Rette e piani nello spazio 2

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Re: Rette e piani nello spazio 2

#16 Messaggioda 13700 » giovedì 2 gennaio 2014, 22:26

GIMUSI ha scritto:per determinare la retta risolvo il sistema dei due piani...per il 2° esercizio ottengo (1-4t,2+t,3t)

per la distanza dall'origine scrivo la funzione d^2(t), la minimizzo e trovato t la calcolo


Io l'ho fatto un poco diverso: la retta ha "velocità" (-4,1,3), se prendo un punto P sulla retta e impongo che OP sia perpendicolare alla velocità, dovrei ottenere il segmento di lunghezza minima, no? Cioè devo avere
-4+16t+2+t+9t=0
quindi
26t=2
quindi t=1/13, ovvero P=(9/13, 27/13, 3/13) e dunque la distanza è la radice di (9^2+27^2+3^2)/13^2=9(9+81+1)/13^2=9*91/13^2=9*7/13.

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Re: Rette e piani nello spazio 2

#17 Messaggioda GIMUSI » giovedì 2 gennaio 2014, 22:40

13700 ha scritto:
GIMUSI ha scritto:per determinare la retta risolvo il sistema dei due piani...per il 2° esercizio ottengo (1-4t,2+t,3t)

per la distanza dall'origine scrivo la funzione d^2(t), la minimizzo e trovato t la calcolo


Io l'ho fatto un poco diverso: la retta ha "velocità" (-4,1,3), se prendo un punto P sulla retta e impongo che OP sia perpendicolare alla velocità, dovrei ottenere il segmento di lunghezza minima, no? Cioè devo avere
-4+16t+2+t+9t=0
quindi
26t=2
quindi t=1/13, ovvero P=(9/13, 27/13, 3/13) e dunque la distanza è la radice di (9^2+27^2+3^2)/13^2=9(9+81+1)/13^2=9*91/13^2=9*7/13.


mi pare un ottimo metodo alternativo...ti eviti di dover derivare :)
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Re: Rette e piani nello spazio 2

#18 Messaggioda Gabe » venerdì 18 aprile 2014, 16:36

Ragazzi una domanda, nell'esercizio 15, trovo che il primo piano ha equazione z+2=0 e il secondo x+y-2=0, e il coseno dell'angolo = 0, quindi sono perpendicolari tra di loro. A questo punto devo mettere a sistema queste due equazioni per trovare la retta d'intersezione, ma come faccio?

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Re: Rette e piani nello spazio 2

#19 Messaggioda GIMUSI » venerdì 18 aprile 2014, 17:15

Gabe ha scritto:Ragazzi una domanda, nell'esercizio 15, trovo che il primo piano ha equazione z+2=0 e il secondo x+y-2=0, e il coseno dell'angolo = 0, quindi sono perpendicolari tra di loro. A questo punto devo mettere a sistema queste due equazioni per trovare la retta d'intersezione, ma come faccio?


risolvendo il sistema ottenuto dalla equazioni cartesiane dei due piani si ottiene

z=-2

y=2-x

allora il generico punto appartenente alla retta intersezione dei due piani risulta

P=(t,2-t,-2)

da cui

r: (0,2,-2)+t(1,-1,0)

un altro metodo è il seguente

il vettore v della retta è ortogonale alle due normali dei piani

n_1=(0,0,1)

n_2=(1,1,0)

determinato v e noto un punto P_0 di passaggio della retta si ottiene l’equazione parametrica:

r: P_0+vt

in questo caso il primo metodo mi pare più rapido (per trovare un P_0 devi risolvere il sistema)

PS rifacendo i conti mi sono accorto di aver commesso un errore nella determinazione della distanza della retta dall’origine che dovrebbe essere

\sqrt6
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Re: Rette e piani nello spazio 2

#20 Messaggioda Gabe » venerdì 18 aprile 2014, 18:15

Ok, supponiamo di avere questa retta: r: (0,2,-2)+t(1,-1,0), la retta perpendicolare passante per l origine la posso trovare cosi: (0,0,0)+t(1,1,0)? dicendo che (1,1,0) e perpendicolare a (1,-1,0) e facendola passare da (0,0,0)?

