Volevo cercare di aprire una discussione sulla possibilità che determinati insiemi (non necessariamente cilindri o insiemi con dominio regolare) ammettano un 1-extender.

In dimensione 1, è possibile estendere un intervallo a tutto [latex:2ks77m5y]\mathbb{R}[/latex:2ks77m5y]. Il metodo è spiegato sul Brezis, ma lo riporto per completezza. Supponiamo di avere una funzione [latex:2ks77m5y]u \in W^{1,p}&#40;0,1&#41;[/latex:2ks77m5y]. Considero ora la funzione [latex:2ks77m5y]\widetilde{u}[/latex:2ks77m5y] che coincide con [latex:2ks77m5y]u[/latex:2ks77m5y] sull'intervallo [latex:2ks77m5y]&#40;0,1&#41;[/latex:2ks77m5y] e vale 0 altrove. Moltiplicando per una cutoff [latex:2ks77m5y]\psi \in C^{\infty}[/latex:2ks77m5y] che vale 1 fino a 1/4 e 0 da 3/4 in poi, si può dimostrare che [latex:2ks77m5y]\widetilde{u} \psi \in W^{1,p}&#40;0, + \infty&#41;[/latex:2ks77m5y]. A quel punto estendo per riflessione e ottengo una funzione di Sobolev su tutta la retta. Il ragionamento vale pure per [latex:2ks77m5y]&#40;1 - \psi&#41; \widetilde{u}[/latex:2ks77m5y], perciò sommando queste estensioni ottengo un 1-extender di [latex:2ks77m5y]u[/latex:2ks77m5y]. 

Passiamo al caso in più dimensioni (facciamo in dimensione 2 per semplicità). Supponiamo di avere un quadratino. Estendendo 4 volte per riflessione (si guardi pag 254 del Brezis per la figura) si estende la funzione su un quadrato che contiene strettamente il quadratino di partenza. Moltiplicando per una funzione [latex:2ks77m5y]C^{\infty}[/latex:2ks77m5y] che vale 1 sul quadrato piccolo e ha supporto contenuto nel quadrato grande, ecco che ho un'estensione su tutto [latex:2ks77m5y]\mathbb{R}^2[/latex:2ks77m5y] (imponendo la sobolev estesa uguale a 0 fuori dal quadrato grande, ovviamente).

La domanda è: il primo approccio potrebbe funzionare in dimensione più alta? Supponiamo di avere il quadratino [latex:2ks77m5y]Q=&#40;0,1&#41; \times &#40;0,1&#41;[/latex:2ks77m5y] e si consideri [latex:2ks77m5y]u \in W^{1,p}&#40;Q&#41;[/latex:2ks77m5y]. Definisco [latex:2ks77m5y]\widetilde {u}&#40;x,y&#41;[/latex:2ks77m5y] uguale a [latex:2ks77m5y]u&#40;x,y&#41;[/latex:2ks77m5y] se [latex:2ks77m5y]&#40;x,y&#41; \in Q[/latex:2ks77m5y], mentre uguale a 0 se [latex:2ks77m5y]x \in &#40;0,1&#41;[/latex:2ks77m5y] e [latex:2ks77m5y]y \geq 1[/latex:2ks77m5y]. A questi punti considero [latex:2ks77m5y]\psi&#40;x,y&#41;=\psi&#40;y&#41;[/latex:2ks77m5y] come nel caso di dimensione 1, e dovrei avere che [latex:2ks77m5y]\psi \widetilde{u} \in W^{1,p}&#40;&#40;0,1&#41; \times \mathbb{R}&#41;[/latex:2ks77m5y]. Faccio la stessa cosa con [latex:2ks77m5y]&#40;1 - \psi&#41;\widetilde{u}[/latex:2ks77m5y]. A questo punto ottengo un’estensione tutta una striscia verticale. E con un altro passaggio in direzione delle ascisse estendo su tutto il piano.

Non mi sembra che si usi né che l’insieme sia limitato né che il bordo abbia qualche particolare regolarità. Alla fine l’estensione per riflessione dovrebbe tornare grazie alla scelta opportuna dell’estensione e usando argomenti di approssimazione (moltiplicare per una cutoff e usare convergenza dominata). Allo stesso modo dovrebbe tornare l’altra estensione usando la moltiplicazione per la [latex:2ks77m5y]\psi[/latex:2ks77m5y]. Non dico che dovrebbe venire su tutti gli insiemi, ma ad esempio per domini semplici (cioè sottografici) di funzioni positive dovrebbe tornare, ed anche su insiemi non limitati. E francamente mi sembra troppo bello per essere vero. 

Nel caso, dov’è che il castello di carte crolla? Inoltre usando le estensioni “per riflessione” con i giusti coefficienti mi sembra che in questo modo si possano ottenere m-extender forti su tutto lo spazio (altro motivo per cui mi sembra decisamente “troppo bello per essere vero”).

Se invece fosse tutto giusto, quali sarebbero alcuni esempi di domini dove questo ragionamento non funziona, e perché?

Si apra il dibattito!