[Media aritmetico-geometrica] Successioni che convergono allo stesso limite

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[Media aritmetico-geometrica] Successioni che convergono allo stesso limite

#1 Messaggioda DavidMath » domenica 2 dicembre 2018, 13:24

Buongiorno, spero di non aver sbagliato sezione.

Sia [math]. Consideriamo due successioni [math] e [math] definite nel seguente modo:

[math] con [math]

[math] con [math]

Dimostrare che [math] e [math] convergono verso lo stesso limite.

Volevo chiedere dei consigli su come posso procedere.
Ho provato ad usare il Teorema di Césaro-Stolz tuttavia non ho ben capito se soddisfo le ipotesi per poterlo usare, oppure se c'è un altra strada più facile per procedere.

Grazie per l'aiuto :D

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Massimo Gobbino
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Re: Successioni che convergono allo stesso limite

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 2 dicembre 2018, 21:09

Ho modificato il titolo, per renderlo più aderente alla realtà.

Detto questo, un paio di aiutini

[+] Hint_1
La successione [math] è decrescente, mentre la successione [math]è crescente


[+] Hint_2
La successione [math] sta sempre sotto la successione [math].


Se serve altro, basta chiedere!

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Re: [Media aritmetico-geometrica] Successioni che convergono allo stesso limite

#3 Messaggioda DavidMath » domenica 2 dicembre 2018, 21:40

La ringrazio :D , provo a scriverle i passaggi che ho fatto.

Per la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica
[math]

[math]

Per la definizione di successione monotona e per la definizione di successione limitata ho che:
[math] risulta essere monotona crescente e limitata
[math] risulta essere decrescente e limitata

Per il Teorema sull'esistenza dei limiti di successioni monotone

Esiste il limite [math]

Esiste il limite [math]

(Dubbio: primo riguardo l'utilizzo di questo teorema, secondo vorrebbe dire che per avere le due successione convergenti allo stesso limite dovrebbe essere [math])

Corollario: una successione monotona è convergente se e solo se è limitata.
Quindi [math] e [math] convergono.
Ora vogliamo dimostrare che convergono allo stesso limite.
Da qui non so come procedere :(

Se non la disturbo troppo vorrei chiederle se può aiutarmi a scrivere la dimostrazione in termini più rigorosi, tante grazie!!

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Re: [Media aritmetico-geometrica] Successioni che convergono allo stesso limite

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 4 dicembre 2018, 15:13

Beh, facciamo il punto della situazione.

Sappiamo che [math] è decrescente e limitata dal basso (ad esempio da [math]), dunque ammette un limite reale

[math]

Analogamente, sappiamo che [math] è crescente e limitata dall'alto (ad esempio da [math]), dunque ammette un limite reale

[math]

Volendo sappiamo anche che [math], ma noi vorremmo addirittura l'uguaglianza.

[+] Possibile_Idea
Perché non provare a passare al limite in una a caso delle due ricorrenze e vedere che succede?


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