L'idea, come indicato a lezione,  è proprio quella di fare un'azione in due fasi. Data una serie di potenze (wlog centrata in 0) con raggio di convergenza R, e dato un qualunque punto [latex:rk9gqny5]x_0\in&#40;-R,R&#41;[/latex:rk9gqny5], si tratta di mostrare due cose.

Primo, che la serie centrata in [latex:rk9gqny5]x_0[/latex:rk9gqny5] ha raggio di convergenza almeno [latex:rk9gqny5]R-|x_0|[/latex:rk9gqny5]. Questo è il conto fatto a lezione che dipende sostanzialmente dalla stima di crescita per la derivata k-esima nel punto in questione.

Secondo, che la somma di questa serie ricentrata è proprio la funzione di partenza, almeno in un intorno eventualmente più piccolo. Questo si fa, a patto di ridurre il raggio di un fattore 2 o 3, utilizzando il criterio di analiticità (che porta a fare gli stessi conti). Tutto questo completa il programma di verifica dell'analiticità delle somme di serie di potenze.

Per completezza, si può poi concludere osservando, ad esempio grazie alla &quot;discretezza del luogo degli zeri della differenza&quot;, che la serie centrata in [latex:rk9gqny5]x_0[/latex:rk9gqny5] converge effettivamente alla funzione di partenza in tutto il raggio di [latex:rk9gqny5]R-|x_0|[/latex:rk9gqny5].