L'idea è corretta. Per formalizzarla, siano [tex:135ep0r4]l_1[/tex:135ep0r4] il limite da sinistra ed [tex:135ep0r4]l_2[/tex:135ep0r4] il limite da destra. Allora si ha che [tex:135ep0r4]l_1\leq f&#40;x_0&#41;\leq l_2[/tex:135ep0r4]. Perché?

Se [tex:135ep0r4]l_1=l_2[/tex:135ep0r4], allora siamo felici ed abbiamo finito.

Se [tex:135ep0r4]l_1&lt;l_2[/tex:135ep0r4], allora si tratta di far vedere che tutto l'intervallo [tex:135ep0r4]&#40;l_1,l_2&#41;[/tex:135ep0r4] è contenuto nell'immagine della funzione. Perché questo è vero? Non perché [tex:135ep0r4]l_1[/tex:135ep0r4] ed [tex:135ep0r4]l_2[/tex:135ep0r4] sono a loro volta contenuti nell'immagine, in quanto questo non è detto che sia vero (basti pensare ad una f strettamente monotona ...). Però l'immagine contiene di sicuro roba minore di [tex:135ep0r4]l_1[/tex:135ep0r4] e roba maggiore di [tex:135ep0r4]l_2[/tex:135ep0r4] (perché?), quindi ...

Una volta che tutto l'intervallino [tex:135ep0r4]&#40;l_1,l_2&#41;[/tex:135ep0r4] è contenuto nell'immagine della funzione, vuol dire che tutti i valori al suo interno devono essere presi. Ma in questo intervallino l'unico valore che può essere preso è [tex:135ep0r4]f&#40;x_0&#41;[/tex:135ep0r4]. Perché? Da qui l'assurdo è immediato.