Provo a scrivere la soluzione al primo esercizio.
[spoiler=&quot;Soluzione_Ex_1&quot;:bery6vdb]L&#39;equazione da studiare è [latex:bery6vdb]&#40;1 + \dot{u}^2&#41; \ddot{u}= 1 + u^3 + x^2[/latex:bery6vdb] con le condizioni [latex:bery6vdb]u&#40;0&#41;=\dot{u}&#40;3&#41;=3[/latex:bery6vdb]. Ora, la condizione sulla funzione si porterà nel problema di minimo, mentre quella sulla derivata dovrà nascere &quot;on the road&quot; dalla condizone [latex:bery6vdb]L_p&#40;3&#41;=0[/latex:bery6vdb] &#40;ovvero, deve nascere dall&#39;imposizione che i termini di bordo nella seconda forma integrale di ELE si annullino&#41;. Integrando un po&#39; l&#39;espressione sopra e modificando opportunamente la lagrangiana &quot;standard&quot; che viene, si ottiene una lagrangiana modificata che fa al caso nostro, e che dovrebbe essere [latex:bery6vdb]L&#40;x,s,p&#41;=\frac{p^4}{12} + \frac{p^2}{2} - 12 p + \frac{s^4}{4} + &#40;1 +x^2&#41;s[/latex:bery6vdb]. Imponendo infatti che [latex:bery6vdb]L_p&#40;3&#41;=0[/latex:bery6vdb] troviamo come unica soluzione [latex:bery6vdb]\dot{u}&#40;3&#41;=3[/latex:bery6vdb], e la ELE differenziale rimane quella che volevamo. Passiamo quindi a studiare il problema di minimo:
[latex:bery6vdb]min \left\{ F&#40;u&#41;=\int_{0}^3 L&#40;x,u,\dot{u}&#41; dx | u&#40;0&#41;=3 \right\}[/latex:bery6vdb]. 

1&#41;FORMULAZIONE DEBOLE
Ci mettiamo in [latex:bery6vdb]W^{1,4}&#40;0,3&#41;[/latex:bery6vdb]

2&#41;COMPATTEZZA
Come nozione di convergenza scegliamo quella uniforme per la parte di funzione e la debole [latex:bery6vdb]L^4[/latex:bery6vdb] per quella di derivata. Prendiamo ora il sottolivello [latex:bery6vdb]F&#40;u&#41; \leq M[/latex:bery6vdb]. Tralasciando termini positivi, abbiamo a maggior ragione che [latex:bery6vdb]\int_0 ^3 \frac{\dot{u}^4}{4} - 12 \dot{u} + &#40;1+x^2&#41;u \leq M[/latex:bery6vdb]. Noto che [latex:bery6vdb]|u&#40;x&#41;| \leq |u&#40;0&#41;| + || \dot{u}||_4 |x|^{3/4}[/latex:bery6vdb], e in definitiva posso stimare uniformemente [latex:bery6vdb]|u&#40;x&#41;|[/latex:bery6vdb] con [latex:bery6vdb]A +B ||\dot{u}||_4[/latex:bery6vdb], con [latex:bery6vdb]A,B[/latex:bery6vdb] costanti. Sostituendo viene un polinomio in [latex:bery6vdb]||\dot{u}||_4[/latex:bery6vdb] il cui termine di grado più alto ha grado pari e coefficiente positivo, quindi dovendo essere [latex:bery6vdb]F&#40;u&#41; \leq M[/latex:bery6vdb], ne segue che [latex:bery6vdb]|| \dot{u}||_4[/latex:bery6vdb] è limitato. Da questo, usando la DBC [latex:bery6vdb]u&#40;0&#41;=3[/latex:bery6vdb] e l&#39;equiholderianità, siamo nelle ipotesi di Ascoli Arzelà e per la parte di funzione posso estrarre una sottosuccessione che converge uniformemente. Da questa ne posso estrarre un&#39; altra  per cui le derivate convergono debole in [latex:bery6vdb]L^4[/latex:bery6vdb], visto che le palle sono debolmente compatte.

3&#41;SCI

Per la parte di funzione non ho problemi. Condizioni al bordo e stime integrali passano tranquillamente al limite per convergenza uniforme.

Per la parte di derivata, basta osservare che convergenza debole [latex:bery6vdb]L^4[/latex:bery6vdb] implica convergenza debole [latex:bery6vdb]L^1[/latex:bery6vdb] e che la parte di derivata è una funzione convessa in [latex:bery6vdb]\dot{u}[/latex:bery6vdb]. Questo, per un risultato visto a lezione, garantisce la SCI

4&#41;UNICITA&#39;

Abbiamo provato l&#39;esistenza, bisogna provare l&#39;unicità. SI fa nel solito modo, usando la convessità &#40;stretta&#41; della lagrangiana nella variabile [latex:bery6vdb]p[/latex:bery6vdb] e la DBC in 0. Detto [latex:bery6vdb]u[/latex:bery6vdb] un punto di minimo, sia [latex:bery6vdb]u + v[/latex:bery6vdb] un altro competitore, con [latex:bery6vdb]v&#40;0&#41;=0[/latex:bery6vdb]. Per stretta convessità, deve essere [latex:bery6vdb]\dot{v}=0[/latex:bery6vdb], altrimenti avrei una disuguaglianza stretta per convessità. Ma [latex:bery6vdb]v&#40;0&#41;=0 \; + \; \dot{v}=0 \implies v=0[/latex:bery6vdb], da cui ottengo l&#39;unicità del minimo.

5&#41;REGOLARITA&#39;

Dalla seconda forma integrale di ELE ottengo:

[latex:bery6vdb]\left&#40; \frac{\dot{u}^3}{3} + \dot{u} -12 \right&#41;^{&#39;} = 1 + u^3 + x^2 \in C^0[/latex:bery6vdb], dove con [latex:bery6vdb]u&#39;[/latex:bery6vdb] indico la derivata debole. Ma il LHS è dato da [latex:bery6vdb]\phi&#40;\dot{u}&#41;[/latex:bery6vdb] con [latex:bery6vdb]\phi&#40;s&#41;=\frac{s^3}{3}+s -12[/latex:bery6vdb], funzione [latex:bery6vdb]C^{\infty}[/latex:bery6vdb] strettamente crescente e perciò invertibile. Abbiamo già che [latex:bery6vdb]\phi&#40;\dot{u}&#41; \in C^1[/latex:bery6vdb], in quanto la sua derivata debole è continua. Invertendo la [latex:bery6vdb]\phi[/latex:bery6vdb] otteniamo [latex:bery6vdb]\dot{u} \in C^1[/latex:bery6vdb] da cui [latex:bery6vdb]u \in C^2[/latex:bery6vdb]. Per bootstrap si guadagna [latex:bery6vdb]u \in C^\infty[/latex:bery6vdb].[/spoiler:bery6vdb]