Sia [tex:54vx6wu1]\displaystyle\lim_{x \to x_0^-}f&#40;x&#41;=l_1[/tex:54vx6wu1] e   [tex:54vx6wu1]\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}f&#40;x&#41;=l_2[/tex:54vx6wu1]
( i limiti esistono finiti o infiniti perchè f è debolmente crescente. Il ragionamento che segue è stato pensato nel caso in cui  i limiti siano finiti. Andrà adattato nel caso in cui uno o entrambi i limiti siano infiniti) 

[tex:54vx6wu1]l_1 \le f&#40;x_0&#41; \le l_2[/tex:54vx6wu1] perchè 

[tex:54vx6wu1]x_1 \le x_2 \Rightarrow\ f&#40;x_1&#41; \le f&#40;x_2&#41;[/tex:54vx6wu1] ovvero f debolmente crescente.


Supponiamo [tex:54vx6wu1]l_1 &lt; l_2[/tex:54vx6wu1]

La funzione assume valori più piccoli di [tex:54vx6wu1]l_1[/tex:54vx6wu1]. Perchè? Perchè f(x) è definita in un intorno sinistro di [tex:54vx6wu1]x_0[/tex:54vx6wu1] (esiste [tex:54vx6wu1]l_1[/tex:54vx6wu1]) unitamente al fatto che la funzione è debolmente crescente.

In modo analogo la funzione assume valori più grandi di [tex:54vx6wu1]l_2[/tex:54vx6wu1]

Quindi se la funzione assume valori più piccoli di [tex:54vx6wu1]l_1[/tex:54vx6wu1] e più grandi di [tex:54vx6wu1]l_2[/tex:54vx6wu1], poichè per ipotesi la sua immagine è un intervallo, allora dovrà assumere tutti i valori in [tex:54vx6wu1]&#40;l_1 - _{qualcosina} , l_2 +  _{qualcosina}&#41;[/tex:54vx6wu1] (passatemi l'informalità del qualcosina) e in particolare l'intervallino [tex:54vx6wu1]&#40;l_1, l_2&#41;[/tex:54vx6wu1] è contenuto nell'immagine della funzione (anzi azzarderei dicendo che l'intervallo  [tex:54vx6wu1][l_1, l_2][/tex:54vx6wu1] è contenuto nell'immagine della funzione .

In questo intervallino l'unico valore che può essere preso è [tex:54vx6wu1]f&#40;x_0&#41;[/tex:54vx6wu1]. Pertanto l'intervallo [tex:54vx6wu1][l_1, l_2][/tex:54vx6wu1] concide con {[tex:54vx6wu1]f&#40;x_0&#41;[/tex:54vx6wu1] } e dunque [tex:54vx6wu1]l_1 = l_2[/tex:54vx6wu1], ovvero l'assurdo avendo ipotizzato [tex:54vx6wu1]l_1 &lt; l_2[/tex:54vx6wu1].

Il probelma è che non riesco a formalizzare il fatto che l' intervallino contiene solo il valore di  [tex:54vx6wu1]f&#40;x_0&#41;[/tex:54vx6wu1].
suggerimenti?
Grazie
EDIT: correzioni codice latex