[quote=&quot;MrCristoff&quot;:1g723nly]Alla ricerca di qualche spiegazione su questo strano risultato!  <!-- s:lol: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_lol.gif" alt=":lol:" title="Laughing" /><!-- s:lol: -->[/quote:1g723nly]

In un momento di tranquillità, provo a dire qualcosa su questo risultato. Per ulteriori informazioni, basta cercare &quot;zeta di Riemann&quot; e farsi una cultura sull'argomento.

Volendo essere terra-terra, tutto parte dalla serie armonica generalizzata:

[tex:1g723nly]\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha}[/tex:1g723nly]

Volendo questa formula, pensata come funzione di [tex:1g723nly]\alpha[/tex:1g723nly], definisce una funzione [tex:1g723nly]f&#40;\alpha&#41;[/tex:1g723nly], o volendo anche [tex:1g723nly]\zeta&#40;s&#41;[/tex:1g723nly], se si indica il parametro con la lettera [tex:1g723nly]s[/tex:1g723nly], come si fa di solito, e la funzione con la lettera [tex:1g723nly]\zeta[/tex:1g723nly], da cui appunto il nome di &quot;funzione zeta&quot;. Tuttavia, per restare terra-terra, continueremo a chiamarla [tex:1g723nly]f&#40;\alpha&#41;[/tex:1g723nly].

Per quali valori di [tex:1g723nly]\alpha[/tex:1g723nly] è definita questa funzione? Beh, per uno che sta facendo analisi 1 la risposta è immediata: per [tex:1g723nly]\alpha&gt;1[/tex:1g723nly]. Sapendo oltre ad analisi 1 un minimo sui numeri complessi, non è difficile vedere che la cosa si estende bene anche se [tex:1g723nly]\alpha[/tex:1g723nly] è un numero complesso con parte reale maggiore di 1. Tuttavia, volendo il discorso si può fare anche ignorando i numeri complessi.

Chi sa bene analisi 1, al punto da saper confrontare le serie con gli integrali, saprà che [tex:1g723nly]f&#40;\alpha&#41;\to+\infty[/tex:1g723nly] per [tex:1g723nly]\alpha\to 1^+[/tex:1g723nly] e con un minimo sforzo arriverà pure a dimostrare che lo fa come [tex:1g723nly]\dfrac{1}{\alpha-1}[/tex:1g723nly] (e qui ogni riferimento alla primitiva di [tex:1g723nly]x^{-\alpha}[/tex:1g723nly] è puramente casuale).

Tutti questi discorsi fanno venire voglia di porre

[tex:1g723nly]f&#40;\alpha&#41;=\dfrac{1}{\alpha-1}+g&#40;\alpha&#41;[/tex:1g723nly]

e chiedersi come si comporta la funzione [tex:1g723nly]g&#40;\alpha&#41;[/tex:1g723nly]. E qui c'è la sorpresona (teoremone): [tex:1g723nly]g&#40;\alpha&#41;[/tex:1g723nly] è una funzione che ha una bella serie di Taylor

[tex:1g723nly]\displaystyle g&#40;\alpha&#41;=\sum_{n=0}^{\infty}c_n&#40;1-\alpha&#41;^n[/tex:1g723nly]

la quale, udite udite, converge per ogni [tex:1g723nly]\alpha[/tex:1g723nly] reale (e pure complesso). Detto altrimenti, [tex:1g723nly]f&#40;\alpha&#41;[/tex:1g723nly] è somma di potenze di [tex:1g723nly]1-\alpha[/tex:1g723nly] a partire dall'esponente -1, e proprio il termine con esponente -1 è la causa dei problemi della funzione in 1. Fuori da 1, però, problemi non ce ne sono, quindi ha senso considerare il valore di [tex:1g723nly]f&#40;\alpha&#41;[/tex:1g723nly] per ogni [tex:1g723nly]\alpha[/tex:1g723nly] (reale o complesso) diverso da 1. Per gli [tex:1g723nly]\alpha[/tex:1g723nly] maggiori di 1 continua ad essere la somma della serie armonica generalizzata, per i restanti valori sarà qualcos'altro, legato in maniera misteriosa alla serie (che per gli altri valori del parametro diverge).

Ora si può dimostrare che [tex:1g723nly]f&#40;\alpha&#41;[/tex:1g723nly], estesa come abbiamo detto, vale -1/12 in -1, che è il risultato da cui siamo partiti. Ovviamente, come appena detto, questo non vuol dire che la serie converge a -1/12 quando metto il parametro uguale a -1, ma solo che un qualche fantasma della serie sopravvive e vorrebbe fare -1/12, se potesse <!-- s:D --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_biggrin.gif" alt=":D" title="Very Happy" /><!-- s:D -->.