Sinceramente non riesco a capire il tuo dubbio. Provo a spiegartelo in un altro modo.
Il nostro scopo è, data una funzione [latex:ojc27d9a]f&#40;x&#41;[/latex:ojc27d9a], trovare un polinomio, [latex:ojc27d9a]P_n&#40;x&#41;[/latex:ojc27d9a], di grado minore o uguale a [latex:ojc27d9a]n[/latex:ojc27d9a] tale che:

[latex:ojc27d9a]f&#40;x&#41;=P_n&#40;x&#41;+o&#40;x^n&#41;[/latex:ojc27d9a] {1}

per [latex:ojc27d9a]x \to 0[/latex:ojc27d9a]

Adesso noi sappiamo due cose:
1) se [latex:ojc27d9a]f&#40;x&#41;[/latex:ojc27d9a] rispetta certe ipotesi allora la formula per [latex:ojc27d9a]P_n&#40;x&#41;[/latex:ojc27d9a] ci è data da Taylor
2) il [latex:ojc27d9a]P_n&#40;x&#41;[/latex:ojc27d9a], se esiste, è unico

Il punto 2 ci dice che se noi, non importa come, riusciamo a trovare un polinomio che rispetta la {1}, quel polinomio è UNICO, ed è quindi il polinomio che stavamo cercando. Il punto 1 ci dice invece che, se la [latex:ojc27d9a]f&#40;x&#41;[/latex:ojc27d9a] rispetta certe ipotesi, i coefficienti di quel polinomio sarebbero potuti essere ottenuti anche tramite la formula di Taylor, quindi tramite le derivate successive. In poche parole, come nel caso di [latex:ojc27d9a]sin&#40;x^5&#41;[/latex:ojc27d9a], tu hai un polinomio che rispetta {1}, e quindi hai i suoi coefficienti, tu da lì può risalire al valore delle derivate di [latex:ojc27d9a]f&#40;x&#41;[/latex:ojc27d9a] nel punto, in quanto ti basta eguagliare il valore di un dato coefficiente alla formula che Taylor suggerisce per quel determinato coefficiente. Non c’è possibilità di errore in quanto il polinomio che rispetta la {1} è unico.

P.S: ogni polinomio è lo sviluppo di Taylor di se stesso, lo si deduce facilmente dal fatto che [latex:ojc27d9a]P&#40;x&#41;[/latex:ojc27d9a] è unico. In altre parole un polinomio è già nella forma di Taylor

Inoltre l’esempio che hai scelto tu alla fine è incasinato perché non puoi sviluppare tutte le funzioni in [latex:ojc27d9a]x=0[/latex:ojc27d9a], ma per ognuna devi vedere a cosa tende l’argomento. Per esempio:

[latex:ojc27d9a]x^{arctan&#40;x&#41;} \to 1[/latex:ojc27d9a] e non a [latex:ojc27d9a]0[/latex:ojc27d9a]

quando [latex:ojc27d9a]x \to 0[/latex:ojc27d9a]