Buonasera a tutti,

apro un nuovo argomento (sperando che non sia considerato spam) invece di postare in quello postato prima così magari qualcuno può vedere eventuali soluzioni a questo tipo di problema.
Il problema è il seguente:

[quote:26tvv48y]Si considerino i seguenti vettori in C^5:
[latex:26tvv48y]v1 = \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\3\\4\\5\end{pmatrix}   v2 = \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\0\\1 \end{pmatrix}  v3 = \begin{pmatrix} 1\\2\\1\\2\\3\end{pmatrix}v4 = \begin{pmatrix} 1\\0\\2\\1\\2 \end{pmatrix}[/latex:26tvv48y] 

Sia W =&lt;v1,v2,v3,v4&gt;

1) Si calcoli la base di W

2) Si calcoli la dimensione di W

3) Si descriva W tramite equazioni cartesiane[/quote:26tvv48y]

Per quanto riguarda il punto 1, ho ridotto la matrice da:

[latex:26tvv48y]\begin{pmatrix} 1&amp;1&amp;1&amp;1&amp;0\\ 2&amp;0&amp;2&amp;0&amp;0 \\ 3&amp;1&amp;1&amp;2&amp;0 \\4&amp;0&amp;2&amp;1&amp;0\\5&amp;1&amp;3&amp;2&amp;0 \end{pmatrix}\[/latex:26tvv48y]

a:

[latex:26tvv48y]\begin{pmatrix} 5&amp;1&amp;3&amp;2&amp;0\\ 0&amp;-4&amp;-2&amp;-3&amp;0 \\ 0&amp;0&amp;-10&amp;5&amp;0 \\0&amp;0&amp;0&amp;0&amp;0\\0&amp;0&amp;0&amp;0&amp;0 \end{pmatrix}\[/latex:26tvv48y]

Ho 3 pivot su v1,v2 e v3. Essendo v4 una variabile libera, la posso scartare e dire che v1,v2,v3 fanno una base; però anche v1,v2,v4 sono una base. Insomma, scegliendone 3 su 4 di vettori ho sempre una base.

Il punto due, dim(W)=3 poiché rng(W)=3.

Il problema è il punto 3, che non so se ho fatto bene o male. In questo tipo di esercizi solitamente da quel che ho capito è cercare di ridurre l'ultima riga a tutti 0 nella matrice dei coefficienti (ovviamente se non ho rango max, giusto?) impostando anche dei coefficienti, cioè:


[latex:26tvv48y]\begin{pmatrix} 1&amp;1&amp;1&amp;x\\ 2&amp;0&amp;2&amp;y \\ 3&amp;1&amp;1&amp;z \\4&amp;0&amp;2&amp;t\\5&amp;1&amp;3&amp;u \end{pmatrix}\[/latex:26tvv48y]

Svolgendola mi torna la seguente matrice:

[latex:26tvv48y]\begin{pmatrix} 5&amp;1&amp;3&amp;u\\ 0&amp;-4&amp;-2&amp;-5x+u \\ 0&amp;0&amp;6&amp;10y-4u \\0&amp;0&amp;0&amp;6z-&#40;9/5&#41;u+10y-4u\\0&amp;0&amp;0&amp;-5t+4u-5x+u \end{pmatrix}\[/latex:26tvv48y]

L'equazione cartesiana mi torna:

[latex:26tvv48y]\begin{equation}
30z-29u+50y=0
\end{equation}[/latex:26tvv48y]
[latex:26tvv48y]\begin{equation}
-t-x+u=0
\end{equation}[/latex:26tvv48y]

è corretta?