Provo a esplicitare la prima parte.
Mi metto [latex:32rnkxdp]W^{1,4}_0[/latex:32rnkxdp], così che se trovo qui il min so che è un inf per le [latex:32rnkxdp]C^{\infty}_c[/latex:32rnkxdp] (giusto?).
Prendo una sottosuccessione in un sottolivello.
Innanzitutto stimo la norma del gradiente grazie al vincolo: i gradienti della mia successione sono equilimitati.
Poi posso dire, con i teoremi di immersione, di essere in [latex:32rnkxdp]L^{\infty}[/latex:32rnkxdp] e 
sono anche equi-Holder perché per questa stima mi basta la stima sui gradienti.
Se volessi usare Ascoli Arzelà mi servirebbe una equilimitatezza, ma anche se volessi usare Rellich dovrei avere una equilimitatezza per le norme [latex:32rnkxdp]L^4[/latex:32rnkxdp] delle funzioni. 
Di primo acchito mi sembra che questa limitatezza si possa ottenere in due modi: 
1) dal funzionale (Strada che visto il seno iperbolico non saprei bene percorrere)
2) da una disuguaglianza tipo Poincarè

Scelgo la seconda strada e in particolare farei così:

[latex:32rnkxdp]\left\lVert u\right\rVert _{\infty} \leq c&#40;p,d,\Omega&#41;\bigg&#40; \left\lVert u\right\rVert _4 + \left\lVert \nabla u\right\rVert _4 \bigg&#41; \leq c&#39;&#40;p,d,\Omega&#41; \left\lVert u\right\rVert _{\infty} +c&#40;p,d,\Omega&#41;\left\lVert \nabla u\right\rVert _4[/latex:32rnkxdp].

Portando a sinistra, raccogliendo, dividendo. Se volessi usare Rellich potrei fare un discorso simile con [latex:32rnkxdp]\left\lVert u\right\rVert _4[/latex:32rnkxdp].
In questo caso è proprio una Poincarè.

Se non uso questa, come stimo la norma [latex:32rnkxdp]L^{\infty}[/latex:32rnkxdp] o [latex:32rnkxdp]L^4[/latex:32rnkxdp] delle funzioni? Se non stimo uniformemente tale norma come procedo col metodo diretto?