[quote=&quot;Massimo Gobbino&quot;:3bwbnrj5]approcci diversi, ad esempio anche quello per riscalamento.[/quote:3bwbnrj5]

Provo ad esplicitare una dimostrazione per riscalamento che funziona per tutti i valori [latex:3bwbnrj5]p&lt;15/8[/latex:3bwbnrj5]. Prendiamo una classica [latex:3bwbnrj5]\varphi\in C^\infty_c&#40;\mathbb{R}^3&#41;[/latex:3bwbnrj5] che sia maggiore o uguale a 0 e abbia integrale della potenza p del gradiente uguale a 5. Ora riscaliamola del tipo

[latex:3bwbnrj5]n^a \varphi&#40;nx&#41;[/latex:3bwbnrj5]

scegliendo come al solito l'esponente a in maniera tale che l'integrale della potenza p del gradiente non dipenda da n. Ora non dovrebbe essere difficile mostrare che l'integrale di questa tende a 0 per n tendente all'infinito. Possiamo allora porre

[latex:3bwbnrj5]u_n&#40;x&#41;=c_n+n^a \varphi&#40;nx&#41;[/latex:3bwbnrj5]

scegliendo [latex:3bwbnrj5]c_n[/latex:3bwbnrj5] in modo che l'integrale di [latex:3bwbnrj5]u_n&#40;x&#41;[/latex:3bwbnrj5] sia uguale a 5. Per quanto osservato precedentemente, [latex:3bwbnrj5]c_n[/latex:3bwbnrj5] tende a 5 diviso per la misura della palla, quindi ad una quantità positiva.

Quando andiamo ad elevare tutto alla quinta possiamo dunque minorare con 

[latex:3bwbnrj5]n^{5a} \varphi&#40;nx&#41;^5[/latex:3bwbnrj5]

Non ci resta ora che osservare che, se [latex:3bwbnrj5]p&lt;15/8[/latex:3bwbnrj5], il valore di a che abbiamo trovato fa divergere questo integrale.

Faccio notare che i due approcci proposti, cioè l'utilizzo di una potenza negativa della norma o di un riscalamento, sono i due classici argomenti per mostrare l'ottimalità degli esponenti coinvolti nelle immersioni di Sobolev. Quindi, in un certo senso, devono funzionare.