Il dato  iniziale è a1= 1/2

Volevo un parere sulla fattibilità dell'usare il piano del rapporto a questa maniera:
[tex:ic9dqwkk]i&#41; a_n &gt; 0[/tex:ic9dqwkk]  dimostrato per induzione

[tex:ic9dqwkk]ii&#41; a_n \rightarrow 0[/tex:ic9dqwkk]  dimostrato col rapporto.

Induzione:

[tex:ic9dqwkk]Passo base:

a_1 = \frac{1}{2}

Passo induttivo:

Ipotesi:
a_n&gt;0

Tesi:
a_{n+1} &gt;0


a_{n+1}=n*&#40;a_n&#41;^3 &gt; n*a_n &gt; 0[/tex:ic9dqwkk]

Sfruttando l'ipotesi, n (sempre positivo) moltiplica a sua volta un numero positivo e questo giustifica (a mio avviso) tutti i passaggi.

Per il secondo step, ho qualche dubbio sulla &quot;brutalità&quot; dell'esecuzione:

Criterio del rapporto:
[tex:ic9dqwkk]\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n a_n^3}{a_n} =\lim_{n\to\infty} n a_n^2[/tex:ic9dqwkk]

A questo punto posso cavarmela dicendo che il limite tende a zero per ordini di infinito?
Ovvero, n (che tende a + infinito) moltiplica una potenza, sempre positiva e  comunque dipendente da n, che tende a zero più &quot;velocemente&quot; ?