Per verificare che l'insieme [latex:27831zml]\{v_1,v_2,v_3\}[/latex:27831zml] forma una base di [latex:27831zml]\mathbb{C}^3[/latex:27831zml] ci basta verificare che il rango della matrice che ha per colonne i tre vettori ha rango massimo. Questo si fa facilmente con il calcolo del determinante (che viene [latex:27831zml]1[/latex:27831zml]) oppure con la semplice riduzione a scala secondo l'algoritmo di Gauss.

Sapendo che [latex:27831zml]f&#40;v_1&#41;=v_2, f&#40;v_2&#41;=v_3, f&#40;v_3&#41;=v_2+v_3[/latex:27831zml] abbiamo che 

[latex:27831zml]\mathcal{M}_\mathcal{B}&#40;f&#41;=\begin{pmatrix} 0 &amp; 0 &amp; 0 \\ 1 &amp; 0 &amp; 1 \\ 0 &amp; 1 &amp; 1 \end{pmatrix}[/latex:27831zml] 

è proprio la matrice che stiamo cercando. E credo che da qui sia semplice terminare gli altri punti. Per il calcolo del rango puoi procedere senza problemi con l'algoritmo di Gauss che ti riduce la matrice a scalini.