Salve a tutti, sono nuovo in questo forum, non seguo direttamente le lezioni del Prof. Gobbino ma ho usufruito delle sue videolezioni sulla propedeutica e su analisi 1 quindi vorrei postare un paio di equazioni ed espressioni trig. che non riesco del tutto a risolvere, spero che qualcuno possa darmi una dritta:

PRIMA EQUAZ: [tex:22trcjyg]2cos^2&#40;2x&#41; + cos&#40;2x&#41; = 0[/tex:22trcjyg]

Pongo [tex:22trcjyg]2x = a[/tex:22trcjyg], quindi [tex:22trcjyg]2cos^2&#40;a&#41; + cos&#40;a&#41; = 0[/tex:22trcjyg]
Pongo [tex:22trcjyg]cos&#40;a&#41; = t[/tex:22trcjyg] , quindi [tex:22trcjyg]2t^2 + t = 0 , t_1 = 0[/tex:22trcjyg] e [tex:22trcjyg]t_2 = -1/2[/tex:22trcjyg]

[tex:22trcjyg]cos&#40;a&#41; = 0[/tex:22trcjyg] , da cui [tex:22trcjyg]a = \pm \pi/2 + 2K\pi[/tex:22trcjyg] ==&gt;&gt; [tex:22trcjyg]2x = \pm \pi/2 + 2K\pi , x = \pm \pi/4 + K\pi[/tex:22trcjyg] con [tex:22trcjyg]K \in Z[/tex:22trcjyg]

[tex:22trcjyg]cos&#40;a&#41; = -1/2[/tex:22trcjyg] , da cui [tex:22trcjyg]a = \pi - \pi/3 + 2K\pi[/tex:22trcjyg] ==&gt;&gt; [tex:22trcjyg]2x = 2\pi/3 + 2K\pi , x = \pi/3 + K\pi[/tex:22trcjyg] con [tex:22trcjyg]K \in Z[/tex:22trcjyg]

Per simmetria: [tex:22trcjyg]cos&#40;a&#41; = -1/2 , a = \pi/3 - \pi + 2K\pi[/tex:22trcjyg]==&gt;&gt; [tex:22trcjyg]2x = -2\pi/3 + 2K\pi , x = -\pi/3 + K\pi[/tex:22trcjyg] con [tex:22trcjyg]K \in Z[/tex:22trcjyg]

Quindi le MIE soluzioni sono: [tex:22trcjyg]x = \pm \pi/4 + K\pi \cup x = \pm \pi/3 + K\pi[/tex:22trcjyg] con [tex:22trcjyg]K \in Z[/tex:22trcjyg]

Domanda, perche' nel testo di riferimento mettono come soluzioni: [tex:22trcjyg]x = \pi/4 + K\pi/2 \cup x = \pm \pi/3 + K\pi[/tex:22trcjyg] ??

SECONDA EQUAZ: [tex:22trcjyg]\sqrt{3}sinX = cosX[/tex:22trcjyg]

Il mio ragionamento:

[tex:22trcjyg]\sqrt{3}/2 sinX - 1/2 cosX = 0[/tex:22trcjyg]

INIZIO SISTEMA
[tex:22trcjyg]cos\varphi = \sqrt{3}/2[/tex:22trcjyg]
[tex:22trcjyg]sin\varphi = -1/2[/tex:22trcjyg]
FINE SISTEMA
Ottengo che [tex:22trcjyg]\varphi = \pi/6[/tex:22trcjyg]

[tex:22trcjyg]cos&#40;\pi/6&#41; sinX - sin&#40;\pi/6&#41; cosX = 0[/tex:22trcjyg]

Dalle formule degli archi associati:

[tex:22trcjyg]sin&#40;x - \pi/6&#41; = 0[/tex:22trcjyg]
[tex:22trcjyg]x - \pi/6 = 2K\pi , x = \pi/6 + 2K\pi[/tex:22trcjyg] con [tex:22trcjyg]K \in Z[/tex:22trcjyg]
[tex:22trcjyg]x - \pi/6 = \pi + 2K\pi , x = 7\pi/6 + 2K\pi[/tex:22trcjyg] con [tex:22trcjyg]K \in Z[/tex:22trcjyg]

Quindi le mie soluzioni sono: [tex:22trcjyg]x = \pi/6 + 2K\pi \cup x = 7\pi/6 + 2K\pi[/tex:22trcjyg] con [tex:22trcjyg]K \in Z[/tex:22trcjyg]

Il testo pone come soluz: [tex:22trcjyg]x = \pi/6 + 2K\pi[/tex:22trcjyg] con [tex:22trcjyg]K \in Z[/tex:22trcjyg]

TERZA ED ULTIMA: [tex:22trcjyg]4sin^2X - 2\sqrt{3}sinXcosX - 2cos^2X - 1 = 0[/tex:22trcjyg]

Supponiamo che [tex:22trcjyg]x = \pi/2 + 2K\pi \Longrightarrow cosX = 0 , sinX = 1[/tex:22trcjyg] La nostra equaz si ridurrebbe a [tex:22trcjyg]sin^2X = 1/4 \Longrightarrow cosX \not= 0[/tex:22trcjyg]

[tex:22trcjyg]\frac{4sin^2X}{cos^2X} -2\sqrt{3}\frac{sinXcosX}{cos^2X} - \frac{2cos^2X}{cos^2X} - \frac{sin^2X}{cos^2X} - \frac{cos^2X}{cos^2X}[/tex:22trcjyg]

Quindi...

[tex:22trcjyg]4tanX - 2\sqrt{3}tanX - 3 - tan^2X = 0[/tex:22trcjyg]
[tex:22trcjyg]tan^2X - 4tanX + 2\sqrt{3}tanX + 3 = 0[/tex:22trcjyg]
[tex:22trcjyg]tan^2X + &#40;2\sqrt{3} - 4&#41;tanX + 3 = 0[/tex:22trcjyg] ...da qui in poi non so come procedere? Il piano d'azione sarebbe porre [tex:22trcjyg]tanX = t[/tex:22trcjyg] e trovare [tex:22trcjyg]t_1 , t_2[/tex:22trcjyg] ma non so come calcolare i valori di t visto che ho radice di radice e viene fuori un paciugo.


Spero che sia chiara la formattazione e spero che qualcuno sia cosi' gentile da darmi una mano qui.

Ciao a tutti,

Mateusz.