Riporto il testo dell'esercizio.
Siano [latex:1dfo59k9]H[/latex:1dfo59k9] Hilbert separabile, [latex:1dfo59k9]K\subseteq H[/latex:1dfo59k9] chiuso, [latex:1dfo59k9]x_0\in H \setminus K[/latex:1dfo59k9]. Determinare se è vero che esiste [latex:1dfo59k9]z\in K[/latex:1dfo59k9]  t.c. [latex:1dfo59k9]||x-z||\le||x-y||[/latex:1dfo59k9]  per ogni [latex:1dfo59k9]y\in K[/latex:1dfo59k9].

Vorrei sapere se la mia soluzione è corretta.
[spoiler=&quot; &quot;:1dfo59k9]Forniamo un controesempio.
Sia [latex:1dfo59k9]K=\{e_n\}_n[/latex:1dfo59k9] l&#39;insieme degli elementi di una base hilbertiana. Ogni successione [latex:1dfo59k9]&#40;x_n&#41;_n[/latex:1dfo59k9] in [latex:1dfo59k9]K[/latex:1dfo59k9] per cui esiste [latex:1dfo59k9]I\subseteq \mathbb{N}[/latex:1dfo59k9] tale che [latex:1dfo59k9]\{e_i\}_{i\in I}[/latex:1dfo59k9] sono elementi della successione frequentemente, o non ha limite o ha per limite uno degli [latex:1dfo59k9]e_i[/latex:1dfo59k9] per [latex:1dfo59k9]i\in I[/latex:1dfo59k9]. Altrimenti si ha che la successione è tale che se [latex:1dfo59k9]n\neq m[/latex:1dfo59k9], allora [latex:1dfo59k9]x_n\neq x_m[/latex:1dfo59k9] definitivamente, per cui definitivamente diventa una sottosuccessione di un riordinamento della base hilbertiana originale, che è ancora una base hilbertiana, le cui sottosuccessioni non sono di Cauchy e dunque non hanno limite. Per cui i possibili limiti di successioni in [latex:1dfo59k9]K[/latex:1dfo59k9]  sono gli stessi elementi di [latex:1dfo59k9]K[/latex:1dfo59k9]. Questo ci dice che [latex:1dfo59k9]K[/latex:1dfo59k9] è chiuso.
Sia ora [latex:1dfo59k9]x_0\in H \setminus K[/latex:1dfo59k9], e sia [latex:1dfo59k9]&#40;y_n&#41;_n\subseteq K[/latex:1dfo59k9] una successione minimizzante. Questa non ammette sottosuccessioni convergenti, dunque non può essere convergente in [latex:1dfo59k9]K[/latex:1dfo59k9], per cui non esiste alcun punto di minimo.[/spoiler:1dfo59k9]