Ecco i miei spoiler per il numero 1.

[spoiler=&quot;Hint 1&quot;:1u9zct82]Usando un po&#39; di simmetrie &#40;quali?&#41; si dimostra che inf=-sup e ci si riduce a studiare nel primo quadrante[/spoiler:1u9zct82]

[spoiler=&quot;Hint 2&quot;:1u9zct82]Nel primo quadrante vale

[latex:1u9zct82]f&#40;x,y&#41;=\dfrac{x^3 y}{1+x^4+y^4}\leq\dfrac{x^3 y}{x^4+y^4}=:g&#40;x,y&#41;[/latex:1u9zct82]

quindi [latex:1u9zct82]\sup f&#40;x,y&#41;\leq\sup g&#40;x,y&#41;[/latex:1u9zct82]. Quando vale il segno di uguale nella disuguaglianza tra f&#40;x,y&#41; e g&#40;x,y&#41;?[/spoiler:1u9zct82]

[spoiler=&quot;Hint 3&quot;:1u9zct82]Il sup di g&#40;x,y&#41; si calcola subito osservando che è una funzione omogenea, il che permette di ridursi a [latex:1u9zct82]\gamma&#40;m&#41;=\dfrac{m}{1+m^4}[/latex:1u9zct82][/spoiler:1u9zct82]

[spoiler=&quot;Hint 4&quot;:1u9zct82]Detto [latex:1u9zct82]m_0[/latex:1u9zct82] il valore che massimizza [latex:1u9zct82]\gamma&#40;m&#41;[/latex:1u9zct82], basta ora fare il limite di [latex:1u9zct82]f&#40;t,m_0 t&#41;[/latex:1u9zct82] per mostrare che il realtà il sup di f&#40;x,y&#41; coincide con il max di [latex:1u9zct82]\gamma&#40;m&#41;[/latex:1u9zct82][/spoiler:1u9zct82]

Importante evitare ragionamenti del tipo: &quot;il sup è all'infinito, quindi faccio il limsup che calcolo sulle rette&quot;.