Mi sembra che entrambe le strade indicate siano valide. Certo che se si vuole dimostrare che un limite è 7/3, è difficile poterlo fare con il rapporto.

Io farei così l'esercizio.

Passo 1: dimostro che la successione è limitata (dal basso da 0, dall'alto da un opportuno M): mi pare che questo sia una facile induzione.

Passo 2: dimostro che la successione tende a 0 (limitatezza + carabinieri).

Passo 3: dimostro che la successione è compresa tra 2 costanti diviso n (dal punto precedente): questo sistema la serie.

Passo 4: dimostro il 7/3 andando a mettere il passo 3 nella ricorrenza.

Non so se si è capito: se provate ad esplicitare i dettagli controlliamo.