La dimostrazione del lemma adesso la cerco... intanto propongo un'altra dimostrazione del fatto che sin n si avvicina infinite volte a 1 (e anche a -1).

Io voglio che n sia compreso tra
\pi/2+2k\pi-epsilon
e
\pi/2 +2k\pi+epsilon
con k naturale e epsilon reale maggiore di 0 e piccolo a piacere.
Divido tutto per k ottenendo nel mezzo un numero razionale e a dx e a sx della disuguaglianza due altri reali. 
Ora Q è denso in R e quindi il numero razionale cercato esiste. Di conseguenza n si avvicina infinite volte a 1 (basta cambiare il k)