Riporto il testo dell'esercizio.
Siano [latex:138bx6m2]d[/latex:138bx6m2] intero positivo, [latex:138bx6m2]\emptyset\neq K\subset \mathbb{R}^d[/latex:138bx6m2] chiuso. Consideriamo su [latex:138bx6m2]\mathbb{R}^d[/latex:138bx6m2] la norma euclidea.
a) Dimostrare che per ogni [latex:138bx6m2]x\in \mathbb{R}^d[/latex:138bx6m2] esiste [latex:138bx6m2]z\in K[/latex:138bx6m2] t.c.[latex:138bx6m2]||x-z||\le||x-y||[/latex:138bx6m2] per ogni [latex:138bx6m2]y\in K[/latex:138bx6m2];
b) Dare un esempio in [latex:138bx6m2]\mathbb{R}^2[/latex:138bx6m2] nel quale il punto di minimo non è unico.

Vorrei capire se la mia soluzione va bene.
[spoiler=&quot; &quot;:138bx6m2]a&#41;Esiste [latex:138bx6m2]r&gt;0[/latex:138bx6m2] tale che [latex:138bx6m2]C=\overline{B&#40;x,r&#41;}\cap K\neq \emptyset[/latex:138bx6m2]. Osserviamo che [latex:138bx6m2]C[/latex:138bx6m2] è limitato perché contenuto nella palla, e chiuso perché intersezione di chiusi. Dunque [latex:138bx6m2]C[/latex:138bx6m2] è compatto. Osserviamo inoltre che le distanze da [latex:138bx6m2]x[/latex:138bx6m2] dei punti di [latex:138bx6m2]K[/latex:138bx6m2] fuori dalla palla devono essere per forza maggiori di [latex:138bx6m2]r[/latex:138bx6m2], mentre quelle dei punti appartenenti alla palla sono minori o uguali a [latex:138bx6m2]r[/latex:138bx6m2], dunque se esiste il minimo deve trovarsi nella palla e dunque in [latex:138bx6m2]C[/latex:138bx6m2]. Poiché [latex:138bx6m2]C[/latex:138bx6m2] è compatto e la funzione [latex:138bx6m2]y \mapsto ||x-y||[/latex:138bx6m2] è continua, per il teorema di Weierstrass esiste il minimo su [latex:138bx6m2]C[/latex:138bx6m2]e quindi su [latex:138bx6m2]K[/latex:138bx6m2].

b&#41; Basta considerare come [latex:138bx6m2]K[/latex:138bx6m2] il grafico della funzione valore assoluto in [latex:138bx6m2][-1,1][/latex:138bx6m2]. Prendendo [latex:138bx6m2]x=&#40;0,1&#41;[/latex:138bx6m2] si ha che ci sono due punti &#40;simmetrici rispetto all&#39;asse [latex:138bx6m2]y[/latex:138bx6m2]&#41; che risolvono il problema di minima distanza. Tali punti corrispondono appunto alle proiezioni ortogonali di [latex:138bx6m2]x[/latex:138bx6m2] sulle rette [latex:138bx6m2]y=x[/latex:138bx6m2] e [latex:138bx6m2]y=-x[/latex:138bx6m2].[/spoiler:138bx6m2]