Provo a dare una dimostrazione anche dell'uscita 2.
[spoiler=&quot;Dimostrazione_uscita_2&quot;:3ab6apvr]A meno di sottosuccessioni, le [latex:3ab6apvr]u_n[/latex:3ab6apvr] tendono a una [latex:3ab6apvr]u_\infty[/latex:3ab6apvr] in [latex:3ab6apvr]L^1[/latex:3ab6apvr], per immersione compatta. Noto poi che le [latex:3ab6apvr]\nabla u_n[/latex:3ab6apvr] sono una successione di Cauchy in [latex:3ab6apvr]L^1[/latex:3ab6apvr], quindi per completezza convergono a una certa [latex:3ab6apvr]\nabla u_\infty[/latex:3ab6apvr]. Allora [latex:3ab6apvr]u_ \infty \in W^{1,1}[/latex:3ab6apvr] &#40;non dovrebbe essere complicato, basta prendere la sottosuccessione che realizza entrambe le convergenze, e stimare quella con funzioni [latex:3ab6apvr]C^{\infty}[/latex:3ab6apvr]&#41;. Il fatto che [latex:3ab6apvr]\nabla u_\infty[/latex:3ab6apvr] sia uguale a 0 dovrebbe seguire semplicemente dal fatto che:
[latex:3ab6apvr]|\nabla u_\infty || \leq || \nabla u_ \infty - \nabla u_n || + || \nabla u_n||[/latex:3ab6apvr], e posso rendere entrambi gli addendi piccoli a piacere. Ora, per approssimazione deluxe &#40;che ho grazie alla regolarità del dominio&#41; approssimo la [latex:3ab6apvr]u_\infty[/latex:3ab6apvr] in [latex:3ab6apvr]W^{1,1}[/latex:3ab6apvr] con funzioni [latex:3ab6apvr]v_n \in C^{\infty}_0[/latex:3ab6apvr] a media nulla &#40;le posso prendere a caso, e poi aggiungere una costante per avere la media nulla&#41;. Ma essendo che [latex:3ab6apvr]\nabla v_n \to 0[/latex:3ab6apvr] in [latex:3ab6apvr]L^1[/latex:3ab6apvr], ho che le [latex:3ab6apvr]v_n[/latex:3ab6apvr] devono tendere a una costante, che dovrà essere 0 per via della media nulla. ma allora [latex:3ab6apvr]u_ \infty=0[/latex:3ab6apvr], assurdo perché limite di funzioni che hanno tutte norma 1.[/spoiler:3ab6apvr]