Serie Parametriche 2

Serie numeriche, serie di potenze, serie di Taylor
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Roccia
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Serie Parametriche 2

#1 Messaggioda Roccia » sabato 20 dicembre 2008, 1:04

Le due serie di riga 7 mi hanno dato qualche difficoltà
Le serie sono

n^2 * a^(n^2)

e

n! * a^(n^2)

sono pressochè simili però mi trovo in difficoltà dal punto di vista operativo davanti a queste serie.

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steve1991
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#2 Messaggioda steve1991 » domenica 5 dicembre 2010, 18:13

Allora io ho provato a fare il settimo nella prima colonna e ho usato il criterio del rapporto nelle serie. dopo un pò troverai che a^2n*a^1 e appunto a^2n converge se <1; ossia quando a^2 è minore di 1 quindi a compreso tra -1 e 1.Spero che si faccia cosi e che sia giusto... [/list]
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Re: Serie Parametriche 2

#3 Messaggioda Noisemaker » venerdì 7 settembre 2012, 10:28

Roccia ha scritto:Le due serie di riga 7 mi hanno dato qualche difficoltà
Le serie sono

\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}  n^2  a^{n^2}

e
\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n!  a^{n^2}

sono pressochè¨ simili però mi trovo in difficoltà  dal punto di vista operativo davanti a queste serie.


1) \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}  n^2  a^{n^2}

per prima cosa verifichiamo se la condizione necessaria è verificata, calcoliamo cioè

\displaystyle\lim_{n \to +\infty}n^2  a^{n^2}

ora, ricordando che la funzione esponenziale a^x risulta crescente se a>1 ,mentre risulta decrescente se a<1, nel risolvere il limite dobbiamo tenere conto della variazione della base dell'esponenziale, per stabilire appunto quando l'esponenziale risulti crescente (e quindi divergente a +\infty), oppure decrescente (e quindi convergente a 0 ).Dunque abbiamo che


\displaystyle\lim_{n \to +\infty}n^2  a^{n^2}=\begin{cases} +\infty, & \mbox{se }a>1, \mbox{ la serie non converge} \\ 0, & \mbox{se }a<1, \mbox{ la serie Potrebbe convergere}
\end{cases}

allora, nel caso in cui a<1 possiamo applicare il criterio del rapporto (osservando naturalmente che la serie è a termini positivi):

\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\frac{(n+1)^2  a^{(n+1)^2} }{n^2  a^{n^2}}=\lim_{n \to +\infty}\frac{a^{(n+1)^2} }{a^{n^2}}\cdot \frac{(n+1)^2  }{n^2  } =\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\frac{a^{n^2+2n+1} }{a^{n^2}}\cdot 1=\lim_{n \to +\infty}\frac{a^{n^2} \cdot a^{2n}\cdot a}{a^{n^2}}

\displaystyle=\lim_{n \to +\infty}  a^{2n}\cdot a=0<\lambda<1\to\mbox{converge}

si conclude dunque che la serie converge, per il criterio del rapporto, per i valori di a<1

2) \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n!  a^{n^2}

esattamente come ne caso precedente, verifichiamo che la condizione necessaria per la convergenza sia verificata:

\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n!  a^{n^2}=\begin{cases} +\infty, & \mbox{se }a>1, \mbox{ la serie non converge} \\ 0, & \mbox{se }a<1, \mbox{ la serie Potrebbe convergere}
\end{cases}

allora, nel caso in cui a<1 possiamo applicare il criterio del rapporto (osservando naturalmente che la serie è a termini positivi):

\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\frac{(n+1)!  a^{(n+1)^2} }{n!  a^{n^2}}=\lim_{n \to +\infty}\frac{a^{(n+1)^2} }{a^{n^2}}\cdot \frac{(n+1)!  }{n! } =\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\frac{a^{n^2+2n+1} }{a^{n^2}}\cdot  \frac{n!(n+1)   }{n! } =\lim_{n \to +\infty}\frac{a^{n^2} \cdot a^{2n}\cdot a}{a^{n^2}}\cdot(n+1)

\displaystyle=\lim_{n \to +\infty}  a^{2n}\cdot a\cdot(n+1)=0<\lambda<1\to\mbox{converge}

infatti quest'ultimo limite, grazie al criterio del rapporto per successioni (Se la successione \frac{a_{n+1}}{a_n} converge ad un
limite l < 1 allora la successione a_n è strettamente decrescente e converge a zero)
risuta:

\displaystyle\lim_{n \to +\infty}  a^{2n}\cdot a\cdot(n+1)=\displaystyle a\cdot \lim_{n \to +\infty}  \frac{a^{2n +2}\cdot (n+2)}{a^{2n} \cdot(n+1)} \displaystyle=a\cdot \lim_{n \to +\infty}  \frac{a^{2n }\cdot a^{2}\cdot (n+2)}{a^{2n} \cdot(n+1)}=a^3<1 \Rightarrow \mbox{il limite risulta =0}

si conclude dunque che la serie converge, per il criterio del rapporto, per i valori di a<1


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