Visto che si è discusso solo del primo esercizio mi intrometto postando la mia soluzione del terzo esercizio del compito di Natale, più che altro per capire se ci possano essere errori più o meno gravi nel mio ragionamento
[spoiler=&quot;Ex_3&quot;:34b0a530]PUNTO A:
L&#39; estremo inferiore è un numero reale, per dimostrarlo è sufficiente provare che il problema [latex:34b0a530]min\{F&#40;u&#41;:u\in W^{1,11}_{0}&#40;\Omega&#41;\}[/latex:34b0a530] ammette soluzione. Procediamo a tal fine con il metodo diretto:

Compattezza dei sottolivelli:
Se [latex:34b0a530]F&#40;u&#41;\le M[/latex:34b0a530] allora [latex:34b0a530]\int_{\Omega}|u_x|^{25}+|u_y|^{12}+|u_z|^{2018}\le M+\int_{\Omega}|u|^{11}\le M+C\int_{\Omega}|\nabla u|^{11}[/latex:34b0a530]  dove l&#39;ultima disuguaglianza si giustifica per Poincarè. Da cui per Holder [latex:34b0a530]\Vert u_x\Vert^{25}_{L^{25}}-C_1 \Vert u_x\Vert^{\frac{11}{25}}_{L^{25}}+\Vert u_y\Vert^{12}_{L^{12}}-C_2 \Vert u_x\Vert^{\frac{11}{12}}_{L^{12}}+\Vert u_z\Vert^{2018}_{L^{2018}}-C_3 \Vert u_z\Vert^{\frac{11}{2018}}_{L^{2018}}\le M[/latex:34b0a530]. Da cui esiste un&#39; altra costante [latex:34b0a530]M[/latex:34b0a530] tale che [latex:34b0a530]\Vert u_x \Vert_{L^{25}}\le M; \quad \Vert u_y \Vert_{L^{12}}\le M; \quad \Vert u_x \Vert_{L^{2018}}\le M[/latex:34b0a530]. Si conclude  &#40;usando di nuovo Holder&#41; che esiste una costante[latex:34b0a530]M[/latex:34b0a530] tale che [latex:34b0a530]\Vert \nabla u \Vert_{L^{11}}\le M[/latex:34b0a530] e &#40;nuovamente per Poincarè&#41; [latex:34b0a530]\Vert u \Vert_{L^{11}} \le M[/latex:34b0a530]. Pertanto le funzioni nei sottolivelli &#40;per le stime appena ottenute e per i teoremi di immersione&#41; saranno limitate in norma [latex:34b0a530]L^{\infty}[/latex:34b0a530] ed equi-holder. Applicando quindi ascoli- arzelà e ricordando che le palle di [latex:34b0a530]L^{11}[/latex:34b0a530] sono debolmente compatte si conclude che i sottolivelli di [latex:34b0a530]F[/latex:34b0a530] sono compatti secondo la nozione di convergenza: uniforme delle funzioni, debole [latex:34b0a530]L^{11}[/latex:34b0a530] delle derivate.

Semicontinuità:
Poichè il liminf della somma di due successioni è maggiore o uguale della somma dei liminf è sufficiente trattare separatamente la parte di derivata e la parte di funzione. 
Per la parte di derivata bisogna osservare  che lagrangiana [latex:34b0a530]L&#40;x,s,p_1,p_2,p_3&#41;[/latex:34b0a530] è convessa nelle variabili [latex:34b0a530]p_1, p_2, p_3[/latex:34b0a530]e  che una successione[latex:34b0a530]\{u_n\}[/latex:34b0a530]convergente debole [latex:34b0a530]L^{11}[/latex:34b0a530] converge debole [latex:34b0a530]L^1[/latex:34b0a530], ne segue che per un risultato visto a lezione si ha: [latex:34b0a530]liminf_{n \to \infty} \int_{\Omega}|&#40;u_n&#41;_x|^{25}+|&#40;u_n&#41;_y|^{12}+|&#40;u_n&#41;_z|^{2018}\ge \int_{\Omega}|&#40;u_{\infty}&#41;_x|^{25}+|&#40;u_{\infty}&#41;_y|^{12}+|&#40;u_{\infty}&#41;_z|^{2018}[/latex:34b0a530]. Per la parte di funzione è sufficiente  osservare che ogni successione in un sottolivello, a meno di estrarre una sottosuccessione, converge uniformemente, è quindi lecito portare il limite dentro l&#39;integrale.

PUNTO B

L&#39; inf è [latex:34b0a530]-\infty[/latex:34b0a530], scelta infatti una qualunque [latex:34b0a530]\phi\in C_c^{\infty}&#40;&#40;-1,1&#41;&#41;[/latex:34b0a530] poniamo [latex:34b0a530]u_n&#40;x,y,z&#41;= n\phi&#40;z&#41;[/latex:34b0a530], si ha allora: [latex:34b0a530]F&#40;u_n&#41;=n^{25}\int_{\Omega}|u_x|^{25}-n^{2000}\int_{\Omega}|u|^{2000}\to \infty[/latex:34b0a530]

PUNTO C
L&#39;inf è [latex:34b0a530]-\infty[/latex:34b0a530], scelta infatti una qualunque [latex:34b0a530]u\in C_c^{\infty}&#40;\Omega&#41;[/latex:34b0a530] pongo [latex:34b0a530]u_n=nu&#40;x&#41;[/latex:34b0a530], si ha allora [latex:34b0a530]F&#40;u_n&#41;=n^{25}\int_{\Omega}|u_x|^{25}+n^{12}\int_{\Omega}|u_y|^{12}+n^{2018}\int_{\Omega}|u_z|^{2018}-n^{3000}\int_{\Omega}|u|^{3000}\to -\infty[/latex:34b0a530][/spoiler:34b0a530]