dubbio da semiprecorso

Limiti di successioni e funzioni, formula di Taylor
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g.masullo
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dubbio da semiprecorso

#1 Messaggioda g.masullo » mercoledì 9 dicembre 2009, 19:24

Buonasera a tutti

Esiste il limite notevole (e^x - 1)/x = 1 per x->0

Ma se io ho (e^x(funzione(x)) -1)/x , il limite cambia giusto?

*Dove funzione(x) è qualcosa del tipo log(x+7)

Devo separare i due termini?

(( e^x * e^f(x) ) -1 )/x ??

Esiste un modo rapido per vedere a cosa tende?

So che sicuramente è banale.. ma ora mi sfugge

Buona serata a tutti

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andrea.ceravolo
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#2 Messaggioda andrea.ceravolo » mercoledì 9 dicembre 2009, 19:48

Ragionandone insieme, probabilmente abbiamo trovato la risposta alla domanda :)

Prendiamo come riferimento la tabella dei limiti notevoli con relativa dimostrazione del limite in esame : http://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_dei_limiti_notevoli

A questo punto... se l'esponente di e non e' semplicemente x, ma x*f(x) (come puo' essere un qualsiasi mostro(x)), la dimostrazione cede nel punto in cui si pone che per x->0, z->0. Quindi non e' possibile stabilire a priori come si comporti il limite, va studiata nello specifico f(x) e risolto tutto di conseguenza.

Ci sono obiezioni a questa interpretazione? :)

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g.masullo
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#3 Messaggioda g.masullo » mercoledì 9 dicembre 2009, 19:54

Avendo ragionato insieme non ho obiezioni ovviamente :)

Resta solo da capire ora come si faccia nel caso del logaritmo!

tipo... (3+x)^x - (2+x)^x

Faccio e-alla

e^xlog(3+x) - e^x(log2+x)

(nb: x->0+)

p.s : santo msn..

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andrea.ceravolo
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#4 Messaggioda andrea.ceravolo » giovedì 10 dicembre 2009, 21:11

Rendiamo pubblica una discussione privata, potrebbe aver valore didattico (o comico) per qualcuno :)

Come scrivevo prima, va studiato cosa fa quello che ho precedentemente chiamato f(x).

Nel caso specifico: avremmo x * ln(3+x) = ln(1+z) : il nostro f(x) e' ln(3+x).
Allora... per x che tende a 0, z tende a 0? Si: viceversa, per z che tende a 0, x*ln(3+x) a cosa tende?

Nota: qua inizia il terreno accidentato: non so bene come esplicitare con rigore i ragionamenti che ho fatto.

O tende a -2, o tende a 0. 0 mi torna comodo, -2 no, e non so bene come escluderlo... probabilmente, posso gia' escluderlo perche' salterebbe fuori una cosa tipo [ -2 = (1+0)/0 ], che non e' il massimo della legittimita'.
Se tende a 0, invece, mi trovo una cosa simpatica: 0 = (1+0)/ln(3)... che prontamente inserisco nel limite !

lim z->0 (z/ln(1+z))/ln(3+x).

Per la dimostrazione del limite notevole precedentemente mostrata, ci ritroviamo con lim z->0 ln(3+x) * 1/[un limite notevole che farebbe 1].
X segue e tende a 0: risultato finale, ln(3) * 1 = ln(3). Stessa cosa per e^(x*ln(2+x))

Se ho commesso grossolani errori, mettetemeli in evidenza, perche' da solo non li vedo :)
E se trovate un modo piu' rigoroso di dire quel che ho detto, fatemelo sapere, perche' non lo so :)

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#5 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 10 dicembre 2009, 22:26

g.masullo ha scritto:Faccio e-alla
e^xlog(3+x) - e^x(log2+x)

A questo punto il solito amico brutale direbbe che e^t è circa 1+t (dal momento che t -> 0).
Più rigorosamente si aggiunge e toglie 1 e ci si ritrova il solito limite notevole.

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logaritmo
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#6 Messaggioda logaritmo » martedì 5 gennaio 2010, 21:13

Gael mi meraviglio di te. Questo limite era telefonatissimo :D
log


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