Indeterminatezza della serie

Serie numeriche, serie di potenze, serie di Taylor
Messaggio
Autore
Mondo
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 25
Iscritto il: lunedì 7 gennaio 2008, 12:20

Indeterminatezza della serie

#1 Messaggioda Mondo » lunedì 28 gennaio 2008, 15:56

Se io volessi dimostrare che una serie è indeterminata, ad esempio la serie di sin n, uso un procedimento simile all'integrale improprio?

(prendo 2 sottosuccessioni e vedo che le serie delle due sottosuccessioni vanno a 2 limiti diversi...)

Avatar utente
Massimo Gobbino
Amministratore del Sito
Amministratore del Sito
Messaggi: 2205
Età: 51
Iscritto il: lunedì 29 novembre 2004, 19:00
Località: Pisa
Contatta:

Re: Indeterminatezza della serie

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 29 gennaio 2008, 8:53

Mondo ha scritto:(prendo 2 sottosuccessioni e vedo che le serie delle due sottosuccessioni vanno a 2 limiti diversi...)

Sì, ma attenzione: le 2 sottosuccessioni le devi prendere nella successione delle somme parziali, non nella successione che stai sommando.

Adesso il caso della serie di sin (nx) è particolarmente fortunato perché è uno dei pochi casi in cui c'è una formula esplicita per le somme parziali (trovarla è un esercizio carino sui numeri complessi).

Mondo
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 25
Iscritto il: lunedì 7 gennaio 2008, 12:20

Re: Indeterminatezza della serie

#3 Messaggioda Mondo » martedì 29 gennaio 2008, 13:01

Massimo Gobbino ha scritto:Il caso della serie di sin (nx) è particolarmente fortunato perché è uno dei pochi casi in cui c'è una formula esplicita per le somme parziali (trovarla è un esercizio carino sui numeri complessi).

(pi è ancora una volta pigreco)
Se non mi sbaglio, la somma dovrebbe essere
Im ((e^(ix(n+1))-1)/(e^(ix)-1))...
Per le sottosuccessioni avevo pensato a
i) (2kpi)/x e qui il limite fa 0
ii) (2kpi+pi/2)/x e qui il limite fa un'atrocità con sin e cos vale a dire
(1-cosx+sinx)/(2-2cosx)
E ora?
Devo trovare una terza sottosuccessione in cui il limite non fa zero per quei valori di x tali che (1-cosx+sinx) si annulla?
Ultima modifica di Mondo il martedì 29 gennaio 2008, 13:27, modificato 1 volta in totale.

Avatar utente
Massimo Gobbino
Amministratore del Sito
Amministratore del Sito
Messaggi: 2205
Età: 51
Iscritto il: lunedì 29 novembre 2004, 19:00
Località: Pisa
Contatta:

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 29 gennaio 2008, 13:04

Sì, qualcosa del genere.

Mondo
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 25
Iscritto il: lunedì 7 gennaio 2008, 12:20

#5 Messaggioda Mondo » martedì 29 gennaio 2008, 13:28

ooops messaggio modificato... :lol:

Avatar utente
Massimo Gobbino
Amministratore del Sito
Amministratore del Sito
Messaggi: 2205
Età: 51
Iscritto il: lunedì 29 novembre 2004, 19:00
Località: Pisa
Contatta:

Re: Indeterminatezza della serie

#6 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 29 gennaio 2008, 18:59

Mondo ha scritto:Per le sottosuccessioni avevo pensato a
i) (2kpi)/x e qui il limite fa 0
ii) (2kpi+pi/2)/x e qui il limite fa un'atrocità con sin e cos vale a dire
(1-cosx+sinx)/(2-2cosx)


Ma a chi vorresti sostituire quei valori?

Mondo
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 25
Iscritto il: lunedì 7 gennaio 2008, 12:20

Re: Indeterminatezza della serie

#7 Messaggioda Mondo » martedì 29 gennaio 2008, 21:13

Massimo Gobbino ha scritto:Ma a chi vorresti sostituire quei valori?

Io sostituirei a n osservando che per k tendente a +oo tutte quelle quantità sono infinite

Avatar utente
Massimo Gobbino
Amministratore del Sito
Amministratore del Sito
Messaggi: 2205
Età: 51
Iscritto il: lunedì 29 novembre 2004, 19:00
Località: Pisa
Contatta:

Re: Indeterminatezza della serie

#8 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 30 gennaio 2008, 10:06

Mondo ha scritto:tutte quelle quantità sono infinite


e soprattutto ... intere :lol: :lol: :lol:

Mondo
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 25
Iscritto il: lunedì 7 gennaio 2008, 12:20

Re: Indeterminatezza della serie

#9 Messaggioda Mondo » mercoledì 30 gennaio 2008, 14:56

Massimo Gobbino ha scritto: e soprattutto ... intere :lol: :lol: :lol:


Mi sa che non ho capito.
Non posso fare un cambio funzione->successione?

