Secondo me l'idea da usare è questa, scrivi 

[tex:2ywge1wk]\displaystyle e=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!}=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}+\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k!}[/tex:2ywge1wk] 

da cui si ottiene 

[tex:2ywge1wk]\displaystyle n!e=n!\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}+S_n[/tex:2ywge1wk] 

ma adesso 

[tex:2ywge1wk]\displaystyle n!\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}=I_n \in \mathbb{N}[/tex:2ywge1wk] 

quindi 

[tex:2ywge1wk]\displaystyle n\sin\left&#40;2\pi e n!\right&#41;=n\sin\left&#40;2\pi I_n + 2\pi S_n\right&#41;=n\sin\left&#40;2\pi S_n\right&#41;[/tex:2ywge1wk]

 ma [tex:2ywge1wk]S_n\to 0[/tex:2ywge1wk], quindi 

[tex:2ywge1wk]\displaystyle \lim_{n \to +\infty}n\sin\left&#40;2\pi e n!\right&#41;=\lim_{n \to +\infty}\frac{\sin\left&#40;2\pi S_n\right&#41;}{S_n}  nS_n= 2\pi \lim_{n \to +\infty}nS_n[/tex:2ywge1wk]

di conseguenza saremmo molto felici se 

[tex:2ywge1wk]\displaystyle \lim_{n \to +\infty}nS_n=1[/tex:2ywge1wk]

 è facile vedere che [tex:2ywge1wk]\lim_{n \to +\infty}nS_n\le1[/tex:2ywge1wk].

[EDIT by Massimo Gobbino] Ho cercato di rendere più leggibile il TeX <!-- s:wink: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_wink.gif" alt=":wink:" title="Wink" /><!-- s:wink: -->