Provo ad aggiungere qualche commento, anche se faccio fatica ad interpretare i dubbi di taremin. Tra l'altro, mi pare che la situazione sarebbe esattamente la stessa anche con una derivata in meno.

Vogliamo minimizzare l'integrale della derivata seconda al quadrato tra tutte le funzioni [latex:373u6d7u]C^2[/latex:373u6d7u] o [latex:373u6d7u]C^{28}[/latex:373u6d7u] o [latex:373u6d7u]C^\infty[/latex:373u6d7u], senza ulteriori condizioni.

Se decidiamo di andare di metodo indiretto, possiamo (detto tra di noi) fregarcene della regolarità, perché quello che scriviamo è brutta copia. In bella copia, volendo, potremo riportare solo la disuguaglianza finale, che è quella che sistema tutto rigorosamente.

Detto questo, la variazione prima diventa

[latex:373u6d7u]\displaystyle\delta F&#40;u,v&#41;=\int_a^b u&#39;&#39;&#40;x&#41;v&#39;&#39;&#40;x&#41;\,dx[/latex:373u6d7u]

L'annullamento di questa è quella che nel corso ho chiamato prima forma integrale dell'equazione di Eulero. L'importante è precisare qui per quali [latex:373u6d7u]v&#40;x&#41;[/latex:373u6d7u] la cosa deve essere vera. Non avendo condizioni al bordo, [latex:373u6d7u]v&#40;x&#41;[/latex:373u6d7u] può essere una qualunque funzione [latex:373u6d7u]C^2[/latex:373u6d7u].

Ora, fregandocene della regolarità, possiamo integrare per parti ottenendo

[latex:373u6d7u]\displaystyle\delta F&#40;u,v&#41;=\int_a^b u^{&#40;4&#41;}&#40;x&#41;v&#40;x&#41;\,dx+\mbox{termini vari di bordo}[/latex:373u6d7u]

e tutto questo deve annullarsi per ogni [latex:373u6d7u]v\in C^2[/latex:373u6d7u]. Questa è la seconda forma integrale di Eulero.

Scegliendo le [latex:373u6d7u]v&#40;x&#41;[/latex:373u6d7u] nulle al bordo scopriamo che deve essere [latex:373u6d7u]u^{&#40;4&#41;}&#40;x&#41;=0[/latex:373u6d7u] nell'intervallo, la quale ha come soluzione tutte le cubiche. Scegliendo ora delle [latex:373u6d7u]v&#40;x&#41;[/latex:373u6d7u] opportune non nulle al bordo troviamo delle condizioni al bordo che sono nate nel processo di minimizzazione, e sono quelle che uccidono le cubiche che non sono rette (fare il conto per credere).

A questo punto osserviamo che tutte le rette verificano la prima forma integrale di Eulero e chiudiamo con la disuguaglianza.

Per come la vedo io, l'errore di fondo nell'approccio 1 è nel non aver considerato tutte le variazioni ammissibili, ma solo quelle a supporto compatto. Queste, per dirla con un linguaggio complicato, non spannano tutto lo spazio tangente, quindi non forniscono abbastanza condizioni, il che permette a dei candidati abusivi (le cubiche non rette) di restare in vita.

Se uno è seccato dalla questione di regolarità (comunque inessenziale, visto che la parte rigorosa è la disuguaglianza finale), se ne può uscire comunque, ma occorre fare un salto avanti di qualche lezione ... arrivando alle derivate deboli. Dalla prima forma integrale di Eulero si scopre che in realtà [latex:373u6d7u]u&#40;x&#41;[/latex:373u6d7u] sta in [latex:373u6d7u]H^4[/latex:373u6d7u] ed a quel punto di può davvero integrare per parti ... quello che ha fatto teremin nel suo approccio 1 è stato mettere tutto insieme ... dalla dimostrazione dell'ulteriore regolarità al DBR ...

L'errore di fondo nell'approccio 2, che non ho capito perché si chiama forma differenziale, è molto più riposto. Per individuarlo, suggerisco di esplicitare l'argomento &quot;scegliendo ordinatamente le v da provare&quot;.