Dubbi legittimissimi ... la teoria non è per nulla banale, e quello che si usa qui è il famoso lemma della sotto-sotto (vedi, per esempio, AM_17 lezione 120).

Nel caso specifico in realtà non serve, e si può by-passare in questo modo. Sia [latex:1ed29w4k]\ell[/latex:1ed29w4k] il liminf che ci interessa. Per la nota caratterizzazione esiste una successione [latex:1ed29w4k]&#40;x_n,y_n&#41;[/latex:1ed29w4k] tale che

[latex:1ed29w4k]x_n^2+y_n^4\to+\infty\qquad[/latex:1ed29w4k] e [latex:1ed29w4k]\qquad x_n^2+y_n^2\to\ell[/latex:1ed29w4k]

Per quanto visto sopra sappiamo che esiste [latex:1ed29w4k]n_k\to +\infty[/latex:1ed29w4k] tale che

[latex:1ed29w4k]x_{n_k}^2+y_{n_k}^2\to +\infty[/latex:1ed29w4k]

il che forza [latex:1ed29w4k]\ell=+\infty[/latex:1ed29w4k].