premesso che è tutto spiegato con estrema chiarezza nelle lezioni 19 e 27 alle quali ti rimando per eventuali dubbi, riporto qui alcune osservazioni:

[quote:3h5rxry6]Allora per risolvere il primo esercizio: 
-scrivo la matrice associata all'applicazione A;
-determino il rango della matrice: matrici con lo stesso rango sono simili, le altre le scarto;[/quote:3h5rxry6]

non credo sia corretto in questo caso parlare di “matrici simili”…che sono matrici quadrate del tipo [tex:3h5rxry6]M^-^1 A M[/tex:3h5rxry6] con [tex:3h5rxry6]M[/tex:3h5rxry6] invertibile che condividono autovalori, rango, determinante e traccia e che vengono fuori quando si affronta il problema “non banale” della ricerca della forma canonica utilizzando la stessa base in partenza e in arrivo…tra l’altro non è detto che matrici quadrate dello stesso ordine con stessi autovalori, rango, determinante e traccia siano simili (vd. forma di jordan)

nel caso in esame le matrici con rango diverso da due sono da scartare perché sicuramente non possono rappresentare [tex:3h5rxry6]f[/tex:3h5rxry6], qualsiasi sia la scelta delle basi in partenza e arrivo

[quote:3h5rxry6]-trovo il kerf risolvendo il sistema omogeneo;
- trovo una base del ker costituita da due vettori, e la completo aggiungendone altri due, in particolare due vettori della base canonica.
-trovo l'immagine di f, facendo l'immagine dei vettori che ho aggiunto e aggiungendone uno della base canonica, per completare la base.
-Scrivo quindi la matrice del kerf=N e Imf=M.
La matrice risultante sarà C= M^-1 A N.[/quote:3h5rxry6]

dire [tex:3h5rxry6]kerf=N[/tex:3h5rxry6] e [tex:3h5rxry6]Imf=M[/tex:3h5rxry6] non ha molto senso…[tex:3h5rxry6]N[/tex:3h5rxry6] ha per colonne i vettori [OSS bisognerebbe dire ma lo sottintendo...le componenti rispetto alla base canonica dei vettori...] di una base di partenza che comprende i vettori di una base del [tex:3h5rxry6]Ker&#40;f&#41;[/tex:3h5rxry6] (posizionati come ultime colonne di [tex:3h5rxry6]N[/tex:3h5rxry6])…[tex:3h5rxry6]M[/tex:3h5rxry6] ha per colonne i vettori di una base di arrivo che comprende i vettori di una base del [tex:3h5rxry6]Im&#40;f&#41;[/tex:3h5rxry6] (imamgine dei vettori base in partenza che non sono nel [tex:3h5rxry6]Ker[/tex:3h5rxry6], posizionati come prima colonne di [tex:3h5rxry6]M[/tex:3h5rxry6])…le matrici [tex:3h5rxry6]M[/tex:3h5rxry6] e [tex:3h5rxry6]N[/tex:3h5rxry6] così definite permettono di effettuare il cambio base (in partenza e arrivo) al quale è associata la forma canonica [tex:3h5rxry6]C[/tex:3h5rxry6] (vd. teorema lez. 37)

[quote:3h5rxry6]Svolgo lo stesso procedimento per un'altra matrice data dall'esercizio e trovo C= M^-1 B N (dove in questo caso M e N sono le matrici di Imf e kerf rispetto alla seconda matrice). Se vedo che C della prima matrice = C della seconda matrice , allora l'applicazione lineare è la stessa.[/quote:3h5rxry6]

ovviamente per [tex:3h5rxry6]M[/tex:3h5rxry6] e [tex:3h5rxry6]N[/tex:3h5rxry6] valgono le osservazioni precedenti

per le cose dette, per matrici dello stesso ordine, se il rango è uguale e se si possono scegliere liberamente le basi in partenza e in arrivo è sempre possibile fare in modo che le due [tex:3h5rxry6]C[/tex:3h5rxry6] coincidano  (vd. caso banale lez. 37)

[quote:3h5rxry6]Allora M^-1AN= M^-1B N (con M,N al primo termine rispetto ad A, e al secondo rispetto a B). Quindi volendo ricavare B moltiplico a destra e sinistra fino ad ottenere 
B= MbMa^-1 A NaNb^-1
Per sapere le basi in partenza e in arrivo rispetto alla base , ho che la base in partenza è NaNb^-1 , mentre quella in arrivo è l'inversa di MbMa^-1.[/quote:3h5rxry6]

esatto le matrici che hai indicato realizzano un cambio di base tale che la matrice associata a [tex:3h5rxry6]f[/tex:3h5rxry6] risulti [tex:3h5rxry6]B[/tex:3h5rxry6]  <!-- s:) --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_smile.gif" alt=":)" title="Smile" /><!-- s:) --> 

quindi ti è chiaro cosa rappresentano le loro colonne e cosa prende [tex:3h5rxry6]B[/tex:3h5rxry6] in input?