Formule chiuse non chiare

[polvere]

[math]x_{n+1} = 2x_n - n^2

Risolvendo prima l'omogenea associata e poi ricercando la soluzione particolare facendo il "tentativo" con [math]x_n = an^2 + bn + c trovo come formula chiusa [math]x_n = 2^nx_0 + n^2 + 2n +3, che però non è la soluzione corretta. La soluzione dovrebbe essere [math]x_n = 2^{n-1}(x_0 - 6) + n^2 + 2n +3

Non capisco il perchè. Dove sbaglio? Grazie in anticipo

[GIMUSI]

se non sbaglio la soluzione esatta dovrebbe essere [math]x_n = 2^{n-1}(2x_0 - 6) + n^2 + 2n +3

questa [math]x_n = 2^nx_0 + n^2 + 2n +3 non funziona perché per n=0 si otterrebbe [math]x_0=x_0+3

[Massimo Gobbino]

Penso che la confusione di polvere nasca dalla notazione. La formula chiusa per la soluzione generale è

[math]c2^n+n^2+2n+3

dove c è un parametro libero arbitrario. Ora occorre determinare c conoscendo [math]x_0. Con facili calcoli si trova [math]c=x_0-3, da cui

[math]x_n=(x_0-3)2^n+n^2+2n+3

che è poi la soluzione di GIMUSI.

[polvere]

Ho capito l'errore! Grazie mille!