Provo ad impostare una soluzione alternativa al quarto esercizio. Consideriamo le seguenti disuguaglianze:
[latex:1chvy66g]\begin{split} &amp; \int_\Omega \sin&#40;xy&#41; u^2 \ dx dy  \leq \int_\Omega u^2 \ dx dy \\
&amp; C \int_\Omega &#40; u_x^2 + u_y^2 - u_x u_y&#41; \ dx dy \leq C \int_\Omega &#40;e^{xy} u^2_x + u^2_y + \cos&#40;x&#41; u_x u_y&#41; \ dx dy
\end{split}[/latex:1chvy66g]
Nella prima si è usato che il seno è sempre minore uguale ad uno e nella seconda il fatto che l'esponenziale sia maggiore uguale ad 1 nel dominio del problema e che il coseno sia sempre maggiore o uguale a -1. Voglio ora provare che vale la seguente disuguaglianza:
[latex:1chvy66g]\lvert \lvert u \rvert \rvert_2^2 = \int_\Omega u^2 \ dx dy \leq C \int_\Omega &#40; u_x^2 + u_y^2 - u_x u_y&#41; \ dx dy[/latex:1chvy66g]
Se [latex:1chvy66g]\lvert \lvert u \rvert \rvert_2^2 = 0[/latex:1chvy66g] la disuguaglianza è banalmente vera, altrimenti divido per [latex:1chvy66g]\lvert \lvert u \rvert \rvert_2^2[/latex:1chvy66g] e studio, sulla falsariga della dimostrazione della disuguaglianza di Poincarè - Wirtiger, il seguente problema di minimo 
[latex:1chvy66g]\min \left \{ \int_\Omega &#40;u_x^2+u_y^2-u_xu_y&#41; \ dx dy \colon \lvert \lvert u \rvert \rvert_2 = 1\right \}[/latex:1chvy66g]
Da qui in avanti, sempre che non abbia avuto sviste, dovrebbe essere una normale applicazione del metodo diretto.