No no, non ridevo, l'osservazione è sensatissima.

Dalla sola additività segue la possibilità di portare fuori un 2, cioè [latex:7w23kv0m]f&#40;2u&#41;=2f&#40;u&#41;[/latex:7w23kv0m]. Allo stesso modo segue la possibilità di portare fuori un 3 e qualunque numero naturale. Con un po' più di fatica si dimostra che si possono portare fuori tutti gli interi (anche negativi) e tutti i numeri razionali.

Tuttavia, dalla sola additività non segue la possibilità di portare fuori numeri che non siano razionali, come appunto [latex:7w23kv0m]\sqrt{2}[/latex:7w23kv0m], nemmeno nel caso di applicazioni [latex:7w23kv0m]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/latex:7w23kv0m]. Costruire un controesempio non è per nulla banale, ed anzi richiede l'assioma di scelta in tutta la sua potenza.

<!-- m --><a class="postlink" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%27s_functional_equation">https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%27 ... l_equation</a><!-- m -->