[quote=&quot;Mondo&quot;:3l4iiotz]
E, rigorosamente, come faccio a dire che [quote=&quot;Massimo Gobbino&quot;:3l4iiotz]sin n è infinite volte vicino a 1 ed infinite volte vicino a -1[/quote:3l4iiotz]?[/quote:3l4iiotz]
Se vuoi una versione debole puoi usare questo ragionamento. Tra \pi/3 e 2\pi/3 la distanza è maggiore di 1. Quindi la successione n, mentre percorre la circonferenza trigonometrica, cade almeno una volta ogni giro in quell'intervallo. Di conseguenza il sin n ogni giro casca almeno una volta abbastanza vicino ad 1. Stesso ragionamento dall'altra parte della circonferenza. Questo basta per dire che sin n non ha limite.

Tuttavia uno può anche dimostrare un risultato più fine, e cioè che esiste una sua sottosuccessione che tende a 1 (e una che tende a -1). Questo è molto meno banale. Il passo fondamentale è il seguente lemma, valido per \pi e per ogni altro numero reale: per ogni n, esistono 2 interi p_n e q_n tali che 
|\pi - p_n/q_n| &lt;= 1/(nq_n).

Da questo lemma è abbastanza semplice dimostrare che n, nel suo peregrinare attorno alla circonferenza trigonometrica, passa infinite volte arbitrariamente vicino a \pi/2.
La dimostrazione del lemma si fa alla sessione preliminari dello stage senior, quindi forse c'è pure in qualche video.