Buona sera, 
Durante lo svolgimento di alcuni esercizi mi sono imbattuto in alcuni casi che non sono riuscito ad ultimare, le riporto le tracce con le strade intraprese nei vari casi, sarebbe così gentile da indirizzarmi verso una corrretta procedura così da poter ultimare correttamente l'ersercizio?

[tex:2mvuf44z]1&#41; \lim_{x \to 0 } \frac{sin&#40;arctan &#40;x&#41;&#41;}{x}[/tex:2mvuf44z] ho seguito questo ragionamento:
[tex:2mvuf44z]- 1 \le sin&#40;mostro&#41; \le 1[/tex:2mvuf44z]  quindi dividendo tutto per x ottengo che [tex:2mvuf44z]- \frac{1}{x} \le \frac{sin&#40;mostro&#41;}{x} \le \frac{1}{x}[/tex:2mvuf44z] per [tex:2mvuf44z]x \to 0[/tex:2mvuf44z] il [tex:2mvuf44z]\lim_{x \to 0 } \frac{1}{x} = N.E.[/tex:2mvuf44z] quindi per i carabinieri se il limite è compreso fra due limiti N. E. allora anche il limite risulterà N.E.
Il ragionamento è corretto? Se si, come posso svilupparlo in modo rigoroso?

[tex:2mvuf44z]2&#41; \lim_{x \to 0} 1+|sin x|^{\frac{1}{x}} = [&#40;1+ \frac{1}{\frac{1}{|sin x|}}&#41;^{\frac{1}{|sin x|}}]^{\frac{|sin x|}{x}} = e^\frac{|sin x|}{x}[/tex:2mvuf44z]

[tex:2mvuf44z]3&#41; \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} + log&#40;sen x&#41;[/tex:2mvuf44z]

[tex:2mvuf44z]4&#41; \lim_ {x \to 0} \frac{2^{3x} -1}{x}[/tex:2mvuf44z]