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Re: Rette e piani nello spazio 2

#21 Messaggioda GIMUSI » venerdì 18 aprile 2014, 18:28

Gabe ha scritto:Ok, supponiamo di avere questa retta: r: (0,2,-2)+t(1,-1,0), la retta perpendicolare passante per l origine la posso trovare cosi: (0,0,0)+t(1,1,0)? dicendo che (1,1,0) e perpendicolare a (1,-1,0) e facendola passare da (0,0,0)?


nessuno ti assicura che (0,0,0)+t(1,1,0) intersechi la retta r (infatti non la interseca perché dovrebbe risultare z=-2)

credo che il metodo più efficiente nel caso in esame sia quello segnalato qui nel thread da "13700"

il generico punto P \in r ha coordinate

P=(t,2-t,-2)

questo rappresenta anche il generico vettore OP tra l'origine e la retta r

per trovare il punto di minima distanza basta imporre che OP sia ortogonale a v=(1,-1,0), si ottiene

t-2+t=0

2t=2

t=1

quindi il punto di minima distanza dall'origine è (1,1,-2) che ha modulo \sqrt6
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Re: Rette e piani nello spazio 2

#22 Messaggioda Gabe » sabato 19 aprile 2014, 13:21

GIMUSI ha scritto:nessuno ti assicura che (0,0,0)+t(1,1,0) intersechi la retta r (infatti non la interseca perché dovrebbe risultare z=-2)

C'è un modo per vedere a occhio che deve essere z=-2?
Poi volevo chiederti un altra cosa, supponiamo di avere questa retta r1: (0,1,0)+t(1,0,0) e questo punto (2,1,3) se volessi trova la retta r2 che passa da quel punto e perpendicolare alla retta r1 devo trovare il generico punto appartenente alla retta r1 (t,1,0) per poi scrivere il segmento (retta) (2,1,3)+t(t-2,0,-3) .
A questo punto pero come faccio per ottenere la retta r2?

Grazie mille in anticipo e buona pasqua a te e al resto del forum.

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Re: Rette e piani nello spazio 2

#23 Messaggioda GIMUSI » sabato 19 aprile 2014, 14:33

Gabe ha scritto:C'è un modo per vedere a occhio che deve essere z=-2?


basta osservare che il generico punto appartenente alla retta intersezione dei due piani risulta

P=(t,2-t,-2)

quindi per tutti i punti di la coordinata z=-2 è fissa (uno dei due piani infatti è proprio z+2=0)
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Re: Rette e piani nello spazio 2

#24 Messaggioda GIMUSI » sabato 19 aprile 2014, 14:52

Gabe ha scritto:Poi volevo chiederti un altra cosa, supponiamo di avere questa retta r1: (0,1,0)+t(1,0,0) e questo punto (2,1,3) se volessi trova la retta r2 che passa da quel punto e perpendicolare alla retta r1 devo trovare il generico punto appartenente alla retta r1 (t,1,0) per poi scrivere il segmento (retta) (2,1,3)+t(t-2,0,-3) .
A questo punto pero come faccio per ottenere la retta r2?


indichiamo con P il punto (2,1,3) e con v_1=(1,0,0) il vettore direzione della retta r_1

il generico punto appartenente alla retta r_1 è Q=(t,1,0)

il vettore tra i due punti risulta PQ=Q-P=(t-2,0,-3)

imponendo che PQ sia perpendicolare a v_1 si ottiene: t-2=0 e quindi t=2

allora il vettore direzione della retta perpendicolare risulta v_2=(0,0,-3)

e la retta r_2: (2,1,3)+s(0,0,-3)

r_1 e r_2 sono perpendicolari infatti: v_1*v_2=0 e si intersecano in Q=(2,1,0)

Gabe ha scritto:Grazie mille in anticipo e buona pasqua a te e al resto del forum.


grazie tanti auguri anche da parte mia :)
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