allego le soluzioni  <!-- s:?: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_question.gif" alt=":?:" title="Question" /><!-- s:?: --> con svolgimento  <!-- s:?: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_question.gif" alt=":?:" title="Question" /><!-- s:?: --> del test n.39 “Forme canoniche 2”

nella [u:2ih7rpp7]rev01[/u:2ih7rpp7] è stato corretto un erroraccio al punto 3c

nella [u:2ih7rpp7]rev02[/u:2ih7rpp7] nei casi in cui gli autovalori sono effettivamente complessi e la forma canonica è una jordan reale, per la determinazione della M reale è stato utilizzato il metodo (molto più rapido) illustrato nella lezione 58 basato sull'impiego degli autovettori coniugati che definiscono la M complessa

per quanto riguarda la prima parte, mi sembrano interessanti i casi con matrice diagonalizzabile in [tex:2ih7rpp7]C[/tex:2ih7rpp7] (d, f, o, s) e determinazione della relativa forma di jordan reale; per questi casi sono state determinate sia la matrice di cambio base per la forma diagonale sia la matrice di cambio di base per la forma di jordan reale; il calcolo di quest’ultima, per i casi non banali, è stato effettuato risolvendo il sistema [tex:2ih7rpp7]AM=MJ[/tex:2ih7rpp7]

un metodo analogo è stato utilizzato nell’ultimo esercizio del test (punto 3f) per determinare una matrice di cambio base tra le due matrici simili (diagonalizzabili in [tex:2ih7rpp7]R[/tex:2ih7rpp7]), risolvendo il sistema [tex:2ih7rpp7]AM=MB[/tex:2ih7rpp7]

ho anche indicato l'altro metodo alternativo per risolvere questo ultimo problema passando per il calcolo delle due [tex:2ih7rpp7]M[/tex:2ih7rpp7] che diagonalizzano [tex:2ih7rpp7]A[/tex:2ih7rpp7] e [tex:2ih7rpp7]B[/tex:2ih7rpp7], per poi combinarle opportunamente; a causa dei radicali i calcoli in questo caso sono più complicati e non li ho portati a termine

un aspetto interessante è che in tutti i casi indicati, nella risoluzione dei sistemi c’è sempre un certo grado di arbitrarietà nella determinazione della matrice [tex:2ih7rpp7]M[/tex:2ih7rpp7]; il primo vettore colonna può essere scelto in modo arbitrario su tutto [tex:2ih7rpp7]R^2[/tex:2ih7rpp7] e in tutti i casi si arriva ad una matrice M che funziona; questa circostanza non mi ha sorpreso per i sistemi [tex:2ih7rpp7]AM=MJ[/tex:2ih7rpp7] (vd. casi analoghi con del precedente test n.38) mentre mi ha lasciato inizialmente un po’ stupito per il sistema AM=BM con A e B diagonalizzabili in R; in realtà una volta fissato [tex:2ih7rpp7]x_1[/tex:2ih7rpp7] il secondo vettore [tex:2ih7rpp7]x_2[/tex:2ih7rpp7] risulta univocamente determinato e quindi il grado di “arbitrarietà” è corrispondente, come deve essere, a quello che si ha nella determinazione degli autovettori con [tex:2ih7rpp7]MG=MA=1[/tex:2ih7rpp7]