l’insieme da considerare è definito dalla relazione:

[tex:mikpebvf]x+y+z=2x+3y+4z[/tex:mikpebvf]

la prima cosa da fare è verificare se l’insieme dei vettori/punti che soddisfano la relazione data costituisce un sottospazio vettoriale

la procedura è quella basata sulla definizione; si considerano due vettori/punti che soddisfano la relazione data:

[tex:mikpebvf]P_1=&#40;x_1,y_1,z_1&#41;[/tex:mikpebvf]

[tex:mikpebvf]P_2=&#40;x_2,y_2,z_2&#41;[/tex:mikpebvf]

per determinare se si tratta di un sottospazio si deve verificare che la stessa relazioni sia soddisfatta anche dalle loro combinazioni lineari ossia dai seguenti punti/vettori:

[tex:mikpebvf]P_1+P_2=&#40;x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2&#41;[/tex:mikpebvf]

[tex:mikpebvf]aP_1=&#40;ax_1,ay_1,az_1&#41;[/tex:mikpebvf]

la verifica è immediata, quindi si tratta di un sottospazio

base e dimensione si determinano risolvendo il sistema (1 equazione in tre incognite):

[tex:mikpebvf]x+2y+3z=0[/tex:mikpebvf]

è facile vedere che la soluzione in forma parametrica è del tipo:

[tex:mikpebvf]t&#40;2,-1,0&#41;+s&#40;0,-3,2&#41;[/tex:mikpebvf]

quindi una base è costituita dai vettori:

[tex:mikpebvf]&#40;2,-1,0&#41;, &#40;0,-3,2&#41;[/tex:mikpebvf]

e la dimensione è due (geometricamente si tratta di un piano per l’origine)