Siano [math] insiemi, e [math] delle funzioni secondo la definizione "rigorosa" della lezione 003 con [math] e [math].
[math] è la funzione composta definita in questo modo:
[math] prendo l'unico [math] per cui [math] e poi prendo l'unico [math] per cui [math], in questo modo ho sempre un unico [math] per cui [math]
Possiamo poi definire [math] come l'unico [math] che rispetta la relazione [math].
Definizione di funzione composta con definizione di funzione "rigorosa"
- Massimo Gobbino
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Re: Definizione di funzione composta con definizione di funzione "rigorosa"
Quello che uno vorrebbe fare è definire H a partire da F e G, senza mai nemmeno nominare le fantomatiche "leggi" f e g.
Re: Definizione di funzione composta con definizione di funzione "rigorosa"
Siano A, B, C tre insiemi non vuoti;
sia F [math] A[math]B tc. F è una funzione.
sia G [math] B[math]C tc. G è una funzione.
dove la proposizione "è una funzione" significa tutto quello scritto al punto 2, riadattando i nomi.
considero ora il seguente insieme:
H= { (a,c) [math] A [math] C, tc. [math] b[math] B tc. ( (a,b) [math] F, e (b,c) [math] }
2-ora dovrei provare che H è una funzione, cioè:
- [math] a [math] A [math] c [math] C, tc. (a,c) [math] H;
- (a,[math]), (a,[math])[math] H [math] [math]=[math];
proviamo la prima:
prendo a [math] A, esiste b[math] B tale che (a,b) [math] F, perchè F è una funzione. ora [math]c[math] C tc. (b,c)[math] G, perchè G è una funzione. Ora la coppia (a,c) sta in H?
certo perchè esiste b(trovato una riga sopra) tc. succede quello che ho scritto nella definizione di H;
proviamo la seconda:
siano (a,[math]) e (a,[math]) [math] H; allora esistono [math] e [math] tali che
- (a, [math]) [math]F
-(a, [math]) [math]F
- ([math], [math]) [math]G;
- ([math], [math]) [math]G;
poichè F è una funzione, [math]) deve essere uguale a [math]); (non puo essere che a assuma 2 valori)
quindi si deve avere che
- ([math], [math]) [math]G;
- ([math], [math]) [math]G;
poichè G è una funzione [math]=[math]( non può essere che [math] assuma due valori)
dimostrato ora che H è una funzione, posso finalmente chiamare H la "composizione di G con F";
sia F [math] A[math]B tc. F è una funzione.
sia G [math] B[math]C tc. G è una funzione.
dove la proposizione "è una funzione" significa tutto quello scritto al punto 2, riadattando i nomi.
considero ora il seguente insieme:
H= { (a,c) [math] A [math] C, tc. [math] b[math] B tc. ( (a,b) [math] F, e (b,c) [math] }
2-ora dovrei provare che H è una funzione, cioè:
- [math] a [math] A [math] c [math] C, tc. (a,c) [math] H;
- (a,[math]), (a,[math])[math] H [math] [math]=[math];
proviamo la prima:
prendo a [math] A, esiste b[math] B tale che (a,b) [math] F, perchè F è una funzione. ora [math]c[math] C tc. (b,c)[math] G, perchè G è una funzione. Ora la coppia (a,c) sta in H?
certo perchè esiste b(trovato una riga sopra) tc. succede quello che ho scritto nella definizione di H;
proviamo la seconda:
siano (a,[math]) e (a,[math]) [math] H; allora esistono [math] e [math] tali che
- (a, [math]) [math]F
-(a, [math]) [math]F
- ([math], [math]) [math]G;
- ([math], [math]) [math]G;
poichè F è una funzione, [math]) deve essere uguale a [math]); (non puo essere che a assuma 2 valori)
quindi si deve avere che
- ([math], [math]) [math]G;
- ([math], [math]) [math]G;
poichè G è una funzione [math]=[math]( non può essere che [math] assuma due valori)
dimostrato ora che H è una funzione, posso finalmente chiamare H la "composizione di G con F";
Ultima modifica di Giacomo il lunedì 3 ottobre 2016, 22:10, modificato 1 volta in totale.
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Re: Definizione di funzione composta con definizione di funzione "rigorosa"
La costruzione/dimostrazione di Giacomo è sostanzialmente corretta, a parte un po' di segni di "contenuto" che invece dovrebbero essere "appartiene".
Forse poi sarebbe stato meglio nel finale usare [math] e [math] invece di c e d, soltanto per simmetria con l'uso di [math] e [math].
Forse poi sarebbe stato meglio nel finale usare [math] e [math] invece di c e d, soltanto per simmetria con l'uso di [math] e [math].
Re: Definizione di funzione composta con definizione di funzione "rigorosa"
Un pò in ritardo ma dovrei aver sistemato gli errori, come indicato dal professore
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