[quote=&quot;gino&quot;:280h9py0]abbiamo trovato [latex:280h9py0]u_\infty[/latex:280h9py0] che realizza il sup in [latex:280h9py0]L^3[/latex:280h9py0]; non vorrei che [latex:280h9py0]u_\infty \in H^1[/latex:280h9py0]?[/quote:280h9py0]

Giusto. Anche qui meglio ricorrere ad un fatto generale. Se [latex:280h9py0]u_n\to u_\infty[/latex:280h9py0] in [latex:280h9py0]L^{35}[/latex:280h9py0] e [latex:280h9py0]\nabla u_n[/latex:280h9py0] è equi-limitato in [latex:280h9py0]L^{51}[/latex:280h9py0], allora [latex:280h9py0]\nabla u_\infty[/latex:280h9py0] esiste e sta in [latex:280h9py0]L^{51}[/latex:280h9py0].

La tecnica è classica: estraggo una sotto-successione in modo da far convergere i gradienti debolmente a qualcosa in [latex:280h9py0]L^{51}[/latex:280h9py0] (questo in realtà andrebbe fatto component-wise), e poi dimostro con il solito lemma (passaggio al limite nell'integrazione per parti) che il qualcosa è proprio il gradiente di [latex:280h9py0]u_\infty[/latex:280h9py0].