Simulazione scritto d'esame 3

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Come da tradizione, ecco la simulazione di scritto settimanale. Se però non serve a nulla ditelo, che trovo di meglio da fare

.

GIMUSI

per il primo esercizio ho ottenuto:

(a) $\left(\dfrac{-75}{29},\dfrac{50}{29},\dfrac{45}{29}\right)$

(b) $(-3,2,1)+t\left(4,\dfrac{4\pm8\sqrt{2}}{5},\dfrac{-8\pm4\sqrt{2}}{5}\right)$

(c) x-2y+4z+3=0

GIMUSI

per il secondo esercizio

(a) basi ortonormali

base ortonormale per

$v_1 = (\frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}},0) \: v_2 = (0,\frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}})$

base ortonormale per $V^\perp$

$w_1 = (\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}},0) \: w_2 = (0,\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}})$

(b) matrice proiezione ortogonale su

$\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ \end{pmatrix}$

GIMUSI

per il terzo esercizio

(a) esistenza e unicità dell'applicazione

$\beta\neq2,\:\beta\neq-1,\alpha\in\mathbb{R}$

(b) dimensione del ker(f)

$\alpha\neq-1\Rightarrow\:\dim(\ker(f))=0$

$\alpha=-1\Rightarrow\:\dim(\ker(f))=1$

Giorgio9092

GIMUSI ha scritto:per il primo esercizio ho ottenuto:

(a) $\left(\dfrac{-75}{29},\dfrac{50}{29},\dfrac{45}{29}\right)$

(b) $(-3,2,1)+t\left(4,\dfrac{4\pm8\sqrt{2}}{5},\dfrac{-8\pm4\sqrt{2}}{5}\right)$

(c)

Come ti è venuta l' equazione del piano? Io ho provato a costruire la retta passante per il punto D e perpendicolare al piano ABC ma trovo dei punti diversi che non mi soddisfano neanche l' appartenenza! Non trovo l' errore.

Giorgio9092

GIMUSI ha scritto:per il secondo esercizio

(a) basi ortonormali

base ortonormale per

$v_1 = (\frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}},0) \: v_2 = (0,\frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}})$

base ortonormale per $V^\perp$

$w_1 = (\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}},0) \: w_2 = (0,\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}})$

(b) matrice proiezione ortogonale su

$\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ \end{pmatrix}$

Questo ok, ma per trovare la matrice basta solo mettere i vettori trovati in precedenza?

GIMUSI

Giorgio9092 ha scritto:
GIMUSI ha scritto:per il primo esercizio ho ottenuto:

(a) $\left(\dfrac{-75}{29},\dfrac{50}{29},\dfrac{45}{29}\right)$

(b) $(-3,2,1)+t\left(4,\dfrac{4\pm8\sqrt{2}}{5},\dfrac{-8\pm4\sqrt{2}}{5}\right)$

(c)

Come ti è venuta l' equazione del piano? Io ho provato a costruire la retta passante per il punto D e perpendicolare al piano ABC ma trovo dei punti diversi che non mi soddisfano neanche l' appartenenza! Non trovo l' errore.

visto che il piano contiene il vettore CD ed è parallelo ad AB, una sua normale è data un qualsiasi vettore ortogonale a CD e AB

con la "formula misteriosa" si trova n=(-1,2,-4)

da cui

il parametro

è detrminato imponendo il passaggio per C o per D

Giorgio9092

GIMUSI ha scritto:visto che il piano contiene il vettore CD ed è parallelo ad AB, una sua normale è data un qualsiasi vettore ortogonale a CD e AB

con la "formula misteriosa" si trova da cui

il parametro è detrminato imponendo il passaggio per C o per D

Scusa ma non ho capito, perchè il piano dovrebbe contenere CD? E CD parallelo a AB? Quelle non sono solo le condizioni richieste dell' ultimo punto?

GIMUSI

Giorgio9092 ha scritto: Questo ok, ma per trovare la matrice basta solo mettere i vettori trovati in precedenza?

io ho fatto così:

- si determina la matrice

di proiezione su

mettendo nelle prime due colonne v_1

e

(in base canonica) con le restanti due nulle;

- in tal modo la matrice di proiezione A prende in input vettori in base v_1,v_2,w_1,w_2

e ne restituisce la proiezione su

in base canonica;

- si costruisce la matrice

di cambio di "base non canonica" $\rightarrow$ "base canonica", cioè la matrice che ha come colonne v_1,v_2,w_1,w_2

in base canonica;

- si inverte M (qui conviene sfruttare il fatto che M è multiplo di una matrice ortogonale);

- si determina la matrice di proiezione nella base canonica AM^-^1

GIMUSI

Giorgio9092 ha scritto:
Scusa ma non ho capito, perchè il piano dovrebbe contenere CD? E CD parallelo a AB? Quelle non sono solo le condizioni richieste dell' ultimo punto?

pensavo ti riferissi la punto (c), invece mi pare che tu stia parlando del punto (a)

Giorgio9092

Si, era il piano del punto a che ti chiedevo!

Giorgio9092

Effettivamente non si capiva! Ho riletto ora :lol:

scusa

GIMUSI

Giorgio9092 ha scritto:Effettivamente non si capiva! Ho riletto ora scusa

per il piano ABC

ho determinato la normale ai vettori

e

e ho imposto il passaggio per C (d=5)

:

la retta ortogonale al piano e passante per

è

imponendo l'appartenenza al piano si trova t=4/29

Neomatrix092

Scusate, qualcuno può spiegarmi come si fa il 3° esercizio?

Cioè come faccio a studiare l'esistenza dell'applicazione al variare di alfa e beta?

GIMUSI

Neomatrix092 ha scritto:Scusate, qualcuno può spiegarmi come si fa il 3° esercizio?
Cioè come faccio a studiare l'esistenza dell'applicazione al variare di alfa e beta?

la risposta è nella lezione 16 "Teorema di struttura: una applicazione lineare è univocamente determinata dai valori che assume in una base"

quindi dovrebbe essere sufficiente trovare i valori di alfa e beta che rendono i vettori di partenza una base

se sono una base li puoi mandare dove vuoi, quindi alfa dovrebbe poter esser libero

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