Sia  [latex:2ym6h6gp]a&gt;0[/latex:2ym6h6gp] Provare che 

[latex:2ym6h6gp]\lim_{n\to +\infty} n \left&#40; \sqrt[n]{a}-1 \right&#41; =\ln a.[/latex:2ym6h6gp]

Non posso utilizzare nè Bernoulli-Hopital nè limiti notevoli per la risoluzione dell'esercizio..

Dimostra le due disuguaglianze tramite il calcolo differenziale o altro.
[latex:2ym6h6gp]\forall  x&gt; 0[/latex:2ym6h6gp]  vale la disuguaglianza [latex:2ym6h6gp]\frac {x}{x + 2} &lt; \ln &#40;x + 1&#41; &lt;x[/latex:2ym6h6gp]

e  
[latex:2ym6h6gp]\forall  x&gt; 0[/latex:2ym6h6gp] vale la disuguaglianza [latex:2ym6h6gp]\frac {x}{x + 1} &lt;\frac {2x}{x + 2} &lt;\ln &#40;x + 1&#41;[/latex:2ym6h6gp]

La seconda si ottiene dalla prima derivando.

Ho provato a svolgere il limite usando il teorema dei carabinieri 
[latex:2ym6h6gp]an= n \left&#40; \sqrt[n]{a}-1 \right&#41; =\ln a.[/latex:2ym6h6gp]

[latex:2ym6h6gp]\lim_{x\to +\infty} \frac{x}{x+1} = +\infty.[/latex:2ym6h6gp]
[latex:2ym6h6gp]\lim_{x\to +\infty} \frac{2x}{x+2} = +\infty.[/latex:2ym6h6gp] di conseguenza
[latex:2ym6h6gp]\lim_{x\to +\infty} \ln&#40;x+1&#41; = +\infty.[/latex:2ym6h6gp]

Va bene o bisogna usare un altro procedimento per dimostrare il limite? Grazie