Ho provato a ripetere questo stesso conto per cercare di trovare un generico m-extender, si tratterebbe di dimostrare quindi che:

[latex:2172s8pp]\int_{\mathbb{R}}&#40;Eu&#40;x&#41;&#41;^{&#40;m&#41;}\varphi&#40;x&#41;dx=&#40;-1&#41;^m\int_{\mathbb{R}}Eu&#40;x&#41;\varphi&#40;x&#41;^{&#40;m&#41;}dx[/latex:2172s8pp] per ogni [latex:2172s8pp]\varphi\in C_c^{\infty}&#40;\mathbb{R}&#41;[/latex:2172s8pp]. 

Ho quindi posto [latex:2172s8pp]Eu= \sum_{k=1}^{m}a_ku&#40;-kx&#41;[/latex:2172s8pp] e procedendo con i cambi di variabile ho ottenuto [latex:2172s8pp]\psi&#40;x&#41;=\varphi&#40;x&#41;+\sum_{k=1}^m a_k k^{m-1}&#40;-1&#41;^m\varphi&#40;-\frac{x}{k}&#41;[/latex:2172s8pp]. Analogamente al  caso [latex:2172s8pp]m=1[/latex:2172s8pp] per ottenere i coefficienti [latex:2172s8pp]a_k[/latex:2172s8pp] è quindi sufficiente imporre [latex:2172s8pp]\psi^{&#40;n&#41;}&#40;0&#41;=0[/latex:2172s8pp] per  [latex:2172s8pp]n=0,...,m-1[/latex:2172s8pp], così facendo si ottiene un sistema lineare di n equazioni in n incognite con matrice associata una matrice invertibile, il sistema ammette pertanto soluzione unica. Precisato questo, la mia domanda è la seguente: supponiamo io voglia ottenere sempre un m-extender, tuttavia anzichè imporre la condizione 

[latex:2172s8pp]\int_{\mathbb{R}}&#40;Eu&#40;x&#41;&#41;^{&#40;m&#41;}\varphi&#40;x&#41;dx=&#40;-1&#41;^m\int_{\mathbb{R}}Eu&#40;x&#41;\varphi&#40;x&#41;^{&#40;m&#41;}dx[/latex:2172s8pp] per ogni [latex:2172s8pp]\varphi\in C_c^{\infty}&#40;\mathbb{R}&#41;[/latex:2172s8pp]

impongo 

[latex:2172s8pp]\int_{\mathbb{R}}&#40;Eu&#40;x&#41;&#41;^{&#40;n&#41;}\varphi&#40;x&#41;dx=&#40;-1&#41;^n\int_{\mathbb{R}}Eu&#40;x&#41;\varphi&#40;x&#41;^{&#40;n&#41;}dx[/latex:2172s8pp] per ogni [latex:2172s8pp]\varphi\in C_c^{\infty}&#40;\mathbb{R}&#41;[/latex:2172s8pp] con [latex:2172s8pp]n&lt;m[/latex:2172s8pp] sempre con [latex:2172s8pp]Eu&#40;x&#41;=\sum_{k=1}^m a_k u&#40;-kx&#41;[/latex:2172s8pp]

ossia, detto a parole, impongo che l'estesa ammetta derivata debole n-esima con [latex:2172s8pp]n&lt;m[/latex:2172s8pp]; otterrò allora una certa [latex:2172s8pp]\psi&#40;x&#41;[/latex:2172s8pp] con coefficienti [latex:2172s8pp]a_k[/latex:2172s8pp] con [latex:2172s8pp]k=1,...,m[/latex:2172s8pp] da determinare. Con gli ormai ben noti cambi di variabile ottengo quindi un sistema lineare di m equazioni in m incognite, risolubile con soluzione unica. 
Svolgendo il conto con degli m ed n fissati mi sono però accorto che gli [latex:2172s8pp]a_k[/latex:2172s8pp] sono differenti da quelli ottenuti con il conto svolto nella maniera classica, non riesco a giustificare questa cosa, avendo ottenuto dei ben determinati coefficienti con il conto classico (per intenderci quello con la derivata m-esima) mi aspetterei che questi coefficienti soddisfino a maggior ragione il conto con la derivata n-esima (dato che n&lt;m), che invece risulta soddisfatto da ben altri coefficienti... dev'esserci un errore molto grossolano in quello che sto dicendo ma non riesco ad individuarlo.