Buongiorno professore, scusi per il ritardo, ma non avevo visto che avesse risposto... <!-- s:? --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_confused.gif" alt=":?" title="Confused" /><!-- s:? --> 

Comunque, continuando a pensarci, forse ho trovato una soluzione, gliela mostro:

[latex:vsi34ipm]\displaystyle\frac{\log{&#40;x^2+e^{|x|+|y|}&#41;}}{x^2y^2+|x|+|y|} = \frac{\log{&#40;e^{|x|+|y|}&#40;1+x^2e^{-|x|-|y|}&#41;}&#41;}{x^2y^2+|x|+|y|} = \frac{|x|+|y|}{x^2y^2+|x|+|y|} + \frac{\log{&#40;1+x^2e^{-&#40;|x|+|y|&#41;}&#41;}}{x^2y^2+|x|+|y|}[/latex:vsi34ipm].

Adesso, [latex:vsi34ipm]x^2e^{-|x|-|y|}[/latex:vsi34ipm] è definitivamente [latex:vsi34ipm]\le 1[/latex:vsi34ipm], quindi abbiamo:

[latex:vsi34ipm]\displaystyle\lim_{x^2 + y^2 \to +\infty}\frac{\log{&#40;x^2+e^{|x|+|y|}&#41;}}{x^2y^2+|x|+|y|} = \lim_{x^2 + y^2 \to +\infty}\frac{|x|+|y|}{x^2y^2+|x|+|y|} + \lim_{x^2 + y^2 \to +\infty}\frac{\log{&#40;2&#41;}}{x^2y^2+|x|+|y|}[/latex:vsi34ipm].

Il secondo limite, tende a zero: infatti [latex:vsi34ipm]{denominatore} \to +\infty[/latex:vsi34ipm]: somma di termini positivi di cui almeno uno è illimitato.
Invece per il primo limite: inizialmente pensavo ad una cosa del tipo: [latex:vsi34ipm]|x|+|y| \le x^2y^2[/latex:vsi34ipm]; ma poi ho pensato anche: in [latex:vsi34ipm]\Bbb D[/latex:vsi34ipm] [latex:vsi34ipm]|x|+|y| = x + y[/latex:vsi34ipm], e [latex:vsi34ipm]&#40;x-1&#41;&#40;y-1&#41; \ge 0[/latex:vsi34ipm] da cui [latex:vsi34ipm]xy + 1 \ge x + y[/latex:vsi34ipm], ma abbiamo anche [latex:vsi34ipm]xy \ge 1[/latex:vsi34ipm] da cui abbiamo la catena di disuguaglianze: [latex:vsi34ipm]x+y \le xy +1 \le xy + xy = 2xy[/latex:vsi34ipm]. Infine otteniamo:

[latex:vsi34ipm]\displaystyle\frac{|x|+|y|}{x^2y^2+|x|+|y|} \le \frac{2xy}{x^2y^2} = \frac{2}{xy}[/latex:vsi34ipm] 

e quest'ultimo tende a zero; infatti [latex:vsi34ipm]{denominatore} \to +\infty[/latex:vsi34ipm] poiché alla peggio [latex:vsi34ipm]|x| o |y| \to +\infty[/latex:vsi34ipm] e l'altra resta [latex:vsi34ipm]\ge 1[/latex:vsi34ipm].

Potrebbe andare bene come svolgimento?