Veniamo ora alle dolenti noti dell'esercizio 2, quello in cui, con mio grande stupore, sono stati bruciati un gran numero di punti. Cercherò qui di commentare quanto emerso dalle soluzioni presentate.

La prima cosa da fare era scegliere la Lagrangiana, per la quale c'erano almeno due possibilità. La prima, e più gettonata, era

[latex:h2dzj93w]L&#40;x,s,p&#41;=\dfrac{p^2}{2}+s\log s-s[/latex:h2dzj93w].

Una seconda possibilità era

[latex:h2dzj93w]L&#40;x,s,p&#41;=\dfrac{p^2}{2}+xp+s\log s[/latex:h2dzj93w].

La seconda all'inizio potrebbe stupire, ma dopo un po' uno si accorge che

[spoiler=&quot;scoperta&quot;:h2dzj93w]la seconda si ottiene dalla prima integrando per parti.[/spoiler:h2dzj93w]

Molti hanno pensato bene di lasciare indicata la primitiva del logaritmo, chiamandola g(s). Non ho capito se sia stata una questione di pigrizia o di sboroneria ... In ogni caso lasciarla indicata non esime dal doverne indicare le proprietà essenziali, magari riassunte da un grafico. In questo caso i punti essenziali da specificare erano che si tratta di una funzione definita per s&gt;0, ma estendibile con continuità anche per s=0, convessa, decrescente da 0 ad 1 e poi crescente da 1 in poi fino a divergere all'infinito. In particolare, g(s) assume minimo per s=1, e risulta quindi una funzione limitata dal basso.

A questo punto si può passare alla classica formulazione debole del problema in [latex:h2dzj93w]H^1[/latex:h2dzj93w] con DBC e [color=#FF8000:h2dzj93w]la condizione aggiuntiva che [latex:h2dzj93w]u&#40;x&#41;\geq 0[/latex:h2dzj93w] in tutto l'intervallo[/color:h2dzj93w]. Senza quella condizione il problema di minimo non sta in piedi. Qualcuno si è premurato di dire all'inizio di tutto, prima ancora di introdurre la Lagrangiana, una frase del tipo &quot;ovviamente u(x)&gt;0 altrimenti il problema non ha senso&quot;. Una frase buttata così non serve a nulla, se poi la condizione non viene forzata nel problema di minimo. Siamo noi che dobbiamo richiederla, non lei che apparirà miracolosamente &quot;perché altrimenti non ha senso nulla&quot;. Altri hanno messo nel problema di minimo la condizione u(x)&gt;0, con disuguaglianza stretta, e questo è peggio ancora, perché non vedo come si possa anche solo pensare di ottenere compattezza dopo aver imposto una disuguaglianza stretta, se non fregandosene allegramente di verificare che (non) passi al limite. Faccio qui notare che il fatto che la primitiva g(s) del logaritmo si estenda con continuità fino a s=0 garantisce che potremo calcolare g(u(x)) imponendo solo che u(x) sia non negativa. 

Molti, dopo aver scritto la formulazione debole, si sono premurati di dire che il funzionale può assumere il valore + infinito. Io questa affermazione non l'ho capita. Cosa può divergere?

Passiamo ora al punto successivo, cioè la compattezza. Se uno ha fatto le cose per bene fino a qui risulterà poco più che banale, visto che con la prima Lagrangiana si ha che

[latex:h2dzj93w]\dfrac{p^2}{2}+s\log s-s\geq\dfrac{p^2}{2}-A[/latex:h2dzj93w]

da cui immediatamente la stima sulle norme delle derivate. Qui abbiamo usato che la primitiva del logaritmo è limitata dal basso. Con la seconda Lagrangiana vale che

[latex:h2dzj93w]\dfrac{p^2}{2}+xp+s\log s\geq\dfrac{p^2}{2}-x|p|+s\log s\geq\dfrac{p^2}{2}-2020|p|-A\geq\dfrac{p^2}{4}-B.[/latex:h2dzj93w]

Qui abbiamo usato che la funzione [latex:h2dzj93w]s\log s[/latex:h2dzj93w] è limitata dal basso. Occhio anche a quel valore assoluto, senza il quale la prima disuguaglianza è falsa, e al cambio di denominatore nell'ultima disuguaglianza.

