Ottimi dubbi <!-- s:D --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_biggrin.gif" alt=":D" title="Very Happy" /><!-- s:D --> ! La cosa migliore è scrivere

[tex:1tqbycz2]\sqrt{1+x}-1=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{8}x^2+g&#40;x&#41;[/tex:1tqbycz2]

e osservare che (e qui serve Taylor di ordine 3)

[tex:1tqbycz2]\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{g&#40;x&#41;}{x^3}=\dfrac{1}{16}[/tex:1tqbycz2]

A quel punto ponendo per semplicità

[tex:1tqbycz2]a_n=\dfrac{&#40;-1&#41;^n}{\sqrt{n}}[/tex:1tqbycz2]

si ottiene che la serie proposta è la serie di

[tex:1tqbycz2]\dfrac{1}{2}a_n-\dfrac{1}{8}a_n^2+g&#40;a_n&#41;[/tex:1tqbycz2]

Scrivendola quindi come somma di tre serie, si vede subito che[list:1tqbycz2][*:1tqbycz2]la prima converge per Leibnitz,[/*:m:1tqbycz2][*:1tqbycz2]la seconda diverge a meno infinito perché c'è 1/n,[/*:m:1tqbycz2][*:1tqbycz2]la terza converge per confronto asintotico (con cosa?) grazie al limite scritto sopra.[/*:m:1tqbycz2][/list:u:1tqbycz2]