Mi pare che si possa by-passare il lemma del cubetto interno nella dimostrazione della formula di cambio di variabili negli integrali. I punti fondamentali dovrebbero essere i seguenti.

1 - Dal lemma del cubetto esterno segue abbastanza facilmente che l'immagine di un misurabile è misurabile (vedi pagina 199 del book 1).

2 - Sempre dal lemma del cubo esterno segue la epsilon-disuguaglianza in fondo a pagina 200, con integrali veri e non superiori o inferiori (qui serve il punto 1). Volendola scrivere

[latex:vbn89dfq]\displaystyle\int_Bf_C&#40;y&#41;\,dy\geq\frac{1}{&#40;1+\varepsilon&#41;^{n+1}}\int_Af_C&#40;\varphi&#40;x&#41;&#41;\cdot|\operatorname{Det} J_\varphi&#40;x&#41;|\,dx[/latex:vbn89dfq]

dove [latex:vbn89dfq]f_C[/latex:vbn89dfq] è la caratteristica di un cubo abbastanza piccolo.

3 - Se quella epsilon-disuguaglianza vale per le caratteristiche dei cubi piccoli, allora vale per le caratteristiche dei rettangoli qualunque, sempre con integrali veri (discorso di pagina 192).

4 - Se quella epsilon-disuguaglianza vale per le caratteristiche dei rettangoli, con integrali veri, allora vale con integrali superiori per tutte le funzioni non negative (dove serve che siano non negative? dove serve che per le caratteristiche dei rettangoli fossero integrali veri?).

5 - Passando al limite si ottiene la stessa disuguaglianza per epsilon=0. Abbiamo così ottenuto che

[latex:vbn89dfq]\displaystyle\int^*_Bf&#40;y&#41;\,dy\geq\int^*_Af&#40;\varphi&#40;x&#41;&#41;\cdot|\operatorname{Det} J_\varphi&#40;x&#41;|\,dx[/latex:vbn89dfq]

per ogni f : B -&gt; R non negativa.

6 - Applicando la stessa formula alla trasformazione inversa si ottiene l'uguaglianza, come in fondo a pagina 189. Abbiamo quindi che 

[latex:vbn89dfq]\displaystyle\int^*_Bf&#40;y&#41;\,dy=\int^*_Af&#40;\varphi&#40;x&#41;&#41;\cdot|\operatorname{Det} J_\varphi&#40;x&#41;|\,dx[/latex:vbn89dfq]

per ogni f : B -&gt; R non negativa.

7 - Ricordando nuovamente il punto 1, se f è una caratteristica di un rettangolo, allora la formula di sopra vale con integrali veri e non superiori. Ma allora possiamo ripercorrere tutta la pagina 189 senza più l'ipotesi che f sia non negativa, ottenendo la conclusione completa (con integrali inferiori e superiori) per ogni f ammissibile. 

Correggetemi se ho sbagliato!