[quote=&quot;Massimo Gobbino&quot;:29l40mov]Sostanzialmente corretto, ma mooolto brutale nella sostituzione di sin x e arctan x con x. Ad essere rigorosi bisognava mettere entrambe le volte un [tex:29l40mov]o&#40;x^2&#41;[/tex:29l40mov] (e [tex:29l40mov]o&#40;x&#41;[/tex:29l40mov] non sarebbe bastato). 

Per capire che la cosa è essenziale, invito a riflettere su cosa sarebbe successo se nei due termini al numeratore ci fosse stato [tex:29l40mov]\log&#40;1+x&#41;[/tex:29l40mov] invece di [tex:29l40mov]\sin x[/tex:29l40mov].[/quote:29l40mov]

[tex:29l40mov]\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{&#40;1+\log&#40;1+x&#41;&#41;^{1/3} + &#40;1-\log&#40;1+x&#41;&#41;^{1/3} - 2}{1-\cos&#40;\arctan x&#41;}[/tex:29l40mov]

quando [tex:29l40mov]x\to 0,[/tex:29l40mov]

- [tex:29l40mov]\sin x\sim x[/tex:29l40mov] 
 
- [tex:29l40mov]\log&#40;1+x&#41;\sim x[/tex:29l40mov]

- [tex:29l40mov]\arctan x\sim x[/tex:29l40mov]

e quindi ci si sarebbe poi ridotti in ogni caso a considerare il limite 

[tex:29l40mov]\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{&#40;1+ x&#41;^{1/3} + &#40;1- x&#41;^{1/3} - 2}{1-\cos  x }[/tex:29l40mov]

è qui gli [tex:29l40mov]o&#40;x^2&#41;[/tex:29l40mov] ci informano dove fermarci con lo sviluppo; in realtà con le stime asintotiche, cioè con gli sviluppi al primo ordine, non abbiamo fatto altro che semplificare il limite, non l'abbiamo risolto, cioè non abbiamo fatto calcoli potenzialmente pericolosi! è da qui che i perocoli iniziano