[quote=&quot;Marck&quot;:26sxfwp4]itegr tra -oo e+oo di 
(x-sin x)
----------
    x^3         

[tex:26sxfwp4]\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x-\sin x}{x^3}[/tex:26sxfwp4]

....negli aiutini dice : 
Mostrare che non ci sono problemi in 0.[color=green:26sxfwp4]????? [/color:26sxfwp4]
All'infinito confronto asintotico...
[color=green:26sxfwp4][con x^3???? ]  [/color:26sxfwp4]

in pratica chiedo che qualcuno lo risolva...Grazie.[/quote:26sxfwp4]


Anzitutto osserviamo che 

[tex:26sxfwp4]\displaystyle f&#40;-x&#41;=  \frac{-x-\sin&#40;- x&#41;}{&#40;-x&#41;^3}= -\frac{-x+\sin x}{ x ^3}= \frac{x-\sin x}{ x ^3}=f&#40;x&#41;[/tex:26sxfwp4]

la funzione è dunque pari, quindi conviene limitare lo studio dell'integrale all'intervallo [tex:26sxfwp4]&#40;0,+\infty&#41;,[/tex:26sxfwp4] cioè:

[tex:26sxfwp4]\displaystyle 2\int_{0}^{+\infty}\frac{x-\sin x}{x^3}[/tex:26sxfwp4]

La funzione integranda non è definita in [tex:26sxfwp4]x=0[/tex:26sxfwp4] in quanto si annulla il denominatore; tuttavia, si osserva che 

[tex:26sxfwp4]\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{x-\sin x}{x^3} \stackrel{\bf&#40;T&#41;}{=}\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{x-x+\frac{x^3}{3!}}{x^3}=\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \frac{x^3}{3! x^3}=\frac{1}{6}[/tex:26sxfwp4]

[tex:26sxfwp4]\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x-\sin x}{x^3} =\lim_{x\to+\infty}\frac {1}{x }-\frac{\sin x}{x}= 0-0=0[/tex:26sxfwp4]

la funzione integranda è prolungabile per continuita in [tex:26sxfwp4]x=0:[/tex:26sxfwp4] 

[tex:26sxfwp4]\displaystyle f&#40;x&#41;=\begin{cases} \displaystyle \frac{x-\sin x}{x^3}, &amp; \mbox{se }x\not=0  \\ \displaystyle \frac{1}{6}, &amp; \mbox{se }x=0 
\end{cases}[/tex:26sxfwp4]

e dunque risulta continua in [tex:26sxfwp4]x=0;[/tex:26sxfwp4] inoltre, in [tex:26sxfwp4][0,+\infty&#41;[/tex:26sxfwp4] la funzione risulta sempre positiva in quanto 

[tex:26sxfwp4]\displaystyle\frac{x-\sin x}{x^3} &gt;0 \quad \to \quad x-\sin x&gt;0\quad \to \quad[/tex:26sxfwp4] [tex:26sxfwp4]\displaystyle \sin x&lt;x \quad \to \quad \forall x\in\mathbb{R^+}[/tex:26sxfwp4]

allora possiamo considerare il comportamento asintotico quando [tex:26sxfwp4]x\to +\infty[/tex:26sxfwp4] (in zero non è necessario in quanto la funzione è continua e dunque certamente integrabile)

[tex:26sxfwp4]\displaystyle \frac{x-\sin x}{x^3}\le\frac{x-1}{x^3} \stackrel{\bf&#40;+\infty&#41;}{\sim}\frac{1}{x^2} \to\mbox {converge }[/tex:26sxfwp4]

L' integrale risulta quindi convergente.