Come lo hai scritto ora però non si capisce nulla, cioè non si capisce chi sono le basi in partenza ed arrivo e cosa vorresti fare.

In generale, queste sono cose più facili a farsi che a dirsi. Il tuo primo post era sensato, ma la pratica è quella che descrive 13700. Tu di solito conosci le componenti della base nuova rispetto alla base vecchia, dunque costruisci banalmente la matrice che passa dalla nuova alla vecchia (mettendo in colonna le componenti che conosci), ma la matrice che ti serve è di solito quella che fa il passaggio opposto, cioè l'inversa.

L'unico modo per capirlo è farci qualche esercizio, e visto che ce ne sono parecchi hai solo l'imbarazzo della scelta. Buon lavoro!