Salve, devo dimostrare la convergenza del seguente integrale improprio:

[latex:9b06icro]\displaystyle\iint_B\frac{1}{x^3+y^3}\,dx\,dy[/latex:9b06icro]

dove l'insieme dato è

[latex:9b06icro]B=\bigl\{&#40;x,y&#41;\in R^2\colon x^2+y^2\ge 1,\,x\ge 0,\,y\ge 0\bigr\}[/latex:9b06icro]

Io ho provato a risolvere l'esercizio nel seguente modo:
passando direttamente a coordinate polari, otteniamo che

[latex:9b06icro]\displaystyle\iint_B\frac{1}{x^3+y^3}\,dx\,dy=\lim_{a\to +\infty}\int_1^a\frac{1}{\rho^2}\,d\rho\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\cos^3&#40;\theta&#41;+\sin^3&#40;\theta&#41;}\,d\theta[/latex:9b06icro]

Essendo ora

[latex:9b06icro]\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\cos^3&#40;\theta&#41;+\sin^3&#40;\theta&#41;}\,d\theta[/latex:9b06icro]

un numero, in quanto integrale proprio di funzione continua su intervallo limitato, ed essendo

[latex:9b06icro]\displaystyle\lim_{a\to +\infty}\int_1^a\frac{1}{\rho^2}\,d\rho=\lim_{a\to +\infty}\Bigl&#40;1-\frac{1}{a}\Bigr&#41;=1[/latex:9b06icro]

segue che l'integrale dato converge.
A questo punto, volevo sapere se le considerazioni fatte durante lo svolgimento sono corrette e sufficienti per dimostrare quanto richiesto, senza fare ulteriori osservazioni sull'insieme [latex:9b06icro]B[/latex:9b06icro] e senza maggiorazioni ( minorazioni ) della funzione integranda. Ogni altra strategia risolutiva che io abbia adottato, ha portato ad un niente di fatto.
Grazie in anticipo per eventuali correzioni, suggerimenti e indicazioni.