Come spesso accade in matematica, in questo caso c'è solo da mettersi d'accordo. Sia quindi [tex:1pvywk18]f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex:1pvywk18] una funzione monotona (supponiamo crescente, il caso opposto si tratta analogamente), e sia [tex:1pvywk18]x_0 \in \mathbb{R}[/tex:1pvywk18] (il discorso si generalizza facilmente a funzioni non definite su tutto [tex:1pvywk18]\mathbb{R}[/tex:1pvywk18], ove [tex:1pvywk18]x_0[/tex:1pvywk18] è almeno di accumulazione). Certamente esistono:

- [tex:1pvywk18]\lim_{x \to x_0^-} f&#40;x&#41; = \alpha \le f&#40;x_0&#41;[/tex:1pvywk18];
- [tex:1pvywk18]\lim_{x \to x_0^+} f&#40;x&#41; = \beta \ge f&#40;x_0&#41;[/tex:1pvywk18].

Chiaramente è facile intuire che possono valere le disuguaglianze strette, anche in entrambi i casi. E' giusto poi dire che, se [tex:1pvywk18]\alpha \ne \beta[/tex:1pvywk18], allora il seguente limite non esiste:

[tex:1pvywk18]\lim_{x \to x_0} f&#40;x&#41;[/tex:1pvywk18]

Infatti l'esistenza dei due limiti è garantita, ma l'uguaglianza no (anche qui, è facile creare un controesempio).

Sui libri il cosiddetto [b:1pvywk18]Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone[/b:1pvywk18], che impropriamente dice che [i:1pvywk18]ogni funzione monotona ha limite in ogni punto del suo dominio[/i:1pvywk18], afferma in realtà che, data (per comodità) [tex:1pvywk18]f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex:1pvywk18] monotona, allora esistono i seguenti limiti:

- [tex:1pvywk18]\lim_{x \to x_0^-} f&#40;x&#41;[/tex:1pvywk18], per ogni [tex:1pvywk18]x_0 \in \mathbb{R}[/tex:1pvywk18];
- [tex:1pvywk18]\lim_{x \to x_0^+} f&#40;x&#41;[/tex:1pvywk18], per ogni [tex:1pvywk18]x_0 \in \mathbb{R}[/tex:1pvywk18];
- [tex:1pvywk18]\lim_{x \to -\infty} f&#40;x&#41;[/tex:1pvywk18];
- [tex:1pvywk18]\lim_{x \to +\infty} f&#40;x&#41;[/tex:1pvywk18].

E' consigliabile enunciare il teorema in questa forma, in quanto se tu escludessi i punti di discontinuità di terza specie (dove il limite esiste, ma è diverso da [tex:1pvywk18]f&#40;x_0&#41;[/tex:1pvywk18]) escluderesti alcuni casi... insomma, dillo così e vai sul sicuro. 

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