Una volta ottenuta la stima sulle derivate, al solito modo si ottiene quella sulle funzioni grazie alle DBC, e poi come sempre si arriva ad Ascoli-Arzelà. Se uno ha fatto le cose per bene, questo è il momento di osservare che le DBC e la condizione di non negatività di u(x) passano tranquillamente al limite (mentre quella di positività non lo fa).

Siamo ora giunti alla SCI, ed è tutto standard, cioè SCI della norma per la parte di funzione e continuità nella parte di derivata. Qui serve ancora una volta che la g(s) è estendibile con continuità fino a s=0. Sulla parte di funzione si poteva anche provare ad usare la sola convessità della g(s), ma saremmo un po' border-line perché abbiamo a che fare con una funzione che non è definita su tutta la retta e quindi bisognerebbe un po' rifare quel lemma.

Finita la SCI, abbiamo l'esistenza di almeno un punto di minimo. Qualcuno si è avventurato a dire ora che è unico, calcolando matrici Hessiane e dicendo che erano definite positive per s&gt;0, ma tanto la soluzione sta lì perché altrimenti nulla ha senso. Penso di aver commentato già a sufficienza su questo.

Mostrata l'esistenza di almeno un punto di minimo, qualcuno ha detto che chiaramente <!-- s:lol: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_lol.gif" alt=":lol:" title="Laughing" /><!-- s:lol: --> questo risolve ELE, ed il gioco è fatto. Altri, forse per farmi contento, hanno calcolato formalmente la derivata di F(u+tv), posto formalmente t=0, e verificato che veniva proprio ELE. Altri, ancora più cauti, hanno provato a scrivere che il calcolo è giustificato dal fatto che ovviamente tutto è equi-dominato, compreso il termine log(u+tv), perché &quot;è tutto continuo&quot;  <!-- s:shock: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_eek.gif" alt=":shock:" title="Shocked" /><!-- s:shock: -->.

Ebbene, nulla di questo funziona! Se noi sappiamo solo che [latex:h2dzj93w]u&#40;x&#41;\geq 0[/latex:h2dzj93w], non siamo nemmeno autorizzati a calcolare F(u+tv), perché questo potrebbe costringerci a calcolare g(roba negativa). Qualcuno potrebbe dire che si limita a t positivi e v positive, ma allora non può dedurre che la derivata è nulla. [color=#FF8000:h2dzj93w]La verità è solo una: non si può partire con il calcolo fino a quando uno non sa che u(x) è strettamente positiva in tutto l'intervallo, dunque per compattezza è maggiore di una costante strettamente positiva su tutto l'intervallo.[/color:h2dzj93w] A quel punto per t sufficientemente piccoli (cioè vicini a 0) anche u+tv sarà maggiore di una costante strettamente positiva (ad esempio metà della precedente) in tutto l'intervallo, e quindi ci sono tutte le dominazioni che servono per fare il conto. 

Come si dimostra che u(x) è strettamente positiva in tutto l'intervallo, quando invece abbiamo imposto (perché costretti) che fosse solo non negativa? Qui serve che u(x) è un punto di minimo, e si usa un classico argomento di troncamento, abbastanza evidente dopo che uno ha osservato all'inizio la convessità della g(s).

Insomma, le cose vanno fatte nell'ordine giusto, altrimenti non funziona nulla, e uno dà l'impressione di copiare da qualche parte il solito fil rouge del metodo diretto senza averci capito molto. Tra l'altro, c'era un esempio del tutto analogo all'inizio della lezione 24, visto che era accaduto qualcosa di analogo l'anno scorso.