[quote=&quot;nomeutente&quot;:2yg4hupm]Hai presente gli esercizi sulle applicazioni lineari dove avevo l'immagine e ricavavo i coefficienti della combinazione lineare facendo il matricione e lavorando alla gauss fino alla I  a sinistra? Questo. Va bene? E perchè funziona?[/quote:2yg4hupm]

Qui siamo ai limiti dell'alchimia! Uno vede l'esercizio, vede quanto deve venire, e prova in tutti i modi a mescolare gli ingredienti finché non trova il risultato voluto. Questo modo di procedere in certi casi può funzionare, ma è come cercare di curare qualche malattia con code di lucertola ed ali di pipistrello <!-- s:? --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_confused.gif" alt=":?" title="Confused" /><!-- s:? --> . L'approccio scientifico è diverso <!-- s:D --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_biggrin.gif" alt=":D" title="Very Happy" /><!-- s:D -->, e tradotto nel nostro caso consisterebbe nel capire bene come le matrici rappresentano le applicazioni lineari (e ci sono intere schede di esercizi su questo) e vedere che poi l'esercizio è una banalità e non richiede nessuna invenzione particolare.

La situazione generale è la seguente: uno conosce le componenti di [tex:2yg4hupm]v_i[/tex:2yg4hupm] e [tex:2yg4hupm]w_i[/tex:2yg4hupm] rispetto ad una certa base (ad esempio quella canonica), e vuole trovare la matrice A che rappresenta, rispetto alla base canonica in partenza ed arrivo, l'applicazione lineare tale che [tex:2yg4hupm]f&#40;v_i&#41;=w_i[/tex:2yg4hupm]. Ovviamente ci sono moltissimi metodi, tutti funzionanti, a partire dal super-bovino che prevede di prendere una matrice A a coefficienti incogniti ed imporre le condizioni: viene un comodo sistema di n^2 equazioni in altrettante incognite, e non resta che risolvere. Ci sono però alternative più rapide, per esempio:

[list:2yg4hupm][*:2yg4hupm]costruire la  matrice B che ha come colonne i [tex:2yg4hupm]w_i[/tex:2yg4hupm]: questa rappresenta f avendo in partenza la base data dai [tex:2yg4hupm]v_i[/tex:2yg4hupm] ed in arrivo la canonica,

[/*:m:2yg4hupm]
[*:2yg4hupm]costruire la matrice M che ha come colonne i [tex:2yg4hupm]v_i[/tex:2yg4hupm]: questa rappresenta il cambio di base che prende in input le componenti rispetto alla base data dai [tex:2yg4hupm]v_i[/tex:2yg4hupm] e fornisce in output le componenti rispetto alla canonica,

[/*:m:2yg4hupm]
[*:2yg4hupm]calcolare [tex:2yg4hupm]A=BM^{-1}[/tex:2yg4hupm] che rappresenta f dalla canonica alla canonica.[/*:m:2yg4hupm][/list:u:2yg4hupm]

Nelle lezioni 35 e 36 ci sono vari esempi di questo modo di procedere che, ripeto, non è l'unico possibile.

Poi non escludo che si possa fare il tutto con un Gauss-Jordan misterioso su una matrice opportuna, visto che (come osservato da GIMUSI) questo equivale a moltiplicare a sinistra per opportune inverse (qui però servirebbe moltiplicare a destra), ma in ogni caso si perderebbe il controllo di cosa si sta facendo.

È un po' come il calcolo del volume di un tetraedro nello spazio, note le coordinare dei 4 vertici, facendo il determinante della matrice 4*4 ottenuta usando i vertici e piazzando degli 1 in posizioni strategiche: funziona e c'è una spiegazione, ma capita la spiegazione è più comodo procedere in altro modo.