Certamente è accettabile dimostrare che 

[tex:1f68b13r]a_{n+1}\geq a_n[/tex:1f68b13r] 

definitivamente mostrando che 

[tex:1f68b13r]a_{n+1}- a_n[/tex:1f68b13r]

 ha un limite (o un liminf) positivo (si intende sempre strettamente), o anche che 

[tex:1f68b13r]\dfrac{a_{n+1}- a_n}{n^{2016}}[/tex:1f68b13r] 

ha un limite (o liminf) positivo, cosa che spesso è ancora più semplice. Si tratta in fondo di una semplice applicazione del teorema della permanenza del segno. Come dico a lezione: in questi casi la definizione di limite lavora al posto nostro <!-- s8) --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_cool.gif" alt="8)" title="Cool" /><!-- s8) --> .

Di fronte ad una serie a termini di segno variabile che non converge, può essere difficile stabilire quale dei 3 comportamenti rimasti si applica. Uno strumento è quello di aggiungere e togliere, cosa che spesso funziona.

Un'altra idea, buona soprattutto nel caso di segni alterni, è quella di accoppiare i termini a due a due. In pratica, di fronte alla serie

[tex:1f68b13r]\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}&#40;-1&#41;^n a_n[/tex:1f68b13r]

uno considera la serie

[tex:1f68b13r]\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} &#40;a_{2n}-a_{2n+1}&#41;[/tex:1f68b13r]

Se gli [tex:1f68b13r]a_n[/tex:1f68b13r] della prima erano decrescenti (definitivamente), allora il termine generale di questa serie è definitivamente positivo, quindi questa serie è abbastanza agevole da studiare. Ora non bisogna cadere nell'errore di dire che questa serie &quot;è la stessa di prima&quot;: si può solo dire che le somme parziali di questa coincidono con le somme parziali di indice pari di quella iniziale. Si costruisce poi la serie


[tex:1f68b13r]\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} &#40;-a_{2n+1}+a_{2n+2}&#41;[/tex:1f68b13r]

le cui somme parziali sono legate a quelle di indice dispari ...

Ora se la prima diverge a + infinito e la seconda diverge a - infinito, sappiamo per certo che la serie iniziale è indeterminata.