ciao!

la serie 

[tex:vgd79qtx]\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\left&#40;  \frac{\pi}{2} -\arctan x\right&#41;[/tex:vgd79qtx]

è equivalente alla serie 

[tex:vgd79qtx]\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \arctan \frac{1}{n}[/tex:vgd79qtx] , essendo nota l'identità trigonomentrica 

[tex:vgd79qtx]\displaystyle\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}-\arctan x[/tex:vgd79qtx];

allora la serie risulta divergente per confronto in quanto:

[tex:vgd79qtx]\displaystyle\arctan \frac{1}{n}\sim \frac{1}{n}\to \text{diverge}[/tex:vgd79qtx]