Salve, sono alle prese con il seguente esercizio di cui propongo una soluzione, ma non sono sicuro che le considerazioni fatte durante lo svolgimento siano corrette. Pertanto, se qualcuno vuole dare un'occhiata e dire cosa ne pensa, ne sarei felice.. <!-- s:D --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_biggrin.gif" alt=":D" title="Very Happy" /><!-- s:D --> 
L'esercizio è questo: stabilire per quali valori del parametro [latex:4ims8f0j]\alpha&gt;0[/latex:4ims8f0j] il seguente integrale risulta convergente.
[latex:4ims8f0j]\iint_A\frac{x}{x^2+y^{\alpha}}\,dx\,dy[/latex:4ims8f0j]
dove l'insieme dato è
[latex:4ims8f0j]A=\bigl\{&#40;x,y&#41;\in R^2\colon x^2+y^2\le1,\,x\ge0,\,y\ge0\bigr\}[/latex:4ims8f0j]
Eseguo il seguente cambio di variabili per pareggiare gli esponenti a denominatore:
[latex:4ims8f0j]\begin{cases}
x=u\\
y=v^{2/\alpha}
\end{cases}\implies\lvert{\frac{\partial{&#40;x,y&#41;}}{\partial{&#40;u,v&#41;}}}\rvert=\begin{vmatrix}
1 &amp; 0\\
0 &amp; \frac{2}{\alpha}v^{\frac{2-\alpha}{\alpha}}
\end{vmatrix}=\frac{2}{\alpha}\lvert{v^{\frac{2-\alpha}{\alpha}}}\rvert[/latex:4ims8f0j]
La funzione integranda diventa
[latex:4ims8f0j]g&#40;u,v&#41;=\frac{2uv^{\frac{2-\alpha}{\alpha}}}{\alpha&#40;u^2+v^2&#41;}[/latex:4ims8f0j]
mentre l'insieme di integrazione si trasforma in
[latex:4ims8f0j]A\mapsto D=\bigl\{&#40;u,v&#41;\in R^2\colon u^2+v^{4/\alpha}\le1,\,u\ge0,\,v\ge0\bigr\}[/latex:4ims8f0j]
Adesso
 per [latex:4ims8f0j]0&lt;\alpha&lt;2[/latex:4ims8f0j] è [latex:4ims8f0j]A\subset D[/latex:4ims8f0j]
mentre
per [latex:4ims8f0j]\alpha&gt;2[/latex:4ims8f0j] è [latex:4ims8f0j]D\subset A[/latex:4ims8f0j]
In ogni caso abbiamo che
[latex:4ims8f0j]\iint_{D\setminus A}g&#40;u,v&#41;\,du\,dv\qquad\iint_{A\setminus D}g&#40;u,v&#41;\,du\,dv[/latex:4ims8f0j]
sono un numero [latex:4ims8f0j]\ge0[/latex:4ims8f0j] in quanto integrali propri di funzione continua su insiemi limitati. Quindi, la convergenza dell'integrale sarà determinata dal suo comportamento sull'insieme [latex:4ims8f0j]A[/latex:4ims8f0j] di partenza. Passando a coordinate polari, dunque, si ha che
[latex:4ims8f0j]\iint_A g&#40;u,v&#41;\,du\,dv=\frac{2}{\alpha}\int_0^1\frac{1}{\rho^{&#40;\alpha-2&#41;/\alpha}}\,d\rho\int_0^{\pi/2}\cos&#40;\theta&#41;\sin^{&#40;2-\alpha&#41;/\alpha}&#40;\theta&#41;\,d\theta[/latex:4ims8f0j]
L'integrale in [latex:4ims8f0j]\theta[/latex:4ims8f0j] è uguale a
[latex:4ims8f0j]\frac{\alpha}{2}\bigl[\sin^{2/\alpha}&#40;\theta&#41;\bigr]_0^{\pi/2}=\frac{\alpha}{2}[/latex:4ims8f0j]
Dunque, l'integrale dato converge [latex:4ims8f0j]\iff\frac{\alpha-2}{\alpha}&lt;1\iff\alpha-2&lt;\alpha[/latex:4ims8f0j] cioè [latex:4ims8f0j]\forall\alpha&gt;0[/latex:4ims8f0j]

Grazie in anticipo per correzioni e suggerimenti.