Ciao!

allora proviamo:

- [tex:2vojs19u]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}  \frac{2+\cos n}{n}[/tex:2vojs19u]
[tex:2vojs19u][/tex:2vojs19u]
Anzitutto si osserva che la serie è a termini positivi : infatti si ha che     [tex:2vojs19u]2+\cos n&gt;0, \forall n\in\mathbb{N};[/tex:2vojs19u] inoltre, ricordando che [tex:2vojs19u]|\cos n |\le1,[/tex:2vojs19u] il termine generale della serie diventa:

[tex:2vojs19u]\displaystyle \left|\frac{2+\cos n}{n}\right|\le\frac{\left|2+\cos n\right|}{n}\le\frac{2+\left|\cos n\right|}{n} \le\frac{3}{n}&lt;\frac{1}{n}\to \text{diverge}[/tex:2vojs19u]

possiamo quindi concludere che la serie diverge per confronto con la serie armonica semplice;

- [tex:2vojs19u]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}  &#40;-1&#41;^n \left&#40;\frac{3\sqrt n+\cos \pi n}{n}\right&#41;[/tex:2vojs19u]

Anzitutto si osserva che la serie è a segni alterni; studiando la convegrnza assoluta del termine generale si ha:

[tex:2vojs19u]\displaystyle\left|&#40;-1&#41;^n \left&#40;\frac{3\sqrt n+\cos \pi n}{n}\right&#41;\right|=\left| \left&#40;\frac{3\sqrt n+\cos \pi n}{n}\right&#41;\right|\le  \frac{\left|3\sqrt n+\cos \pi n\right|}{n}[/tex:2vojs19u] [tex:2vojs19u]\displaystyle\le\frac{3\sqrt n+\left|\cos \pi n\right|}{n}\le\frac{3\sqrt n+1}{n}\sim\frac{3\sqrt n }{n}=\frac{ 1}{\sqrt n}\to \text{diverge}[/tex:2vojs19u]

la serie risulta assolutamente divergente;  per vedere se c'è almeno convergenza semplice vediamo se sono verificate le ipotesi del criterio di Leibniz: si ha

[tex:2vojs19u]\displaystyle a_n=\frac{3\sqrt n+\cos \pi n}{n}\to 0[/tex:2vojs19u] infatti: [tex:2vojs19u]\displaystyle\lim_{n \to +\infty}a_n=\lim_{n \to +\infty} \frac{3\sqrt n+\cos \pi n}{n}\sim\frac{1}{\sqrt n }=0[/tex:2vojs19u]

per verificare la decrescenza di [tex:2vojs19u]a_n,[/tex:2vojs19u] dobbiamo verificare che [tex:2vojs19u]a_n\ge a_{n+1}[/tex:2vojs19u], cioè:

[tex:2vojs19u]\displaystyle  \frac{3\sqrt n+\cos \pi n}{n}\ge \frac{3\sqrt {n+1}+\cos [\pi &#40;n+1&#41;]}{n+1}[/tex:2vojs19u]  

[tex:2vojs19u]\displaystyle\frac{3\sqrt n }{n}+\frac{ \cos \pi n}{n}\ge \frac{3\sqrt {n+1} }{n+1}+ \frac{ \cos [\pi &#40;n+1&#41;]}{n+1}[/tex:2vojs19u] 

 [tex:2vojs19u]\displaystyle\frac{3\sqrt {n+1} }{n+1}+ \frac{1}{n+1}\le\frac{3\sqrt n }{n}+\frac{ 1}{n}[/tex:2vojs19u]

essendo   

[tex:2vojs19u]\displaystyle \frac{1}{n+1}\le \frac{ 1}{n} \to n+1\ge  \forall n\in \mathbb{N}[/tex:2vojs19u] 

e 

[tex:2vojs19u]\displaystyle \frac{3\sqrt {n+1} }{n+1} \le\frac{3\sqrt n }{n} \to \frac{1 }{\sqrt {n+1}} \le\frac{1 }{\sqrt {n }} \to \sqrt {n+1}\ge\sqrt {n } , \forall n\in \mathbb{N}[/tex:2vojs19u]

la disuguaglianza è verificata e dunque la successione risulta decrescente; allora per Leibnitz si conclude che la serie converge.

Conludendo la serie converge semplicemente ma non assolutamente