Il caso in discussione è quello in cui A è una simmetria rispetto ad una retta e l'affinità Ax+b non ha punti fissi. Come giustamente osservato, questo accade se il vettore -b non sta nell'immagine di A-Id.

Ora è abbastanza facile vedere che l'immagine di A-Id è la retta perpendicolare alla retta rispetto alla quale A fa la simmetria. Quindi la condizione per non avere punti fissi è che -b, o equivalentemente b, non appartenga a tale retta ortogonale, o equivalentemente abbia componente non nulla rispetto alla direzione della retta rispetto alla quale si sta facendo la simmetria.

Da dove nasce la mia spiegazione sbagliata? Scriviamo b come somma di due vettori [latex:3bv8hmyi]b_1[/latex:3bv8hmyi] e [latex:3bv8hmyi]b_2[/latex:3bv8hmyi], il primo ortogonale ed il secondo parallelo alla direzione della retta di simmetria. L'affinità si scrive quindi come

[latex:3bv8hmyi]Ax+b_1+b_2[/latex:3bv8hmyi]

dove A rappresenta la simmetria rispetto ad una retta passante per l'origine.

Qual è l'effetto di [latex:3bv8hmyi]b_1[/latex:3bv8hmyi] e [latex:3bv8hmyi]b_2[/latex:3bv8hmyi]? L'effetto di [latex:3bv8hmyi]b_1[/latex:3bv8hmyi] è quello di traslare perpendicolarmente a se stessa la retta rispetto alla quale stiamo facendo la simmetria (che quindi non passa più per l'origine quando questo vettore non è nullo). L'effetto di [latex:3bv8hmyi]b_2[/latex:3bv8hmyi] a quel punto è di traslare tutto parallelamente alla retta di simmetria, quindi se [latex:3bv8hmyi]b_2\neq 0[/latex:3bv8hmyi] addio punti fissi.

In questo senso si può dire che quando A-id non è la matrice nulla e non ci sono punti fissi, allora abbiamo fatto una simmetria rispetto ad una qualche retta (anche non passante per l'origine) e poi traslato parallelamente alla retta stessa.

Volendo fare un esempio numerico, pensiamo alla trasformazione

[latex:3bv8hmyi]\pmatrix{x\\y}\to\pmatrix{1&amp;0\\0&amp;-1}\pmatrix{x\\y}+\pmatrix{3\\4}=\pmatrix{x+3\\-y+4}[/latex:3bv8hmyi]

La matrice rappresenta la simmetria rispetto all'asse x. Il vettore [latex:3bv8hmyi]b_1[/latex:3bv8hmyi] sarebbe (0,4) e il suo effetto è quello di rendere la simmetria rispetto alla retta [latex:3bv8hmyi]y=2[/latex:3bv8hmyi] (traslazione della retta di simmetria originaria). Infine il vettore (3,0) trasla tutto parallelamente alla retta di simmetria, distruggendo i punti fissi.