Domanda 2. Come già osservato in un altro topic, ogni funzione in [latex:1xj7j0uc]W^{1,1}[/latex:1xj7j0uc] è almeno [latex:1xj7j0uc]L^{1+\varepsilon}[/latex:1xj7j0uc], e questo sistema le cose.

Domanda 3. Devo solo dimostrare che [latex:1xj7j0uc]u[/latex:1xj7j0uc] è Lipschitz (la stima in [latex:1xj7j0uc]L^\infty[/latex:1xj7j0uc] è facile <!-- s:D --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_biggrin.gif" alt=":D" title="Very Happy" /><!-- s:D -->). Per ogni coppia di punti [latex:1xj7j0uc]x,y[/latex:1xj7j0uc] fisso una palla [latex:1xj7j0uc]B[/latex:1xj7j0uc] che li contiene entrambi. Allora qui le [latex:1xj7j0uc]u\in W^{1,d+1}[/latex:1xj7j0uc] (dunque uniformemente continua) e posso approssimare via convoluzione, con le [latex:1xj7j0uc]u_\varepsilon[/latex:1xj7j0uc] che convergono uniformemente. A questo punto basta fare la solita stima col gradiente + combinazione convessa e passare al limite per [latex:1xj7j0uc]\varepsilon\to 0[/latex:1xj7j0uc], osservando che non si paga la dipendenza da [latex:1xj7j0uc]B[/latex:1xj7j0uc] e dunque vale per ogni [latex:1xj7j0uc]x,y\in\mathbb R^n[/latex:1xj7j0uc].
(dimostrazione presa da [url:1xj7j0uc]http&#58;//www&#46;math&#46;jyu&#46;fi/research/reports/rep100&#46;pdf[/url:1xj7j0uc])

Domanda 4. I vincoli corretti sono [latex:1xj7j0uc]L&#40;s&#41;\leq\|v+s\|-L&#40;v&#41;;\quad L&#40;s&#41;\geq L&#40;v&#41;-\|v-s\|[/latex:1xj7j0uc]. Ponendo [latex:1xj7j0uc]v\equiv -2[/latex:1xj7j0uc] nella prima e [latex:1xj7j0uc]v\equiv 3[/latex:1xj7j0uc] nella seconda si ottengono le disuguaglianze cercate. Inoltre sono ottimali tra quelle che posso ottenere coi vincoli di HB: questo lo si vede osservando che a meno di cambiare i termini iniziali (questa cosa andrebbe detta meglio <!-- s:roll: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_rolleyes.gif" alt=":roll:" title="Rolling Eyes" /><!-- s:roll: -->) [latex:1xj7j0uc]\|v\pm s\|=\max&#40;|L&#40;v&#41;\pm 2|,|L&#40;v&#41;\pm 3|&#41;[/latex:1xj7j0uc] e svolgendo i conti <!-- s:lol: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_lol.gif" alt=":lol:" title="Laughing" /><!-- s:lol: -->