[quote=&quot;Lorececco&quot;:1ggyrtif]Domanda 2. Come già osservato in un altro topic, ogni funzione in [latex:1ggyrtif]W^{1,1}[/latex:1ggyrtif] è almeno [latex:1ggyrtif]L^{1+\varepsilon}[/latex:1ggyrtif], e questo sistema le cose.[/quote:1ggyrtif]

Esatto  <!-- s:!: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_exclaim.gif" alt=":!:" title="Exclamation" /><!-- s:!: --> 

[quote=&quot;Lorececco&quot;:1ggyrtif]Domanda 3. Devo solo dimostrare che [latex:1ggyrtif]u[/latex:1ggyrtif] è Lipschitz[/quote:1ggyrtif]

Io osserverei che la Lipschitzianità è un fatto locale, e quindi per dimostrare che una funzione è L-Lipschitziana su tutto lo spazio basta dimostrare che è L-Lipschitziana su ogni palla di raggio 1 (o anche di raggio 2020, basta però che la costante non dipenda dal centro). 

A questo punto moltiplicherei la funzione data per una bella cutoff che vale 1 nella palla in questione e 0 fuori dalla palla doppia, ed osserverei che la funzione moltiplicata sta in [latex:1ggyrtif]W^{1,p}[/latex:1ggyrtif] di tutto lo spazio con costante indipendente da tutto (dalla palla e da p). Di conseguenza, la funzione è [latex:1ggyrtif]\alpha[/latex:1ggyrtif] Holderiana per ogni [latex:1ggyrtif]\alpha\in&#40;0,1&#41;[/latex:1ggyrtif] con costante indipendente da [latex:1ggyrtif]\alpha[/latex:1ggyrtif] e dalla palla, e quindi è Lipschitziana con la stessa costante.

[quote=&quot;Lorececco&quot;:1ggyrtif]Domanda 4. I vincoli corretti sono [latex:1ggyrtif]L&#40;s&#41;\leq\|v+s\|-L&#40;v&#41;;\quad L&#40;s&#41;\geq L&#40;v&#41;-\|v-s\|[/latex:1ggyrtif]. Ponendo [latex:1ggyrtif]v\equiv -2[/latex:1ggyrtif] nella prima e [latex:1ggyrtif]v\equiv 3[/latex:1ggyrtif] nella seconda si ottengono le disuguaglianze cercate. Inoltre sono ottimali tra quelle che posso ottenere coi vincoli di HB: questo lo si vede osservando che a meno di cambiare i termini iniziali (questa cosa andrebbe detta meglio <!-- s:roll: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_rolleyes.gif" alt=":roll:" title="Rolling Eyes" /><!-- s:roll: -->) [latex:1ggyrtif]\|v\pm s\|=\max&#40;|L&#40;v&#41;\pm 2|,|L&#40;v&#41;\pm 3|&#41;[/latex:1ggyrtif] e svolgendo i conti <!-- s:lol: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_lol.gif" alt=":lol:" title="Laughing" /><!-- s:lol: -->[/quote:1ggyrtif]

Mi pare che non occorra nemmeno cambiare i termini iniziali, se davvero la s si limita ad alternare i valori 2 e 3. Tra l'altro, forse vale la pena osservare che ci sono anche altre scelte buone della v.