Ciao a tutti! Sono alle preso con il seguente problema di Cauchy (Equazioni differenziali - Studio qualitativo 6, p. 57)

[latex:19ksayn9]\displaystyle u&#39;=\frac{u^4}{1+u^2+t^2}, \quad u&#40;0&#41;=\alpha[/latex:19ksayn9]

la prima domanda chiede se esistono valori di [latex:19ksayn9]\alpha &gt; 0[/latex:19ksayn9] tali che si abbia esistenza globale, e questo si vede abbastanza facilmente in quanto

[latex:19ksayn9]\displaystyle \frac{u^4}{1+u^2+t^2} \le \frac{u^4}{1+t^2}[/latex:19ksayn9] e questa si risolve esplicitamente, e per valori di [latex:19ksayn9]\displaystyle \alpha \in \bigg&#40;0,\frac{2}{3\pi}\bigg&#41;[/latex:19ksayn9] la soluzione ha esistenza globale

 e limite finito per [latex:19ksayn9]t \to +\infty[/latex:19ksayn9].

La seconda domanda, ed è quella che mi sta dando un po' di noie, chiede se esistono valori di [latex:19ksayn9]\alpha &gt; 0[/latex:19ksayn9] per cui la soluzione è globale e verifica

[latex:19ksayn9]\displaystyle \lim_{t \to +\infty} u&#40;t&#41; = 2016[/latex:19ksayn9]

la terza chiede le stesse cose della seconda ma con limite uguale a [latex:19ksayn9]+\infty[/latex:19ksayn9].

Ho provato a ragionare nel modo seguente, ma ho qualche dubbio. Per prima cosa un po' di notazione, pongo

[latex:19ksayn9]A=\{\alpha \ge 0 : \text{la soluzione ha esistenza globale e limite finito}\}[/latex:19ksayn9]
[latex:19ksayn9]B=\{\alpha \ge 0 : \text{la soluzione ha blow up}\}[/latex:19ksayn9]
[latex:19ksayn9]C=\{\alpha \ge 0 : \text{la soluzione ha esistenza globale e limite infinito}\}[/latex:19ksayn9]

Inoltre [latex:19ksayn9]A \cup B \cup C = [0,+\infty&#41;[/latex:19ksayn9]

Chiaramente [latex:19ksayn9]A[/latex:19ksayn9] è un intervallo, infatti se [latex:19ksayn9]\alpha \in A[/latex:19ksayn9] e [latex:19ksayn9]0 &lt; \beta &lt; \alpha[/latex:19ksayn9] anche [latex:19ksayn9]\beta \in A[/latex:19ksayn9]. Sia quindi [latex:19ksayn9]\alpha_0 = \sup A \in \mathbb{R}[/latex:19ksayn9] perché ci sono dati iniziali per i quali si ha blow up.
Suppongo sperando che sia vero, ma non l'ho verificato che se [latex:19ksayn9]C \neq \emptyset[/latex:19ksayn9] allora per forza [latex:19ksayn9]C=\{\alpha_0\}[/latex:19ksayn9]. Mostro quindi che [latex:19ksayn9]C[/latex:19ksayn9] è non vuoto.

Considero la funzione [latex:19ksayn9]\displaystyle \Phi \colon A \to [0,+\infty&#41;[/latex:19ksayn9] definita come [latex:19ksayn9]\displaystyle \Phi&#40;\alpha&#41;=\lim_{t \to +\infty} u&#40;\alpha,t&#41;[/latex:19ksayn9] e osservo che è monotona, calcolo quindi

[latex:19ksayn9]\displaystyle \lim_{\alpha \to \alpha_0} \Phi&#40;\alpha&#41; = \sup_{\alpha \in A} \Phi&#40;\alpha&#41;[/latex:19ksayn9] e dico che ci sono due casi

i) se [latex:19ksayn9]\sup \Phi = +\infty[/latex:19ksayn9] osservo che [latex:19ksayn9]\lim_{t \to +\infty} u&#40;\alpha_0,t&#41;=\lim_{\alpha \to \alpha_0} \Phi&#40;\alpha&#41; = +\infty[/latex:19ksayn9] e quindi [latex:19ksayn9]\alpha_0 \in C[/latex:19ksayn9].

ii) se per assurdo [latex:19ksayn9]\sup \Phi = M \in \mathbb{R}[/latex:19ksayn9] noto che preso [latex:19ksayn9]n \ge 4[/latex:19ksayn9] e definita [latex:19ksayn9]v_n&#40;t&#41; := t^{1/n}[/latex:19ksayn9] essa è soprasoluzione [latex:19ksayn9]\forall t \ge t_n[/latex:19ksayn9] opportuno. Considero quindi il problema 

[latex:19ksayn9]\displaystyle u&#39;=\frac{u^4}{1+u^2+t^2}, \quad u&#40;T&#41;=M[/latex:19ksayn9] dove [latex:19ksayn9]T \ge \max\{t_n, M^n\}[/latex:19ksayn9]

Allora [latex:19ksayn9]v_n&#40;T&#41;=T^{1/n} \ge M[/latex:19ksayn9] dunque [latex:19ksayn9]v_n&#40;t&#41; \ge u&#40;t&#41;, \ \forall t \ge T[/latex:19ksayn9] ovvero [latex:19ksayn9]u&#40;t&#41;[/latex:19ksayn9] ha esistenza globale nel futuro.

Se poniamo [latex:19ksayn9]\alpha_1=u&#40;0&#41;[/latex:19ksayn9] allora è evidente che [latex:19ksayn9]\alpha_1 &gt; \alpha_0[/latex:19ksayn9] da cui [latex:19ksayn9]\alpha_1 \in C[/latex:19ksayn9] e quindi [latex:19ksayn9]\alpha_1=\alpha_0[/latex:19ksayn9] assurdo.

A questo punto ho finito perché la funzione [latex:19ksayn9]\Phi[/latex:19ksayn9] è continua e [latex:19ksayn9]\Phi&#40;0&#41;=0[/latex:19ksayn9] e ancora [latex:19ksayn9]\lim_{\alpha \to \alpha_0} \Phi&#40;\alpha&#41; = +\infty[/latex:19ksayn9] quindi per il teorema dei valori intermedi esiste [latex:19ksayn9]\bar{\alpha}[/latex:19ksayn9] tale che

[latex:19ksayn9]\displaystyle \lim_{t \to +\infty} u&#40;\bar{\alpha},t&#41; = \Phi&#40;\bar{\alpha}&#41; = 2016[/latex:19ksayn9]

Quello che mi chiedo è se è una dimostrazione corretta, se ce n'era una più facile che mi è sfuggita, se c'è qualche passaggio che si può evitare..
Grazie a chiunque dirà la sua!  <!-- s:) --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_smile.gif" alt=":)" title="Smile" /><!-- s:) -->