No no no, calma calma.

Chiariamo bene la situazione. Abbiamo n vettori [latex:30rzwy4i]v_1,\ldots,v_n[/latex:30rzwy4i] che sono una base dello spazio V (ed è essenziale che siano una base), e altri n vettori [latex:30rzwy4i]w_1,\ldots,w_n[/latex:30rzwy4i] in uno spazio W eventualmente diverso (questi ultimi non devono necessariamente essere una base, né essere linearmente indipendenti). Il nostro obiettivo è dimostrare che esiste almeno una applicazione lineare [latex:30rzwy4i]f:V\to W[/latex:30rzwy4i] tale che [latex:30rzwy4i]f&#40;v_i&#41;=w_i[/latex:30rzwy4i] per ogni indice i che va da 1 ad n. Poi dopo aver dimostrato l'esistenza potremo porci eventualmente il problema dell'unicità.

Per il momento f è stata definita solo sugli n vettori dati, e non sul resto. Si tratta ora di estenderla al resto di V. Come facciamo? Prendiamo un qualunque vettore v di V e lo scriviamo come combinazione lineare degli elementi della base

[latex:30rzwy4i]v=c_1v_1+\cdots+c_nv_n[/latex:30rzwy4i]

Qui è essenziale avere a che fare con gli elementi della base, il che ci assicura che la scrittura di sopra esiste ed è unica. Una volta che abbiamo scritto v come sopra, poniamo

[latex:30rzwy4i]f&#40;v&#41;=c_1f&#40;v_1&#41;+\cdots+c_nf&#40;v_n&#41;[/latex:30rzwy4i]

Qui non stiamo facendo nessuna cosa losca. Non stiamo usando la linearità di f, perché f non è ancora stata definita se non negli n elementi inizialmente dati. Semplicemente ci stiamo avvalendo del nostro diritto di definire f come ci pare sul resto di V. Volendo avremmo potuto anche definirla in maniera molto più buffa, solo che chi semina vento raccoglie tempesta. Infatti, dopo averla definita (in questo od in altro modo), dobbiamo fare 2 verifiche.

[list:30rzwy4i][*:30rzwy4i]Che la nuova definizione sia compatibile con la vecchia (cioè che sia ancora vero che [latex:30rzwy4i]f&#40;v_i&#41;=w_i[/latex:30rzwy4i], anche ora che abbiamo usato questa nuova procedura che passa per le componenti di un vettore).[/*:m:30rzwy4i][*:30rzwy4i]Che la f che abbiamo definito sia lineare, cioè mandi somme in somme e gli scalari escano fuori.[/*:m:30rzwy4i][/list:u:30rzwy4i]

Tanto per fare un esempio, faccio la verifica della storia della somma, lasciando le altre per esercizio (e sarebbe utile che qualcuno lo facesse). Si tratta dunque di dimostrare che

[latex:30rzwy4i]f&#40;x+y&#41;=f&#40;x&#41;+f&#40;y&#41;[/latex:30rzwy4i]

per ogni x e y in V. Seguiamo la procedura che ci siamo dati. Scriviamo x e y come

[latex:30rzwy4i]x=a_1v_1+\cdots a_nv_n\qquad[/latex:30rzwy4i]  e [latex:30rzwy4i]\qquad y=b_1v_1+\cdots b_nv_n[/latex:30rzwy4i]

Allora dalla definizione data sopra segue che

[latex:30rzwy4i]f&#40;x&#41;=a_1f&#40;v_1&#41;+\cdots a_nf&#40;v_n&#41;\qquad[/latex:30rzwy4i]  e [latex:30rzwy4i]\qquad f&#40;y&#41;=b_1f&#40;v_1&#41;+\cdots b_nf&#40;v_n&#41;[/latex:30rzwy4i]

Allora sommando e riarrangiando i termini (si noti che qui si usano un po' di proprietà che compaiono nella definizione di spazio vettoriale) otteniamo

[latex:30rzwy4i]f&#40;x&#41;+f&#40;y&#41;=&#40;a_1+b_1&#41;f&#40;v_1&#41;+\cdots &#40;a_n+b_n&#41;f&#40;v_n&#41;\qquad[/latex:30rzwy4i] 

Ora dobbiamo dimostrare che questa cosa è uguale a f(x+y). Ma quanto vale f(x+y)? Per saperlo, data la nostra definizione, devo scrivere x+y come combinazione lineare degli elementi della base. Come si scrive x+y come combinazione lineare degli elementi della base? Ovviamente come

[latex:30rzwy4i]x+y=&#40;a_1+b_1&#41;v_1+\cdots &#40;a_n+b_n&#41;v_n\qquad[/latex:30rzwy4i] 

Questo è così ovvio? Come si dimostra? Data questa scrittura, sappiamo scrivere f(x+y), e guarda caso viene proprio quello che ci aspettavamo. Si noti che qui non abbiamo usato la linearità di f, ma l'abbiamo ottenuta come conseguenza della definizione che abbiamo posto.