Cerco di interpretare e riformulare la tua domanda <!-- s:wink: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_wink.gif" alt=":wink:" title="Wink" /><!-- s:wink: --> Ti stai chiedendo, se ho capito bene, se esistono modi per calcolare un integrale improprio (ad esempio tra 0 e +infinito, o tra -infinito e +infinito), senza dover determinare esplicitamente una primitiva dell'integranda, cosa che di solito è impossibile in termini delle funzioni elementari. 

Questo è possibile in alcuni casi speciali. Il prototipo è il caso della gaussiana: la primitiva di [tex:330lcndp]e^{-x^2}[/tex:330lcndp] non si può esprimere in termini di funzioni elementari, ma l'integrale tra 0 e +infinito si determina lo stesso esplicitamente, ad esempio con un trucco di analisi 2 (che vedremo il prossimo anno), o anche con trucchi leggermente più complicati e basati sul prodotto di Wallis. 

Ci sono poi intere classi di integrali impropri che si calcolano esplicitamente, senza fare la primitiva, con dei trucchi di analisi complessa (sostanzialmente il metodo dei residui, vedi <!-- m --><a class="postlink" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_contour_integration">https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_o ... ntegration</a><!-- m -->) che volendo si possono anche vendere come trucchi di analisi due basati su Gauss-Green (magari qualche esempio si vedrà il prossimo anno). Anche in casi in cui la primitiva si saprebbe fare, a prezzo di calcoli estenuanti, questi metodi conducono al valore dell'integrale improprio con passaggi che in fondo si possono fare anche a mente.