La spiegazione sostanzialmente è quella.

Volendo semplificare ulteriormente il discorso, le cose stano così: la formula di integrazione per parti *ufficiale*, quella che viene dimostrata a lezione, è quella con gli estremi (cioè per gli integrali definiti). Mettendo gli estremi, nell'esempio fatto con la tangente non c'è nessuna contraddizione, in quanto la costante ottenuta al secondo membro sparisce.

Fa formula di integrazione per parti senza estremi (quella che io a lezione chiamo *abusiva*) semplicemente non vale, in quanto produce paradossi come quello della tangente.

Detto così è molto drastico, ed infatti si può dire (come giustamente ricorda GIMUSI) che la formula *abusiva* vale a patto di interpretare l'integrale indefinito come &quot;insieme di tutte le primitive&quot;. Formalmente questo pone un po' di problemi, come per esempio il fatto che a quel punto la formula non è più un'uguaglianza tra funzioni, ma tra insiemi di funzioni, ed è il motivo per cui a lezione mi tengo (e tengo l'uditorio) alla larga da questo formalismo, che in fondo ha scarso impatto operativo.

Un'altra complicazione è che in generale non è vero che tutte le primitive differiscono per una costante, come spiegato tutti gli anni nelle lezioni sul famigerato +c.