Eccoci. La condizione sul  parametro:  [tex:hfaxq4h2]\alpha &gt; 0[/tex:hfaxq4h2]. La divisione corretta e' quindi

[tex:hfaxq4h2]\displaystyle \int_{x^2+y^2\leq 1, \, x\geq 0, \, y\geq 0} \frac{\arctan&#40;xy&#41;}{&#40;x^2 + y^2&#41;^\alpha} dx\, dy[/tex:hfaxq4h2][tex:hfaxq4h2]+\displaystyle\int_{x^2+y^2\geq 1, \, x\geq 0, \, y\geq 0} \frac{\arctan&#40;xy&#41;}{&#40;x^2 + y^2&#41;^\alpha} dx\, dy[/tex:hfaxq4h2]

Dato che l'arcotangente a zero si comporta come il suo argomento,  il primo integrale si comporta come

[tex:hfaxq4h2]\displaystyle \int_{x^2+y^2\leq 1, \, x\geq 0, \, y\geq 0} \frac{xy}{&#40;x^2 + y^2&#41;^\alpha} dx\, dy[/tex:hfaxq4h2]

Questo integrale converge se e solo se  [tex:hfaxq4h2]\alpha &lt; 2[/tex:hfaxq4h2], basta passare in coordinate polari.

Vediamo il secondo integrale:

[tex:hfaxq4h2]\displaystyle \int_{x^2+y^2\geq 1, \, x\geq 0, \, y\geq 0} \frac{\arctan&#40;xy&#41;}{&#40;x^2 + y^2&#41;^\alpha} dx\, dy[/tex:hfaxq4h2]    [tex:hfaxq4h2]\leq \displaystyle\frac{\pi}{2}\int_{x^2+y^2\geq 1, \, x\geq 0, \, y\geq 0} \frac{1}{&#40;x^2 + y^2&#41;^\alpha }dx\, dy[/tex:hfaxq4h2]

Passando in coordinate polari si vede che questo integrale converge per [tex:hfaxq4h2]\alpha &gt; 1[/tex:hfaxq4h2]. [color=#FF0000:hfaxq4h2]Dalla stima precedente NON possiamo dedurre nulla sul comportamento dell'integrale per   [tex:hfaxq4h2]\alpha \leq 1[/tex:hfaxq4h2][/color:hfaxq4h2], dato che al primo passaggio abbiamo fatto una stima con un [tex:hfaxq4h2]\leq[/tex:hfaxq4h2].  L'idea e' che per  [tex:hfaxq4h2]\alpha \leq 1[/tex:hfaxq4h2] il secondo integrale  diverga, quindi [color=#FF0000:hfaxq4h2]ci serve una stima dal basso[/color:hfaxq4h2] (non dall'alto). Per fare questo dato che l'arcotangente si annulla sugli assi dobbiamo stare lontani dagli assi. Prendiamo un dominio piu' piccolo  [tex:hfaxq4h2]D_1 =\{{x^2+y^2\geq 1, \, x\geq 0, \, y\geq 0, \, x \leq y\leq 2x\}[/tex:hfaxq4h2] dove [tex:hfaxq4h2]\arctan&#40;xy&#41;\geq c &gt; 0[/tex:hfaxq4h2]. Allora

[tex:hfaxq4h2]\displaystyle \int_{x^2+y^2\geq 1, \, x\geq 0, \, y\geq 0} \frac{\arctan&#40;xy&#41;}{&#40;x^2 + y^2&#41;^\alpha} dx\, dy[/tex:hfaxq4h2]  [tex:hfaxq4h2]\geq \displaystyle \int_{D_1} \frac{\arctan&#40;xy&#41;}{&#40;x^2 + y^2&#41;^\alpha} dx\, dy  \geq \displaystyle \int_{D_1} \frac{c}{&#40;x^2 + y^2&#41;^\alpha} dx\, dy[/tex:hfaxq4h2]

Quest'ultimo integrale diverge quando [tex:hfaxq4h2]\alpha \leq 1[/tex:hfaxq4h2], quindi abbiamo finito: l'integrale di partenza converge se e solo se [tex:hfaxq4h2]1 &lt; \alpha &lt;2[/tex:hfaxq4h2]