Eheh, grandi domande!

Per compensare la mia citazione, devo per onestà intellettuale aggiungere una citazione di fonte ben più autorevole (se ne trovano varie versioni in internet, tutte equivalenti nella sostanza)

[b:13uyqohf][color=#0000FF:13uyqohf]entre deux vérités du domaine réel, le chemin le plus facile et le plus court passe bien souvent par le domaine complexe[/color:13uyqohf][/b:13uyqohf] (Jacques Hadamard)

Detto questo, continuo a pensare che fare tutto sui complessi sia spesso figlio solo di un amore eccessivo per la generalità che ci tiriamo dietro dall'epoca bourbakista.

Le serie di Fourier sono un primo esempio. Spesso si trova la teoria fatta con le serie di Fourier complesse, per cui la serie di Fourier di una funzione reale periodica (anche la stessa [latex:13uyqohf]\sin x[/latex:13uyqohf]) risulta piena di numeri complessi. A me questo risulta difficile da accettare. La teoria ovviamente si può fare usando solo numeri reali (come ad esempio è fatta sul libro di Giusti di Analisi 2) e funziona tranquillamente, solo con seni e coseni invece di esponenziali complessi. Poi posso essere d'accordo che scrivere esponenziali complessi invece di seni e coseni permette di risparmiare qualche carattere, ma ho sempre il retro-pensiero che questo risparmio renda alla fine gli enunciati meno concreti. Indiscutibile è comunque che Hadamard ha ragione. Ad un certo punto nella teoria delle serie di Fourier reali serve una formula esplicita per le somme parziali della serie di [latex:13uyqohf]\sin&#40;nx&#41;[/latex:13uyqohf]: la formula si dimostra facilmente per induzione, ma non saprei come farmela venire in mente se non pensando alla parte immaginaria della serie di [latex:13uyqohf]e^{inx}[/latex:13uyqohf].

Per la trasformata di Fourier il discorso è analogo. Il mainstream usa gli esponenziali complessi, ma nessuno vieta di usare seni e coseni come nelle serie di Fourier.

Per quanto riguarda il teorema spettrale, siamo alle solite. Spesso le dimostrazioni in commercio (ad esempio quella classica negli spazi separabili nel libro di Simon-Reed) passano per i complessi, perché per amore di generalità gli enunciati stessi sono sui complessi, per operatori in spazi di Hilbert complessi.

Anche la dimostrazione classica stile corso di algebra lineare del primo anno passa per i complessi, sotto forma di teorema fondamentale dell'algebra (che serve per dimostrare l'esistenza di almeno un autovalore, che poi si scopre essere reale). In questo passaggio si possono by-passare i numeri complessi utilizzando il teorema di Weierstrass ed il quoziente di Rayleigh, come visto nel corso di analisi 2 o di istituzioni (dove essendo in dimensione infinita avremmo avuto problemi con il polinomio caratteristico).

Una referenza per una dimostrazione completa, magari pure senza l'ipotesi di separabilità, non l'ho mai vista (anche se devo ammettere di non averla cercata intensamente). Io ho trovato utile anche leggere la [url=https&#58;//en&#46;wikipedia&#46;org/wiki/Spectral_theorem:13uyqohf]pagina wiki[/url:13uyqohf] e specialmente la [url=http&#58;//www&#46;math&#46;wsu&#46;edu/faculty/watkins/Math502/pdfiles/spectral&#46;pdf:13uyqohf]terza referenza[/url:13uyqohf] citata in fondo, dove si discutono le strategie dimostrative. Non mi pare che ci sia nulla che usi i complessi in modo assolutamente rilevante. 

Sulla costruttività della dimostrazione se ne può parlare, ma ad un certo punto un qualche teorema di rappresentazione bisognerà pure usarlo (ma in fondo la dimostrazione di Riesz è abbastanza costruttiva), e se vogliamo andare nel non separabile temo che anche qualche iterazione transfinita occorrerà farla.