Prendiamo un caso pratico più semplice, per esempio lo sviluppo di ordine 4 di [latex:35i2a0fx]sin&#40;x&#41;[/latex:35i2a0fx] in [latex:35i2a0fx]0[/latex:35i2a0fx]:

[latex:35i2a0fx]sin&#40;x&#41;=x-\dfrac{x^3}{3!}+o&#40;x^4&#41;[/latex:35i2a0fx]

Espliciti l’o piccolo:

[latex:35i2a0fx]o&#40;x^4&#41;=x^4*\omega&#40;x&#41;[/latex:35i2a0fx]

Dove [latex:35i2a0fx]\omega&#40;x&#41; \to 0[/latex:35i2a0fx] per [latex:35i2a0fx]x \to 0[/latex:35i2a0fx], giusto?

Quindi:

[latex:35i2a0fx]sin&#40;x&#41;=x-\dfrac{x^3}{3!}+x^4*\omega&#40;x&#41;[/latex:35i2a0fx]                                       {1}

Quella eguaglianza vale per ogni [latex:35i2a0fx]x[/latex:35i2a0fx]? Si, vale per ogni [latex:35i2a0fx]x[/latex:35i2a0fx] per cui [latex:35i2a0fx]sin&#40;x&#41;[/latex:35i2a0fx] è definita, quindi in particolare vale per [latex:35i2a0fx]x^5[/latex:35i2a0fx] (il Prof.Gobbino tende a dare per scontato questo passaggio e sostituisce direttamente nella formula con l’o piccolo). Quindi abbiamo:

[latex:35i2a0fx]sin&#40;x^5&#41;=x^5-\dfrac{x^{15}}{3!}+x^{20}*\omega&#40;x^5&#41;[/latex:35i2a0fx]

Adesso  ci chiediamo se è anche vero che:

[latex:35i2a0fx]sin&#40;x^5&#41;=x^5-\dfrac{x^{15}}{3!}+o&#40;x^{20}&#41;[/latex:35i2a0fx]                      {2}

La risposta in questo caso è si! Perché è si? Perché quando [latex:35i2a0fx]x \to 0[/latex:35i2a0fx] anche [latex:35i2a0fx]x^5 \to 0[/latex:35i2a0fx], quindi, per composizione di limiti, abbiamo che quando [latex:35i2a0fx]x \to 0[/latex:35i2a0fx] [latex:35i2a0fx]\omega&#40;x^5&#41; \to 0[/latex:35i2a0fx]. Questo ci permette di concludere che la formula {2} è corretta.
Si poteva sostituire [latex:35i2a0fx]\frac{1}{x}[/latex:35i2a0fx] nell’equazione {1}? Si, sarebbe stato corretto, ma non si sarebbe potuto concludere che era un o piccolo, quindi non si sarebbe potuti passare alla {2}!

Per tornare al tuo quesito, pensiamo a [latex:35i2a0fx]sin&#40;x^5&#41;[/latex:35i2a0fx] come ad una funzione composta da [latex:35i2a0fx]x^5[/latex:35i2a0fx] e da [latex:35i2a0fx]sin&#40;x&#41;[/latex:35i2a0fx]. Cosa rappresenta la {2}? Rappresenta lo sviluppo di ordine 20 di [latex:35i2a0fx]sin&#40;x^5&#41;[/latex:35i2a0fx], giusto?
Adesso consideriamo il coefficiente davanti a [latex:35i2a0fx]x^5[/latex:35i2a0fx], da cosa è dato questo coefficiente? Taylor ci dice che è calcolato come:

[latex:35i2a0fx]\dfrac{f^{&#40;5&#41;}&#40;0&#41;}{5!}[/latex:35i2a0fx]

Noi sappiamo da {2} che TUTTA questa frazione è uguale a 1, e che quindi la derivata quinta di [latex:35i2a0fx]sin&#40;x^5&#41;[/latex:35i2a0fx] in [latex:35i2a0fx]0[/latex:35i2a0fx] deve essere necessariamente uguale a [latex:35i2a0fx]5![/latex:35i2a0fx] e non a 1. La stessa cosa vale per la derivata 2015-esima