Definitione radici e logaritmi [era: Limite potenze]

Discussione di esercizi sul Precorso e le parti preliminari del programma
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keine_ahnung
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Definitione radici e logaritmi [era: Limite potenze]

#1 Messaggioda keine_ahnung » giovedì 29 dicembre 2016, 18:52

Innanzitutto mi presento: mi chiamo Joseph, premetto che non sono uno studente di matematica, ma mi piace studiarla da autodidatta. Grazie al Prof. Gobbino (idolo assoluto) per le lezioni che mette gratuitamente a disposizione e per la chiarezza nelle spiegazioni. Ho guardato quasi tutto il corso di Analisi 1, e ho alcuni dubbi, per iniziare ne espongo qui uno sui limiti di potenze.
Nel calcolo dei limiti di esponenziali, il Prof. Gobbino dice che non è corretto calcolarli direttamente tramite l uso del logaritmo in quanto la definizione di logaritmo già sottintende sapere che l'esponenziale (per a>1) tende a più infinito. La mia domanda è: non vale lo stesso problema anche per le potenze? Alla fine anche per definire la funzione radice serve indagare la surgettività della funzione potenza tramite la creazione di due classi (assioma di continuità).
Grazie per l'eventuale risposta da parte di chicchessia

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Massimo Gobbino
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Re: Limite potenze

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » venerdì 30 dicembre 2016, 14:53

Proprio così.

Prima di scrivere la radice di x dobbiamo investigare la sua esistenza! Penso di aver sensibilizzato su questa faccenda alla lezione 12 di quest'anno (lo deduco dall'ultima riga dello stampato, ma probabilmente dico qualcosa anche prima nel video, mentre faccio l'esempio 1).

A voler seguire il filo logico, bisognerebbe, nell'ordine

  • definire le potenze ad esponente intero positivo per induzione (qui servono solo gli assiomi di campo),
  • dimostrare che sono strettamente monotone e dunque iniettive per x>=0 (e qui si fa con i soli assiomi algebrici e di ordinamento),
  • dimostrare che tendono all'infinito quando x tende all'infinito (e qui si fa con il confronto come indicato alla fine della lezione 12),
  • dimostrare che sono continue (e ancora una volta si riesce con sole disuguaglianze e assiomi di ordinamento),
  • dimostrare che sono surgettive mediante il teorema di esistenza degli zeri (e qui entra in gioco l'assioma di continuità in una delle tante forme equivalenti).

Solo a questo punto si ha a disposizione l'inversa. Le classiche costruzioni che si vedono talora all'inizio dei corsi (tipo quella con le classi contigue) sono un altro modo di dire quanto detto sopra.

Per gli esponenziali/logaritmi il discorso è analogo, solo che già la definizione è più delicata (ci sono approcci diversissimi: quello forse più semplice/naturale passa per l'equazione funzionale a cui ho accennato quest'anno alla lezione 8).

Ora sposto tutto alla sezione preliminari, che mi sembra più adatta, e metto un titolo più adatto.

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Re: Definitione radici e logaritmi [era: Limite potenze]

#3 Messaggioda keine_ahnung » venerdì 30 dicembre 2016, 15:11

Grazie! Davvero gentilissimo. Si, ha ragione, ne parla alla lezione 12 di quest'anno; io avevo seguito le lezioni 2014/15 e lì ne parlava solo riguardo all'esponenziale, per quello mi era venuto il dubbio.


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