a parte la solita premessa che comincia ad essere passato un po' di tempo e certi ragionamenti mi riesce più difficile ricostruirli...direi che

[quote=&quot;Balengs&quot;:1fbwwmuo]
tu scrivi 

[tex:1fbwwmuo]f&#40;f&#40;w&#41;&#41;=0  \ \forall w \in W \rightarrow f&#40;f&#40;w_{1} + f&#40;w_{2}&#41; \dots[/tex:1fbwwmuo] [/quote:1fbwwmuo]

forse ho saltato un passaggio che avrebbe reso la cosa più chiara; è da intendere così:

[tex:1fbwwmuo]f&#40;f&#40;w&#41;&#41;=0 \ \forall w \in W \rightarrow[/tex:1fbwwmuo] [tex:1fbwwmuo]f&#40;f&#40;w_{1}&#41;&#41;+f&#40;f&#40;w_{2}&#41;&#41;=f&#40;f&#40;w_{1}&#41; + f&#40;w_{2}&#41;&#41;=0[/tex:1fbwwmuo]

[quote=&quot;Balengs&quot;:1fbwwmuo]
e già qui mi chiedo perché non dovrebbe essere [tex:1fbwwmuo]f&#40;f&#40;aw_{1} + f&#40;bw_{2}&#41;[/tex:1fbwwmuo] dato che stiamo parlando del generico [tex:1fbwwmuo]w \in W[/tex:1fbwwmuo].... <!-- s:?: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_question.gif" alt=":?:" title="Question" /><!-- s:?: -->[/quote:1fbwwmuo]

spero che ora il ragionamento sia più chiaro, sul generico vettore dirò qualcosa dopo

[quote=&quot;Balengs&quot;:1fbwwmuo]
proseguendo dai puntini scrivi 

[tex:1fbwwmuo]\dots f&#40;f&#40;w_{1} + f&#40;w_{2}&#41; = f&#40;1, -1, -1, 1&#41; =f&#40;w_{1} - w_{2}&#41; = 0[/tex:1fbwwmuo] con commento [tex:1fbwwmuo]\{&#40;w_{1} + &#40;w_{2}&#41;, &#40;w_{1} - w_{2}&#41;\}[/tex:1fbwwmuo] sono una base di [tex:1fbwwmuo]W[/tex:1fbwwmuo], quindi f esiste unica

perché f(w_{1} - w_{2} dovrebbe dare 0 come risultato  <!-- s:?: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_question.gif" alt=":?:" title="Question" /><!-- s:?: --> E perché è importante che [tex:1fbwwmuo]\{&#40;w_{1} + &#40;w_{2}&#41;, &#40;w_{1} - w_{2}&#41;\}[/tex:1fbwwmuo] sono una base di [tex:1fbwwmuo]W[/tex:1fbwwmuo]  <!-- s:?: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_question.gif" alt=":?:" title="Question" /><!-- s:?: -->  <!-- s:?: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_question.gif" alt=":?:" title="Question" /><!-- s:?: --> [/quote:1fbwwmuo]

per il teorema di struttura delle applicazioni lineari (vd. lez. 16), una volta che si stabilisce dove va una base di W l'applicazione è univocamente determinata

tornando al vettore generico, si può verificare facilmente (io non l'ho fatto ma puoi provare tu) che per un generico vettore di W vale la proprietà [tex:1fbwwmuo]f&#40;f&#40;w&#41;&#41;=0[/tex:1fbwwmuo]  <!-- s:) --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_smile.gif" alt=":)" title="Smile" /><!-- s:) -->