Provo a scrivere meglio, perché a questo punto comincio ad avere il timore di pensare cose sbagliate  :? 
Procedevo con la via del metodo diretto.
Passo 1  formulazione debole : [latex]W^{1,4}_0[/latex].

Passo 2 Compattezza dei sottolivelli, prendo una successione nel sottolivello
maggioro l'integrale della potenza quarta di [latex]u_x[/latex] con l'integrale della potenza sesta grazie a Holder essendo in[latex]\Omega[/latex] di misura finita. 
Allora il vincolo mi da [latex]\left\lVert \nabla u_n\right\rVert _4 \leq 3[/latex].
Ora voglio una stima su [latex]\left\lVert  u_n\right\rVert _{\infty}[/latex].
Vorrei usare il teorema di immersione nel caso p&gt;d, ne caso [latex]W^{1,4}_0[/latex] , il quale garantisce:
[latex]\left\lVert  u_n\right\rVert _{\infty} \leq c(p,d) \bigg( \left\lVert  u_n\right\rVert_4 +\left\lVert  \nabla u_n\right\rVert_4 \bigg) \leq c'(p,d) \left\lVert  \nabla u_n\right\rVert_4[/latex].
La seconda maggiorazione è la Poincarè.
Sempre il teorema di immersione nel caso p&gt;d mi dice che sono 1/2 equi-Holder:
[latex]|u_n(x)-u_n(y)| \leq c(p,d)\left\lVert  \nabla u_n\right\rVert_4 |x-y|^{\frac{1}{2}}[/latex].


Per la &quot;via veloce&quot; arrivo alla stima [latex]L^{\infty}[/latex] per una successione infizzante come sopra e poi osservo che 
se la mia successione infizzante è equilimitata allora ci sarà anche una equilimitazione sul seno iperbolico
 [latex]|sinh(u_n)| \leq N[/latex] (va giustificata meglio?), 
concludo dicendo:
[latex]\int_\Omega sinh(u_n) \geq -N meas(\Omega) &gt;-\infty[/latex]