Beh, intanto riassumo il pdf. Vengono proposte 3 possibili definizioni di &quot;somme di Riemann&quot; per un integrale curvilineo. Intanto un po' di notazioni. La curva sia come sempre

[latex:1d1ffj93]\gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^n[/latex:1d1ffj93]

e la funzione da integrare sia una certa

[latex:1d1ffj93]f:\Omega\to\mathbb{R}[/latex:1d1ffj93]

con [latex:1d1ffj93]\Omega[/latex:1d1ffj93] un aperto che contiene il supporto della curva.

Consideriamo ora una partizione classica 

[latex:1d1ffj93]a=t_0&lt;t_1&lt;\ldots&lt;t_n=b[/latex:1d1ffj93]

dell'intervallo.
La prima definizione sarebbe del tipo

[latex:1d1ffj93]\displaystyle\sum_{i=1}^n\|\gamma&#40;t_i&#41;-\gamma&#40;t_{i-1}&#41;\|\cdot f&#40;S_i&#41;[/latex:1d1ffj93]

dove i &quot;tag&quot; [latex:1d1ffj93]S_i[/latex:1d1ffj93] sono dei punti scelti a caso sul segmento di estremi [latex:1d1ffj93]\gamma&#40;t_i&#41;[/latex:1d1ffj93] e [latex:1d1ffj93]\gamma&#40;t_{i-1}&#41;[/latex:1d1ffj93] (segmento che sta nell'aperto se la partizione è abbastanza fitta).

La seconda definizione sarebbe del tipo

[latex:1d1ffj93]\displaystyle\sum_{i=1}^n\|\gamma&#40;t_i&#41;-\gamma&#40;t_{i-1}&#41;\|\cdot f&#40;\gamma&#40;s_i&#41;&#41;[/latex:1d1ffj93]

dove ora i &quot;tag&quot; [latex:1d1ffj93]s_i[/latex:1d1ffj93] sono dei punti scelti a caso nell'intervallo [latex:1d1ffj93][t_{i-1},t_i][/latex:1d1ffj93]. In questo modo vado a calcolare la [latex:1d1ffj93]f[/latex:1d1ffj93] in un punto del tratto di curva tra [latex:1d1ffj93]\gamma&#40;t_i&#41;[/latex:1d1ffj93] e [latex:1d1ffj93]\gamma&#40;t_{i-1}&#41;[/latex:1d1ffj93], e non sul segmento con tali estremi.

La terza definizione sarebbe del tipo

[latex:1d1ffj93]\displaystyle\sum_{i=1}^n\ell&#40;t_{i-1},t_i&#41;\cdot f&#40;\gamma&#40;s_i&#41;&#41;[/latex:1d1ffj93]

dove [latex:1d1ffj93]\ell&#40;t_{i-1},t_i&#41;[/latex:1d1ffj93] indica la lunghezza del tratto di curva parametrizzato dall'intervallo [latex:1d1ffj93][t_{i-1},t_i][/latex:1d1ffj93], ed i &quot;tag&quot; [latex:1d1ffj93]s_i[/latex:1d1ffj93] sono scelti come nella seconda definizione.

Sulla base di queste 3 definizioni di somma di Riemann si può dare una definizione alla Riemann di integrale curvilineo di una funzione, esattamente come si fa ad analisi 1 per gli integrali in una variabile.

Ebbene, sotto ipotesi di regolarità, ad esempio curva [latex:1d1ffj93]C^1[/latex:1d1ffj93] e funzione [latex:1d1ffj93]C^0[/latex:1d1ffj93], le 3 definizioni di integrale coincidono, tra di loro e con la formula

[latex:1d1ffj93]\displaystyle\int_a^bf&#40;\gamma&#40;t&#41;&#41;\cdot\|\gamma&#39;&#40;t&#41;\|\,dt.[/latex:1d1ffj93]