Una funzione [tex:18fzv0ov]f[/tex:18fzv0ov]  è continua in [tex:18fzv0ov]x_0[/tex:18fzv0ov] se, per ogni successione [tex:18fzv0ov]x_n[/tex:18fzv0ov] a valori nel dominio della funzione e convergente a [tex:18fzv0ov]x_0,[/tex:18fzv0ov] la successione [tex:18fzv0ov]f&#40;x_n&#41;[/tex:18fzv0ov] converge a [tex:18fzv0ov]f&#40;x_0&#41;.[/tex:18fzv0ov]

Il fatto che l'immagine sia un intervallo, ci suggerisce che la funzione è limitata; dunque esiste un numero [tex:18fzv0ov]M[/tex:18fzv0ov] tale che [tex:18fzv0ov]|f&#40;x&#41;|&lt;M[/tex:18fzv0ov]

considerando una successione [tex:18fzv0ov]x_n\to x_0[/tex:18fzv0ov], la successione [tex:18fzv0ov]f&#40;x_n&#41;[/tex:18fzv0ov] risulterà monotona crecente e limitata e dunque ammette limite finito;  allora la funzione [tex:18fzv0ov]f[/tex:18fzv0ov]  risulta continua