto spiegare!
Volevo sapere se ho fatto il procedimento giusto per il 4° esercizio (punto a): per vedere la segnatura ho calcolato il determinante di Ba - lId e il polinomio caratteristico mi viene:

-l^3 + 5l^2 - l(8-a^2) +2a -3a^2 +1

sempre che abbia svolto correttamente i conti, ottengo che per a^2 > 8 è indefinito, altrimenti è definito positivo.
Giusto?

Ehm, non funziona così. Dovresti trovare i valori di lambda per cui quell'equazione di terzo grado viene 0, ma è un po' complicato.
Se usi i minori orlati di Sylvester ti viene che è definita positiva per -1<a<1/3, semidefinita positiva per a= -1 o 1/3, indefinita (2 + 1 -) per a<-1 o a>1/3

Neomatrix092 ha scritto:-l^3 + 5l^2 - l(8-a^2) +2a -3a^2 +1

Dev'esserci qualcosa che non va in quel polinomio caratteristico, perché deve venire anche ragionando alla Cartesio. Sta di fatto che con Sylvester in questo caso è molto più comodo

DaroB94 ha scritto:Se usi i minori orlati di Sylvester ti viene che è definita positiva per -1<a<1/3, semidefinita positiva per a= -1 o 1/3, indefinita (2 + 1 -) per a<-1 o a>1/3

Boh però se ci metti a=1 ti viene una matrice con autovalori 0,1,4, quindi semidefinita e non indefinita. Probabilmente i segni sono al contrario -1/3 e 1.

Neomatrix092 ha scritto:
-l^3 + 5l^2 - l(8-a^2) +2a -3a^2 +1
sempre che abbia svolto correttamente i conti, ottengo che per a^2 > 8 è indefinito, altrimenti è definito positivo.

A me sembra quasi giusto mi viene -x^3+5x^2+(a^2-5)x-3a^2+2a+1. Adesso basta fare uno schemino:
a^2-5>0 se e solo se |a|>sqrt(5)
-3a^2+2a+1>0 se e solo se -1/3<a<1
quindi i segni dei coefficienti sono fatti come segue (e per la regola di Cartesio, come da suggerimento, i segni delle radici si sanno)
-++- se a<-sqrt(5) (2 variazioni, nessuna radice nulla --> indefinito (2+,1-))
-+0- se a=-sqrt(5) (2 variazioni, nessuna radice nulla --> indefinito (2+,1-))
-+-- se -sqrt(5)<a<-1/3 (2 variazioni, nessuna radice nulla --> indefinito (2+,1-))
-+-0 se a=-1/3 (2 variazioni, 1 radice nulla --> semidef pos (2+,1 zero))
-+-+ se -1/3<a<1 (3 variazioni --> def pos)
-+-0 se a=1 (2 variazioni, 1 radice nulla --> semidef pos (2+,1 zero))
-+-- se 1<a<sqrt(5) (2 variazioni, nessuna radice nulla --> indefinito (2+,1-))
-+0- se a=sqrt(5) (2 variazioni, nessuna radice nulla --> indefinito (2+,1-))
-++- se a>sqrt(5) (2 variazioni, nessuna radice nulla --> indefinito (2+,1-))
Quindi è indef se a>1 o a<-1/3, def pos se -1/3<a<1, semidef pos se a=1, a=-1/3.

Ah comunque se lo facevi col polinomio che avevi trovato tu veniva giusto uguale, alla fine

Ragazzi come vi viene il polinomio caratteristico dell es 3? Intendo quello per trovare gli autovalori e gli autospazi...

Il polinomio caratteristico è di 4° grado, dato che la matice è 4x4 e vengono 4 autovalori e quindi autovettori. Ciascun autovettore poi genera una retta

autovalori: 0, 3, 2 ,1

autospazi (autovettori):
span(0,0,0,1)
span(1,6,12,8)
span(0,1,4,4)
span(0,0,1,2)

Visto che si tratta di spazi di polinomi, alla fine gli autovettori li scriverei come polinomi e non come componenti, tra l'altro rispetto ad una base non specificata

Ragazzi ma come avete fatto l'esercizio 5.b? Io mi sono trovato una base ortonormale con gram schmidt a partire da una base qualunque( nel mio caso ho preso la canonica ) poi ho messo i vettori della base in una matrice che ho chiamato M e poi ho fatto : M^t Bo M e dovrei trovare l'identità ma invece di avere all'ultimo numero in basso a destra un uno ho 1/3???????

Nell'esercizio 5.c vi esce che non esistono valori di a per i quali esiste una matrice M tale che M^tBM=I? Perchè io mi sono trovato una base ortonormale(generica, cioè in funzione di a) e ho imposto che M^tM=I cioè ho imposto che la matrice sia ortogonale, ma non è verificata per nessun valore, ho fatto bene il procedimento? Voi come avete operato?

Per il piede dell'altezza ho fatto il piano per a perpendicolarealla retta per bc ed ho trovato l'inters. Corretto?