Salve, ho provato a fare il primo esercizio ed in particolar modo ad applicare il metodo diretto ma non riesco a concludere:il problema l'ho riformulato come [latex:r7ko6umz]\min  F&#40;u&#41; \ \ \{u \in H^1&#40;\Omega&#41; \ | \ tr&#40;u&#41;=1 \}[/latex:r7ko6umz] (eventualmente ammettendo che $F$ assuma il valore [latex:r7ko6umz]+ \infty[/latex:r7ko6umz]).

In primo luogo, ELE dovrebbe essere

 [latex:r7ko6umz]div&#40;A&#40;x&#41;\nabla&#40;u&#41;&#41;=u^{8101}8102[/latex:r7ko6umz]

dove [latex:r7ko6umz]A&#40;x&#41;[/latex:r7ko6umz] e' la matrice diagonale con elementi non nulli rispettivamente [latex:r7ko6umz]x^{25},y^{12},z^{2018}[/latex:r7ko6umz](mi scuso per la notazione terrificante ma ho un po' di problemi con il Tex).

Ora, il problema e' che io metterei come nozione di convergenza la convergenza forte in [latex:r7ko6umz]L^2[/latex:r7ko6umz] delle funzioni e debole delle derivate,per poter utilizzare la compattezza della relativa immersione di Sobolev, ma questo non mi sembra dare ne' compattezza dei sottolivelli ne' SCI: in particolare, non riesco a controllare il termine

 [latex:r7ko6umz]\displaystyle \int_{\Omega}u^{8102}[/latex:r7ko6umz]

in modo tale da applicare quanto visto a lezione.