cerca di stabilire gli infiniti dominanti di entrambi i fattori:
[tex:3b6mzqc2]\displaystyle \dfrac{n^7 +2}{n^2 + 7}  \sim\dfrac{n^7 }{n^2 } = n^5[/tex:3b6mzqc2]

[tex:3b6mzqc2]\displaystyle  \arcsin\dfrac{n^3+8}{n^8+3}\sim \arcsin\dfrac{n^3 }{n^8 }= \arcsin\dfrac{1 }{n^5 }[/tex:3b6mzqc2]

poi ricordando che [tex:3b6mzqc2]\displaystyle  \arcsin x\sim x , x\to 0[/tex:3b6mzqc2] puoi concludere che

[tex:3b6mzqc2]\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \dfrac{n^7 +2}{n^2 + 7} \arcsin\dfrac{n^3+8}{n^8+3}\sim\displaystyle\lim_{n\to +\infty} n^5 \arcsin\dfrac{1}{n^5}\sim\lim_{n\to +\infty}   \dfrac{n^5}{n^5}=1[/tex:3b6mzqc2]