[tex:8i2iveci][/tex:8i2iveci]Ciao! Non so se eri in classe stamattina ma è stato fatto proprio questo esercizio.
Il suggerimento del professore è stato quello di usare lo slogan &quot;e alla&quot;!
Fissato [tex:8i2iveci]\lambda[/tex:8i2iveci] si ha che x risolve [tex:8i2iveci]x^\lambda=\lambda^x \iff e^{\lambda \ln x}=e^{x\ln \lambda[/tex:8i2iveci] quindi per l'iniettività della funzione esponenziale possiamo ridurre il problema di partenza a quello di trovare le soluzioni di [tex:8i2iveci]\lambda \ln x = x\ln \lambda[/tex:8i2iveci] puoi quindi studiare [tex:8i2iveci]\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln \lambda}{\lambda} \quad o \quad \frac{x}{\ln x}=\frac{\lambda}{\ln \lambda}[/tex:8i2iveci] la prima sembra più pulita da studiare, ma il grafico della seconda è forse più espressivo, anche se le informazioni si devono poter leggere in entrambi. Prendiamo quindi la seconda, studiando la derivata ci accorgiamo che si annulla per [tex:8i2iveci]x=e[/tex:8i2iveci] che è positiva per valori di x maggiori e negativa per valori di x compresi strettamente tra 1 ed e, quindi [tex:8i2iveci]e[/tex:8i2iveci] è un punto di minimo locale, in particolare è un (il) punto di minimo della funzione ristretta a [tex:8i2iveci]\left &#40; 1, +\infty \right&#41;[/tex:8i2iveci] (basta applicare Weierstrass generalizzato), in questo punto la funzione, coincidenza, vale [tex:8i2iveci]e[/tex:8i2iveci]. Inoltre la funzione presenta un asintoto verticale in x=1, quindi detto [tex:8i2iveci]\frac{\lambda}{\ln \lambda}=\mu[/tex:8i2iveci] notiamo che per valori di [tex:8i2iveci]\mu &gt; e[/tex:8i2iveci] abbiamo almeno due soluzioni, puoi applicare il teorema di esistenza dei valori intermedi in [tex:8i2iveci]\left &#40;1, e \right][/tex:8i2iveci] e in [tex:8i2iveci]\left[e, +\infty \right&#41;[/tex:8i2iveci] ma essendo [tex:8i2iveci]e[/tex:8i2iveci] il minimo in [tex:8i2iveci]\left &#40; 1, +\infty \right&#41;[/tex:8i2iveci] abbiamo (traducendo in [tex:8i2iveci]\lambda[/tex:8i2iveci] ciò che abbiamo dedotto per [tex:8i2iveci]\mu[/tex:8i2iveci]) che [tex:8i2iveci]\forall \lambda \in \left&#40; 1, +\infty \right&#41;\setminus \left \{ e \right\}[/tex:8i2iveci] ci sono almeno due soluzioni; se [tex:8i2iveci]\lambda=e[/tex:8i2iveci] abbiamo invece almeno una sola soluzione. Se guardiamo l'intervallo [tex:8i2iveci]\left &#40;0, 1\right&#41;[/tex:8i2iveci] la nostra [tex:8i2iveci]f\left&#40; x \right&#41;=\frac{x}{\ln x}[/tex:8i2iveci] è negativa quindi gli almeno diventano esattamente. Se [tex:8i2iveci]\mu \in \left&#40; 0, e\right&#41;[/tex:8i2iveci] non esistono valori di [tex:8i2iveci]\lambda&gt;0[/tex:8i2iveci] tali che [tex:8i2iveci]f\left&#40; \lambda \right&#41;=\mu[/tex:8i2iveci] quindi non ci poniamo il problema. Se [tex:8i2iveci]\mu&lt;0[/tex:8i2iveci] c'è una sola soluzione perché la funzione è iniettiva in [tex:8i2iveci]\left &#40;0, 1\right&#41;[/tex:8i2iveci] intoltre il limite per x che va a 0 da destra è 0, e per x che va a 1 da sinistra è meno infinito quindi sempre per il teorema dei valori intermedi hai una soluzione, l'unicità la ottieni perché altrove la funzione è positiva, traducendo in [tex:8i2iveci]\lambda[/tex:8i2iveci] abbiamo che per [tex:8i2iveci]\lambda \in \left&#40;0, 1 \right&#41;[/tex:8i2iveci] si ha un'unica soluzione. Spero di aver reso l'idea  <!-- s:D --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_biggrin.gif" alt=":D" title="Very Happy" /><!-- s:D -->