Serie Parametrica : verifica

Serie numeriche, serie di potenze, serie di Taylor
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Noisemaker
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Serie Parametrica : verifica

#1 Messaggioda Noisemaker » mercoledì 5 settembre 2012, 10:45

Gentile Professore, ho trovato quest0 eserciz0 ... di cui però non ho il risultato ...


\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n\cdot \frac{n^{\frac{3}{2}}+1}{n^{\beta}\Big[\sqrt{n+\ln^2n}-\sqrt n\Big]}

si tratta di una serie a segno alterno; considerando il valore assolto del termine generale, otteniamo una serie a termini positivi, a cui possiamo applicare il criterio del confronto asintotico: si ha:

\displaystyle\Big|(-1)^n\cdot \frac{n^{\frac{3}{2}}+1}{n^{\beta}\Big[\sqrt{n+\ln^2n}-\sqrt n\Big]}\Big|=\frac{n^{\frac{3}{2}}+1}{n^{\beta}\Big[\sqrt{n+\ln^2n}-\sqrt n\Big]} \displaystyle=\frac{n^{\frac{3}{2}}+1}{n^{\beta}\Big[\sqrt{n+\ln^2n}-\sqrt n \cdot \frac{\sqrt{n+\ln^2n}+\sqrt n}{\sqrt{n+\ln^2n}+\sqrt n}\Big]} \displaystyle=\frac{n^{\frac{3}{2}}+1}{n^{\beta}\Big[ \frac{ \ln^2n}{\sqrt{n+\ln^2n}+\sqrt n}\Big]}
\displaystyle=\frac{n^{\frac{3}{2}}+1}{n^{\beta}\Big[ \frac{ \ln^2n}{\sqrt{n}\Big(\sqrt{1+\frac{\ln^2}{n}}+1\Big)}\Big]}\sim \frac{n^{\frac{3}{2}}}{n^{\beta}\Big( \frac{\ln^2n}{2\sqrt n} \Big)}=\frac{1}{2n^{\Big(\beta-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\Big)}\cdot\ln^2n}

allora si ha convergenza(assoluta e dunque anche semplice) quando

\displaystyle\beta-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\ge1 \to \beta -2\ge 1 \to \beta\ge 3

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Re: Serie Parametrica : verifica

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 25 settembre 2012, 14:24

Uhm, c'è una quadra messa male in un denominatore (dove moltiplichi e dividi), e poi anche la disuguaglianza finale deve essere stretta ...

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Re: Serie Parametrica : verifica

#3 Messaggioda Noisemaker » giovedì 27 settembre 2012, 21:33

Massimo Gobbino ha scritto:Uhm, c'è una quadra messa male in un denominatore (dove moltiplichi e dividi), e poi anche la disuguaglianza finale deve essere stretta ...


per la disuguaglianza ok ... deve essere stretta altrimenti per \beta =3 si ha divergenza ... ma nelle quadre messe male non riesco a vedere dove ho sbagliato .... :oops: :oops:

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Re: Serie Parametrica : verifica

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 17 ottobre 2012, 15:00

Noisemaker ha scritto:ma nelle quadre messe male non riesco a vedere dove ho sbagliato .... :oops: :oops:

Beh, a giudicare dalla "razionalizzazione" che stai facendo, la quadra andrebbe prima del puntino.


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