Gentile Professore, le posto un esercizio con una risoluzione di cui non sono certo ... se ha un pò di pazienza ... l'esercizio è il seguente, seguito dal mio tentativo:

Determinare, al variare del paramentro [tex:1ud1yksu]$\beta\in\mathbb{R}$[/tex:1ud1yksu] la convergenza  della serie:

[tex:1ud1yksu]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\, &#40;-1&#41;^{\left[\sin\left&#40;\frac{n}{n+1}\right&#41;\right]}\cdot a_n[/tex:1ud1yksu]

dove:

[tex:1ud1yksu]a_n=\begin{cases}\displaystyle\sqrt n\ln n\sum_{k=n+1}^\infty\,\,\frac{&#40;-1&#41;^k}{k^2\ln^2k}, &amp; \mbox{se }n\mbox{ dispari} \\\\ \left&#40;\sqrt{1+\frac{1}{n^{\beta}}}-1\right&#41;\left&#40;\arctan\left&#40;n^{-\frac{\beta}{2}}\right&#41;\right&#41;^{-1}, &amp; \mbox{se }n\mbox{ pari}
\end{cases}[/tex:1ud1yksu]

dove [tex:1ud1yksu]$[x]$[/tex:1ud1yksu] è la parte intera di [tex:1ud1yksu]$x$[/tex:1ud1yksu]





Prima di affrontare lo studio della serie, è necessario fare alcune osservazioni, in modo da semplificare la struttura della serie
 
consideriamo [tex:1ud1yksu]\displaystyle&#40;-1&#41;^{\left[\sin\left&#40;\frac{n}{n+1}\right&#41;\right]}:[/tex:1ud1yksu]

la successione  [tex:1ud1yksu]$  b_n= \frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1},$[/tex:1ud1yksu] è limitata superiormente da [tex:1ud1yksu]$1$[/tex:1ud1yksu] ed inferiormente da [tex:1ud1yksu]$0,$[/tex:1ud1yksu] quindi è limitata ed assume esclusivamente i valori compresi nell'intervallo [tex:1ud1yksu]$&#40;0;1];$[/tex:1ud1yksu] in tale intervallo la successione [tex:1ud1yksu]$\sin b_n$[/tex:1ud1yksu] è positiva e limitata inferiormente da  [tex:1ud1yksu]$0$[/tex:1ud1yksu] e superiormente da [tex:1ud1yksu]$\sin1&lt;1;$[/tex:1ud1yksu] a noi tuttavia interessa la parte intera di  [tex:1ud1yksu]$\sin b_n,$[/tex:1ud1yksu] che per definizione, sarà costantemente uguale a zero, in quanto la parte intera  [tex:1ud1yksu]$[x]$[/tex:1ud1yksu] di un numero reale è il puù grande intero minore o ugule a [tex:1ud1yksu]$x,$[/tex:1ud1yksu] e dunque
 
[tex:1ud1yksu]\displaystyle\left[\sin\left&#40;\frac{n}{n+1}\right&#41;\right] =0 \quad\Rightarrow\quad &#40;-1&#41;^{\left[\sin\left&#40;\frac{n}{n+1}\right&#41;\right]}=1,\,\,\,\forall n[/tex:1ud1yksu]

consideriamo [tex:1ud1yksu]\displaystyle\sum_{k=n+1}^\infty\,\,\frac{&#40;-1&#41;^k}{k^2\ln^2k}:[/tex:1ud1yksu]

si tratta del resto della serie [tex:1ud1yksu]$\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{&#40;-1&#41;^n}{n^2\ln^2n},$[/tex:1ud1yksu]  convergente, per il criterio di Leibniz; sappiamo allora, grazie proprio al criterio di Leibniz, che la ''stima'' del resto non supera, in valore assoluto, il termine  [tex:1ud1yksu]$a_{n+1}$[/tex:1ud1yksu]  della serie, e dunque abbiamo che:

[tex:1ud1yksu]\displaystyle\left|\sum_{k=n+1}^\infty\,\,\frac{&#40;-1&#41;^k}{k^2\ln^2k}\right|\le\frac{ 1}{&#40;n+1&#41;^2\ln^2&#40;n+1&#41;}[/tex:1ud1yksu]
 
Fatte queste considerazioni, la serie data diventa: 

[tex:1ud1yksu]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty &#40;-1&#41;^{\left[\sin\left&#40;\frac{n}{n+1}\right&#41;\right]}\cdot a_n =\displaystyle\sum_{n=2n+1}^\infty\,\,\left&#40; \displaystyle\sqrt n\ln n\,\,\sum_{k= n+1}^\infty\,\,\frac{&#40;-1&#41;^k}{k^2\ln^2k}\right&#41;+[/tex:1ud1yksu][tex:1ud1yksu]\displaystyle\sum_{n=2n}^\infty\,\,   \left&#40;\sqrt{1+\frac{1}{n^{\beta}}}-1\right&#41;\left&#40;\arctan\left&#40;n^{-\frac{\beta}{2}}\right&#41;\right&#41;^{-1}[/tex:1ud1yksu]

A questo punto abbiamo la somma di due serie, che studiamo separatamente: 

- per i valori dispari abbiamo la serie a termini positivi:


[tex:1ud1yksu]\displaystyle\frac{\sqrt n\ln n}{&#40;n+1&#41;^2\ln^2&#40;n+1&#41;}\sim\frac{\sqrt n\ln n}{n^2\ln^2n}=\frac{ \ln n}{n^{\frac{3}{2}}\ln^2n }=\frac{ 1}{n^{\frac{3}{2}}\ln n }\to \text{converge}[/tex:1ud1yksu]

la prima serie dunque converge per confornto asintotitco con la serie armoinica logaritmica;

-per i valori  pari abbiamo la serie a termini positivi:  

[tex:1ud1yksu]\displaystyle    \left&#40;\sqrt{1+\frac{1}{n^{\beta}}}-1\right&#41;\left&#40;\arctan\left&#40;n^{-\frac{\beta}{2}}\right&#41;\right&#41;^{-1}\sim\left&#40; \frac{1}{2n^{\beta}} \cdot n^{ \frac{\beta}{2}} \right&#41;= \frac{1}{ n^{\frac{\beta}{2}}}[/tex:1ud1yksu] 

 che converge se [tex:1ud1yksu]\displaystyle\frac{\beta}{2}&gt;1,\ \beta&lt;2[/tex:1ud1yksu]

la serie data dunque, converge se e soltanto se entrambe le serie risultano convergenti (per la linearità), e ciò accade se e soltanto se [tex:1ud1yksu]\displaystyle$\beta&lt;2.$[/tex:1ud1yksu]


Grazie per la pazienza!