Sia [latex:2xs67bch]f[/latex:2xs67bch] un'applicazione lineare \(\displaystyle f: R_{\leq 3}[x] \rightarrow R_{\leq 3}[x] \) tale che $$f(1+x+x^2)=f(x-x^3)=f(1)=f(x+x^2)$$
(i)Determinare la dimensione del nucleo e dell'immagine.
(ii) Sia [latex:2xs67bch]g[/latex:2xs67bch] l'applicazione lineare che soddisfa le proprietà sopra e tale che $$g(x)=1+2x+3x^2+4x^3$$
Determinare la matrice rappresentativa di g rispetto alla base [latex:2xs67bch]S=\{1,x,x^2,x^3 \}[/latex:2xs67bch] in entrata e uscita.

(i) Da quelle condizioni ricavo che [latex:2xs67bch]f&#40;1&#41;=0[/latex:2xs67bch] e [latex:2xs67bch]f&#40;x&#41;=f&#40;x^3&#41;=-f&#40;x^2&#41;[/latex:2xs67bch] ma ora come faccio a determinare la loro dimensione? Mi verrebbe da dire che dim(ker)=1 e automaticamente la dim(Im)=3, ma ciò non è vero, e lo capisco dal punto due

(ii)ho [latex:2xs67bch]g&#40;1&#41;=0[/latex:2xs67bch]  e [latex:2xs67bch]g&#40;x&#41;=g&#40;x^3&#41;=-g&#40;x^2&#41;=1+2x+3x^2+4x^3[/latex:2xs67bch] da cui segue che \(\displaystyle M_{S} ^{S} (g)=\left[\begin{matrix} 0 &amp; 1 &amp; -1 &amp; 1 \\ 0 &amp; 2 &amp; -2 &amp; 2 \\ 0 &amp; 3 &amp; -3 &amp; 3 \\ 0 &amp; 4 &amp; -4 &amp; 4\end{matrix}\right] \).
Quindi dim(Im)=1! 

Quindi come fare il punto (i)?