Avatar utente
Massimo Gobbino
Amministratore del Sito
Amministratore del Sito
Messaggi: 2205
Età: 51
Iscritto il: lunedì 29 novembre 2004, 19:00
Località: Pisa
Contatta:

Re: Indeterminatezza della serie

#10 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 30 gennaio 2008, 17:16

Mondo ha scritto:Non posso fare un cambio funzione->successione?

Ehm, il fatto che sin x non ha limite per x che tende a + infinito non basta per concludere che sin n non ha limite come successione ...

Mondo
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 25
Iscritto il: lunedì 7 gennaio 2008, 12:20

#11 Messaggioda Mondo » mercoledì 30 gennaio 2008, 22:59

:oops: :oops: è vero.
E allora come si fa a mostrare che questa serie è indeterminata?

Mondo
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 25
Iscritto il: lunedì 7 gennaio 2008, 12:20

#12 Messaggioda Mondo » giovedì 31 gennaio 2008, 10:45

Ad esempio per mostrare che sin n è indeterminata potrei ragionare per assurdo:
se sin n ha limite (e se c'è l'ha, è per forza finito) allora sin n = sin 2n e dunque cos n =1/2 il che implica che il limite supposto può essere solo sqrt(3)/2
E ora mi basta vedere che sin n non sta definitivamente tra sqrt(3)/2-epsilon e sqrt(3)/2+epsilon.
Un procedimento del genere fa bene? Lo posso applicare pure alla mia serie?

Avatar utente
Massimo Gobbino
Amministratore del Sito
Amministratore del Sito
Messaggi: 2205
Età: 51
Iscritto il: lunedì 29 novembre 2004, 19:00
Località: Pisa
Contatta:

#13 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 31 gennaio 2008, 17:42

Mondo ha scritto: allora sin n = sin 2n e dunque cos n =1/2

Questo è un misto tra un brutale ed un limite metà per volta, che mi disgusta. Tuttavia, con un po' di pazienza si potrebbe rendere un minimo rigoroso :D (per cui alla fine l'idea non è male).

Comunque, il trucco per far vedere che questi limiti non esistono è far vedere (per esempio) che sin n è infinite volte vicino a 1 ed infinite volte vicino a -1, il che segue dal fatto che i naturali (visti come radianti sulla circonferenza trigonometrica) sono infinite volte vicino a \pi/2 e infinite volte vicini a 3\pi/2.

Mondo
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 25
Iscritto il: lunedì 7 gennaio 2008, 12:20

#14 Messaggioda Mondo » domenica 3 febbraio 2008, 13:09

Ok, provo a rendere il tutto più rigoroso...

sia b_n= sin 2n una sottosuccessione di a_n= sin n.
b_n= sin 2n= 2sin n cos n= [a meno di un segno + o -]2sin n sqrt (1-sin^2 n).
Supponiamo che il limite di a_n esista. Se esiste, è finito perchè la successione è limitata sia superiormente che inferiormente. Chiamiamo questo limite L.
Anche b_n dovrà tendere ad L e visto che sin n tende pure a L abbiamo che [sempre a meno di quel segno + o -] L= 2L sqrt(1-L^2) e dunque si può solo avere che L=0, L=+sqrt(3)/2 , L=-sqrt(3)/2.
A questo punto applico la definizione di limite e concludo...
Va bene?

E, rigorosamente, come faccio a dire che
Massimo Gobbino ha scritto:sin n è infinite volte vicino a 1 ed infinite volte vicino a -1
?

superskunk
Utente in crescita
Utente in crescita
Messaggi: 13
Iscritto il: sabato 2 febbraio 2008, 16:09

#15 Messaggioda superskunk » domenica 3 febbraio 2008, 16:32

Mondo ha scritto:E, rigorosamente, come faccio a dire che
Massimo Gobbino ha scritto:sin n è infinite volte vicino a 1 ed infinite volte vicino a -1
?



penso il professore si riferisse al fatto che sin(pigreco/2 + 2kpigreco) fa sempre uno e sin(3/2pigreco + 2kpigreco) fa sempre -1.....fai 2 sottosuccessioni che rispecchiano questi valori e hai dimostrato che il limite non esiste..


Torna a “Serie”

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite