Io vedo sostanzialmente due modi equivalenti di farlo, entrambi in coordinate cilindriche.

Il primo, che sostanzialmente è quello di Tiziano, è per sezioni. Si scrive l'insieme nella forma

[tex:2ebrgp4m]z\in[-6,-2],\quad\rho\in[0,\sqrt{z+6}],\quad\theta\in[0,2\pi][/tex:2ebrgp4m]

il che porta a scrivere l'integrale come (senza dimenticare lo jacobiano che cancella il denominatore)

[tex:2ebrgp4m]\displaystyle\int_{-6}^{-2}dz\int_{0}^{\sqrt{z+6}}\rho^4\,d\rho\int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta\sin^2\theta\,d\theta[/tex:2ebrgp4m]

Il secondo modo è per colonne. Si scrive l'insieme nella forma

[tex:2ebrgp4m]\rho\in[0,2],\quad\theta\in[0,2\pi],\quad z\in[\rho^2-6,-2][/tex:2ebrgp4m]

il che porta a scrivere l'integrale come (senza dimenticare lo jacobiano che cancella il denominatore)

[tex:2ebrgp4m]\displaystyle\int_{0}^{2}\rho^4\,d\rho \int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta\sin^2\theta\,d\theta \int_{0}^{\rho^2-6}dz[/tex:2ebrgp4m]

La fatica mi sembra più o meno la stessa nei due casi. Nel secondo c'è il piccolo vantaggio che non bisogna mai integrare radici <!-- s:D --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_biggrin.gif" alt=":D" title="Very Happy" /><!-- s:D --> .

P.S. Già che ci sono, sposto nella sezione giusta.