Siano A, B, C tre insiemi non vuoti;
 
sia F [latex:21wtvso1]\subseteq[/latex:21wtvso1] A[latex:21wtvso1]\times[/latex:21wtvso1]B tc. F è una funzione. 
sia G [latex:21wtvso1]\subseteq[/latex:21wtvso1] B[latex:21wtvso1]\times[/latex:21wtvso1]C tc. G è una funzione.

dove la proposizione &quot;è una funzione&quot; significa [color=#FF0000:21wtvso1]tutto quello scritto al punto 2[/color:21wtvso1], riadattando i nomi.

considero ora il seguente insieme:

H= { (a,c) [latex:21wtvso1]\in[/latex:21wtvso1] A [latex:21wtvso1]\times[/latex:21wtvso1] C, tc. [latex:21wtvso1]\exists[/latex:21wtvso1] b[latex:21wtvso1]\in[/latex:21wtvso1] B tc. ( (a,b) [latex:21wtvso1]\in[/latex:21wtvso1] F, e (b,c) [latex:21wtvso1]\in G[/latex:21wtvso1] }

2-ora dovrei provare che H è una funzione, cioè:

[color=#FF0000:21wtvso1]- [latex:21wtvso1]\forall[/latex:21wtvso1] a [latex:21wtvso1]\in[/latex:21wtvso1] A [latex:21wtvso1]\exists[/latex:21wtvso1] c [latex:21wtvso1]\in[/latex:21wtvso1] C, tc. (a,c) [latex:21wtvso1]\in[/latex:21wtvso1] H;
-  (a,[latex:21wtvso1]c_{1}[/latex:21wtvso1]), (a,[latex:21wtvso1]c_{2}[/latex:21wtvso1])[latex:21wtvso1]\in[/latex:21wtvso1] H [latex:21wtvso1]\longrightarrow[/latex:21wtvso1] [latex:21wtvso1]c_{1}[/latex:21wtvso1]=[latex:21wtvso1]c_{2}[/latex:21wtvso1];[/color:21wtvso1]

proviamo la prima:
prendo a [latex:21wtvso1]\in[/latex:21wtvso1] A, esiste b[latex:21wtvso1]\in[/latex:21wtvso1] B tale che (a,b)  [latex:21wtvso1]\in[/latex:21wtvso1] F, perchè F è una funzione. ora [latex:21wtvso1]\exists[/latex:21wtvso1]c[latex:21wtvso1]\in[/latex:21wtvso1] C tc. (b,c)[latex:21wtvso1]\in[/latex:21wtvso1] G, perchè G è una funzione. Ora la coppia (a,c) sta in H?
certo perchè esiste b(trovato una riga sopra) tc. succede quello che ho scritto nella definizione di H; 

proviamo la seconda:
siano (a,[latex:21wtvso1]c_{1}[/latex:21wtvso1]) e (a,[latex:21wtvso1]c_{2}[/latex:21wtvso1])  [latex:21wtvso1]\in[/latex:21wtvso1] H; allora esistono [latex:21wtvso1]b_{1}[/latex:21wtvso1] e  [latex:21wtvso1]b_{2}[/latex:21wtvso1] tali che
- (a, [latex:21wtvso1]b_{1}[/latex:21wtvso1]) [latex:21wtvso1]\in[/latex:21wtvso1]F
-(a, [latex:21wtvso1]b_{2}[/latex:21wtvso1]) [latex:21wtvso1]\in[/latex:21wtvso1]F

-  ([latex:21wtvso1]b_{1}[/latex:21wtvso1], [latex:21wtvso1]c_{1}[/latex:21wtvso1]) [latex:21wtvso1]\in[/latex:21wtvso1]G;
- ([latex:21wtvso1]b_{2}[/latex:21wtvso1], [latex:21wtvso1]c_{2}[/latex:21wtvso1]) [latex:21wtvso1]\in[/latex:21wtvso1]G;

poichè F è una funzione, [latex:21wtvso1]b_{1}[/latex:21wtvso1]) deve essere uguale a [latex:21wtvso1]b_{2}[/latex:21wtvso1]); (non puo essere che a assuma 2 valori)

quindi si deve avere che
-  ([latex:21wtvso1]b_{1}[/latex:21wtvso1], [latex:21wtvso1]c_{1}[/latex:21wtvso1]) [latex:21wtvso1]\in[/latex:21wtvso1]G;
- ([latex:21wtvso1]b_{1}[/latex:21wtvso1], [latex:21wtvso1]c_{2}[/latex:21wtvso1]) [latex:21wtvso1]\in[/latex:21wtvso1]G;

poichè G è una funzione [latex:21wtvso1]c_{1}[/latex:21wtvso1]=[latex:21wtvso1]c_{2}[/latex:21wtvso1]( non può essere che  [latex:21wtvso1]b_{1}[/latex:21wtvso1] assuma due valori)

dimostrato ora che H è una funzione, posso finalmente chiamare  H la &quot;composizione di G con F&quot;;