[quote=&quot;13700&quot;:2wn15v8q]Ehm, nel 2b perché alfa deve essere diverso da 0? anche l'applicazione che butta tutto in 0 dovrebbe andare bene, anche se è banale, perché sennò non è uno spazio vettoriale, tra il resto...[/quote:2wn15v8q]

se [tex:2wn15v8q]\alpha[/tex:2wn15v8q] fosse zero andrebbe tutto a finire nel [tex:2wn15v8q]Ker&#40;f&#41;[/tex:2wn15v8q]...quindi è un caso da escludere...

più che altro mi chiedo se sia necessario introdurlo...mi viene da pensare che che mandare [tex:2wn15v8q]v_3[/tex:2wn15v8q] in (1,2,3) sia del tutto equivalente a mandarlo in (2,4,6)...

[quote=&quot;13700&quot;:2wn15v8q]Nel 3b, non mi torna una cosa: f_13 eccetera come le definisci? non dovresti dare 3 condizioni come facevi prima? non capisco  .. <!-- s:( --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_sad.gif" alt=":(" title="Sad" /><!-- s:( --> [/quote:2wn15v8q]

nel punto (3a) si chiede che [tex:2wn15v8q]f&#40;w&#41;\in V[/tex:2wn15v8q]...allora è sufficiente mandare [tex:2wn15v8q]f&#40;v_3&#41;[/tex:2wn15v8q] in una qualsiasi combinazione lineare di [tex:2wn15v8q]v_1[/tex:2wn15v8q] e [tex:2wn15v8q]v_2[/tex:2wn15v8q]

nel punto (3b) invece si chiede di dare la dimensione di tutte le applicazioni tali che [tex:2wn15v8q]f&#40;w&#41;\in V[/tex:2wn15v8q]...e queste dovrebbero avere come base le 4 applicazioni [tex:2wn15v8q]f_i_j[/tex:2wn15v8q] che ho indicato (la logica è la medesima che ho seguito nel punto 1b)

[quote=&quot;13700&quot;:2wn15v8q]Poi ti volevo chiedere ... nel 4a ho fatto la tua dimostrazione f(f(v))=0 vuol dire che f(v) sta nel ker, ma f(v) è l'immagine... però poi come fai a scegliere le basi in quel modo? Cioè ... se l'immagine sta nel ker ... non lo so, c'è qualcosa che non capisco  <!-- s:? --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_confused.gif" alt=":?" title="Confused" /><!-- s:? -->[/quote:2wn15v8q]

ho notato solo ora che ho scritto erroneamente che  [tex:2wn15v8q]v_1,v_2,...,v_k[/tex:2wn15v8q] sono base di [tex:2wn15v8q]v_k_+_1,v_k_+_2,...,v_n[/tex:2wn15v8q]...ovviamente intendevo che sono base delle loro immagini...è un passaggio decisivo che non ho esplicitato bene...ripeto qui il ragionamento...

- supponiamo che il [tex:2wn15v8q]Ker&#40;f&#41;[/tex:2wn15v8q] abbia dimensione [tex:2wn15v8q]k[/tex:2wn15v8q] e quindi come base i [tex:2wn15v8q]k[/tex:2wn15v8q] vettori [tex:2wn15v8q]v_1,v_2,...,v_k[/tex:2wn15v8q]

- allora [tex:2wn15v8q]Im&#40;f&#41;[/tex:2wn15v8q] deve avere dimensione [tex:2wn15v8q]n-k[/tex:2wn15v8q] e come base [tex:2wn15v8q]n-k[/tex:2wn15v8q] vettori [tex:2wn15v8q]v_k_+_1,v_k_+_2,...,v_n[/tex:2wn15v8q] ([tex:2wn15v8q]dim&#40;Ker&#41; + dim&#40;Im&#41; = n[/tex:2wn15v8q])

- se [tex:2wn15v8q]Im&#40;f&#41;\subseteq Ker&#40;f&#41;[/tex:2wn15v8q] significa che gli [tex:2wn15v8q]n-k[/tex:2wn15v8q] vettori immagine della base di [tex:2wn15v8q]Im&#40;f&#41;[/tex:2wn15v8q] si possono scrivere come combinazione lineare dei [tex:2wn15v8q]k[/tex:2wn15v8q] vettori base del [tex:2wn15v8q]Ker[/tex:2wn15v8q]

(qui il passaggio fondamentale che ho saltato)

- i vettori immagine della base di [tex:2wn15v8q]Im&#40;f&#41;[/tex:2wn15v8q] non solo devo essere non nulli (altrimenti i [tex:2wn15v8q]v_k_+_1,v_k_+_2,...,v_n[/tex:2wn15v8q] sarebbero nel [tex:2wn15v8q]Ker&#41;[/tex:2wn15v8q] ma devono anche essere linearmente indipendenti (altrimenti anche le corrispondenti combinazioni lineari nulle dei [tex:2wn15v8q]v_k_+_1,v_k_+_2,...,v_n[/tex:2wn15v8q] finirebbero nel [tex:2wn15v8q]Ker[/tex:2wn15v8q])

- pertanto deve risultare [tex:2wn15v8q]k\geq n-k[/tex:2wn15v8q]