nel punto 3a del compito del 23 febbraio.
[latex:ftxd1acy]\Omega[/latex:ftxd1acy] palla aperta in [latex:ftxd1acy]\mathbb{R }^3[/latex:ftxd1acy], [latex:ftxd1acy]\mathcal{F}=\{u \in H^1&#40;\Omega&#41;[/latex:ftxd1acy] tali che [latex:ftxd1acy]\int u^2+2u_x^2+3u_y^2+4u_z^2 \le 5\}[/latex:ftxd1acy] dire se
[latex:ftxd1acy]sup\{\int|u-artcan&#40;xyz&#41;|^3\}[/latex:ftxd1acy] è un max.
Non riesco a riformulare il problema in termini di un problema di minimo per applicare il metodo diretto come suggerito nella soluzione probabilmente mi sfugge qualcosa di semplice.
Alternativamente potrebbe andar bene una soluzione di questo tipo.
Considero una successione suppizzante [latex:ftxd1acy]u_n[/latex:ftxd1acy], in particolare essendo [latex:ftxd1acy]u_n \in \mathcal{F}[/latex:ftxd1acy] la successione è limitata in norma 
[latex:ftxd1acy]H^1[/latex:ftxd1acy] quindi ammette una sottosuccessione che converge debolmente a [latex:ftxd1acy]u \in \mathcal{F}[/latex:ftxd1acy] (la funzione che definisce [latex:ftxd1acy]\mathcal{F}[/latex:ftxd1acy] è convessa più SCI forte). Ora dal momento che l'immersione [latex:ftxd1acy]H^1 \to L^3[/latex:ftxd1acy] è compatta [latex:ftxd1acy]u_n[/latex:ftxd1acy] ammette una sottosuccessione che converge in norma [latex:ftxd1acy]L^3[/latex:ftxd1acy]. Senza rinominare la sottosuccessione ottengo [latex:ftxd1acy]u_n-arcatn&#40;xyz&#41;[/latex:ftxd1acy] converge in norma [latex:ftxd1acy]L^3[/latex:ftxd1acy] quindi [latex:ftxd1acy]lim_{n\to \infty} \int |u_n -arctan&#40;xyz&#41;|^3=\int |u-arctan&#40;xyz&#41;|^3[/latex:ftxd1acy]. E in realtà anche qui mi rimane oscuro perchè il limite in [latex:ftxd1acy]H^1[/latex:ftxd1acy] sia lo stesso che in [latex:ftxd1acy]L^3[/latex:ftxd1acy], stavo pensando se in qualche modo il duale di [latex:ftxd1acy]L^3[/latex:ftxd1acy] contenesse il duale di [latex:ftxd1acy]H^1[/latex:ftxd1acy] in modo da poter dedurre la convergenza debole al limite debole della successione in [latex:ftxd1acy]H^1[/latex:ftxd1acy] anche in [latex:ftxd1acy]L^3[/latex:ftxd1acy] (ovviamente per restrizione da un funzionale lineare su [latex:ftxd1acy]L^3[/latex:ftxd1acy] ne ottengo uno su [latex:ftxd1acy]H^1[/latex:ftxd1acy], ma è continuo?)