Uhm, forse alla penultima riga vuoi dire che il limite è uguale ad e^x, non a 0.

Sì, quella è l'altra strada, che però tira in ballo il concetto di serie, cioè di somma di infiniti termini. La dimostrazione è una generalizzazione del fatto che il numero e, definito come limite di sappiamo che cosa, è anche uguale alla somma di una certa serie. Una prima disuguaglianza passa per il binomio di Newton (come faccio anch'io a lezione). La disuguaglianza opposta è un pelino più delicata (è la solita dimostrazione &quot;in due step&quot;). 

Tutto questo però glissa sulla definizione di esponenziale, che viene (a mio giudizio innaturalmente) introdotto come somma di una serie.

Nel mio corso a matematica la faccio un po' più avanti, dopo aver sdoganato il concetto di serie.