[quote=&quot;Angelica27&quot;:2ww8o9g6]Non ho affatto capito perché in alcuni esercizi bisogna sdoppiare b in b ortogonale e b parallelo e perché poi la f (x) è data da A (x - b ort/2) + b ort/2 + b par. Aiuto, please! <!-- s:( --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_sad.gif" alt=":(" title="Sad" /><!-- s:( -->[/quote:2ww8o9g6]

Nella classificazione delle isometrie del piano quando non si hanno punti fissi ci sono due casi (vd. lez.49):
- traslazione;
- simmetria rispetto ad una retta più traslazione parallela alla retta stessa.

Quindi per classificare in modo completo un'isometria [tex:2ww8o9g6]f&#40;x&#41;=Ax+b[/tex:2ww8o9g6] quando si ha una matrice [tex:2ww8o9g6]A[/tex:2ww8o9g6] di simmetria ripetto ad una retta (passante per l'origine) + una traslazione è necessario verificare la direzione della traslazione rispetto alla retta; si possono verificare tre casi:

1 - vettore traslazione parallelo alla retta: allora si tratta proprio del caso generale previsto nella classificazione e non c'è da fare altro;

2 - vettore ortogonale alla retta: in questo caso [u:2ww8o9g6]esistono punti fissi[/u:2ww8o9g6]; l'isometria è infatti una simmetria rispetto ad una retta parallela traslata di [tex:2ww8o9g6]b_o_r_t/2[/tex:2ww8o9g6] (basta fare un disegno per rendersene conto o in alternativa prendere il sistema [tex:2ww8o9g6]A &#40;x - b_o_r_t/2&#41; + b_o_r_t/2[/tex:2ww8o9g6] e determinarne i punti fissi);

[b:2ww8o9g6][u:2ww8o9g6]OSS[/u:2ww8o9g6][/b:2ww8o9g6]: al posto di [tex:2ww8o9g6]b_o_r_t/2[/tex:2ww8o9g6] si può prendere un qualsiasi altro punto appartenente alla retta traslata di [tex:2ww8o9g6]b_o_r_t/2[/tex:2ww8o9g6] rispetto all'origine

3- vettore con una componente ortogonale e una parallela rispetto alla retta: in tal caso l'isometria è una simmetria rispetto ad una retta parallela traslata di [tex:2ww8o9g6]b_o_r_t/2[/tex:2ww8o9g6] + una traslazione di vettore [tex:2ww8o9g6]b_p_a_r[/tex:2ww8o9g6].