Grazie! Gentilissimo come al solito!
Se ho capito bene nella seconda dimostrazione si considerano separatamente le due successioni [latex:2qf4xz8o]x_n[/latex:2qf4xz8o] e [latex:2qf4xz8o]y_n[/latex:2qf4xz8o], e si usa il fatto che ogni successione ha una sottosuccessione che converge a [latex:2qf4xz8o]limsup[/latex:2qf4xz8o] e una sottosuccessione che converge a [latex:2qf4xz8o]liminf[/latex:2qf4xz8o]. A questo punto, per rispettare il limite di partenza, almeno una delle 2 successioni deve essere non limitata, quindi deve avere una sottosuccessione tendente a [latex:2qf4xz8o]+\infty[/latex:2qf4xz8o] o a [latex:2qf4xz8o]-\infty[/latex:2qf4xz8o]. Fino a qui è corretto?
Da qui si può concludere che esiste una sottosuccessione [latex:2qf4xz8o]x_{n_{k}}^2+y_{n_{k}}^2[/latex:2qf4xz8o] che tende a [latex:2qf4xz8o]+\infty[/latex:2qf4xz8o], quello che non mi è chiaro è come da qui si faccia a concludere che l’intera successione [latex:2qf4xz8o]x_n^2+y_n^2[/latex:2qf4xz8o] tende a [latex:2qf4xz8o]+\infty[/latex:2qf4xz8o]

Ci devo riflettere  <!-- s:roll: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_rolleyes.gif" alt=":roll:" title="Rolling Eyes" /><!-- s:roll: -->