Esatto, tutto sta ad ottenere [latex:6928pd2k]L^\infty[/latex:6928pd2k], poi è discesa tranquilla. Per far questo, basta dimostrare che la soluzione del problema originario è compresa tra 0 e 1, il che si fa con il solito argomento di troncamento. L'argomento è standard, in quanto basta mostrare che la troncata di una Sobolev tra 2 valori è ancora una Sobolev (e in questo caso migliora il funzionale). Questo a sua volta segue al solito modo (come?) dal fatto che se u è Sobolev, allora |u| è Sobolev, il che è dimostrato in qualche lezione (questo è il motivo per cui è importante fare i valori assoluti).

Qualche commento sulla parte di semi-continuità. Per la parte di derivata (derivate parziali in questo caso), si usa la SCI debole di funzionali del tipo

[latex:6928pd2k]\displaystyle v\to\int_X a&#40;x&#41;v&#40;x&#41;^2\,dx[/latex:6928pd2k]

Questo vale in generale in spazi di misura purché [latex:6928pd2k]a&#40;x&#41;\geq 0[/latex:6928pd2k] (e magari pure limitata e misurabile). A fine corso abbiamo a disposizione tutte le dimostrazioni che vogliamo:
[list:6928pd2k][*:6928pd2k]elementare aggiungendo e togliendo [latex:6928pd2k]v_\infty[/latex:6928pd2k] dentro il quadrato,[/*:m:6928pd2k]
[*:6928pd2k]astratta usando che quel funzionale è convesso e SCI forte (perché?),[/*:m:6928pd2k]
[*:6928pd2k]astratta osservando che quella roba, se a(x) è compreso tra due costanti positive, è una norma equivalente.[/*:m:6928pd2k][/list:u:6928pd2k]

Per la parte di funzione la cosa è più semplice. Infatti lì non occorre invocare la convessità (che è un lusso che non ci si può permettere in generale), ma basta usare Fatou. 

Il discorso dei teoremi di estensione/compattezza per la parte di regolarità non l'ho capito. <!-- s:? --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_confused.gif" alt=":?" title="Confused" /><!-- s:? --> 

Quanto alla formulazione in ambienti strani, è chiaro che [latex:6928pd2k]W^{1,8102}[/latex:6928pd2k] non può andare bene (perché?) e in questo senso &quot;lo spazio lo decide il problema, noi non possiamo farci nulla&quot;. Andrebbe bene [latex:6928pd2k]W^{1,3/2}[/latex:6928pd2k] ?

Infine, è buona norma esplicitare le ELE con tutte le derivate, per toccare con mano, non lasciando indicate le divergenze.