allego le soluzioni  <!-- s:?: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_question.gif" alt=":?:" title="Question" /><!-- s:?: --> con svolgimento <!-- s:?: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_question.gif" alt=":?:" title="Question" /><!-- s:?: -->  del test n.38 “Forme canoniche 1”

nella [u:3ougv4w6]rev01[/u:3ougv4w6] l'esercizio 1 è risolto (per la sola matrice &quot;e&quot;) anche con un terzo metodo, denominato &quot;matriciale&quot;, che fa esplicito uso del teorema della lezione 37...ai fini della risoluzione dell'esercizio direi che:
- il metodo 1 (bovino) non mi pare conveniente (richiede calcoli noiosi e con alta probabilità di errore)
- il metodo 2 (semibovino), nel quale almeno si trova una base per la forma canonica della matrice di partenza A e poi si procede prevalentemente a occhio o con calcoli più semplici, è forse il più efficiente
- il metodo 3 (matriciale) è molto interessante per comprendere  e padroneggiare la teoria che ci sta dietro o per effettuare il calcolo per via numerica ma non mi pare praticabile per effettuare manualmente il calcolo delle basi relative a tutte le matrici assegnate nell'esercizio in tempi ragionevoli

vi sottopongo inoltre le seguenti considerazioni e dubbi:

nella [u:3ougv4w6]prima parte degli esercizi[/u:3ougv4w6], sulla base delle precedenti considerazioni effettuate qui nel thread, la determinazione delle basi in partenza e arrivo che rappresentano f è stata effettuata con due metodi:

metodo 1 del sistema di equazioni bovino: (giungendo ad espressioni che dovrebbero funzionare ma che sono abbastanza complicate)

metodo 2 basato sulla forma canonica dell’applicazione (che consente di operare prevalentemente “a occhio” o risolvendo sistemi molto più semplici)

[u:3ougv4w6]dubbio 01[/u:3ougv4w6]: esistono modi alternativi più convenienti e rapidi per applicare il metodo 2 (ad es. tramite matrici)?

per la[u:3ougv4w6] seconda parte degli esercizi[/u:3ougv4w6] i dubbi riguardano ovviamente le matrici di jordan ed in particolare la determinazione della base jordanizzante; i casi che si incontrano (tutti su matrici reali ad autovalori reali) sono i seguenti:

(c) matrice 2x2 con autovalori coincidenti (MA=2) e con MG=1; in tal caso la matrice di jordan è costituita da un blocco 2x2; la base jordanizzante (v,w) si determina con i seguenti sistemi:

[tex:3ougv4w6]Av=\lambda v[/tex:3ougv4w6]

[tex:3ougv4w6]Aw=\lambda w+v[/tex:3ougv4w6]

[u:3ougv4w6]dubbio 02[/u:3ougv4w6]: se ho capito bene questi sistemi derivano direttamente ragionando sulla matrice jordanizzata…cioè sulla matrice associata ad f nella base (v,w)

(e) la seconda intrusa è una matrice 3x3 con due autovalori coincidenti (MA=2) e con MG=1; in tal caso la matrice di jordan è costituita da un blocco 2x2 (relativo agli autovalori coincidenti) e da un blocco 1x1 relativo al terzo autovalore “buono” (MA=MG=1); i primi due vettori della base jordanizzante (relativi ai due autovalori coincidenti) si determinano in modo analogo al caso precedente 2x2 mediante i due sistemi già indicati (vd. dubbio 02); il terzo è l’autovettore relativo all’autovalore “buono”

(f) intruse a parte,  si tratta di matrici 3x3 con due autovalori coincidenti (MA=2) e con MG=1; il caso è del tutto analogo al precedente (vd. dubbio 02)

(g) intrusa a parte,  si tratta di matrici 3x3 con tre autovalori coincidenti (MA=3) e con MG=1; in tal caso la matrice di jordan è costituita da un blocco 3x3; la base jordanizzante (v,w,z) si determina con i sistemi (vd. dubbio 2):

[tex:3ougv4w6]Av=\lambda v[/tex:3ougv4w6]

[tex:3ougv4w6]Aw=\lambda w+v[/tex:3ougv4w6]

[tex:3ougv4w6]Az=\lambda z+w[/tex:3ougv4w6]

l’intrusa è una matrice 3x3 con tre autovalori coincidenti (MA=3) e con MG=2; in tal caso la matrice di jordan comprende due blocchi (un blocco 2x2 ed un blocco 1x1)

[u:3ougv4w6]dubbio 03[/u:3ougv4w6]: è vero che in generale ad ogni autovalore (o ad autovalori coincidenti) con MG=k corrispondono k blocchi di jordan? (lo afferma il teorema di jordan?)

per determinare la base jordanizzante il metodo visto in precedenza non funziona; ne ho trovata una per tentativi ma mi sfugge completamente la logica che ci sia dietro:

dubbio 04[u:3ougv4w6]:in questo caso (e in quelli generali) qual è la procedura per determinare la base jordanizzante?
[/u:3ougv4w6]