Provo a scrivere la soluzione al primo esercizio.
[spoiler=&quot;Soluzione_Ex_1&quot;]L'equazione da studiare è [latex](1 + \dot{u}^2) \ddot{u}= 1 + u^3 + x^2[/latex] con le condizioni [latex]u(0)=\dot{u}(3)=3[/latex]. Ora, la condizione sulla funzione si porterà nel problema di minimo, mentre quella sulla derivata dovrà nascere &quot;on the road&quot; dalla condizone [latex]L_p(3)=0[/latex] (ovvero, deve nascere dall'imposizione che i termini di bordo nella seconda forma integrale di ELE si annullino). Integrando un po' l'espressione sopra e modificando opportunamente la lagrangiana &quot;standard&quot; che viene, si ottiene una lagrangiana modificata che fa al caso nostro, e che dovrebbe essere [latex]L(x,s,p)=\frac{p^4}{12} + \frac{p^2}{2} - 12 p + \frac{s^4}{4} + (1 +x^2)s[/latex]. Imponendo infatti che [latex]L_p(3)=0[/latex] troviamo come unica soluzione [latex]\dot{u}(3)=3[/latex], e la ELE differenziale rimane quella che volevamo. Passiamo quindi a studiare il problema di minimo:
[latex]\min \left{ F(u)=\int_{0}^3 L(x,u,\dot{u}) dx | u(0)=3 \right}[/latex]. 

1)FORMULAZIONE DEBOLE
Ci mettiamo in [latex]W^{1,4}(0,3)[/latex]

2)COMPATTEZZA
Come nozione di convergenza scegliamo quella uniforme per la parte di funzione e la debole [latex]L^4[/latex] per quella di derivata. Prendiamo ora il sottolivello [latex]F(u) \leq M[/latex]. Tralasciando termini positivi, abbiamo a maggior ragione che [latex]\int_0 ^3 \frac{\dot{u}^4}{4} - 12 \dot{u} + (1+x^2)u \leq M[/latex]. Noto che [latex]|u(x)| \leq |u(0)| + || \dot{u}||_4 |x|^{3/4}[/latex], e in definitiva posso stimare uniformemente [latex]|u(x)|[/latex] con [latex]A +B ||\dot{u}||_4[/latex], con [latex]A,B[/latex] costanti. Sostituendo viene un polinomio in [latex]||\dot{u}||_4[/latex] il cui termine di grado più alto ha grado pari e coefficiente positivo, quindi dovendo essere [latex]F(u) \leq M[/latex], ne segue che [latex]|| \dot{u}||_4[/latex] è limitato. Da questo, usando la DBC [latex]u(0)=3[/latex] e l'equiholderianità, siamo nelle ipotesi di Ascoli Arzelà e per la parte di funzione posso estrarre una sottosuccessione che converge uniformemente. Da questa ne posso estrarre un' altra  per cui le derivate convergono debole in [latex]L^4[/latex], visto che le palle sono debolmente compatte.

3)SCI

Per la parte di funzione non ho problemi. Condizioni al bordo e stime integrali passano tranquillamente al limite per convergenza uniforme.

Per la parte di derivata, basta osservare che convergenza debole [latex]L^4[/latex] implica convergenza debole [latex]L^1[/latex] e che la parte di derivata è una funzione convessa in [latex]\dot{u}[/latex]. Questo, per un risultato visto a lezione, garantisce la SCI

4)UNICITA'

Abbiamo provato l'esistenza, bisogna provare l'unicità. SI fa nel solito modo, usando la convessità (stretta) della lagrangiana nella variabile [latex]p[/latex] e la DBC in 0. Detto [latex]u[/latex] un punto di minimo, sia [latex]u + v[/latex] un altro competitore, con [latex]v(0)=0[/latex]. Per stretta convessità, deve essere [latex]\dot{v}=0[/latex], altrimenti avrei una disuguaglianza stretta per convessità. Ma [latex]v(0)=0 \; + \; \dot{v}=0 \implies v=0[/latex], da cui ottengo l'unicità del minimo.

5)REGOLARITA'

Dalla seconda forma integrale di ELE ottengo:


[/spoiler]