La ringrazio professore per avermi risposto così velocemente  <!-- s:D --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_biggrin.gif" alt=":D" title="Very Happy" /><!-- s:D --> In effetti ero quasi convinto che più di qualcuno avrebbe obiettato la continuità.
Provo a sistemare la cosa. Sia [latex:3borkbr1]\alpha_* \in A[/latex:3borkbr1] (per ora supponiamo [latex:3borkbr1]\alpha_* \neq \alpha_0&#41;[/latex:3borkbr1] considero una successione [latex:3borkbr1]\{\alpha_n\} \subset A[/latex:3borkbr1] tale che [latex:3borkbr1]\alpha_n \to \alpha_*[/latex:3borkbr1] e voglio mostrare che

[latex:3borkbr1]\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \Phi&#40;\alpha_n&#41; = \Phi&#40;\alpha&#41;[/latex:3borkbr1]

Considero la successione di funzioni [latex:3borkbr1]u&#40;\alpha_n,t&#41; \colon [0,+\infty&#41; \to [0,+\infty&#41;[/latex:3borkbr1] e dico che verificano le ipotesi di Ascoli-Arzelà. Per prima cosa osservo che effettivamente sono definite in [latex:3borkbr1][0,+\infty&#41;[/latex:3borkbr1] perché hanno esistenza globale in quanto [latex:3borkbr1]\alpha_n \in A[/latex:3borkbr1].

Prendo [latex:3borkbr1]\varepsilon &gt; 0[/latex:3borkbr1] sufficientemente piccolo affinché [latex:3borkbr1]\alpha_* + \varepsilon \in A[/latex:3borkbr1] allora esisterà [latex:3borkbr1]n_0 \in \mathbb{N}[/latex:3borkbr1] tale che [latex:3borkbr1]\forall n \ge n_0[/latex:3borkbr1] si abbia [latex:3borkbr1]\alpha_n \le \alpha_* + \varepsilon[/latex:3borkbr1].

D'altra parte [latex:3borkbr1]u&#40;\alpha,t&#41; &lt; \Phi&#40;\alpha&#41;, \ \forall t \ge 0[/latex:3borkbr1] da cui

[latex:3borkbr1]\displaystyle u&#40;\alpha_n,t&#41; &lt; \max\{\Phi&#40;\alpha_0&#41;,\dots,\Phi&#40;\alpha_{n_0-1}&#41;,\Phi&#40;\alpha_*+\varepsilon&#41;\} \quad \forall t \ge 0, \ \forall n \in \mathbb{N}[/latex:3borkbr1]

Inoltre sono tutte maggiori o uguali a zero. Di conseguenza sono equilimitate.

Dico che sono equilipschitz infatti [latex:3borkbr1]u&#39;&#40;\alpha,t&#41; = \frac{u^4}{1+u^2+t^2} = u^2 \cdot \frac{u^2}{1+u^2+t^2} \le u^2 \le M^2[/latex:3borkbr1] dove [latex:3borkbr1]M[/latex:3borkbr1] è la costante di equilimitazione di prima.

Di conseguenza esiste una sottosuccessione [latex:3borkbr1]u&#40;\alpha_{n_k},t&#41; \to u_{\infty}&#40;t&#41;[/latex:3borkbr1] uniformemente sui compatti di [latex:3borkbr1][0,+\infty&#41;[/latex:3borkbr1].

Grazie alla convergenza uniforme abbiamo che [latex:3borkbr1]u_{\infty}&#40;t&#41;[/latex:3borkbr1] risolve il problema limite.

Ma [latex:3borkbr1]f&#40;t,u&#41;[/latex:3borkbr1] è localmente lipschitziana nella seconda variabile e quindi [latex:3borkbr1]u_{\infty}&#40;t&#41;=u&#40;\alpha_*,t&#41;[/latex:3borkbr1] per forza, quindi per il lemma della sotto-sotto otteniamo

[latex:3borkbr1]\displaystyle u&#40;\alpha_n,t&#41; \to u&#40;\alpha_*,t&#41;[/latex:3borkbr1] uniformemente sui compatti di [latex:3borkbr1][0,+\infty&#41;[/latex:3borkbr1]

Se valesse il teorema di scambio del limite a più infinito potrei concludere. Volendo potrei considerarle come funzioni da [latex:3borkbr1][0,+\infty][/latex:3borkbr1] a [latex:3borkbr1][0,+\infty][/latex:3borkbr1] così da avere il dominio compatto e applicare AA senza remore e ottenere l'uniforme ovunque e applicare a cuor sereno il teorema di scambio, ma non mi sembra molto formale.

Questo per quanto riguarda la continuità, anche se forse non l'ho davvero sistemata. Adesso provo a pensare al secondo punto che mi ha fatto notare.

La ringrazio ancora del prezioso aiuto!

PS: Quasi sicuramente questa non è la via corretta, quindi mi chiedo come si poteva rispondere alla domanda due dell'esercizio?