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Analisi Matematica 1 2015 - Scritti d'esame

Inviato: sabato 6 giugno 2015, 12:40
da Massimo Gobbino
Ecco il testo del primo scritto. Prima o poi potrei arrivare a postare le mie soluzioni, ma sarebbe molto più utile che qualcuno postasse le sue, in modo da poterle discutere e commentare.

Re: Analisi Matematica 1 2015 - Primo scritto

Inviato: martedì 9 giugno 2015, 0:09
da Ghedda
Provo a rispondere (brevemente) ad alcuni quesiti dell'esercizio 3.
Dalla disuguaglianza \displaystyle\frac{x}{1+x}\le\ln(1+x)\le x valida per x>-1 e dal teorema dei due carabinieri si deduce che la funzione dell'esercizio tende a \ln2 quando x tende a 0^{+}.
Allora nell'intervallo [0,2\pi] la funzione risulta continua e per il teorema di Weiestrass ammette massimo e minimo assoluti (il massimo nell'intervallo [0,\pi) dove la funzione risulta positiva).
Per 0 < x < \pi utilizzando il teorema della media integrale si ha che
(1) \displaystyle\int_x^{x+\sin(x)}\frac{1}{\ln(1+t)}dt=\frac{\sin(x)}{\ln(1+c_x)} con c_x \in [x,x+\sin(x)];
(2) \displaystyle\int_{x+2n\pi}^{x+2n\pi+\sin(x+2n\pi)}\frac{1}{\ln(1+t)}dt=\frac{\sin(x)}{\ln(1+c_y)} con c_y \in [x+2n\pi,x+2n\pi+\sin(x)].
Essendo c_x<c_y si deduce immediadamente che f(x)>f(x+2n\pi) e che quindi il massimo assoluto trovato nell'intervallo [0,2\pi] lo è anche nell'intervallo [0, +\infty).
Analogamente si ragiona per il minimo.

Secondo e terzo scritto

Inviato: sabato 25 luglio 2015, 12:02
da Massimo Gobbino
Ecco i testi del secondo e terzo scritto, per chi vuole provare a farli condividendo le sue soluzioni.

Re: Analisi Matematica 1 2015 - Scritti d'esame

Inviato: giovedì 3 settembre 2015, 14:56
da Massimo Gobbino
Per gli amanti del genere, ecco il quarto scritto.

Re: Analisi Matematica 1 2015 - Scritti d'esame

Inviato: mercoledì 13 gennaio 2016, 10:17
da Massimo Gobbino
Quinto scritto.