Ciao Valerio, l'esercizio che proponi è solo apparentemente un integrale improprio, in quanto che la funzione integranda è limitata sia per x che tende a zero, sia per x che tende π, assumendo in entrambi i casi il valore 0.
Per quanto riguarda il calcolo della primitiva, anche io ho ottenuto lo stesso risultato eccezion fatta per  l'ultimo termine che mi viene con il segno opposto, cioè + cos(x).
Essendo infine la funzione integranda simmetrica rispetto all'asse x = π/2 ( si può vedere anche studiandola e tracciandone il grafico), è sufficiente calcolare l'integrale tra 0 e  π/2 e poi moltiplicare per 2. Si tratta, in ultima analisi, di calcolare un limite per la variabile che tende a 0, il quale, dopo opportuni ma semplici sviluppi di Taylor, dà come risultato 

	ln(2) – 1

quindi, complessivamente, l'integrale proposto assume il valore di 	ln(4) – 2.

Allego successivamente lo svolgimento dell'esercizio.