Mi continua a sfuggire solo un piccolo dettaglio, l’oggetto [latex:19gmzd3k]|a_n-a_\infty|[/latex:19gmzd3k] è una distanza. Ma le distanze, indipendentemente dall’insieme di partenza, non hanno sempre come insieme d’arrivo [latex:19gmzd3k]\mathbb{R}[/latex:19gmzd3k]? Perché in tal caso allora anche [latex:19gmzd3k]\epsilon[/latex:19gmzd3k] dovrebbe essere a priori reale (e quindi la definizione di limite richiederebbe sempre l’uso dei reali). Oppure è possibile definire distanze che hanno come insieme d’arrivo lo stesso insieme di partenza, anche se questo è diverso da [latex:19gmzd3k]\mathbb{R}[/latex:19gmzd3k]?
Spero di essere riuscito a spiegare il mio dubbio anche se forse risulta un po’ contorto.

Ah, dimenticavo. Il fatto che ogni successione di Cauchy converga implica anche la scelta di una determinata distanza a priori? Visto che una successione non può essere di Cauchy per qualunque definizione di distanza. Oppure lo è?