Propongo l'esercizio subito dopo della tabella, e il mio ragionamento e mi spiegate dove sbaglio..
Sia [tex:ibu4vago]\partial\Omega ={&#40;t,2t&#41; t\in [0,1]} \cup {y=2} \cup {x=0}[/tex:ibu4vago]
F(x,y) =[tex:ibu4vago]x^2[/tex:ibu4vago]

allora per Gauss Green:
[tex:ibu4vago]\int_{\Omega}^{} f divE\, dx dy[/tex:ibu4vago]=[tex:ibu4vago]-\int_{\Omega}^{} \nabla f * E \, dxdy +\int_{\partial\Omega}^{} f E*v \, ds[/tex:ibu4vago]

quindi ho ipotizzato di avere un E tale che divE=1 e ho scelto E=(1,y)
ricavo in oltre che [tex:ibu4vago]\nabla f =&#40;2x,0&#41;[/tex:ibu4vago]
quindi 
[tex:ibu4vago]-\int_{\Omega}^{} \nabla f * E \, dxdy = - \int_{0}^{1} dx \int_{2x}^{2} dy 2x = -2/3[/tex:ibu4vago]

ora calcolo l'integrali curvilinei sui 3 bordi.
L'ultimo, quello relativo alle asse Y (x=0) fa 0.

il primo è orientato positivamente e ha versore tangente = [tex:ibu4vago]&#40;2,-1&#41;/ \sqrt5[/tex:ibu4vago]

quindi 
[tex:ibu4vago]\int_{\partial\Omega}^{} f E*v \, ds = \int_{0}^{1} t^2 &#40;2-2t&#41; \,dt = -1/3[/tex:ibu4vago]

il secondo parametrizzato (t,2) [tex:ibu4vago]t\in[0,1][/tex:ibu4vago] è orientato in senso negativo, quindi metto un meno davanti all'integrale e lo oriento in senso positivo e prendo come versore tangente il versore (0,1)
[tex:ibu4vago]\int_{\partial\Omega}^{} f E*v \, ds =-\int_{0}^{1} 2t^2 \, dt = -2/3[/tex:ibu4vago]

Qundi rimontando il tutto mi viene 
[tex:ibu4vago]\int_{\Omega}^{} f divE\, dx dy = -2/3 -1/3 -2/3 = -5/3[/tex:ibu4vago]

Cosa che assolutamente non torna perché sul libro risulta essere 1/6