Gentile Professore, le posto un altro problema teorico (( ho passato il week end tra le questionei teoriche!) 

Sia  [tex:2y2tkedi]b_n[/tex:2y2tkedi]  una successione tale che   
 
[tex:2y2tkedi]\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} =\frac{1}{2}.[/tex:2y2tkedi]
 
Posto [tex:2y2tkedi]a_n=b_{2n},[/tex:2y2tkedi] provare che le due serie  

[tex:2y2tkedi]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,  a_n[/tex:2y2tkedi]  e  [tex:2y2tkedi]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,  &#40;-1&#41;^n a_n[/tex:2y2tkedi]

convergono.
 
io ho ragionato cosi:

 Non avendo specificazioni sui termini della successione  [tex:2y2tkedi]b_n,[/tex:2y2tkedi] dobbiamo supporre possa assumere qualsiasi valore, e dunque non necessariamente mantenere segno costante (positivo o negativo); tuttavia, essendo 

[tex:2y2tkedi]\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} =\frac{1}{2} \quad  \to\quad \lim_{n \to \infty} b_n=0[/tex:2y2tkedi]

per la permanenza del segno, da un certo indice in poi, la successione  [tex:2y2tkedi]b_n[/tex:2y2tkedi] sarà certamente positiva (decrecente e convergente a zero, per il criterio del rapporto  per le successioni a termini positivi); allora la serie
 
[tex:2y2tkedi]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,  b_n[/tex:2y2tkedi] converge per il criterio del rapporto, poichè  [tex:2y2tkedi]\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} =\frac{1}{2}&lt;l&lt;1[/tex:2y2tkedi] 
 
Per definizione,  [tex:2y2tkedi]a_n=b_{2n},[/tex:2y2tkedi]  è una sottosuccessione di  [tex:2y2tkedi]b_n[/tex:2y2tkedi] (precisamente quella di termini pari): allora come noto, ogni sottosuccessione estratta da una sucessione convergente, risulterà convergente allo stesso limite; quindi avremo:
 
[tex:2y2tkedi]\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=b_{2n} =0\quad \Rightarrow\quad  \lim_{n \to \infty}\frac{b_{2&#40;n+1&#41;}}{b_{2n}} =\lim_{n \to \infty}\frac{a_{ n+1 }}{a_  n }=\frac{1}{2}&lt;l&lt;1[/tex:2y2tkedi]
 
Allora per il criterio del rapporto, anche la serie  [tex:2y2tkedi]\sum_{n=1}^\infty\,\,  a_n[/tex:2y2tkedi]  risulterà convergente; essendo infine  [tex:2y2tkedi]\sum_{n=1}^\infty\,\,  |a_n|=\sum_{n=1}^\infty\,\,  a_n[/tex:2y2tkedi]  convergente, allora anche la serie  [tex:2y2tkedi]\sum_{n=1}^\infty\,\,  &#40;-1&#41;^n a_n[/tex:2y2tkedi]   risulterà assolutamente convergente, e dunque convergente.