L'asintotica per quella sommatoria si dimostra con le disuguaglianze di confronto con gli integrali. La cosa è spiegata tutti gli anni, compreso il fatto che il comportamento a 0 della funzione è irrilevante. Ad esempio è spiegato alla lezione 67 dell'anno scorso.

Quello che uno ottiene (guardando il solito disegno oppure più formalmente per induzione) è la disuguaglianza

[tex:1t6oumcj]\displaystyle\int_1^{n+1}\frac{1}{x}\,dx\leq 1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}\leq 1+\int_1^n\frac{1}{x}\,dx[/tex:1t6oumcj]

da cui l'asintotica richiesta.

Un paio di disuguaglianze che possono aiutare a fare i primi due limiti con soli confronti elementari sono le seguenti (si ottengono banalmente maggiorando/minorando i termini del fattoriale):

[tex:1t6oumcj]n!\leq n^{n-1}[/tex:1t6oumcj]

[tex:1t6oumcj]&#40;2n&#41;!\geq n^{n+1}[/tex:1t6oumcj]