Scusami, ma non ci capiamo: quello che avrei detto io è che
V ha base v1 ... vn
ker(f) ha base w1 ... wk
Im(f) ha base u1...u(n-k)

Da come l'hai scritta tu io capivo che la base del ker(f) unita alla base dell'Im(f) fa una base di V. Questo è falso, no?