Ch.mo Prof (e gentili amici del forum)
Pensavo di avere capito, ma la mente mi ripropone il quesito ogni giorno. Non ci arrivo:

[b:2xjvg4vn]Ciò che si vuole trovare è il valore della derivata 2015_ma valutata nell'origine della funzione sin(x^5).[/b:2xjvg4vn]
 
Io faccio questo ragionamento, ditemi dove non è logico.

Se il coefficiente di x^2015 nella serie di taylor di sin(X^5) è 1/(403!) perchè lo devo ancora cercare ? 
Ciò vorrebbe dire che la derivata che cerco NON è 1/(403!).

In altri termini:

[b:2xjvg4vn]sin(x^5) = x^5 - x^15/3! + x^25/5! - x^35/7! +....- X^2015/(403!)[/b:2xjvg4vn] è forse scorretta perchè &quot;NON&quot; si sono fatte le varie derivate di sin(x^5) prima, terza, quinta settima ecc..?

Ma se è scorretta, allora il termine (1/403!)x^2015 è scorretto pure lui perchè per arrivarci NON si sono fatte le derivate come sopra.

Quindi, il termine (d/dx)^2015/2015! dello sviluppo di sin(x^5) ha molto di strano, perchè se al denominatore c'è 2015! al numeratore dovrei avere una x^10075 (si sta sviluppando sin(x^5) non sin(x^1)).

Mi suona molto strano che che se ho sint = t-t^3(3!) + t^5/(5!)- ......ecc Che è corretta, e poi mi si dice che
nel caso di sin(x^n) debba fare una mera sostituzione sin(x^n) al posto di t e poi elevare alle rispettive potenze lasciando sempre (1/n!) come coefficiente anche per n grandissimi. 
Ciò perchè con tutte le derivate della funzione sin(x^5) chissà quanti cos(x^5) ci saranno in giro, che valutati nell'origine e poi sommati  daranno certamente qualcosa diversa da 1.

Il mio discorso sembrerebbe o è illogico, ma io penso a sin(t) dove t è una variabile al primo grado e giustamente ad un certo punto incontro il termine 2015_esimo/2015!. 

Le derivate saranno (cost, -sint, - cost, sint) che in zero mi danno 1,0,-1, 0 e poi si ripetono ciclicamente. 
Nel caso di sin t^5 ciò non è più vero.

Poi nello sviluppo se devo sostituire t = X^5 dove x^5 non è più al primo grado (funzione composta sin(x^5) ) f(g(x)), vado in tilt, perchè mi si dicono due cose:
La prima che il coefficiente del termine cui c'è x^2015 è 1/(403!): e questo sarebbe giusto se si sostituisce soltanto (ma perchè sostituire soltanto?).
La seconda che devo andarmi a cercare la derivata 2015ma e devo dividerla per 2015!

E' come se mi dicessero: è così e basta. Tu limitati a sostituire e non porti domande.

Non penso che come me, non si sia intrappolato nessuno, e che tutti hanno capito tranne io.

Un grazie anticipato per la risposta.