Alla fine della lezione 48 abbiamo visto l'esempio dell'operatore [latex:1ip2mtvb]A:L^2&#40;\Omega&#41; \rightarrow L^2&#40;\Omega&#41;[/latex:1ip2mtvb] che ad una [latex:1ip2mtvb]f \in L^2&#40;\Omega&#41;[/latex:1ip2mtvb] associa l'unica [latex:1ip2mtvb]u \in H^1_0&#40;\Omega&#41;[/latex:1ip2mtvb] che è soluzione debole di [latex:1ip2mtvb]\Delta u = f[/latex:1ip2mtvb]. 

A questo punto se [latex:1ip2mtvb]\Omega[/latex:1ip2mtvb] è limitato, per mostrare la compattezza di [latex:1ip2mtvb]A[/latex:1ip2mtvb] vorrei usare l'immersione compatta [latex:1ip2mtvb]H^1 \subseteq L^2[/latex:1ip2mtvb]. In partenza ho una successione limitata [latex:1ip2mtvb]||f_n||_{L^2&#40;\Omega&#41;} \leq M[/latex:1ip2mtvb], e da qui vorrei una limitazione in norma [latex:1ip2mtvb]H^1[/latex:1ip2mtvb] per [latex:1ip2mtvb]Af_n=u_n[/latex:1ip2mtvb], per poi applicare l'immersione compatta ed estrarre la sottosuccessione [latex:1ip2mtvb]u_{n_k}[/latex:1ip2mtvb] convergente in [latex:1ip2mtvb]L^2[/latex:1ip2mtvb]. 

Se [latex:1ip2mtvb]\Omega[/latex:1ip2mtvb] è buono, con la regolarità [latex:1ip2mtvb]L^2[/latex:1ip2mtvb] controllo le norme delle derivate seconde con [latex:1ip2mtvb]||D^2u_n||_{L^2&#40;\Omega&#41;} \leq c \, ||f_n||_{L^2&#40;\Omega&#41;} \leq cM = M&#39;[/latex:1ip2mtvb].

Inoltre la Poincaré mi dice che [latex:1ip2mtvb]||u_n||_{L^2&#40;\Omega&#41;} \leq c \, || \nabla u_n ||_{L^2&#40;\Omega&#41;}[/latex:1ip2mtvb].

Per concludere servirebbe una stima su [latex:1ip2mtvb]|| \nabla u_n ||_{L^2&#40;\Omega&#41;}[/latex:1ip2mtvb], verosimilmente da ricavare da quella sulle derivate seconde, ma in che modo? Con una Poincaré iterata, anche se le [latex:1ip2mtvb]u_n[/latex:1ip2mtvb] stanno solo in [latex:1ip2mtvb]H^1_0[/latex:1ip2mtvb] e non in [latex:1ip2mtvb]H^2_0[/latex:1ip2mtvb]?