[quote=&quot;Roccia&quot;:31hqx8pj]Le due serie di riga 7 mi hanno dato qualche difficoltà
Le serie sono

[tex:31hqx8pj]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}  n^2  a^{n^2}[/tex:31hqx8pj]

e
[tex:31hqx8pj]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n!  a^{n^2}[/tex:31hqx8pj]

sono pressochè¨ simili però mi trovo in difficoltà  dal punto di vista operativo davanti a queste serie.[/quote:31hqx8pj]

[size=150:31hqx8pj][b:31hqx8pj]1)[/b:31hqx8pj][/size:31hqx8pj]  [tex:31hqx8pj]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}  n^2  a^{n^2}[/tex:31hqx8pj]

per prima cosa verifichiamo se la condizione necessaria è verificata, calcoliamo cioè 

[tex:31hqx8pj]\displaystyle\lim_{n \to +\infty}n^2  a^{n^2}[/tex:31hqx8pj]

ora, ricordando che la funzione esponenziale   [tex:31hqx8pj]a^x[/tex:31hqx8pj] risulta crescente se [tex:31hqx8pj]a&gt;1 ,[/tex:31hqx8pj]mentre risulta decrescente se   [tex:31hqx8pj]a&lt;1,[/tex:31hqx8pj]  nel risolvere il limite dobbiamo tenere conto della variazione della base dell'esponenziale, per stabilire appunto quando l'esponenziale risulti crescente (e quindi divergente a  [tex:31hqx8pj]+\infty[/tex:31hqx8pj]), oppure decrescente (e quindi convergente a  [tex:31hqx8pj]0[/tex:31hqx8pj] ).Dunque abbiamo che


[tex:31hqx8pj]\displaystyle\lim_{n \to +\infty}n^2  a^{n^2}=\begin{cases} +\infty, &amp; \mbox{se }a&gt;1, \mbox{ la serie non converge} \\ 0, &amp; \mbox{se }a&lt;1, \mbox{ la serie Potrebbe convergere}
\end{cases}[/tex:31hqx8pj]

allora, nel caso in cui [tex:31hqx8pj]a&lt;1[/tex:31hqx8pj] possiamo applicare il criterio del rapporto (osservando naturalmente che la serie è a termini positivi):

[tex:31hqx8pj]\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\frac{&#40;n+1&#41;^2  a^{&#40;n+1&#41;^2} }{n^2  a^{n^2}}=\lim_{n \to +\infty}\frac{a^{&#40;n+1&#41;^2} }{a^{n^2}}\cdot \frac{&#40;n+1&#41;^2  }{n^2  }[/tex:31hqx8pj] [tex:31hqx8pj]=\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\frac{a^{n^2+2n+1} }{a^{n^2}}\cdot 1=\lim_{n \to +\infty}\frac{a^{n^2} \cdot a^{2n}\cdot a}{a^{n^2}}[/tex:31hqx8pj] 

[tex:31hqx8pj]\displaystyle=\lim_{n \to +\infty}  a^{2n}\cdot a=0&lt;\lambda&lt;1\to\mbox{converge}[/tex:31hqx8pj]

si conclude dunque che la serie converge, per il criterio del rapporto, per i valori di [tex:31hqx8pj]a&lt;1[/tex:31hqx8pj]

[size=150:31hqx8pj][b:31hqx8pj]2)[/b:31hqx8pj][/size:31hqx8pj]  [tex:31hqx8pj]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n!  a^{n^2}[/tex:31hqx8pj]

esattamente come ne caso precedente, verifichiamo che la condizione necessaria per la convergenza sia verificata:

[tex:31hqx8pj]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n!  a^{n^2}=\begin{cases} +\infty, &amp; \mbox{se }a&gt;1, \mbox{ la serie non converge} \\ 0, &amp; \mbox{se }a&lt;1, \mbox{ la serie Potrebbe convergere}
\end{cases}[/tex:31hqx8pj]

allora, nel caso in cui [tex:31hqx8pj]a&lt;1[/tex:31hqx8pj] possiamo applicare il criterio del rapporto (osservando naturalmente che la serie è a termini positivi):

[tex:31hqx8pj]\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\frac{&#40;n+1&#41;!  a^{&#40;n+1&#41;^2} }{n!  a^{n^2}}=\lim_{n \to +\infty}\frac{a^{&#40;n+1&#41;^2} }{a^{n^2}}\cdot \frac{&#40;n+1&#41;!  }{n! }[/tex:31hqx8pj] [tex:31hqx8pj]=\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\frac{a^{n^2+2n+1} }{a^{n^2}}\cdot  \frac{n!&#40;n+1&#41;   }{n! } =\lim_{n \to +\infty}\frac{a^{n^2} \cdot a^{2n}\cdot a}{a^{n^2}}\cdot&#40;n+1&#41;[/tex:31hqx8pj] 

[tex:31hqx8pj]\displaystyle=\lim_{n \to +\infty}  a^{2n}\cdot a\cdot&#40;n+1&#41;=0&lt;\lambda&lt;1\to\mbox{converge}[/tex:31hqx8pj]

infatti quest'ultimo limite, grazie al criterio del rapporto per successioni [b:31hqx8pj](Se la successione [tex:31hqx8pj]\frac{a_{n+1}}{a_n}[/tex:31hqx8pj] converge ad un
limite [tex:31hqx8pj]l &lt; 1[/tex:31hqx8pj] allora la successione [tex:31hqx8pj]a_n[/tex:31hqx8pj] è strettamente decrescente e converge a zero)[/b:31hqx8pj] risuta:

[tex:31hqx8pj]\displaystyle\lim_{n \to +\infty}  a^{2n}\cdot a\cdot&#40;n+1&#41;=\displaystyle a\cdot \lim_{n \to +\infty}  \frac{a^{2n +2}\cdot &#40;n+2&#41;}{a^{2n} \cdot&#40;n+1&#41;}[/tex:31hqx8pj]  [tex:31hqx8pj]\displaystyle=a\cdot \lim_{n \to +\infty}  \frac{a^{2n }\cdot a^{2}\cdot &#40;n+2&#41;}{a^{2n} \cdot&#40;n+1&#41;}=a^3&lt;1 \Rightarrow \mbox{il limite risulta =0}[/tex:31hqx8pj]

si conclude dunque che la serie converge, per il criterio del rapporto, per i valori di [tex:31hqx8pj]a&lt;1[/tex:31hqx8pj]