[quote=&quot;GIMUSI&quot;:35oeeb4i][quote=&quot;ghisi&quot;:35oeeb4i]

esercizio 3

a) dopo il primo passaggio ti sei perso un [tex:35oeeb4i]\rho[/tex:35oeeb4i].

b) Non va bene: usi sostanzialmente che  [tex:35oeeb4i]\frac{log&#40;\rho&#41;}{\rho}[/tex:35oeeb4i] all'infinito è equivalente a  [tex:35oeeb4i]\frac{1}{\rho}[/tex:35oeeb4i], ma questo è falso dato che il logaritmo tende all'infinito. Quello che devi usare per la convergenza è che  per ogni [tex:35oeeb4i]\beta &gt; 0[/tex:35oeeb4i]  esiste [tex:35oeeb4i]C_\beta[/tex:35oeeb4i] tale che [tex:35oeeb4i]\log&#40;1+x&#41; \leq C_\beta x^\beta[/tex:35oeeb4i] e scegliere [tex:35oeeb4i]\beta[/tex:35oeeb4i] in funzione del parametro [tex:35oeeb4i]\alpha[/tex:35oeeb4i]. Mentre per la divergenza basta usare che nel tuo dominio il logaritmo è più grande di una costante.[/quote:35oeeb4i]

per il punto a) ok

per il punto b)...allego uno svolgimento alternativo....anche se non credo di aver afferrato del tutto il suo ragionamento  <!-- s:cry: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_cry.gif" alt=":cry:" title="Crying or Very sad" /><!-- s:cry: -->[/quote:35oeeb4i]


In effetti sul secondo punto, per la parte convergenza hai un po' barato, dovresti dimostrare che l'integrale che ottieni alla fine in una variabile converge <!-- s:wink: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_wink.gif" alt=":wink:" title="Wink" /><!-- s:wink: --> 

Questa è una possibile dimostrazione (oppure si può fare usando i casi limite del confronto asintotico)

Fissiamo [tex:35oeeb4i]\alpha  &gt; 1[/tex:35oeeb4i] allora esiste [tex:35oeeb4i]\beta &gt; 0[/tex:35oeeb4i] tale che [tex:35oeeb4i]2\alpha - 1 - \beta &gt; 1[/tex:35oeeb4i]. Inoltre 

[tex:35oeeb4i]\displaystyle \frac{\log &#40;1+\rho&#41;}{\rho^{2\alpha-1} }\leq c_\beta \frac{\rho^\beta}{\rho^{2\alpha-1}}[/tex:35oeeb4i]

Quindi

[tex:35oeeb4i]\displaystyle \int_2^{+\infty}\frac{\log &#40;1+\rho&#41;}{\rho^{2\alpha-1} }d\rho &lt; + \infty.[/tex:35oeeb4i]