Per quanto riguarda la 10 credo che la mia soluzione sia simile a quella col piano con la monotonia che tu stessa hai scritto.

I 4 step del piano sono esattamente uguali ai tuoi.. ti riscrivo comunque la mia soluzione perché dopo poco  mi perdo tra le tue righe! (non perché siano sbagliate... ma proprio perché m'impegno poco a cercare di capire la scrittura a rigo... scusami!  <!-- s:oops: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_redface.gif" alt=":oops:" title="Embarassed" /><!-- s:oops: -->  )

Dunque:

i) [tex:d1hptyjw]0&lt;a_n&lt;1[/tex:d1hptyjw]
Dimostro per induzione. Il passo è verificato, mentre il passo induttivo:

Ipotesi: [tex:d1hptyjw]a_{n+1} \ge a_n[/tex:d1hptyjw]  Tesi:[tex:d1hptyjw]a_{n+2} \ge a_{n+1}[/tex:d1hptyjw]

[tex:d1hptyjw]a_{n+1} \ge a_n  \Rightarrow applico f \Rightarrow f&#40;a_{n+1}&#41; \ge f&#40;a_n&#41; \Rightarrow a_{n+2} \ge a_{n+1}[/tex:d1hptyjw]

Ecco. Su questo punto avrei dei dubbi perché non ho idea se f sia realmente crescente. E' solo una mia ipotesi che tra l'altro non ho ancora dimostrato. Quindi non sono sicura di poter applicare f impunemente.
Ad ogni modo, se si potesse.. allora, avrei dimostrato che la funzione è monotona crescente <!-- s:D --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_biggrin.gif" alt=":D" title="Very Happy" /><!-- s:D -->

iii) [tex:d1hptyjw]a_n \rightarrow l[/tex:d1hptyjw] con l finito come conseguenza dei punti i) e ii)

iv) [tex:d1hptyjw]a_n \rightarrow 1[/tex:d1hptyjw]

Siccome ho già dimostrato che [tex:d1hptyjw]a_n&lt;1[/tex:d1hptyjw]  faccio per entrambi la radice ennesima (ricavando quindi la successione per ricorrenza). Poi applico il confronto a due: se la più grande è limitata e tende a 1, allora anche la più piccola lo sarà.