Eccomi di ritorno. Vedo che è stato un pomeriggio intenso: magari ci fosse questo tipo di interazione durante i corsi! Ma almeno avendo tutto on-line si può interagire dopo. Rispondo ai punti segnalati.

Per quanto riguarda il [latex:3g9ew9ru]\sin u[/latex:3g9ew9ru], alla lezione 42 sono stato troppo ottimista e ho detto una cosa falsa  <!-- s:oops: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_redface.gif" alt=":oops:" title="Embarassed" /><!-- s:oops: -->  <!-- s:oops: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_redface.gif" alt=":oops:" title="Embarassed" /><!-- s:oops: -->. Il bootstrap funziona solo fino alla dimensione 4, poi basta. Il problema è nell'implicazione

[latex:3g9ew9ru]u\in H^k\quad\Longrightarrow\quad\sin u\in H^k[/latex:3g9ew9ru],

la quale vale solo fino alla dimensione 4. La dimostrazione è abbastanza semplice, anche se non ovvia. Come avete osservato, quando uno va a scrivere la formula per la derivata k-esima della composizione, vengono fuori tanti termini, purtroppo anche con potenze elevate delle derivate. La fortuna però è che le derivate più alte compaiono con esponente 1 (e quindi hanno la sommabilità 2), quelle di ordine immediatamente inferiore compaiono con esponente 2, ma fortunatamente stanno in [latex:3g9ew9ru]L^4[/latex:3g9ew9ru] grazie alle immersioni (e qui serve la dimensione minore o uguale a 4), e tutte le precedenti sono continue (sempre per le immersioni), quindi no problem anche se hanno esponenti esagerati. Torna questo discorso?

[Piccola partentesi: dimostrare che l'implicazione di sopra è falsa in dimensione 5 è un esercizio interessante ...]

Quindi sì, in dimensione minore o uguale a 4 è discesa dopo aver fatto i primi passi, anche se con un po' di fatica (morale: fatica e dimensione bassa aiutano).

Allo stesso modo si tratta la potenza buffa dell'esercizio del compito di prova, ma solo grazie al fatto che l'argomento di troncamento ci ha portato &quot;gratis&quot; in [latex:3g9ew9ru]L^\infty[/latex:3g9ew9ru]. Senza quello restavamo al palo.

Detto questo, possiamo chiederci come si potrebbe fare il sin u in dimensione 2018, o anche 2019 visto che siamo già nel nuovo anno. Apparentemente la teoria [latex:3g9ew9ru]L^2[/latex:3g9ew9ru] non basta, quindi temo che occorra usare dei cannoni più potenti, come avete già osservato nei post precedenti. Vedo due possibilità.

La prima è usare la teoria [latex:3g9ew9ru]L^p[/latex:3g9ew9ru]. Visto che sin u sta un tutti gli [latex:3g9ew9ru]L^p[/latex:3g9ew9ru], allora u sta in tutti i [latex:3g9ew9ru]W^{2,p}[/latex:3g9ew9ru], ma allora sin u sta in tutti gli [latex:3g9ew9ru]W^{2,p}[/latex:3g9ew9ru] (questo mi sembra vero), e così via per bootstrap. 
Occhio che per il singolo p non è vero, cioè l'implicazione

[latex:3g9ew9ru]u\in W^{k,p}\quad\Longrightarrow\quad\sin u\in W^{k,p}[/latex:3g9ew9ru]

è in generale falsa, quindi è fondamentale l'uso combinato di tutti i p messi insieme. Occhio anche che non esiste una teoria [latex:3g9ew9ru]L^\infty[/latex:3g9ew9ru], quindi la fatica di far lavorare insieme i vari p va fatta tutta!

La seconda via d'uscita è usare il primo [latex:3g9ew9ru]L^p[/latex:3g9ew9ru] alto per andare a finire in un [latex:3g9ew9ru]W^{2,p}[/latex:3g9ew9ru] abbastanza alto da immergersi in qualche [latex:3g9ew9ru]C^{0,\alpha}[/latex:3g9ew9ru] ed a quel punto si procede per bootstrap con la teoria di Schauder.

Tornano questi due procedimenti?

E l'equazione è solo semi-lineare... Quando diventa quasi-lineare ridiamo davvero  <!-- s:mrgreen: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_mrgreen.gif" alt=":mrgreen:" title="Mr. Green" /><!-- s:mrgreen: -->  <!-- s:mrgreen: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_mrgreen.gif" alt=":mrgreen:" title="Mr. Green" /><!-- s:mrgreen: -->