Provo a rispondere (brevemente) ad alcuni quesiti dell'esercizio 3.
Dalla disuguaglianza [tex:1nokubwz]\displaystyle\frac{x}{1+x}\le\ln&#40;1+x&#41;\le x[/tex:1nokubwz] valida per [tex:1nokubwz]x&gt;-1[/tex:1nokubwz] e dal teorema dei due carabinieri si deduce che la funzione dell'esercizio tende a [tex:1nokubwz]\ln2[/tex:1nokubwz] quando [tex:1nokubwz]x[/tex:1nokubwz] tende a [tex:1nokubwz]0^{+}[/tex:1nokubwz].
Allora nell'intervallo [tex:1nokubwz][0,2\pi][/tex:1nokubwz] la funzione risulta continua e per il teorema di Weiestrass ammette massimo e minimo assoluti (il massimo nell'intervallo [tex:1nokubwz][0,\pi&#41;[/tex:1nokubwz] dove la funzione risulta positiva).
Per [tex:1nokubwz]0 &lt; x &lt; \pi[/tex:1nokubwz] utilizzando il teorema della media integrale si ha che  
(1) [tex:1nokubwz]\displaystyle\int_x^{x+\sin&#40;x&#41;}\frac{1}{\ln&#40;1+t&#41;}dt=\frac{\sin&#40;x&#41;}{\ln&#40;1+c_x&#41;}[/tex:1nokubwz] con [tex:1nokubwz]c_x \in [x,x+\sin&#40;x&#41;][/tex:1nokubwz];
(2) [tex:1nokubwz]\displaystyle\int_{x+2n\pi}^{x+2n\pi+\sin&#40;x+2n\pi&#41;}\frac{1}{\ln&#40;1+t&#41;}dt=\frac{\sin&#40;x&#41;}{\ln&#40;1+c_y&#41;}[/tex:1nokubwz] con [tex:1nokubwz]c_y \in [x+2n\pi,x+2n\pi+\sin&#40;x&#41;][/tex:1nokubwz].
Essendo [tex:1nokubwz]c_x&lt;c_y[/tex:1nokubwz] si deduce immediadamente che [tex:1nokubwz]f&#40;x&#41;&gt;f&#40;x+2n\pi&#41;[/tex:1nokubwz] e che quindi il massimo assoluto trovato nell'intervallo [tex:1nokubwz][0,2\pi][/tex:1nokubwz] lo è anche nell'intervallo [tex:1nokubwz][0, +\infty&#41;[/tex:1nokubwz].
Analogamente si ragiona per il minimo.