Ok, provo a rendere il tutto più rigoroso...

sia b_n= sin 2n una sottosuccessione di a_n= sin n.
b_n= sin 2n= 2sin n cos n= [a meno di un segno + o -]2sin n sqrt (1-sin^2 n).
Supponiamo che il limite di a_n esista. Se esiste, è finito perchè la successione è limitata sia superiormente che inferiormente. Chiamiamo questo limite L.
Anche b_n dovrà tendere ad L e visto che sin n tende pure a L abbiamo che [sempre a meno di quel segno + o -] L= 2L sqrt(1-L^2) e dunque si può solo avere che L=0, L=+sqrt(3)/2 , L=-sqrt(3)/2.
A questo punto applico la definizione di limite e concludo...
Va bene?

E, rigorosamente, come faccio a dire che [quote=&quot;Massimo Gobbino&quot;:1o8h2xq5]sin n è infinite volte vicino a 1 ed infinite volte vicino a -1[/quote:1o8h2xq5]?