[quote=&quot;utente91&quot;:2okosmvy]Illuminatemi per favore (con idee perché la lampada ce l'ho già sopra la testa).
Serie 

[tex:2okosmvy]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2+3\sqrt n}{n^3\ln n +4}[/tex:2okosmvy]

[tex:2okosmvy]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2+3\sqrt[3] n}{n^3\ln^2n +4}[/tex:2okosmvy]

  
Nella prima mi viene 1/nlogn e nella seconda 1/nlog^2n, ma come faccio a dimostrare che la prima diverge e la seconda converge. Con cosa devo fare il confronto asintotico?[/quote:2okosmvy]

come hai giustamente evidenziato, si ha 

[tex:2okosmvy]\displaystyle \frac{n^2+3\sqrt n}{n^3\ln n +4}\sim \frac{n^2 }{n^3\ln  n  }\sim  \frac{1 }{n\ln n} \to \mbox {diverge}[/tex:2okosmvy]

[Edit: ho corretto un typo (Massimo Gobbino)]

[tex:2okosmvy]\displaystyle\frac{n^2+3\sqrt[3] n}{n^3\ln^2n +4}\sim  \frac{n^2 }{n^3\ln^2n}\sim  \frac{1 }{n\ln^2 n}\to \mbox {converge}[/tex:2okosmvy]

per dimostrare questi risultati, si può utilizzare il criterio di condensazione di Cauchy, ovvero se la successione [tex:2okosmvy]a_n[/tex:2okosmvy] e definitivamente positiva e decrescente, allora

[tex:2okosmvy]\mbox{ la serie }\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} a_n\quad\mbox{convegre [diverge]}[/tex:2okosmvy] [tex:2okosmvy]\quad\Leftrightarrow \quad[/tex:2okosmvy] [tex:2okosmvy]\displaystyle\mbox{convegre [diverge] la serie } \sum_{n=1}^{+\infty} 2^n a_{2^n}[/tex:2okosmvy]

nel primo caso allora avremo che :

la serie [tex:2okosmvy]\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1 }{n\ln n}[/tex:2okosmvy] è evidentemente a termini poistivi e con termine generale decrescente, allora possiamo applicare il criterio di condensazione di Cauchy:

[tex:2okosmvy]\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1 }{n\ln n}\quad\mbox {converge}\Leftrightarrow \quad\mbox{convegre la serie }[/tex:2okosmvy] [tex:2okosmvy]\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}2^n \cdot  \frac{1 }{2^n\ln 2^n}[/tex:2okosmvy]

studiando allora la serie &quot;condensata&quot; abbiamo: 

[tex:2okosmvy]\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}2^n \cdot  \frac{1 }{2^n\ln 2^n}= \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1 }{ \ln 2^n}\sim\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1 }{n}\to \mbox {diverge}[/tex:2okosmvy]

allora poiche diverge la serie &quot;condensata&quot;, divergerà anche la serie di partenza;

nel secondo caso si verifica come prima che la serie è a termini poisitivi e con termine generale decrescente, e applicando il criterio di condensazione di Cauchy si ha:

[tex:2okosmvy]\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1 }{n\ln^2 n}\quad\mbox {converge}\Leftrightarrow \quad\mbox{convegre la serie }[/tex:2okosmvy] [tex:2okosmvy]\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}2^n \cdot  \frac{1 }{2^n\ln^2 2^n}[/tex:2okosmvy]

studiando la serie &quot;condensata &quot;abbiamo:

[tex:2okosmvy]\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}2^n \cdot  \frac{1 }{2^n\ln^2 2^n}=\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1 }{ \ln^2 2^n}\sim\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1 }{ n^2}\to \mbox {converge}[/tex:2okosmvy]

allora poiche converge la serie &quot;condensata&quot;, convergerà anche la serie di partenza.

In generale poi vale il risutato   per le serie del tipo [tex:2okosmvy]\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1 }{n^{\alpha}\ln^{\beta} n}[/tex:2okosmvy], che evita di utilizzare ogni volta il criterio di condensazione di Cauchy (o qualsiasi altro criterio valido per dimostrare la convergenza, ad esempio il confronto con l'integrale): infatti si dimostra che 

[tex:2okosmvy]\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1 }{n^{\alpha}\ln^{\beta} n}=\begin{cases} \mbox{converge se }, &amp;\alpha&gt;1  \mbox{ oppure se } \alpha=1,\beta&gt;1 \\ \mbox{diverge se }, &amp;\alpha&lt;1\mbox{ oppure se }  \alpha=1,\beta\le1
\end{cases}[/tex:2okosmvy]