Carissimi,

Mi chiedevo stamattina un criterio sufficiente per l'esistenza di campi di Weierstrass &quot;globali&quot;, ovvero con una famiglia [latex:3d4pxhad]u_{\epsilon}[/latex:3d4pxhad] con [latex:3d4pxhad]\epsilon[/latex:3d4pxhad] che varia in tutto [latex:3d4pxhad]\mathbb{R}[/latex:3d4pxhad] invece che in un intervallino. Per iniziare, diciamo che abbiamo un'equazione differenziale in forma normale 
$$ \ddot u = f(x,u, \dot{u})$$
E diciamo che esiste un campo di weierstrass locale intorno a una certa soluzione [latex:3d4pxhad]u_0[/latex:3d4pxhad]. Dico allora (ma secondo me è sbagliato) che esiste un campo di Weierstrass globale facendo così: prendo il campo di Weierstrass locale [latex:3d4pxhad]u&#40;\epsilon, x&#41;[/latex:3d4pxhad] con [latex:3d4pxhad]\epsilon \in [- \delta, \delta][/latex:3d4pxhad], (domanda: lo richiediamo [latex:3d4pxhad]C^1[/latex:3d4pxhad] per essere campo di Weierstrass?).
Pongo allora 
$$ w(\epsilon,x) = u( \alpha \arctan ( \epsilon ), x)$$
Dove [latex:3d4pxhad]\alpha[/latex:3d4pxhad] è la cosa giusta per far quadrare gli intervalli, ovvero [latex:3d4pxhad]\frac{2 \delta}{\pi}[/latex:3d4pxhad]. Continua a esser crescente in [latex:3d4pxhad]\epsilon[/latex:3d4pxhad], a verificare l'equazione a [latex:3d4pxhad]\epsilon[/latex:3d4pxhad] fissato, e volendo sono C^1 se prima l'abbiamo assunto.

Come corollario, avremmo il seguente
Fatto: sia [latex:3d4pxhad]L&#40;x,s, p&#41; = p^2- f&#40;x,s&#41;[/latex:3d4pxhad], e sia assegnato il problema di minimo relativo con DBC. Supponiamo che per un certo [latex:3d4pxhad]u_0[/latex:3d4pxhad] soluzione di ELE valgano [latex:3d4pxhad]L^+, J^+[/latex:3d4pxhad]. Allora [latex:3d4pxhad]u_0[/latex:3d4pxhad] è GM (senza convessità!!). 

Dimostrazione: Sia [latex:3d4pxhad]w[/latex:3d4pxhad] un altro competitore. Per L^+, J^+ esiste un campo locale attorno a u_0, dunque anche un anche un campo globale. Sia [latex:3d4pxhad]u_{\epsilon}[/latex:3d4pxhad] questo campo di Weierstrass globale, e [latex:3d4pxhad]p[/latex:3d4pxhad] la slope function associata. Allora:
(1) L'eccesso di Weierstrass è sempre positivo:
$$ E(x,s,p,q) = (q^2 -f(x,s) )-(p^2-f(x,s) ) -(q-p)2p = (q-p)^2 \ge 0 $$
(2) Calcoliamo con la (WRF), che vale perche abbiamo le DBC assegnate:
$$F(w) - F(u) = \int_a^b E(x,w(x), p(x,w(x) ), \dot{w}(x) ) \ge 0 $$

E niente... Voi ci credete?