Buonasera a tutto il forum, ho delle difficoltà nello svolgere la parte b dell'esercizio 3 dell' esame  di elementi di calcolo delle variazioni del 23 settembre 2017.
Ecco il testo

[latex:1jg29vdi]\displaystyle\inf\left\{ \int_{0}^{\ell}&#40;1+u^2&#41;\dot u^2 -10\sin^2&#40;u&#41; +u^6 \cos&#40;x&#41;\, dx\right\}\quad \text{con} \quad u&#40;0&#41;=u&#40;\ell&#41;=0[/latex:1jg29vdi]

(a) Determine for which values of [latex:1jg29vdi]\ell[/latex:1jg29vdi] the inﬁmum is actually a minimum.
(b) Determine for which values of [latex:1jg29vdi]\ell[/latex:1jg29vdi] the minimum exists and is negative.

un breve sketch delle mie considerazioni sulla situazione
(a) se cos(x) è negativo ho una situazione analoga al caso [latex:1jg29vdi]\inf\left\{\int_{0}^{\ell}\dot u^4 -u^6 dx \right\}[/latex:1jg29vdi] che ha infimum -infinito,
se cos(x) è positivo il minimo esiste per applicazione del metodo diretto
(b) osservo che l'integrale appliccato alla funzione nulla u0 è nullo, studiando la variazione seconda di u0 concludo che per 
[latex:1jg29vdi]\ell\geq \pi[/latex:1jg29vdi] u0 non è un weak local minimum, quindi il minimum deve essere negativo.
Il mio problema è che non so che considerazioni posso fare per l&lt;Pi, dove u0 è addirittura uno strong local minimum....
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