Sì, [color=#008000:1kcrcbxc]brutalmente è come fare [tex:1kcrcbxc]x_{n+1}=x_n^2[/tex:1kcrcbxc] quindi l'idea è che tenda a 0 come [tex:1kcrcbxc]a^{2^n}[/tex:1kcrcbxc] per un certo valore di [tex:1kcrcbxc]a[/tex:1kcrcbxc], dunque batte di gran lunga un povero [tex:1kcrcbxc]n^n[/tex:1kcrcbxc][/color:1kcrcbxc].

Per dimostrarlo rigorosamente io farei il criterio del rapporto, usato due volte. Chiamata [tex:1kcrcbxc]a_n[/tex:1kcrcbxc] la successione di cui si vuole fare il limite, al primo passaggio

[tex:1kcrcbxc]\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\ldots=\left&#40;1+\dfrac{1}{n}\right&#41;^n\cdot\dfrac{\log&#40;1+x_n^2&#41;}{x_n^2}\cdot&#40;n+1&#41;x_n[/tex:1kcrcbxc]

Ora i primi due termini sono limiti notevoli, il terzo si sistema applicando solo su di esso un ulteriore criterio del rapporto facile-facile.

Stolz-Cesàro è come l'Hopital, dunque è ben lontano dall'essere la panacea di tutti i mali. Ci sono casi in cui è fondamentale e cava dai guai, ma spesso non fa che complicare le cose.