[quote=&quot;db89&quot;:ebbnrcyo]l'integrale improprio tra 1 e +00 di (e^x)/((e^2x)-2 in dx come si risolve?[/quote:ebbnrcyo]

[tex:ebbnrcyo]\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{e^x}{e^{2x}-2}[/tex:ebbnrcyo]

anzitutto si osseva che la funzione integranda risulta definita per ogni [tex:ebbnrcyo]\displaystyle x\not=\frac{\ln2}{2}&lt;1[/tex:ebbnrcyo] e positiva per  [tex:ebbnrcyo]\displaystyle x&gt;\frac{\ln2}{2}[/tex:ebbnrcyo] e negativa per  [tex:ebbnrcyo]\displaystyle x&lt;\frac{\ln2}{2}[/tex:ebbnrcyo], quindi si ha singolarità solo a  [tex:ebbnrcyo]+\infty[/tex:ebbnrcyo], essendo appunto [tex:ebbnrcyo]\displaystyle \frac{\ln2}{2}&lt;1[/tex:ebbnrcyo] e quindi fuori dall' intervallo di integrazione; inoltre in [tex:ebbnrcyo][1,+\infty&#41;[/tex:ebbnrcyo] la funzione integranda risulta positiva e si puo quindi considerare il comportamento asintotico:

-[tex:ebbnrcyo]x\to +\infty[/tex:ebbnrcyo]

[tex:ebbnrcyo]\displaystyle \frac{e^x}{e^{2x}-2}\sim \frac{e^x}{e^{2x} }= \frac{1}{e^{ x} }\to[/tex:ebbnrcyo]converge

se poi si vuole valutare il valore dell'area, si ha che posto:

[tex:ebbnrcyo]\displaystyle e^x=t\to x=\ln t \to dx=\frac{1}{t} dt[/tex:ebbnrcyo], l'integrale diviene:

[tex:ebbnrcyo]\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{e^x}{e^{2x}-2}\to  \int\frac{t}{t^{2 }-2}\cdot \frac{1}{t} dt=\int\frac{dt}{t^{2 }-2}[/tex:ebbnrcyo][tex:ebbnrcyo]\displaystyle=\int\frac{dt}{&#40;t -\sqrt2&#41;&#40;t+\sqrt2&#41;}[/tex:ebbnrcyo][tex:ebbnrcyo]\displaystyle=\int\frac{A}{t -\sqrt2}dt+\int\frac{B}{t+\sqrt2} dt=A\ln|t-\sqrt2|+B\ln|t+\sqrt2|[/tex:ebbnrcyo]

 [tex:ebbnrcyo]\displaystyle=A\ln|e^x-\sqrt2|+B\ln|e^x+\sqrt2|[/tex:ebbnrcyo] [tex:ebbnrcyo]\displaystyle= \frac{1}{2\sqrt2}}\ln|e^x-\sqrt2|- \frac{1}{2\sqrt2}\ln|e^x+\sqrt2|[/tex:ebbnrcyo] [tex:ebbnrcyo]\displaystyle=\frac{1}{2\sqrt2}\ln\Big|\frac{e^x-\sqrt2}{e^x+\sqrt2}\Big|[/tex:ebbnrcyo]

dove:[tex:ebbnrcyo]\displaystyle A=\frac{1}{2\sqrt2}\quad B=-\frac{1}{2\sqrt2}[/tex:ebbnrcyo]

Allora

[tex:ebbnrcyo]\displaystyle \Big[\frac{1}{2\sqrt2}\ln\Big|\frac{e^x-\sqrt2}{e^x+\sqrt2}\Big|\Big]_{1}^{+\infty}=\Big[\frac{1}{2\sqrt2}\ln\frac{e^x-\sqrt2}{e^x+\sqrt2}\Big]_{1}^{+\infty}[/tex:ebbnrcyo] [tex:ebbnrcyo]=\displaystyle 0-\Big&#40;\frac{1}{2\sqrt2}\ln\frac{e-\sqrt2}{e+\sqrt2}\Big&#41;\sim 0.4[/tex:ebbnrcyo]