Per prima cosa il fatto che il seno sia Lipschitz non mi sembra bastare per dire che se [latex:2aiqt8sg]u \in H^2&#40;\mathbb{R}^d&#41;[/latex:2aiqt8sg] allora anche [latex:2aiqt8sg]\sin u \in H^2&#40;\mathbb{R}^d&#41;[/latex:2aiqt8sg].. 

Per quanto riguarda il resto se chiamiamo [latex:2aiqt8sg]g&#40;x,y,z&#41;=u&#40;x,y,z&#41;^{8102}[/latex:2aiqt8sg] abbiamo per esempio che

[latex:2aiqt8sg]\displaystyle D_{x,x} g = 8102 \cdot 8101 u^{8100} \cdot &#40;D_x u&#41;^2 + 8102 u^{8101} \cdot D_{x,x} u[/latex:2aiqt8sg].

Ora se sappiamo che [latex:2aiqt8sg]u \in H^2 \cap L^{\infty}[/latex:2aiqt8sg] e che [latex:2aiqt8sg]&#40;D_x u&#41;^2 \in L^2[/latex:2aiqt8sg] allora anche [latex:2aiqt8sg]D_{x,x} g \in L^2[/latex:2aiqt8sg] e questo insieme al conto analogo per le altre derivate dovrebbe bastare per riuscire a dire che [latex:2aiqt8sg]g \in H^2[/latex:2aiqt8sg] a questo punto usando l'equazione si ottiene [latex:2aiqt8sg]u \in H^4[/latex:2aiqt8sg], sempre che non ci siano errori in giro..