[quote:2kuhz3z5] (osserva anche che Span{v1,v2,v3,v4}=4 non ha significato).[/quote:2kuhz3z5]

Errore mio, dovevo scrivere che lo Span{v1,v2,v3,v4}=V con V spazio vettoriale di una Mat2x2 giusto?

Ho capito il senso dell'esercizio (forse); quello che dovevo fare era semplicemente crearmi una base, quindi creare 4 vettori linearmente indipendenti e confermare che fossero una base giusto?

Siccome mi hai dato la base canonica, allora ho tentato di crearmi una base. Posto lo svolgimento e magari giustificando i passaggi:

Devo creare una base tale che generi una matrice 2x2; le matrici 2x2 hanno dimensione 4 poiché nelle matrici la dimensione può coincide con il rango (quindi col numero di pivot).

Siano v1,v2,v3,v4 i seguenti vettori:

 \(v1 = \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\3\\0\end{pmatrix}\)   \(v2 = \begin{pmatrix} 0\\2\\4\\1 \end{pmatrix}\)  \(v3 = \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\0 \end{pmatrix}\) \(v4 = \begin{pmatrix} 6\\1\\-1\\3 \end{pmatrix}\)

La combinazione lineare sarà del tipo:

a* \( \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\3\\0\end{pmatrix}\) +  b* \( \begin{pmatrix} 0\\2\\4\\1 \end{pmatrix}\) + c* \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\0 \end{pmatrix}\) + d* \( \begin{pmatrix} 6\\1\\-1\\3 \end{pmatrix}\) =  \(\begin{pmatrix} a&amp;b\\ c&amp;d \end{pmatrix}\) 



Verifichiamo la dipendenza impostando la seguente matrice:

 \(A = \begin{pmatrix} 1&amp;0&amp;1&amp;6&amp;0\\ 2&amp;2&amp;1&amp;1&amp;0 \\3&amp;4&amp;1&amp;-1&amp;0 \\ 0&amp;1&amp;0&amp;3&amp;0 \end{pmatrix}\)

Ridotta: 

\(A(rid) = \begin{pmatrix} 3&amp;4&amp;1&amp;-1&amp;0\\ 0&amp;4&amp;-2&amp;-19&amp;0 \\0&amp;0&amp;-2&amp;-31&amp;0 \\ 0&amp;0&amp;0&amp;-9&amp;0 \end{pmatrix}\)

Equivale a:

\(\begin{cases} a= 0 \\ b= 0 \\ c= 0 \\ d=0\end{cases}\)

Quindi i vettori sono indipendenti; il rango corrisponde a 4 quindi la dimensione è 4. Sempre per il teorema delle proprietà delle basi (punto 5), posso affermare che è base. La base è costituita da:

 \begin{cases}\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\3\\0\end{pmatrix}    \begin{pmatrix} 0\\2\\4\\1 \end{pmatrix}   \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6\\1\\-1\\3 \end{pmatrix}\end{cases}\