Io proverei ad esplicitare il procedimento con la teoria [latex]L^p[/latex] per vedere se ho capito davvero. Assumiamo di avere [latex]\Delta u=\sin(u)[/latex] su [latex]\Omega[/latex] ragionevole .

 Allora [latex]\sin(u)[/latex] sta in tutti gli [latex]L^p[/latex]. In particolare, vale il primo passo del bootstrap che vogliamo dimostrare:[latex]u \in W^{2,p}[/latex] per tutti i p.

Ora ci serve dimostrare che [latex]\sin(u) \in W^{k,p}[/latex] sapendo che [latex]u \in W^{k,q}[/latex] con ogni [latex]q[/latex]. Ci scriviamo la derivata [latex]k[/latex]- esima e dovrebbe essere somma di termini del tipo [latex]h(u)u^{(k_1)} \dots u^{(k_r)}[/latex] con [latex]k_1+\dots k_r=k[/latex] e [latex]h(u)[/latex] limitata. Ci dovrebbe essere una sorta di Holder generalizzata che ci dice che considerando [latex]p_1 \dots p_r[/latex] che hanno somma degli inversi [latex]1/p[/latex] si ha la sommabilita' richiesta. Da qui il passo induttivo dovrebbe essere fatto. E' corretto?

Provo anche a postare una soluzione dell'esercizio 3 dello scritto di Natale:[spoiler=&quot;Esercizio_3&quot;]Svolgiamo prima il caso [latex]p=11[/latex][/spoiler]