Mi sembra di aver trovato un'osservazione utile per la risoluzione del punto b).

Intanto provo a rispondere al punto a):

Innanzitutto si mostra che per ogni funzione [latex:313ih7xk]u \in C^1&#40;0,1&#41;[/latex:313ih7xk]  che rispetta le DBC [latex:313ih7xk]\int_0^1 -u&#39;^2+u^{2}\,dy \geq 0[/latex:313ih7xk]:

1) Si mostra che esiste [latex:313ih7xk]u_0[/latex:313ih7xk] soluzione di Ele con quei dati al bordo e che il funzionale valutato in [latex:313ih7xk]u_0[/latex:313ih7xk] è maggiore uguale a 0.

2) Si considera un competitore [latex:313ih7xk]w=u_0+v[/latex:313ih7xk] con [latex:313ih7xk]v[/latex:313ih7xk] nulla al bordo, si calcola [latex:313ih7xk]F&#40;u_0+v&#41;[/latex:313ih7xk] e si mostra che [latex:313ih7xk]F&#40;u_0+v&#41; \geq F&#40;u_0&#41;[/latex:313ih7xk] sfruttando il fatto che 0 è minimo globale per [latex:313ih7xk]\int_0^1-v&#39;^2+v^{2}\,dy[/latex:313ih7xk] con v nulla al bordo.

Quindi si deduce che l'inf da noi cercato è sicuramente [latex:313ih7xk]\geq 0[/latex:313ih7xk] e quindi per ogni valore di [latex:313ih7xk]\epsilon[/latex:313ih7xk] l'inf appartiene ad R.

Inoltre da quanto detto sopra si osserva che se [latex:313ih7xk]u[/latex:313ih7xk] in [latex:313ih7xk]H^1[/latex:313ih7xk] che soddisfa le DBC è tale che [latex:313ih7xk]\int_0^1 u&#39;^{4}+ \int_0^1 -u&#39;^2+u^{2}\,dy =0[/latex:313ih7xk] allora [latex:313ih7xk]u&#39;=0[/latex:313ih7xk] quasi ovunque e quindi [latex:313ih7xk]u[/latex:313ih7xk] è una costante e l'unica funzione costante che soddisfa le DBC è [latex:313ih7xk]u=2017[/latex:313ih7xk]. Quindi abbiamo che 0 non è sicuramente un minimo. 

Per quanto riguarda il punto b:

Direi che per ogni [latex:313ih7xk]\epsilon[/latex:313ih7xk] fissato l'inf del nostro problema è il minimo del funzionale [latex:313ih7xk]G_\epsilon[/latex:313ih7xk] che ora introdurrò:

Chiamato  [latex:313ih7xk]F_\epsilon =\int_0^1 \epsilon u &#39;^4-u&#39;^2+u^{2}\,dy[/latex:313ih7xk] il funzionale  - esteso a [latex:313ih7xk]+ \infty[/latex:313ih7xk] al di fuori di [latex:313ih7xk]Y=\{u \in C^1&#40;0,1&#41;: u&#40;0&#41;=u&#40;1&#41;=2017\}[/latex:313ih7xk] - si osserva che il suo rilassato è [latex:313ih7xk]G_\epsilon=\int_0^1\psi^{**}&#40;u&#39;&#41; + \int_0^1u^{2}\,dy[/latex:313ih7xk]( in [latex:313ih7xk]X=\{u \in H^{1,4}: u&#40;0&#41;=u&#40;1&#41;=2017 \}[/latex:313ih7xk] e [latex:313ih7xk]+\infty[/latex:313ih7xk] altrimenti) con [latex:313ih7xk]\psi=\epsilon x^4 -x^2[/latex:313ih7xk]. ( In realtà dovrei ancora verificare questa affermazione: sicuramente in [latex:313ih7xk]H^1[/latex:313ih7xk] è quello lì il rilassato perché la funzione [latex:313ih7xk]\psi[/latex:313ih7xk] ha crescita sopra quadratica. Dovrei verificare però che la dimostrazione che abbiamo fatto in classe va bene pure se abbiamo le DBC).

Si ha quindi che inf[latex:313ih7xk]F_\epsilon[/latex:313ih7xk] = inf[latex:313ih7xk]G_\epsilon[/latex:313ih7xk]. Però in realtà per l'inf di [latex:313ih7xk]G_\epsilon[/latex:313ih7xk] è in realtà un minimo in [latex:313ih7xk]X[/latex:313ih7xk]:

- la compattezza dei sottolivelli la si vede sfruttando il fatto che anche il convessificato ha crescita sopra quadratica;

- la Sci è gratis questa volta perché il convessificato è convesso.

Dici che torna? Spero di non aver detto delle cavolate.

Se a questo punto riuscissimo a dire che il minimo [latex:313ih7xk]G_\epsilon[/latex:313ih7xk] in [latex:313ih7xk]X[/latex:313ih7xk] non può essere minimo per il funzionale [latex:313ih7xk]F_\epsilon[/latex:313ih7xk] avremmo risposto alla domanda del punto b: l'inf non è un minimo.