Nel primo ho usato il prodotto vettoriale, per dimostrare il secondo mi sono limitato a dimostrare che, data una base di V e una di W, il determinante della matrice 4x4 con dentro i vettori delle 2 basi ha determinante diverso da 0. Dimostrando che il determinante è diverso da 0 puoi dire che quei 4 vettori sono linearmente indipendenti, quindi sono una base e generano R^4.
Nella seconda parte del 2 occorre  trovare la matrice A' = M A M^-1, dove A è la matrice dell'applicazione lineare che trasforma i coefficienti dei vettori dati (Il  prof mi corregga se sto sbagliando il modo di dirlo!), ovvero

Per dimostrare che è unica basta dire che il determinante di A o A' è diverso da zero (altrimenti  ce ne sarebbero infinite) ma dato che A è

-1 0 0 0
0 -1 0 0
0 0  3 0
0 0  0 3

Si vede in fretta che il determinante non è zero. Più complicato è trovare la matrice A' che trasforma le componenti della base canonica invece delle coefficienti dei vettori, dato che occorre fare l'inversa di una 4x4 (mi sono venute una marea di frazioni tra l'altro) e 2 prodotti tra matrici 4x4. Se vuoi poi te la scrivo.