Ciao! Provo a rispondere alla domanda in questione, ovvero posto per ogni [latex:3ebwsfjr]n \in \mathbb{N}[/latex:3ebwsfjr]

[latex:3ebwsfjr]F_n&#40;u&#41; = \int_0^1 n \dot{u}^2 + u^2 - \arctan&#40;u&#41; \, dx[/latex:3ebwsfjr]

dire se [latex:3ebwsfjr]\inf \{ F_n&#40;u&#41; : u \in H^1&#40;0,1&#41;, \ u&#40;0&#41;=u&#40;1&#41;=0 \}[/latex:3ebwsfjr] è infinitesima e in tal caso determinare infinitesimo e parte principale.

Scrivo [latex:3ebwsfjr]F_n&#40;u&#41;=\frac{1}{n}G_n&#40;u&#41;[/latex:3ebwsfjr] dove [latex:3ebwsfjr]G_n&#40;u&#41; = \int_0^1 n^2 \dot{u}^2 + nu^2 - n\arctan&#40;u&#41; \, dx[/latex:3ebwsfjr] ponendo poi [latex:3ebwsfjr]v&#40;x&#41; = n \cdot u&#40;x&#41;[/latex:3ebwsfjr] ottengo

[latex:3ebwsfjr]\int_0^1 n^2 \dot{u}^2 + nu^2 - n\arctan&#40;u&#41; \, dx = \int_0^1 \dot{v}^2 + \frac{v^2}{n} - n\arctan\big&#40;\frac{v}{n}\big&#41; \, dx = : \check{G}_n&#40;v&#41;[/latex:3ebwsfjr]

e ora è ragionevole aspettarsi che [latex:3ebwsfjr]\check{G}_n&#40;v&#41;[/latex:3ebwsfjr] Gamma-converga a [latex:3ebwsfjr]\check{G}&#40;v&#41; = \int_0^1 \dot{v}^2 - v \, dx[/latex:3ebwsfjr]

che ha minimo negativo in quanto la funzione identicamente nulla non risolve Eulero, ma [latex:3ebwsfjr]\check{G}&#40;0&#41;=0[/latex:3ebwsfjr].

Supponendo di aver dimostrato l'equicoercività delle [latex:3ebwsfjr]\check{G}_n[/latex:3ebwsfjr] otteniamo che l'ordine di infinitesimo è [latex:3ebwsfjr]\frac{1}{n}[/latex:3ebwsfjr] e la parte principale è [latex:3ebwsfjr]\min \check{G}[/latex:3ebwsfjr].

A prima vista potrebbe sembrare che non si usi da nessuna parte il fatto che [latex:3ebwsfjr]u&#40;0&#41;=u&#40;1&#41;=0[/latex:3ebwsfjr], ma nel caso in cui le condizioni al bordo non sono omogenee si ottiene [latex:3ebwsfjr]\inf F_n \to +\infty[/latex:3ebwsfjr]. Abbiamo usato che le condizioni sono omogenee quando siamo passati da [latex:3ebwsfjr]u[/latex:3ebwsfjr] a [latex:3ebwsfjr]v[/latex:3ebwsfjr].  <!-- s:wink: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_wink.gif" alt=":wink:" title="Wink" /><!-- s:wink: -->

Poi del perché uno decide di raccogliere proprio [latex:3ebwsfjr]\frac{1}{n}[/latex:3ebwsfjr] se ne potrebbe parlare!