[tex:2dg2wt5n]\mbox{Studiare il carattere della seguente serie}[/tex:2dg2wt5n]

[tex:2dg2wt5n]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \,\,\sin\frac{\pi}{2n+3}[/tex:2dg2wt5n]

Anzitutto cominiciamo con lo stabilire se si tratta di una serie a termini positivi o meno; per fare ciò, consideriamo la successione:

[tex:2dg2wt5n]\displaystyle a_n=\frac{\pi}{2n+3}[/tex:2dg2wt5n]

esplicitando alcuni termini 

[tex:2dg2wt5n]\displaystyle a_1=\frac{\pi}{5},\,\, a_2=\frac{\pi}{7},\,\, a_3=\frac{\pi}{9},\,\,\, ...[/tex:2dg2wt5n]
 
osserviamo che:

[tex:2dg2wt5n]\displaystyle a_1&gt; a_2&gt;a_3 &gt; ...&gt;a_{n-1}&gt;a_n&gt;...[/tex:2dg2wt5n]

e dunque la successione risulta decrescente e convergente a zero; allora si ha che 

[tex:2dg2wt5n]\displaystyle 0&lt;a_n\le \frac{\pi}{5} \quad \to \quad \inf a_n=0, \quad \to \quad \sup a_n=\max a_n= \frac{\pi}{5}[/tex:2dg2wt5n]

La successione [tex:2dg2wt5n]a_n[/tex:2dg2wt5n] risulta dunque limitata e a termini positivi; osservando che [tex:2dg2wt5n]\displaystyle 0&lt;a_n\le \frac{\pi}{5}&lt;\pi[/tex:2dg2wt5n], e ricordando che
 [tex:2dg2wt5n]\sin x &gt;0 \quad \Leftrightarrow \quad 0 \le x\le \pi +k\pi[/tex:2dg2wt5n]

il termine generale della serie data risulterà certamente a termini positivi; allora possiamo considerarne il comportamento assintotico:

[tex:2dg2wt5n]\displaystyle \sin\frac{\pi}{2n+3}\sim \frac{\pi}{2n+3}\sim\frac{1}{n} \to \mbox{diverge}[/tex:2dg2wt5n]

Allora si conclude che la serie data diverge per confronto con la serie armonica.

[tex:2dg2wt5n]\mbox{CONSIDERAZIONI}[/tex:2dg2wt5n]

Supponiamo di non aver osservato la positività del termine generale della serie, presi dall'ansia d'esame o da un approcio meccanico al problema; allora saremmo giunti alla conclusione che essendo variabile il segno della funzione [tex:2dg2wt5n]\sin x[/tex:2dg2wt5n], il termine generale della serie risulta di segno non costante, e quindi avremmo dovuto  considerare il valore assoluto del termine generale; allora

[tex:2dg2wt5n]\displaystyle \left|\sin\frac{\pi}{2n+3} \right|[/tex:2dg2wt5n]

essendo ora in presenza di una serie il cui termine generale è di segno costantemente positivo, possiamo applicare il criterio asintotico:

[tex:2dg2wt5n]\displaystyle \left|\sin\frac{\pi}{2n+3}\right|\sim \left|\frac{\pi}{2n+3}\right|=\frac{\pi}{2n+3}\sim\frac{1}{n} \to \mbox{diverge}[/tex:2dg2wt5n]

la serie risulta quindi assolutamente divergente, e questo non ci consente di concludere nulla circa la convergenza o la divergenza. Bisogna seguire un altra via per determinare il carettere della seri; sappiamo che una serie converge o diverge se lo è la successione delle somme parziali: consideriamo allora le somme parziali:

[tex:2dg2wt5n]\displaystyle S_1 =\sin\frac{\pi}{5}\sim 0.58[/tex:2dg2wt5n]

[tex:2dg2wt5n]\displaystyle S_2 =\sin\frac{\pi}{5}+\sin\frac{\pi}{7}\sim 1.02[/tex:2dg2wt5n]

[tex:2dg2wt5n]\displaystyle S_3 =\sin\frac{\pi}{5}+\sin\frac{\pi}{7}+\sin\frac{\pi}{9}\sim 1.36[/tex:2dg2wt5n]

[tex:2dg2wt5n]\displaystyle S_4 =\sin\frac{\pi}{5}+\sin\frac{\pi}{7}+\sin\frac{\pi}{9}+\sin \frac{\pi}{11}\sim 1.64[/tex:2dg2wt5n]

[tex:2dg2wt5n]\displaystyle S_5 =\sin\frac{\pi}{5}+\sin\frac{\pi}{7}+\sin\frac{\pi}{9}+\sin \frac{\pi}{11} + \sin\frac{\pi}{13}\sim 1.88[/tex:2dg2wt5n] 

[tex:2dg2wt5n]\displaystyle S_6 =\sin\frac{\pi}{5}+\sin\frac{\pi}{7}+\sin\frac{\pi}{9}+\sin \frac{\pi}{11} +\sin \frac{\pi}{13} +\sin \frac{\pi}{15}\sim 2.09[/tex:2dg2wt5n]

[tex:2dg2wt5n]\displaystyle S_7 =\sin\frac{\pi}{5}+\sin\frac{\pi}{7}+\sin\frac{\pi}{9}+\sin \frac{\pi}{11} +\sin \frac{\pi}{13} +\sin \frac{\pi}{15} +\sin \frac{\pi}{17}[/tex:2dg2wt5n] [tex:2dg2wt5n]\sim 2.27[/tex:2dg2wt5n]

[tex:2dg2wt5n]\displaystyle S_8 =\sin\frac{\pi}{5}+\sin\frac{\pi}{7}+\sin\frac{\pi}{9}+\sin \frac{\pi}{11} + \sin\frac{\pi}{13} + \sin\frac{\pi}{15} + \sin\frac{\pi}{17}+[/tex:2dg2wt5n] [tex:2dg2wt5n]\sin \displaystyle\frac{\pi}{19}\sim 2.44[/tex:2dg2wt5n]

[tex:2dg2wt5n]\displaystyle S_9 =\sin\frac{\pi}{5}+\sin\frac{\pi}{7}+\sin\frac{\pi}{9}+ \sin\frac{\pi}{11} +\sin \frac{\pi}{13} +\sin \frac{\pi}{15} + \sin\frac{\pi}{17}+[/tex:2dg2wt5n][tex:2dg2wt5n]\displaystyle   \sin\frac{\pi}{19}+\sin\frac{\pi}{21}\sim 2.59[/tex:2dg2wt5n]

[tex:2dg2wt5n]\displaystyle S_{10} =\sin\frac{\pi}{5}+\sin\frac{\pi}{7}+\sin\frac{\pi}{9}+ \sin\frac{\pi}{11} +\sin \frac{\pi}{13} +\sin \frac{\pi}{15} + \sin\frac{\pi}{17} +[/tex:2dg2wt5n] [tex:2dg2wt5n]\displaystyle \sin\frac{\pi}{19}+ \sin\frac{\pi}{21} +  \sin\frac{\pi}{23} \sim 2.72[/tex:2dg2wt5n]

e ciò che possiamo osservare è che la successione delle somme parziali risulta monotona crescente (naturalmente) ed illimitata superiormente, poichè si sommano man man addendi sempre più grandi, e dunque tenderà al proprio estremo superiore, che risulta essere [tex:2dg2wt5n]+\infty[/tex:2dg2wt5n] e dunque la serie risulta divergente.