Calma, calma. Quello che è indicato con W non è una base, ma è lo spazio ortogonale all'autovettore v la cui esistenza è assicurata dal fatto 4. 

Applicando opportunamente il fatto 3, segue che l'applicazione rappresentata dalla matrice A manda W in W, il che ci autorizza a definire B come la restrizione dell'applicazione A a W. Se l'applicazione A era simmetrica in grande, cioè &quot;migrava nei prodotti scalari tra vettori qualunque&quot;, allora in particolare l'applicazione A &quot;migra nei prodotti scalari tra vettori di W&quot;, quindi l'applicazione B è simmetrica. 

Ora interviene l'ipotesi induttiva, per la quale esiste una base di W fatta da (auto)vettori ortonormali. Questa base ortonormale di W, unita al v di partenza, forma una base ortonormale dello spazio di partenza nella quale A è diagonale.

Spero di essermi spiegato ... C'è sempre il rischio di contaminazione tra &quot;matrici&quot; e &quot;applicazioni lineari&quot;, che sono due facce della stessa medaglia. Forse in questo caso è più utile pensare tutto in termini di applicazioni.