Definizione di funzione composta con definizione di funzione "rigorosa"

[Mentina]

Siano [math]A,B, C insiemi, e [math]G, F delle funzioni secondo la definizione "rigorosa" della lezione 003 con [math]G \subseteq A \times B e [math]F \subseteq B \times C.
[math]H \subseteq A \times C è la funzione composta definita in questo modo:
[math]\forall a \in A prendo l'unico [math]b \in B per cui [math](a, b) \in G e poi prendo l'unico [math]c per cui [math](b, c) \in F, in questo modo ho sempre un unico [math]c per cui [math](a, c) \in G
Possiamo poi definire [math]f(g(a)) come l'unico [math]c \in C che rispetta la relazione [math]H.

[Massimo Gobbino]

Quello che uno vorrebbe fare è definire H a partire da F e G, senza mai nemmeno nominare le fantomatiche "leggi" f e g.

[Giacomo]

Siano A, B, C tre insiemi non vuoti;

sia F [math]\subseteq A[math]\timesB tc. F è una funzione.
sia G [math]\subseteq B[math]\timesC tc. G è una funzione.

dove la proposizione "è una funzione" significa tutto quello scritto al punto 2, riadattando i nomi.

considero ora il seguente insieme:

H= { (a,c) [math]\in A [math]\times C, tc. [math]\exists b[math]\in B tc. ( (a,b) [math]\in F, e (b,c) [math]\in G }

2-ora dovrei provare che H è una funzione, cioè:

- [math]\forall a [math]\in A [math]\exists c [math]\in C, tc. (a,c) [math]\in H;
- (a,[math]c_{1}), (a,[math]c_{2})[math]\in H [math]\longrightarrow [math]c_{1}=[math]c_{2};

proviamo la prima:
prendo a [math]\in A, esiste b[math]\in B tale che (a,b) [math]\in F, perchè F è una funzione. ora [math]\existsc[math]\in C tc. (b,c)[math]\in G, perchè G è una funzione. Ora la coppia (a,c) sta in H?
certo perchè esiste b(trovato una riga sopra) tc. succede quello che ho scritto nella definizione di H;

proviamo la seconda:
siano (a,[math]c_{1}) e (a,[math]c_{2}) [math]\in H; allora esistono [math]b_{1} e [math]b_{2} tali che
- (a, [math]b_{1}) [math]\inF
-(a, [math]b_{2}) [math]\inF

- ([math]b_{1}, [math]c_{1}) [math]\inG;
- ([math]b_{2}, [math]c_{2}) [math]\inG;

poichè F è una funzione, [math]b_{1}) deve essere uguale a [math]b_{2}); (non puo essere che a assuma 2 valori)

quindi si deve avere che
- ([math]b_{1}, [math]c_{1}) [math]\inG;
- ([math]b_{1}, [math]c_{2}) [math]\inG;

poichè G è una funzione [math]c_{1}=[math]c_{2}( non può essere che [math]b_{1} assuma due valori)

dimostrato ora che H è una funzione, posso finalmente chiamare H la "composizione di G con F";

[Mentina]

Grazie!

[Massimo Gobbino]

La costruzione/dimostrazione di Giacomo è sostanzialmente corretta, a parte un po' di segni di "contenuto" che invece dovrebbero essere "appartiene".

Forse poi sarebbe stato meglio nel finale usare [math]c_1 e [math]c_2 invece di c e d, soltanto per simmetria con l'uso di [math]b_1 e [math]b_2.

[Giacomo]

Un pò in ritardo ma dovrei aver sistemato gli errori, come indicato dal professore