[quote=&quot;dario.gullo&quot;:3jdk724k]A me sembrerebbe corretto Professore, infatti:
dim(Ker(A-(-1)I))=n- rango(A+I)=3-1=2[/quote:3jdk724k]

Giusto, errore mio <!-- s:oops: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_redface.gif" alt=":oops:" title="Embarassed" /><!-- s:oops: --> 

Quanto al resto, è giusto pure. Se uno prende una applicazione simmetrica, e cambia base in maniera non ortogonale, può accadere che nella nuova base la matrice non sia più simmetrica.

Tutto nasce dall'&quot;inciucio&quot; tra matrici e applicazioni. Vediamo di rispiegare tutto meglio.

Un'applicazione lineare, e sottolineo applicazione, si dice simmetrica se &quot;migra nei prodotti scalari&quot; (spero si capisca). Una matrice, e sottolineo matrice, si dice simmetrica se coincide con la sua trasposta.

Legame tra le due definizioni: un'applicazione lineare è simmetrica se e solo se la sua matrice, ottenuta usando in partenza ed arrivo una stessa base *ortonormale*, è simmetrica. E' essenziale che la base sia ortonormale: un'applicazione lineare simmetrica può dare origine ad una matrice non simmetrica, se rappresentata rispetto ad una base non ortonormale.

Ora, cosa dice il teorema spettrale? Per ogni applicazione lineare simmetrica esiste una base ortonormale nella quale è rappresentata da una matrice diagonale. La dimostrazione consiste dei seguenti passi:[list:3jdk724k][*:3jdk724k]mostrare che esiste un autovalore v reale (e questo è il fatto 4),[/*:m:3jdk724k][*:3jdk724k]definire il sottospazio W come l'ortogonale di W e mostrare che F manda W in W (e questo è il fatto 3),[/*:m:3jdk724k][*:3jdk724k] verificare che f ristretta a W è un'applicazione simmetrica (che è una banalità perché è la migrazione ristretta ai vettori di W),[/*:m:3jdk724k][*:3jdk724k]utilizzare l'ipotesi induttiva per concludere che esiste una base di W che diagonalizza la restrizione.[/*:m:3jdk724k][/list:u:3jdk724k]

E' chiaro a posteriori che il teorema spettrale si può enunciare anche in termini di matrici come segue: ogni matrice A simmetrica (ora sto parlando di matrici) è simile ad una matrice diagonale, con la similitudine data da una matrice M ortogonale. L'enunciato in termini di matrici si ricava da quello in termini di applicazioni in maniera piuttosto semplice. Basta associare alla matrice A l'applicazione rappresentata da A, per esempio, nella base canonica e diagonalizzare quella applicazione.

In alternativa, si può procedere in maniera più matriciale, prendendo una base di W, ma in tal caso, come giustamente osservavi tu in un post precedente, la base di W va presa ortonormale se voglio assicurarmi che la sottomatrice B rimasta sia simmetrica.

Spero di aver chiarito di più rispetto a quanto fatto a lezione. Altrimenti richiedete pure!