Limiti di funzioni

Limiti di successioni e funzioni, formula di Taylor
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mateusz
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Limiti di funzioni

#1 Messaggioda mateusz » lunedì 21 aprile 2014, 11:33

Salve a tutti,

sto svolgendo i limiti di funzioni e vi e' un esercizio (sicuramente) semplice che pero' mi sta dando qualche problema...

\displaystyle\lim_{x \to 0}cosx^\left(\frac{1}{sinx}\right)

Un passaggio riesco a svolgerlo ma poi dopo non so come proseguire...

\displaystyle\lim_{x \to 0}cosx^\left(\frac{1}{sinx}\right) = \displaystyle\lim_{x \to 0}\left(cosx^\left(\frac{x}{sinx}\right)\right)^\frac{1}{x}

sinx/x = 1 quindi rimango con

\displaystyle\lim_{x \to 0}cosx^\left(\frac{1}{x}\right) da qui in poi non mi viene in mente altro (ho provato anche con il trucco dell'esponenziale ma la cosa si complica ulteriormente)

Grazie e buona Pasqua a tutti!

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Re: Limiti di funzioni

#2 Messaggioda GIMUSI » lunedì 21 aprile 2014, 14:20

con i limiti indeterminati del tipo f(x)^{g(x)} è conveniente utilizzare l'esponenziale per ricondursi a casi più semplici

f(x)^{g(x)}= e^{logf(x)^{g(x)}}=e^{g(x)logf(x)}}

nel caso in esame il limite dovrebbe essere 1

allego qui lo svolgimento
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Re: Limiti di funzioni

#3 Messaggioda mateusz » lunedì 21 aprile 2014, 14:56

Ciao Gimusi,

non capisco una cosa pero'

\displaystyle\lim_{x \to 0}e^\frac{ln(\cos x)}{\sin x} , \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(\cos x)}{\sin x} = 0

Io pero' non conosco ancora Hopital ne' altri teoremi, solo limiti di funzioni notevoli e cambio di variabile.
Questo limite e' sotto la sezione "Limiti notevoli" e immagino che ci sia un modo di risolverlo senza usare Hopital...

La mia domanda e' : come dimostro che \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(\cos x)}{\sin x} = 0 solo coi limiti notevoli?

Mateusz.

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Re: Limiti di funzioni

#4 Messaggioda GIMUSI » lunedì 21 aprile 2014, 15:28

tra l'altro l'hopital è un po' brutale e poco elegante...

allego un possibile svolgimento tramite limite notevoli :)
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Re: Limiti di funzioni

#5 Messaggioda mateusz » lunedì 21 aprile 2014, 16:47

Si cosi' mi e' piu' chiaro grazie! Non ci avevo proprio pensato di elevare il sin al quadrato e moltiplicare per 1/2.

C'e' un'ultima cosa che vorrei chiedere, nella soluzione hai detto che

\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(1 - \sin^2x)}{\sin^2 x} = -1 ma come si dimostra? Io conosco questo che ci assomiglia come limite notevole... \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(1 + x)}{x} = 1 o hai usato sempre Hopital o qualche altro teorema?

Mateusz.

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Re: Limiti di funzioni

#6 Messaggioda GIMUSI » lunedì 21 aprile 2014, 17:01

mateusz ha scritto:Si cosi' mi e' piu' chiaro grazie! Non ci avevo proprio pensato di elevare il sin al quadrato e moltiplicare per 1/2.

C'e' un'ultima cosa che vorrei chiedere, nella soluzione hai detto che

\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(1 - \sin^2x)}{\sin^2 x} = -1 ma come si dimostra? Io conosco questo che ci assomiglia come limite notevole... \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(1 + x)}{x} = 1 o hai usato sempre Hopital o qualche altro teorema?

Mateusz.


si ottiene per sostituzione...

\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(1 - \sin^2x)}{\sin^2 x}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{-ln(1 - \sin^2x)}{-\sin^2 x}=\displaystyle\lim_{t \to 0}\frac{-ln(1 + t)}{t} = -1
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Re: Limiti di funzioni

#7 Messaggioda mateusz » lunedì 21 aprile 2014, 17:11

certo, tutto chiaro!


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