Per l'esercizio 2 non riesco proprio a concludere in modo convincente e colgo l'occasione per fare qualche domanda. 

[latex:1xhnl8bh]\ddot{u}=\displaystyle\frac{7+u}{7+\sin\dot{u}}[/latex:1xhnl8bh] con [latex:1xhnl8bh]\dot{u}&#40;0&#41;=7[/latex:1xhnl8bh] e [latex:1xhnl8bh]u&#40;7&#41;=0[/latex:1xhnl8bh]

Porto al LHS il denominatore e integrando posso ridurmi a studiare il problema di minimo del funzionale 

[latex:1xhnl8bh]F&#40;u&#41;=\displaystyle\int_0^7 \frac{7}{2}\dot{u}^2-\sin\dot{u} + 7u + \frac{u^2}{2}dx[/latex:1xhnl8bh] 

con DBC [latex:1xhnl8bh]u&#40;7&#41;=0[/latex:1xhnl8bh], sperando di trovare la condizione  [latex:1xhnl8bh]\dot{u}&#40;0&#41;=7[/latex:1xhnl8bh] come NBC. Ma [latex:1xhnl8bh]L_p&#40;0,u&#40;0&#41;,\dot{u}&#40;0&#41;&#41;=7\dot{u}&#40;0&#41;-\cos\dot{u}&#40;0&#41;=49-\cos7\neq0[/latex:1xhnl8bh]. Mi si aprono qui due strade, o modificare il funzionale o cambiare variabile. Mi piacerebbe molto adottare quest'ultima strada per &quot;buttare&quot; la modifica dentro il seno, che tanto è limitato dal basso, ma non riesco proprio a trovare una sostituzione che mi faccia tornare i conti (colpa di [latex:1xhnl8bh]\cos\dot{u}[/latex:1xhnl8bh]  <!-- s:oops: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_redface.gif" alt=":oops:" title="Embarassed" /><!-- s:oops: -->). Adottando la prima strategia, il funzionale diventa 

[latex:1xhnl8bh]F&#40;u&#41;=\displaystyle\int_0^7 \frac{7}{2}\dot{u}^2-\sin\dot{u} -&#40;49-\cos7&#41;\dot{u}  + 7u + \frac{u^2}{2}dx[/latex:1xhnl8bh]. 

Vorrei adesso adottare il metodo diretto. Riguardo alla formulazione debole è tutto ben definito in [latex:1xhnl8bh]H^1[/latex:1xhnl8bh], DBC comprese. 
Per sistemare la compattezza riguardo alla solita nozione di convergenza, sfrutto che [latex:1xhnl8bh]\sin\dot{u}_n\geqslant-1[/latex:1xhnl8bh] e [latex:1xhnl8bh]\displaystyle\frac{u_n^2}{2}\geqslant0\[/latex:1xhnl8bh]. So che, poiché le [latex:1xhnl8bh]u_n[/latex:1xhnl8bh] son di Sobolev, allora 

[latex:1xhnl8bh]|u_n&#40;x&#41;|\leqslant|u_n&#40;7&#41;|+|u_n&#40;x&#41;-u_n&#40;7&#41;|\leqslant\sqrt7\|\dot{u}_n\|_{L^2}[/latex:1xhnl8bh]. 

L'unico termine che mi mancherebbe da trattare è [latex:1xhnl8bh]&#40;49-\cos7&#41;\dot{u}[/latex:1xhnl8bh]. Posso accorparlo al termine [latex:1xhnl8bh]\dot{u}[/latex:1xhnl8bh] con un completamento di quadrati e dire che [latex:1xhnl8bh]||\dot{u}_n-c||_{L^2}&lt;+\infty\Leftrightarrow||\dot{u}_n||_{L^2}&lt;+\infty[/latex:1xhnl8bh]? Non son andato avanti, ma penso che riguardo la SCI e la regolarità il procedimento sia standard.