Per quanto riguarda il punto c:

[color=#FF0000:2t0rtbm4]EDIT[/color:2t0rtbm4]: Ho cancellato la prima parte, pura farneticazione.

[color=#FF0000:2t0rtbm4]Risoluzione punto c) esercizio[/color:2t0rtbm4]:

Sia  Y= [latex:2t0rtbm4]\{u \in H^1:[/latex:2t0rtbm4] u soddisfa le BC [latex:2t0rtbm4]\}[/latex:2t0rtbm4].

Sia [latex:2t0rtbm4]F&#39;_{\epsilon}:= \int_0^1 &#40;\epsilon^2u&#39;^{4}- \epsilon u&#39;^2&#41;+\epsilon u^2[/latex:2t0rtbm4] in [latex:2t0rtbm4]H^1[/latex:2t0rtbm4].

Sia  [latex:2t0rtbm4]m&#39;_\epsilon=inf\{F&#39;_\epsilon: u \in Y\}[/latex:2t0rtbm4]. Si vuole mostrare che [latex:2t0rtbm4]m&#39;_\epsilon=\frac{-1}{4}[/latex:2t0rtbm4].

Per farlo basta osservare che:

min[latex:2t0rtbm4]\overline{F&#39;_\epsilon&#40;u&#41;}[/latex:2t0rtbm4]  (in [latex:2t0rtbm4]H^1&#41;[/latex:2t0rtbm4]è ottenuto valutando [latex:2t0rtbm4]\overline{F&#39;_\epsilon&#40;u&#41;}[/latex:2t0rtbm4] nella funzione identicamente nulla ed è uguale a [latex:2t0rtbm4]-1/4[/latex:2t0rtbm4].

Quindi:

[latex:2t0rtbm4]\frac{-1}{4} \leq \overline{F&#39;_\epsilon&#40;u&#41;} \leq F&#39;_\epsilon&#40;u&#41;[/latex:2t0rtbm4] per ogni [latex:2t0rtbm4]u \in Y[/latex:2t0rtbm4] e per ogni [latex:2t0rtbm4]\epsilon &gt;0[/latex:2t0rtbm4], quindi [latex:2t0rtbm4]\frac{-1}{4} \leq[/latex:2t0rtbm4]  liminf [latex:2t0rtbm4]_{\epsilon \rightarrow 0} m&#39;_\epsilon[/latex:2t0rtbm4].

D'altra parte, considerando una famiglia di funzioni costruita in questo modo:

Si parte da 2017  con derivata [latex:2t0rtbm4]\frac{-1}{\sqrt&#40;2\epsilon&#41;}[/latex:2t0rtbm4] fino ad arrivare a 0, poi si fa un bel pezzetto lungo l'asse x e poi si risale con la stessa derivata in modo da essere per [latex:2t0rtbm4]x=1[/latex:2t0rtbm4] in 2017.  (E' chiaro che questo lo possiamo fare per [latex:2t0rtbm4]\epsilon[/latex:2t0rtbm4] abbastanza piccolo).

Si ha che:

liminf [latex:2t0rtbm4]_{\epsilon \rightarrow 0} m&#39;_\epsilon \leq[/latex:2t0rtbm4] liminf [latex:2t0rtbm4]_{\epsilon_{ \rightarrow 0}}F&#39;_\epsilon&#40;u_\epsilon&#41;[/latex:2t0rtbm4] [latex:2t0rtbm4]\leq[/latex:2t0rtbm4] limsup [latex:2t0rtbm4]F&#39;_\epsilon&#40;u_\epsilon&#41;[/latex:2t0rtbm4]

= limsup [latex:2t0rtbm4]_{\epsilon_{ \rightarrow 0}}&#40;\frac{-1}{4}+\epsilon^{2}u^2_\epsilon&#41; = \frac{-1}{4}[/latex:2t0rtbm4].

Quindi il leading term cercato è [latex:2t0rtbm4]-1/4[/latex:2t0rtbm4].