Buonasera a tutti, vi posto un esercizi che ho incontrato sulle basi.

[quote:2wjx1fyq]Descrivere una base delle spazio vettoriale delle matrici 2×2 a coefficienti reali.[/quote:2wjx1fyq]

Non so se ho inteso bene l'esercizio, ma posto una mia risoluzione.
Ciò che ho inteso è: ''come costruisco da 0 una base qualsiasi di una matrice 2x2?''

Risoluzione:

Sia A una matrice 2x2.

 [latex:2wjx1fyq]A = \begin{pmatrix} a&amp;b\\ c&amp;d \end{pmatrix}[/latex:2wjx1fyq]

Essendo la dimensione di A = 4, ho bisogno di 4 vettori  [latex:2wjx1fyq]\{v1, v2, v3, v4\}[/latex:2wjx1fyq] per descriverla. Per definizione di base, ho bisogno di due cose: 

1) che la combinazione lineare sia indipendente

2) che i vettori siano generatori di A, cioè che  [latex:2wjx1fyq]Span \{v1, v2, v3, v4\} = 4[/latex:2wjx1fyq]

Inizio dalla prima:

la combinazione lineare indipendente corrisponde a: 

 [latex:2wjx1fyq]a\begin{pmatrix} x1&amp;x2\\ x3&amp;x4 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} x5&amp;x6\\ x7&amp;x8 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix} x9&amp;x10\\ x311&amp;x12 \end{pmatrix}+d\begin{pmatrix} x13&amp;x14\\ x15&amp;x16 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&amp;0\\ 0&amp;0 \end{pmatrix}[/latex:2wjx1fyq]

Che corrisponde al sistema:


[latex:2wjx1fyq]\begin{cases} ax1+bx5+cx9+dx13 = 0 \\ ax2+bx6+cx10+dx14 = 0 \\ ax3+bx7+cx11+dx15= 0 \\ ax4+bx8+cx12+dx16=0\end{cases}[/latex:2wjx1fyq]

In forma matriciale:


[latex:2wjx1fyq]\begin{pmatrix} 1&amp;1&amp;1&amp;1&amp;0\\1&amp;1&amp;1&amp;1&amp;0 \end{pmatrix}[/latex:2wjx1fyq]

Risolta, si verifica il fatto che sia indipendente poichè:

[latex:2wjx1fyq]\begin{cases} a= 0 \\ b= 0 \\ c= 0 \\ d=0\end{cases}[/latex:2wjx1fyq]

Per la proprietà della base: se dim(A)=n e ho n vettori indipendenti, allora quei vettori costituiscono una base. La proprietà è verificata e quindi quei vettori costituiscono la base.


Il problema è che non so se ho interpretato l'esercizio e/o non l'ho fatto correttamente. Ringrazio tutti in anticipo.


-Federico