Provo a risponderti, comunque trovi questa proposizione nello stampato integrale di analisi 2 dell'anno scorso.

Nel caso in esame consideri [latex:1un13i5t]f&#40;n+1&#41;-f&#40;n&#41; = f&#39;&#40;c_n&#41;[/latex:1un13i5t] dove [latex:1un13i5t]c_n \in &#40;n,n+1&#41;[/latex:1un13i5t] e questo è il teorema di Lagrange

A questo punto ottieni 

[latex:1un13i5t]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} f&#39;&#40;c_n&#41; = \lim_{n \to +\infty} f&#40;n+1&#41;-f&#40;n&#41; = 0[/latex:1un13i5t] 

dove la prima uguaglianza segue dalla riga precedente 

e la seconda segue dall'ipotesi che [latex:1un13i5t]\lim_{x \to +\infty} f&#40;x&#41; = l \in \mathbb{R}[/latex:1un13i5t] il fatto che in questo caso [latex:1un13i5t]l=-1[/latex:1un13i5t] non ha alcuna importanza.

Ora essendo [latex:1un13i5t]f[/latex:1un13i5t] derivabile e convessa sappiamo che esiste [latex:1un13i5t]\lim_{x \to +\infty} f&#39;&#40;x&#41; \in \mathbb{R} \cup {+\infty}[/latex:1un13i5t] quindi comunque presa [latex:1un13i5t]c_n \to +\infty[/latex:1un13i5t] deve succedere che 

[latex:1un13i5t]\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f&#39;&#40;x&#41; = \lim_{n \to +\infty} f&#39;&#40;c_n&#41;[/latex:1un13i5t]

In particolare scegliendo [latex:1un13i5t]c_n[/latex:1un13i5t] come quella del teorema di Lagrange dell'inizio si trova

[latex:1un13i5t]\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f&#39;&#40;x&#41; = \lim_{n \to +\infty} f&#39;&#40;c_n&#41; = \lim_{n \to +\infty} f&#40;n+1&#41;-f&#40;n&#41; = 0[/latex:1un13i5t]

PS: La cosa importante è ottenere [latex:1un13i5t]\lim_{x \to +\infty} f&#39;&#40;x&#41; = \lim_{n \to +\infty} f&#39;&#40;c_n&#41;[/latex:1un13i5t] e questo è vero se il limite di sinistra esiste e per avere l'esistenza si usa la convessità e la derivabilità. Il limite di destra invece esiste e fa [latex:1un13i5t]0[/latex:1un13i5t] ed è sufficiente che la funzione abbia limite finito e sia derivabile.