Salve a tutti,

stavo cercando di risolvere il quesito lasciato dal professore circa il trovare una funzione con due soli minimi e nessun altro stazionario (rif. funzione HARD HARD). Sono giunto alla seguente funzione che  a meno di errori di calcolo sembra funzionare:

[latex:2t637qml]f&#40;x,y&#41;=&#40;x^2-1&#41;^2+&#40;yx^2-x-1&#41;^2[/latex:2t637qml]

Il gradiente risulta essere: 

[latex:2t637qml]\nabla f&#40;x,y&#41; = &#40;4 x^3 &#40;y^2+1&#41;-6 x^2 y-2 x &#40;2 y+1&#41;+2, 2 x^2 &#40;x^2 y-x-1&#41;&#41;[/latex:2t637qml]

I punti stazionari risultano essere quindi [latex:2t637qml]&#40;1,2&#41; , &#40;-1,0&#41;[/latex:2t637qml] che sono anche minimi in quanto la funzione si annulla in quei punti ed è non negativa.

Studiandone le curve di livello risulta che per [latex:2t637qml]f&#40;x,y&#41;=2[/latex:2t637qml] ci sono tre componenti connesse, mentre per [latex:2t637qml]f&#40;x,y&#41;=3[/latex:2t637qml] e [latex:2t637qml]f&#40;x,y&#41;=1[/latex:2t637qml] le curve di livello hanno soltanto due componenti connesse e non sono omeomorfe alle curve del livello corrispettivo a [latex:2t637qml]2[/latex:2t637qml]. 
In particolare questa funzione sembra essere un controesempio al teorema delirio (Lezione 130), mi chiedo quindi se valga il teorema sotto ipotesi più forti.

Grazie a chi vorrà rispondere.
Namasté.