Premessa: Grazie alle lezioni del professor Gobbino ho imparato il [b:29wyloh2]metodo di variazione delle costanti[/b:29wyloh2] quasi alla perfezione tuttavia alla correzione dello scorso esame da me sostenuto, il mio professore mi ha sconsigliato di applicare alla cieca tale metodo, consigliandomi questo [b:29wyloh2]&quot;metodo di somiglianza&quot;[/b:29wyloh2], in quanto meno dispendioso di calcoli e, soprattutto in sede di esame, in grado di farmi guadagnare tempo prezioso almeno per equazioni &quot;semplici&quot; in caso capitassero.

Così ho cominciato a cercare su internet tra dispense e materiali senza trovare un metodo concorde con un altro. Sembra strano ma è così, e ho cominciato a mettere insieme i pezzi...

[Correggetemi se sbaglio]

(*)  [latex:29wyloh2]\alpha y&#39;&#39;{&#40;x&#41;}+\beta y&#39;{&#40;x&#41;}+\gamma y&#40;x&#41;=f&#40;x&#41;&#41;[/latex:29wyloh2]

1. Si procede determinando la soluzione dell'equazione omogenea associata.

2. Da qui in poi per trovare una soluzione particolare analizzeremo la f(x):
[list:29wyloh2]
[b:29wyloh2]CASO 1: [/b:29wyloh2][latex:29wyloh2]f&#40;x&#41;=\rho&#40;x&#41;[/latex:29wyloh2][i:29wyloh2] (ovvero polinomio di grado n)[/i:29wyloh2]
In generale cercheremo una soluzione particolare [latex:29wyloh2]\overline{y}&#40;x&#41;[/latex:29wyloh2] della stessa forma del termine noto, ovvero un polinomio di grado n.
[b:29wyloh2]OSS.[/b:29wyloh2] Se nella (*) [latex:29wyloh2]\gamma=0[/latex:29wyloh2], dovremo cercare polinomio di grado [latex:29wyloh2]n+1[/latex:29wyloh2].
[b:29wyloh2]OSS.[/b:29wyloh2] Se nella (*) [latex:29wyloh2]\beta=\gamma=0[/latex:29wyloh2], dovremo cercare polinomio di grado [latex:29wyloh2]n+2[/latex:29wyloh2].
[/list:u:29wyloh2]
[list:29wyloh2]
[b:29wyloh2]CASO 2: [/b:29wyloh2][latex:29wyloh2]f&#40;x&#41;=\rho e^{\lambda x}[/latex:29wyloh2][i:29wyloh2] (ovvero costante per esponenziale)[/i:29wyloh2]
In generale cercheremo una soluzione particolare [latex:29wyloh2]\overline{y}&#40;x&#41;[/latex:29wyloh2] della forma [latex:29wyloh2]ce^{\lambda x}[/latex:29wyloh2]
[b:29wyloh2]OSS.[/b:29wyloh2] Se non c'è soluzione di questo tipo (e ciò accade perchè [latex:29wyloh2]a\lambda ^{2}+b\lambda+c=0[/latex:29wyloh2] ossia perchè [latex:29wyloh2]e^{\lambda x}[/latex:29wyloh2] è soluzione dell'equazione differenziale omogenea)  cercare [latex:29wyloh2]\overline{y}&#40;x&#41;=cxe^{\lambda x}[/latex:29wyloh2], se nemmeno questo di tipo di soluzione esiste, cercare [latex:29wyloh2]\overline{y}&#40;x&#41;=cx^{2}e^{\lambda x}[/latex:29wyloh2]
[/list:u:29wyloh2]
[list:29wyloh2]
[b:29wyloh2]CASO 3: [/b:29wyloh2][latex:29wyloh2]f&#40;x&#41;=\rho&#40;x&#41; e^{\lambda x}[/latex:29wyloh2][i:29wyloh2] (ovvero polinomio di grado n per esponenziale)[/i:29wyloh2]
Vale lo stesso metodo del CASO 2 ma in questo caso la costante c diventa un polinomio di grado n, quindi si avrà una soluzione particolare della forma [latex:29wyloh2]\overline{y}&#40;x&#41;=e^{\lambda x}&#40;a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}&#41;[/latex:29wyloh2] 
[b:29wyloh2]OSS.[/b:29wyloh2] Se non c'è soluzione di questo tipo (e ciò accade perchè [latex:29wyloh2]a\lambda ^{2}+b\lambda+c=0[/latex:29wyloh2] ossia perchè [latex:29wyloh2]e^{\lambda x}[/latex:29wyloh2] è soluzione dell'equazione differenziale omogenea) cercare [latex:29wyloh2]\overline{y}&#40;x&#41;=xe^{\lambda x}&#40;a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}&#41;[/latex:29wyloh2], e così via in base alla molteplicità di [latex:29wyloh2]\lambda[/latex:29wyloh2], cercare [latex:29wyloh2]\overline{y}&#40;x&#41;=x^{m}e^{\lambda x}&#40;a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}&#41;[/latex:29wyloh2]
