[quote=&quot;e.rapuano&quot;:39gka59b]Quindi in definitiva quando parliamo di &quot;proiezione&quot; non intendiamo la normale proiezione ortogonale (perchè questa si ha solo quando i sottospazi V e W sono uno l'ortogonale dell'altro), ma stiamo invece cambiando gli assi di riferimento...nel senso che (nel primo esercizio) non abbiamo l'asse x e l'asse y ma queste 2 rette rappresentate da V e W, di conseguenza le &quot;proiezioni&quot; non sono cateti di un triangolo rettangolo! Non so se ho detto cose sensate...  <!-- s:| --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_neutral.gif" alt=":|" title="Neutral" /><!-- s:| -->[/quote:39gka59b]

sì direi che è un caso più generale di proiezione...personalmente non parlerei di cambio di assi...la matrice di proiezione su un sottospazio V fa quello che le chiediamo di fare: se v appartiene a V allora Pv=v se w appartiene a W allora Pw=0

[quote=&quot;e.rapuano&quot;:39gka59b]Quindi trovare la matrice che rappresenta la proiezione su un sottospazio V ha senso solo se abbiamo un altro sottospazio W? <!-- s:?: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_question.gif" alt=":?:" title="Question" /><!-- s:?: --> :[/quote:39gka59b]

per averla in base canonica quello che serve è poter costruire M...quindi è sufficiente completare la base di V...e se W è in somma diretta la sua base va più che bene

[quote=&quot;e.rapuano&quot;:39gka59b]
Capita sempre che per trovare la matrice di proiezione su un sottospazio di base {v1,v2,...vn} basta inserire v1,...vn nella matrice come colonne e mettere zeri nel resto della matrice? <!-- s:?: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_question.gif" alt=":?:" title="Question" /><!-- s:?: -->[/quote:39gka59b]

sì..se li metti in base [tex:39gka59b]{v_1,v_2,...v_n}[/tex:39gka59b] la matrice di proiezione si ottiene con [tex:39gka59b]MAM^-^1[/tex:39gka59b]...se li metti in canonica la matrice di proiezione si ottiene con [tex:39gka59b]AM^-^1[/tex:39gka59b]

[quote=&quot;e.rapuano&quot;:39gka59b]
E comunque...un'altra cosa: nell'esercizio 4, V e W rappresentano 2 piani (quindi di dimensione 2) in R^3....la somma delle loro dimensioni è dunque 4...questa cosa come viene interpretata? cioè...nel caso di intersezione di dimensione 0 (2 piani paralleli) avremmo somma diretta in R^4, ma in R^3 cosa sarà? <!-- s:?: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_question.gif" alt=":?:" title="Question" /><!-- s:?: --> [/quote:39gka59b]

visto che si parla di sottospazi vettoriali 2 piani paralleli sono necessariamente coincidenti quindi la dimensione dell'intersezione sarebbe 2

[quote=&quot;e.rapuano&quot;:39gka59b] Nel caso dell'esercizio in questione l'intersezione ha invece dimensione 1, mentre il sottospazio somma V+W ha dimensione 3...il fatto che siamo in R^3 però non implica che ci sia somma diretta perchè l'intersezione non ha comunque dimensione 0 ? <!-- s:?: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_question.gif" alt=":?:" title="Question" /><!-- s:?: --> [/quote:39gka59b]

esatto come da definizione...rispetto ai due piani infatti un vettore in [tex:39gka59b]R^3[/tex:39gka59b] non ha rappresentazione unica