Salve. Ho questo integrale triplo che ho svolto, senza successo.

Lascio traccia e svolgimento sperando che qualche buona anima possa illuminarmi:

Dato l'insieme   [latex:368dkk8v]K={&#40;x,y,z&#41;:x^2+y^2+z^2\leq\pi, 0\leq z \leq \sqrt{x^2+y^2}, x\geq0, y\geq0}[/latex:368dkk8v]

Calcolare   [latex:368dkk8v]I=\int^{K} zsen&#40;x^2+y^2+z^2&#41; dV_3&#40;x,y,z&#41;[/latex:368dkk8v].
 
Il disegno sarebbe:

[url=https&#58;//i&#46;imgur&#46;com/ZqdERxI&#46;png:368dkk8v][img:368dkk8v]https&#58;//i&#46;imgur&#46;com/ZqdERxIl&#46;png[/img:368dkk8v][/url:368dkk8v]

Anziché utilizzare le coordinate sferiche ho voluto provare con quelle polari:
 [latex:368dkk8v]I= \int \int \int_ K zr&#40;senr^2cosz^2+cosr^2senz^2&#41;drdzd\theta[/latex:368dkk8v]

Ho &quot;calcolato&quot; gli estremi di integrazione per via grafica, essendo molto banale.
Il primo integrale sarebbe:

  [latex:368dkk8v]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}[\int_{0}^{\sqrt\frac{\pi}{2}}zcosz^2&#40;\int_{z}^{\sqrt{&#40;\pi-z^2&#41;}}rsenr^2dr &#41; dz]d\theta[/latex:368dkk8v]

Risolto l'integrale in dr (sapendo che l'integrale di [latex:368dkk8v]rsenr^2[/latex:368dkk8v] è: [latex:368dkk8v]\frac{-cosx^2}{2}[/latex:368dkk8v]), arrivo ad un risultato di circa 0,617. 

Il secondo è analogo e mi risulta molto piccolo, direi trascurabile rispetto al primo..

Il risultato in realtà sarebbe: [latex:368dkk8v]\frac{\pi^2}{8}[/latex:368dkk8v]... Non capisco dove sbaglio... idee?

Grazie anticipatamente!