Beh, sono due cose abbastanza diverse. Ad esempio compatto è un concetto topologico, mentre completo è un concetto metrico.

Tra i due concetti c'è un'implicazione, visto che nei metrici compatto implica completo. Non vale ovviamente il viceversa (l'insieme degli interi è completo, ma non compatto). Vale però che nei metrici completo + totalmente limitato (cercate la definizione) implica compatto. Da questo punto di vista la completezza è un ingrediente su 2 della compattezza (sempre nei metrici, mi raccomando).