[quote=&quot;FApples97&quot;:nmsjj8og]E' vero o falso che &quot;se [latex:nmsjj8og]u_n[/latex:nmsjj8og] converge a [latex:nmsjj8og]u[/latex:nmsjj8og] in norma [latex:nmsjj8og]L^2[/latex:nmsjj8og] ed essendo [latex:nmsjj8og]f:R^2\rightarrow R[/latex:nmsjj8og] continua, allora 	

[latex:nmsjj8og]\displaystyle\lim_{n \to \infty}\int_{a}^{b} f&#40;x,u_n&#40;x&#41;&#41;\, dx=\int_{a}^{b} f&#40;x,u&#40;x&#41;&#41;\, dx[/latex:nmsjj8og] &quot; ?[/quote:nmsjj8og]

L'enunciato, come spesso accade, è falso ma non troppo.

Come è enunciato qui sopra è falso perché si possono costruire semplici controesempi in cui

[latex:nmsjj8og]f_n\to 0[/latex:nmsjj8og] in [latex:nmsjj8og]L^2&#40;&#40;a,b&#41;&#41;[/latex:nmsjj8og] ma [latex:nmsjj8og]\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\int_a^b [f_n&#40;x&#41;]^4\,dx=+\infty[/latex:nmsjj8og]

Tuttavia, l'enunciato diventa vero non appena uno aggiunge una qualche ipotesi di dominazione, ad esempio

[latex:nmsjj8og]|f&#40;x,s&#41;|\leq As^2+B[/latex:nmsjj8og]

per ogni valore ammissibile di x ed s.

A quel punto diventa vero con dimostrazione standard, basata sui soliti 3 punti, ai quali qui mi limito ad accennare (ma se servono più dettagli, basta chiedere).

[list:nmsjj8og][*:nmsjj8og]Se una successione converge in L^2, allora esiste una sottosuccessione che converge puntualmente quasi ovunque in maniera equi-dominata.[/*:m:nmsjj8og]
[*:nmsjj8og]Dalla convergenza puntuale + equi-dominazione + ipotesi di dominazione della Lagrangiana segue la possibilità di passare al limite sotto il segno di integrale per quella sottosuccessione.[/*:m:nmsjj8og][*:nmsjj8og]Dal lemma della sotto-sotto segue che si passa al limite su tutta la successione.[/*:m:nmsjj8og][/list:u:nmsjj8og]

Vale la pena notare che, se invece della continuità, uno si accontentasse della semi-continuità inferiore, allora si potrebbe usare Fatou invece di Lebesgue, e questo richiede solo una dominazione dal basso, del tipo

[latex:nmsjj8og]f&#40;x,s&#41;\geq -As^2+B[/latex:nmsjj8og]

Se uno poi avesse, per ragioni particolari, una stima sulla norma [latex:nmsjj8og]L^2[/latex:nmsjj8og] delle derivate, allora basta davvero la continuità di [latex:nmsjj8og]f&#40;x,s&#41;[/latex:nmsjj8og] perché a quel punto sulle funzioni si ha pure la convergenza uniforme. Un caso tipico in cui questo serve è se uno volesse rilassare

[latex:nmsjj8og]\displaystyle\int_a^b \left&#40;&#40;\dot{u}^2-1&#41;^{22}+u^{44}\right&#41;\,dx[/latex:nmsjj8og]

Tutti i discorsi si generalizzano facilmente ad esponenti p generici.