L'ho visto e rivisto il video. E non mi chiarisce il dubbio. Il professore dice, definendo la suriettività: &quot;non possiamo dire che l'insieme di arrivo è l'immagine di A perchè non abbiamo ancora definito cosa sia l'immagine&quot;.

Quindi ho sbagliato a mettere in mezzo l'immagine di della funzione f(A).

In ogni caso avrei potuto definire l'insieme C anche diversamente:

Sia C = {tutti i b in B tali che (a, b) appartiene a F1} contenuto in B. Nota che F1 l'ho già definita come f:A-&gt;B e solo DOPO definisco C.
Ora se considero f:A-&gt;C e la chiamo F2, ho che chiaramente F1=F2. Essendo F2 suriettiva per come ho definito C allora anche F1 è iniettiva.

Quello che voglio intendere è che la funzione è un sottoinsieme di AxB, quindi gli elementi di B che non vengono &quot;toccati&quot; dalla funzione non appaiono proprio in essa, quindi quel B può essere tranquillamente sostituito da un altro sottoinsieme C di B in modo che la funzione sia suriettiva.

Come se per ogni funzione f:A-&gt;B posso sostituire quel B con un codominio &quot;minimale&quot; (cioè che contiene solo i b in B toccati dalla funzione) C contenuto (o uguale) in B e ottenere una nuova funzione uguale alla precedente. Essendo la nuova funzione suriettiva, anche la precedente è suriettiva.

Non so se ho reso l'idea.

Prendiamo, ad esempio, la funzione seno.

sin : R -&gt; R           non è suriettiva (e non capisco il perchè, questo è il motivo del post)
sin : R -&gt; [-1, 1]   è suriettiva

Ma sono la stessa funzione (intesa come lo stesso sottoinsieme di RxR). Tutti i valori al di fuori di [-1, 1] non vengono toccati dalla funzione, quindi per ogni x in R non può esistere una coppia (x, 2) nella funzione seno (intesa come insieme perché tale è).

Non erano la stessa funzione, invece, se consideravo:

sin : R -&gt; R
sin : (2, 3) -&gt; R

Ho reso l'idea?

Spero che riuscite a chiarirmi questo dubbio.