Usiamo le notazioni vettoriali. La distanza (al quadrato) del punto x dalla retta [tex:2mrqgqaw]P_0 + tv[/tex:2mrqgqaw] è data dalla formula

[tex:2mrqgqaw]\|x-P_0\|^2-\dfrac{\langle x-P_0,v \rangle^2}{\|v\|^2}[/tex:2mrqgqaw]

Imponendo che quella roba faccia [tex:2mrqgqaw]R^2[/tex:2mrqgqaw], con un minimo di semplificazione ci troviamo

[tex:2mrqgqaw]\|x-P_0\|^2\cdot\|v\|^2-\langle x-P_0,v \rangle^2=R^2\cdot\|v\|^2[/tex:2mrqgqaw]

Se poi vogliamo tornare in componenti ed espandere, ci troviamo ovviamente un'equazione di secondo grado nelle componenti (x,y,z) del vettore x.

Un'altra cosa interessante da osservare è la seguente. Il lhs (abbreviazione internazionale di left-hand side) è del tipo 

[tex:2mrqgqaw]\|A\|^2\cdot\|B\|^2-\langle A,B \rangle^2[/tex:2mrqgqaw]

Questa è un'espressione che abbiamo già trovato altre volte, specie nelle ultime lezioni, e coincide con &lt;oggetto misterioso&gt;, per lo meno nel caso di vettori in dimensione 3.

Per quanto riguarda il cono, se voglio il cono con vertice in [tex:2mrqgqaw]P_0[/tex:2mrqgqaw], direttrice [tex:2mrqgqaw]P_0+tv[/tex:2mrqgqaw] e angolo di apertura [tex:2mrqgqaw]\theta[/tex:2mrqgqaw], basta che imponga

[tex:2mrqgqaw]\dfrac{\langle x-P_0,v \rangle}{\|x-P_0\|\cdot\|v\|}=\cos\theta[/tex:2mrqgqaw]

Perché tutto ciò?

Facendo il quadrato e risistemando i denominatori, ancora una volta trovo un'equazione di secondo grado nelle componenti. Ora sarebbe interessante fare il limite *nell'equazione* quando [tex:2mrqgqaw]\theta[/tex:2mrqgqaw] tende ai valori estremi, e vedere che si ottiene proprio quanto previsto geometricamente. Questo era lo spirito dell'esercizio.