In realtà a guardarli bene mi tornano abbastanza. 

Ad esempio per il numero 2 è utile dimostrare preliminarmente un lemma che dice che tutte le soluzioni sono monotone (perché? ha davvero senso fare su e giù?). A quel punto u' si ricava univocamente dalla forma Erdmann e l'equazione si può integrare. Volendo non fare conti, non è necessario calcolare esplicitamente la primitiva della radice che viene fuori, basta lasciarla indicata e comunque si dimostra che il sistema risultante permette di determinare univocamente le due costanti coinvolte.

L'eventuale concavità/convessità della soluzione segue, sempre senza fare i conti, dall'esame dell'equazione di Eulero scritta come equazione del second'ordine. 

Certo, poi ci sarebbe da dimostrare che la soluzione trovata è effettivamente un minimo. Mancando la convessità, temo che bisogni invocare qualcosa di successivo <!-- s:D --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_biggrin.gif" alt=":D" title="Very Happy" /><!-- s:D --> .