Rispondo alla domanda 1.
La definizione ricorsiva non mi pare dia problemi (anzi si possono fare pure transfinite <!-- s:lol: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_lol.gif" alt=":lol:" title="Laughing" /><!-- s:lol: -->); immagino che dunque la domanda sia: alla fine, gli aperti risparmiosi ricoprono? Questo è vero e segue dalla [b:1gn5at4u]puntuale finitezza[/b:1gn5at4u] del ricoprimento originale: se infatti esiste un [latex:1gn5at4u]x\in A[/latex:1gn5at4u] non ricoperto dai risparmiosi, esiste un [latex:1gn5at4u]n\in\mathbb N[/latex:1gn5at4u] tale che [latex:1gn5at4u]x\in\bigcup_1^n A_k[/latex:1gn5at4u]. Sapendo che al passo [latex:1gn5at4u]n[/latex:1gn5at4u] di definizione dei risparmiosi ho ancora un ricoprimento si ottiene la tesi.