limite

Limiti di successioni e funzioni, formula di Taylor
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limite

#1 Messaggioda francicko » domenica 29 novembre 2015, 17:33

Salve!
Ho un problema con il seguente limite:

\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{n!}{e^{n^2}},

si può far vedere che il risultato è 0 usando semplicemente il principio di induzione?
Grazie per le eventuali risposte!

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Re: limite

#2 Messaggioda GIMUSI » domenica 29 novembre 2015, 19:41

ma un bel criterio del rapporto no eh :)

allego un tentativo alternativo con doppia induzione!!!...ma non me ne assumo alcuna responsabilità eh (e magari ci sono vie più dirette :?: )...che ne dici?
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Re: limite

#3 Messaggioda francicko » domenica 29 novembre 2015, 23:33

Grazie tante per le risposte!!
Se a posto di n^2a denominatore come esponente abbiamo semplicemente n il nostro limite da come risultato infinito, ed idem sarebbe dimostrabile sempre con l'induzione, giusto?
Quest' ultimo implicherebbe che il limite della radice ennesima di n! va ad infinito, risultato che ho visto dimostrato solo con Stirling, o Cesàro. :roll:

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Re: limite

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 30 novembre 2015, 8:53

francicko ha scritto:il limite della radice ennesima di n! va ad infinito, risultato che ho visto dimostrato solo con Stirling, o Cesàro. :roll:


... o con un tranquillo criterio rapporto -> radice.

Certo poi uno può dire che il rapporto -> radice è un caso speciale di Cesàro, e che entrambi i criteri hanno il punto centrale della dimostrazione che si fa per induzione ...

In ogni caso, da nessuno dei limiti che si stanno discutendo qui segue il limite della radice n-esima di n!.

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Re: limite

#5 Messaggioda francicko » lunedì 30 novembre 2015, 23:27

Scusi se insisto, ma \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac {n!}{e^n} si può scrivere nella forma \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac {e^{\log n!}}{e^n}=+\infty, da qui non si deduce che \log n! tende più velocemente ad +\infty di n?
Quindi deve essere \displaystyle\lim_{n\to\+\infty}\frac {\log n!}{n}=+\infty, cioe' \displaystyle\lim_{n\to+\infty}{\log({n!}^{1/n}})=+\infty, pertanto deve aversi \displaystyle\lim_{n\to +\infty}{{n!}^{1/n}=+\infty} :roll: e' un ragionamento errato?

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Re: limite

#6 Messaggioda GIMUSI » martedì 1 dicembre 2015, 0:00

però anche \frac{e^{2n}}{e^{n}} tende a +inf ma \frac{{2n}}{{n}} a 2 :roll:
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Re: limite

#7 Messaggioda francicko » martedì 1 dicembre 2015, 9:08

Avete ragione! Scusatemi per la banalita' della domanda.

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Re: limite

#8 Messaggioda GIMUSI » martedì 1 dicembre 2015, 10:35

non devi scusarti di nulla, benedetti i dubbi!!! io ne ho tonnellate... :)
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