[/list:u:29wyloh2]
[list:29wyloh2]
[b:29wyloh2]CASO 4: [/b:29wyloh2][latex:29wyloh2]f&#40;x&#41;=\rho cos&#40;\omega x&#41;+\varrho sen&#40;\omega x&#41;[/latex:29wyloh2][i:29wyloh2] (ovvero costante rho per coseno (con x per costante omega) + costante varrho per seno (con x per costante omega)[/i:29wyloh2]
In generale cercheremo una soluzione particolare [latex:29wyloh2]\overline{y}&#40;x&#41;[/latex:29wyloh2] della forma [latex:29wyloh2]c_{1}cos&#40;\omega x&#41;+c_{2}sen&#40;\omega x&#41;[/latex:29wyloh2]
[b:29wyloh2]OSS.[/b:29wyloh2] Anche se [latex:29wyloh2]f&#40;x&#41;[/latex:29wyloh2] ha solo uno dei due addendi (seno o coseno) in generale la soluzione li ha entrambi.
[b:29wyloh2]OSS.[/b:29wyloh2] Se in (*) [latex:29wyloh2]\beta =0[/latex:29wyloh2] può accadere che [latex:29wyloh2]c_{1}cos&#40;\omega x&#41;+c_{2}sen&#40;\omega x&#41;[/latex:29wyloh2] sia già soluzione dell'omogenea: in tal caso, la soluzione è della forma [latex:29wyloh2]x&#40;c_{1}cos&#40;\omega x&#41;+c_{2}sen&#40;\omega x&#41;&#41;[/latex:29wyloh2]
[/list:u:29wyloh2]
[list:29wyloh2]
[b:29wyloh2]CASO 5: [/b:29wyloh2][latex:29wyloh2]f&#40;x&#41;= e^{\lambda x}&#40;\rho cos&#40;\omega x&#41;+\varrho sen&#40;\omega x&#41;&#41;[/latex:29wyloh2][i:29wyloh2] (ovvero esponenziale per CASO 4)[/i:29wyloh2]
In generale cercheremo una soluzione particolare [latex:29wyloh2]\overline{y}&#40;x&#41;[/latex:29wyloh2] della forma [latex:29wyloh2]e^{\lambda x}&#40;c_{1}cos&#40;\omega x&#41;+c_{2}sen&#40;\omega x&#41;&#41;[/latex:29wyloh2]
[b:29wyloh2]OSS.[/b:29wyloh2] Se [latex:29wyloh2]z=\lambda +i\omega[/latex:29wyloh2] è la soluzione di [latex:29wyloh2]\alpha z^{2}+\beta z+\gamma =0[/latex:29wyloh2], bisogna sostituire [latex:29wyloh2]e^{\lambda x}[/latex:29wyloh2] con [latex:29wyloh2]xe^{\lambda x}[/latex:29wyloh2].
[b:29wyloh2]OSS.[/b:29wyloh2] Se [latex:29wyloh2]f&#40;x&#41;[/latex:29wyloh2] ha solo uno dei due addendi (seno o coseno) in generale la soluzione li ha entrambi.
[/list:u:29wyloh2]
[list:29wyloh2]
[b:29wyloh2]CASO 6: [/b:29wyloh2][latex:29wyloh2]f&#40;x&#41;=\rho&#40;x&#41; cos&#40;\omega x&#41;+\varrho&#40;x&#41; sen&#40;\omega x&#41;[/latex:29wyloh2][i:29wyloh2] (ovvero rho (polinomio di grado n) per coseno (con x per costante omega) + varrho (polinomio di grado n) per seno (con x per costante omega)[/i:29wyloh2]
[/list:u:29wyloh2]
[list:29wyloh2]
[b:29wyloh2]CASO 7: [/b:29wyloh2][latex:29wyloh2]f&#40;x&#41;=e^{\lambda x}&#40;\rho&#40;x&#41; cos&#40;\omega x&#41;+\varrho&#40;x&#41; sen&#40;\omega x&#41;&#41;[/latex:29wyloh2][i:29wyloh2] (ovvero esponenziale per CASO 6)[/i:29wyloh2]
[/list:u:29wyloh2]
[list:29wyloh2]
[b:29wyloh2]CASO EXTRA: [/b:29wyloh2][latex:29wyloh2]f&#40;x&#41;=f_1{&#40;x&#41;}+f_2{&#40;x&#41;}[/latex:29wyloh2][i:29wyloh2] (ovvero somma di due funzioni dei tipi precedenti)[/i:29wyloh2]
[/list:u:29wyloh2]

EDIT. Non ho messo i relativi esempi perchè mi rendo conto sia già un papiro. In caso sono sempre disponibile ad aggiungerli successivamente. Il CASO 6 e il CASO 7 non mi sono chiari e chiedo delucidazioni. Tutto ciò che ho scritto è da prendere con le pinze in quanto non sia altro che un breve riassunto di ciò che ho trovato fin'ora.