[quote=&quot;GIMUSI&quot;:3ae0ilov]Dopo il chiarimento per i casi n=2 e n=3, per il caso generale mi pare di aver capito che:

1) [u:3ae0ilov]unicità[/u:3ae0ilov]: 
- si dimostra con l’algoritmo di gauss, nel senso che operando alla gauss ortodosso si può sempre giungere ad una forma triangolare superiore per la quale, in virtù delle proprietà basic, sappiamo calcolare il “papabile” determinante;[/quote:3ae0ilov]

Esatto.

[quote=&quot;GIMUSI&quot;:3ae0ilov]- l’algoritmo di gauss ortodosso funziona perché, in virtù delle proprietà basic,  sappiamo che esso non modifica il valore del determinante ( <!-- s:?: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_question.gif" alt=":?:" title="Question" /><!-- s:?: --> dubbio sugli eventuali scambi di righe che ne cambiano il segno;  <!-- s:idea: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_idea.gif" alt=":idea:" title="Idea" /><!-- s:idea: --> possibile soluzione: non mi pare sia un’operazione indispensabile, cioè mi pare che si possa sempre triangolarizzare anche senza scambi di righe);[/quote:3ae0ilov]

No, gli scambi di righe servono, basta pensare al caso in cui la matrice di partenza è una 2*2 che ha prima riga 0-1 e seconda riga 1-0. Tuttavia, basta tenerne conto: il valore papabile è il prodotto degli elementi sulla diagonale della triangolarizzata moltiplicato per +1 o -1 a seconda che si sia fatto un numero pari o dispari di scambi di riga, quindi è comunque univocamente determinato.

[quote=&quot;GIMUSI&quot;:3ae0ilov]- pertanto con gauss si dimostra  che, data una matrice nxn, se il determinante esiste (soddisfacimento delle basic) esso ha un unico valore.[/quote:3ae0ilov]

Esatto.

[quote=&quot;GIMUSI&quot;:3ae0ilov]2)[u:3ae0ilov] esistenza[/u:3ae0ilov]
- per mostrarne l’esistenza si ricorre agli sviluppi di laplace applicandoli per induzione;

- il passo base si fa utilizzando il caso n=2 o n=3;[/quote:3ae0ilov]

O addirittura n=1 se si vuol fare i pigri <!-- s:D --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_biggrin.gif" alt=":D" title="Very Happy" /><!-- s:D --> 

[quote=&quot;GIMUSI&quot;:3ae0ilov]- per il passo induttivo si mostra che, nota l’espressione giusta del det per il caso n, si è in grado di costruirne (con la formula di laplace) un’altra “papabile” per il caso n+1 che soddisfa le proprietà basic.[/quote:3ae0ilov]

Esatto. Ad essere più precisi: nota *una qualunque* espressione che funziona per n (dall'unicità sappiamo che è unica, ma qui è irrilevante), con laplace (occhio, per colonne) si ottiene un'espressione buona per n+1. Questa è l'unica verifica che non ho fatto esplicitamente a lezione, non perché sia particolarmente difficile dal punto di vista concettuale, ma perché è piuttosto pesante come notazione.