Ciao! A lezione il professore accennava ad almeno altre due possibili dimostrazioni di Heine-Cantor oltre a quella per assurdo. Stavo provando a dimostrare il teorema utilizzando il fatto fondamentale che le funzioni semi-continue inf definite in un compatto ammettono per Weierstrass minimo.

Sia [tex:30zi8x45]f : \left[a, b\right] \longrightarrow \mathbb{R}[/tex:30zi8x45] continua. Allora [tex:30zi8x45]f[/tex:30zi8x45] è uniformemente continua in [tex:30zi8x45]\left[a, b\right][/tex:30zi8x45].

Per ipotesi [tex:30zi8x45]f[/tex:30zi8x45] è continua in [tex:30zi8x45]A=\left[a, b\right][/tex:30zi8x45], ovvero:
[tex:30zi8x45]\forall x \in A\ \forall \epsilon&gt;0\ \exists \delta \equiv \delta_{x, \epsilon}&gt;0\ \forall y \in \left[x-\delta, x+\delta \right][/tex:30zi8x45] [tex:30zi8x45]\cap A\quad |f \left&#40; y \right&#41; - f \left&#40; x \right&#41;| \le \epsilon[/tex:30zi8x45]

Fisso epsilon e considero [tex:30zi8x45]\delta_x=\sup\left\{\delta&gt;0 : \forall y \in \left[x-\delta, x+\delta \right]\cap A\quad |f \left&#40; y \right&#41; - f \left&#40; x \right&#41;| \le \epsilon \right\}[/tex:30zi8x45] osservo che non sto facendo sup di un insieme vuoto e inoltre il sup sta in R unito più infinito. Per ovviare al &quot;problema&quot; del possibile sup a più infinito definisco:

[tex:30zi8x45]\delta\left&#40;x\right&#41;= \begin{cases}b-a &amp; \delta_x=+\infty\\ \delta_x &amp; \delta_x \in \mathbb{R}\end{cases}[/tex:30zi8x45]

CLAIM: [tex:30zi8x45]\delta\left&#40;x\right&#41;[/tex:30zi8x45] è SCI

Sia [tex:30zi8x45]x_0 \in A[/tex:30zi8x45], fisso r&gt;0 considero [tex:30zi8x45]\inf\left\{\delta\left&#40;y\right&#41; : y \in \left[x_0-r, x_0+r \right]\cap A\setminus\left\{x_0\right\}\right\}[/tex:30zi8x45] dovrei avere che non appena [tex:30zi8x45]r&lt;\delta\left&#40;x_0\right&#41;\quad \forall y \in \left[x_0-r, x_0+r \right]\cap A \quad \delta\left&#40;y\right&#41;\ge \delta\left&#40;x_0\right&#41;-r[/tex:30zi8x45] da cui passando all'inf:

[tex:30zi8x45]\inf\left\{\delta\left&#40;y\right&#41; : y \in \left[x_0-r, x_0+r \right]\cap A\right\} \ge  \delta\left&#40;x_0\right&#41;-r[/tex:30zi8x45] facendo il limite su r che va a 0 da destra:

[tex:30zi8x45]\lim_{r \to 0^+}\inf\left\{\delta\left&#40;y\right&#41; : y \in \left[x_0-r, x_0+r \right]\cap A \right\}\ge  \delta\left&#40;x_0\right&#41;[/tex:30zi8x45] che modulo aver sbagliato dovrebbe essere equivalente al CLAIM.

Concludo usando Weierstrass SCI su [tex:30zi8x45]\delta\left&#40;x\right&#41;[/tex:30zi8x45] e trovo fissato epsilon il delta richiesto dalla definizione di uniforme continuità.

È una dimostrazione valida? O in alternativa dove fa acqua?  <!-- s:roll: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_rolleyes.gif" alt=":roll:" title="Rolling Eyes" /><!-- s:roll: -->