Riprovo:

consideriamo un punto [tex:210ebkz5]x_0 \in\mathbb{R}[/tex:210ebkz5] e bisogna dimostrare che la funzione [tex:210ebkz5]f[/tex:210ebkz5] è continua nel punto [tex:210ebkz5]x_0,[/tex:210ebkz5] cioè che:

[tex:210ebkz5]\displaystyle\lim_{x \to x_0^-}f&#40;x&#41;= \lim_{x \to x_0^+}f&#40;x&#41;[/tex:210ebkz5]

Il Punto [tex:210ebkz5]x_0^[/tex:210ebkz5] è certamente di accumulazione per il dominio  [tex:210ebkz5]\mathbb{R}[/tex:210ebkz5] ed individua due insiemi [tex:210ebkz5]A=\{x:x\in&#40;-\infty,x_0&#41;\}[/tex:210ebkz5] e  [tex:210ebkz5]B=\{x:x\in&#40;x_0,+\infty&#41;\}[/tex:210ebkz5] tali che [tex:210ebkz5]A\cup B=\mathbb{R}.[/tex:210ebkz5] 

Dimostriamo che il limite sinistro coincide con il vaolre della funzione nel punto [tex:210ebkz5]x_0;[/tex:210ebkz5] l'altro caso è evidentemente analogo.

Poichè la funzione è monotona  crescente in [tex:210ebkz5]A,[/tex:210ebkz5] che ha come estremo superiore [tex:210ebkz5]x_0[/tex:210ebkz5] e dunque 

[tex:210ebkz5]\displaystyle\lim_{x \to x_0^-}f&#40;x&#41;=l=\sup_{A}f&#40;x&#41;[/tex:210ebkz5]

in tal caso per ogni valore di [tex:210ebkz5]\displaystyle x\in A[/tex:210ebkz5] si ha che 

[tex:210ebkz5]f&#40;x&#41;\le l \le f&#40;x_0&#41;[/tex:210ebkz5]

I valori [tex:210ebkz5]l[/tex:210ebkz5] e [tex:210ebkz5]f&#40;x_0&#41;[/tex:210ebkz5] appartengono all'intervallo [tex:210ebkz5]f&#40;\mathbb{R}&#41;,[/tex:210ebkz5] pertanto, se essi fossero distinti, allora l'intervallo che li ha come estremi sarebbe incluso in [tex:210ebkz5]f&#40;\mathbb{R}&#41;,[/tex:210ebkz5] cioè:

[tex:210ebkz5]&#40;l,f&#40;x_0&#41;&#41;\subset f&#40;\mathbb{R}&#41;[/tex:210ebkz5]

questo in realtà è un assurdo in quanto la funzione è monotona per ipotesi, e quindi per Ogni [tex:210ebkz5]x\in \mathbb{R}[/tex:210ebkz5] si ha che :

[tex:210ebkz5]f&#40;x&#41;\le l \quad \text{se}\quad x&lt;x_0[/tex:210ebkz5]

[tex:210ebkz5]f&#40;x&#41;\ge f&#40;x_0&#41; \quad \text{se}\quad x\ge x_0[/tex:210ebkz5]

pertanto nessun valore [tex:210ebkz5]f&#40;x&#41;[/tex:210ebkz5] è compreso nell'intervallo [tex:210ebkz5]&#40;l,f&#40;x_0&#41;&#41;[/tex:210ebkz5] (piochè abbiamo supposto [tex:210ebkz5]l\le f&#40;x_0&#41;[/tex:210ebkz5] e non [tex:210ebkz5]l = f&#40;x_0&#41;[/tex:210ebkz5])

Allora l'uguaglianza tra il limite [tex:210ebkz5]l[/tex:210ebkz5] in [tex:210ebkz5]x_0[/tex:210ebkz5] e il valore valore della funzione [tex:210ebkz5]f[/tex:210ebkz5] in [tex:210ebkz5]x_0,[/tex:210ebkz5] cioè [tex:210ebkz5]f&#40;x_0&#41;[/tex:210ebkz5] indica che la funzione [tex:210ebkz5]f[/tex:210ebkz5] è continua.