Provo a rispondere a un altro paio di punti. Per la semicontinuità della parte di funzione possiamo usare Fatou perché se [latex:1i0zamc5]u_n \to u_{\infty}[/latex:1i0zamc5] in [latex:1i0zamc5]L^2[/latex:1i0zamc5] abbiamo una sottosuccessione [latex:1i0zamc5]u_{n_k}[/latex:1i0zamc5] che converge quasi ovunque. Di conseguenza anche [latex:1i0zamc5]u_{n_k}^{8102} \to u_{\infty}^{8102}[/latex:1i0zamc5] quasi ovunque e ora possiamo usare Fatou per concludere (basta partire dalla sottosuccessione che realizza il liminf).

Per quanto riguarda la parte di derivata abbiamo:

[latex:1i0zamc5]\displaystyle \liminf_{n \to \infty} \int x^{25} &#40;u_n&#41;_x^2 + y^{12} &#40;u_n&#41;_y^2 + z^{2018} &#40;u_n&#41;_z^2 \ge \liminf_{n \to \infty} \int x^{25} &#40;u_n&#41;_x^2 + \liminf_{n \to \infty} \int y^{12} &#40;u_n&#41;_y^2 + \liminf_{n \to \infty} \int z^{2018} &#40;u_n&#41;_z^2[/latex:1i0zamc5].

Adesso ognuno dei tre liminf a destra è del tipo che ha scritto il professore nel suo ultimo post. Perché sono semicontinui forte? Ad esempio perché sono continui forte in [latex:1i0zamc5]L^2[/latex:1i0zamc5]. 
Chiamiamo [latex:1i0zamc5]\displaystyle L&#40;v&#41; = \int_{X} a&#40;x&#41;v&#40;x&#41;^2 dx[/latex:1i0zamc5] abbiamo che 

[latex:1i0zamc5]\displaystyle |L&#40;v+h&#41;-L&#40;v&#41;| = \left|\int_{X} 2a&#40;x&#41;v&#40;x&#41;h&#40;x&#41;dx + \int_{X} a&#40;x&#41;h&#40;x&#41;^2dx\right| \le 2\|a\|_{\infty}\cdot\|v\|_{2}\cdot\|h\|_2  + \|a\|_{\infty}\cdot\|h\|_2^2[/latex:1i0zamc5].

Quindi se [latex:1i0zamc5]a&#40;x&#41;[/latex:1i0zamc5] è limitata siamo contenti  <!-- s:D --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_biggrin.gif" alt=":D" title="Very Happy" /><!-- s:D -->