Completezza numeri reali

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Giacomo
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Completezza numeri reali

#1 Messaggioda Giacomo » domenica 29 marzo 2015, 13:50

Buongiorno a tutti,
non ho capito una cosa riguardo alla dimostrazione completezza implica assioma di continuita;
nella dimostrazione si fa di fatto una bisezione... per dimostrare che le due successioni sono di cauchy si usa che ak e bk formano intervalli via via piu piccoli perche l ampiezza si dimezza... ma per dire che gli intervalli sono piccoli a piacere a me serve una qualche forma di propieta archimedea che so dimostrare solo a partire dall assioma di continuita... cioè mi basterebbe dimostrare che la successione 2^n tende a piu infinito ma non ci riesco senza tirare in ballo il sup.

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Massimo Gobbino
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Re: Completezza numeri reali

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 29 marzo 2015, 18:22

Giusto-giusto-giusto, grande domanda :idea: e grande dimenticanza mia :? :oops: :oops: . La situazione è questa. In un campo ordinato:

  • Assioma di continuità implica proprietà archimedea + completezza alla Cauchy (dimostrato, spero decentemente, nel corso),

  • proprietà archimedea + completezza alla Cauchy implicano l'assioma di continuità (la dimostrazione si fa per bisezione come ho accennato),

  • la completezza alla Cauchy da sola non implica la proprietà archimedea, quindi a maggior ragione non implica l'assioma di continuità (l'esempio si googla ma di certo diventa semplice solo verso il secondo o terz'anno). Ecco del bel materiale per la prossima scheda di esercizi deliranti :lol: :mrgreen:

Intanto però sposto da qualche altra parte, direi in errata corrige.


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