Direi che non basta ancora ... e nota che stai mettendo assiomi pesantissimi (tutte le proprietà algebriche della somma), più infinite proprietà dell'ordinamento, senza riuscire ancora a dedurre il semplice Peano. Il problema è che con i soli assiomi della somma nessuno ti assicura che partendo da 0 e continuando ad aggiungere 1 raggiungi ogni elemento. Ovviamente l'esempio si fa sempre più riposto, e avanti di questo passo arriveremo agli ordinali. L'esempio qui penso che possa essere [tex:85mhtu5m]\mathbb{N}\times\mathbb{N}[/tex:85mhtu5m] con somma definita component-wise 

[tex:85mhtu5m]&#40;a_1,b_1&#41;+ &#40;a_2,b_2&#41;=&#40;a_1+a_2,b_1+b_2&#41;[/tex:85mhtu5m]

e ordinamento lessicografico, cioè [tex:85mhtu5m]&#40;a_1,b_1&#41;\leq&#40;a_2,b_2&#41;[/tex:85mhtu5m] se e solo se [tex:85mhtu5m]a_1&lt;a_2[/tex:85mhtu5m] oppure [tex:85mhtu5m]a_1=a_2[/tex:85mhtu5m] e [tex:85mhtu5m]b_1&lt;b_2[/tex:85mhtu5m] . Lo zero è la coppia (0,0) e l'unità è la coppia (0,1). Continuando a sommare l'unità si raggiunge solo il primo livello (0,n), ma non si può arrivare ai &quot;piani superiori&quot; (il piano è la prima variabile <!-- s:D --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_biggrin.gif" alt=":D" title="Very Happy" /><!-- s:D --> ).