[quote=&quot;E.V.&quot;:29u7q2vo]la serie cosn!/n^2 la confronto con assoluta convergenza 0&lt;=|cosn!|/n^2&lt;=1/n^2 o sto sbagliando????? <!-- s:?: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_question.gif" alt=":?:" title="Question" /><!-- s:?: -->  <!-- s:?: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_question.gif" alt=":?:" title="Question" /><!-- s:?: -->[/quote:29u7q2vo]

[size=150:29u7q2vo][b:29u7q2vo]1)[/b:29u7q2vo][/size:29u7q2vo] [tex:29u7q2vo]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos n!}{n^2}[/tex:29u7q2vo]

Si secondo me va bene, infatti la serie non è  termini positivi, quindi considerando il valore assoluto del termine generale si ha:

[tex:29u7q2vo]\displaystyle\left|\frac{\cos n!}{n^2}\right|=\frac{\left|\cos n!\right|}{n^2}&lt;\frac{1}{n^2}\to\mbox{converge}[/tex:29u7q2vo]

la serie quidi converge assolutamente(e quindi semplicemente) per confronto con la serie armonica generalizzata di esponente [tex:29u7q2vo]2[/tex:29u7q2vo]


[size=150:29u7q2vo][b:29u7q2vo]2)[/b:29u7q2vo][/size:29u7q2vo] [tex:29u7q2vo]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{&#40;-1&#41;^n}{n^2+4\sin n!}[/tex:29u7q2vo]

anche in questo caso la serie non è a termini positivi, quindi considerando il valore assoluto del termine generale otteniamo:

[tex:29u7q2vo]\displaystyle\left|\frac{&#40;-1&#41;^n}{n^2+4\sin n!}\right|=\frac{1}{\left|n^2+4\sin n!\right|}\ge\frac{1}{n^2+4|\sin n!|}[/tex:29u7q2vo]

poichè grazie alla disuguagliaza triangolare abbiamo che:

[tex:29u7q2vo]\displaystyle\left| n^2+4\sin n! \right|\le\ | n^2 |+|4\sin n! |= n^2  + 4|\sin n!|\quad\Rightarrow\quad[/tex:29u7q2vo] [tex:29u7q2vo]\displaystyle\frac{1}{\left|n^2+4\sin n!\right|}\ge\frac{1}{n^2+4|\sin n!|}[/tex:29u7q2vo]

a questo punto siamo difronte ad una serie il cui termine generale è a termini positivi; ricordando che 

[tex:29u7q2vo]\displaystyle\left|\sin n\right|\le1\quad\Rightarrow\quad|\sin n!|\le 1}\quad\Rightarrow\quad -1\le \sin n! \le 1\quad\Rightarrow\quad[/tex:29u7q2vo] 

[tex:29u7q2vo]\displaystyle  -4\le 4\sin n! \le 4 \quad\Rightarrow\quad n^2-4\le n^2+ 4\sin n! \le n^2+4 \quad\Rightarrow\quad[/tex:29u7q2vo] 

 [tex:29u7q2vo]\displaystyle\frac{1}{n^2+4}\le\frac{1}{n^2+4\sin n!}\le \frac{1}{n^2-4}[/tex:29u7q2vo]

in particolare 

 [tex:29u7q2vo]\displaystyle\frac{1}{n^2+4\sin n!}\le \frac{1}{n^2-4}\to \mbox{converge}[/tex:29u7q2vo]

la serie quidi converge assolutamente(e quindi semplicemente) per confronto con la serie armonica generalizzata di esponente [tex:29u7q2vo]2[/tex:29u7q2vo]