Ops <!-- s:oops: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_redface.gif" alt=":oops:" title="Embarassed" /><!-- s:oops: --> , scusate, sul terzo avevo perso la doppia parentesi quadra con il significato di parte intera. A questo punto basta osservare che per ogni z vale la disuguaglianza

[tex:2rov2qk5]0\leq z-[z]&lt;1[/tex:2rov2qk5]

e quindi

[tex:2rov2qk5][z-[z]]=0[/tex:2rov2qk5]

per ogni z, dunque il terzo limite è &quot;finto&quot;, cioè è limite di roba che è sempre nulla.

Anche il quinto limite è finto, dal momento che un facile conto mostra che

[tex:2rov2qk5]n&lt;\sqrt{n^2+1}&lt;n+1[/tex:2rov2qk5]

per ogni intero positivo n, e quindi

[tex:2rov2qk5]\left[\sqrt{n^2+1}\right]=n[/tex:2rov2qk5]

Un attimo più delicato è quello con il fattoriale. In questo caso però il denominatore è decisamente troppo debole. Basta quindi osservare che

[tex:2rov2qk5]k!\geq &#40;k-5&#41;^5[/tex:2rov2qk5]

per ogni k abbastanza grande, quindi

[tex:2rov2qk5]\left[\sqrt{n}\,\right]!\geq\left&#40;\left[\sqrt{n}\,\right]-5\right&#41;^5\geq\left&#40;\sqrt{n}-6\right&#41;^5[/tex:2rov2qk5]

A questo punto si sostituisce e si chiude per confronto.

Insomma, in poche parole, la parte intera non può far male più di tanto. Quando causa non esistenza, basta usare differenti successioni che producano interi oppure interi più qualcosa (al esempio 0.5 o 0.99). Negli altri casi si usano le stime banali (occhio che è stretta da una parte ma non dall'altra)

[tex:2rov2qk5]a-1&lt;[a]\leq a[/tex:2rov2qk5]

e di solito le cose si sistemano. Comunque questa discussione mi ha dato una bella idea: quando rifarò analisi 1 aggiungerò all'eserciziario qualche esercizio con la parte intera (e a questo punto anche la parte frazionaria <!-- s:D --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_biggrin.gif" alt=":D" title="Very Happy" /><!-- s:D --> ).