[quote=&quot;alex994&quot;:reqxtv58]mi potreste spiegare come risolvere quest esercizi?[/quote:reqxtv58]

è tutto spiegato nella lezione 20...se ti è chiara non dovresti avere difficoltà nel fare questi esercizi...cerco di riassumerti qui le cose...faccio un po' di premessa e magari molte ti sono già chiare ma credo sia più utile così...

consideriamo un esempio in [tex:reqxtv58]R^3[/tex:reqxtv58]...per [tex:reqxtv58]R^n[/tex:reqxtv58] il discorso è identico

siano [tex:reqxtv58]&#40;a,b,c&#41;[/tex:reqxtv58] le componenti di un vettore [tex:reqxtv58]v[/tex:reqxtv58] nella base canonica [tex:reqxtv58]e_1,e_2,e_3[/tex:reqxtv58]

quando scriviamo [tex:reqxtv58]v=&#40;a,b,c&#41;[/tex:reqxtv58] intendendiamo che [tex:reqxtv58]v=ae_1+be_2+ce_3[/tex:reqxtv58]

ora consideriamo un'altra base costituita dai vettori (linearmente indipendenti) [tex:reqxtv58]v_1,v_2,v_3[/tex:reqxtv58] (assegnati nella base canonica)

il [u:reqxtv58]problema[/u:reqxtv58] è questo: in che modo si determinano le componenti del vettore [tex:reqxtv58]v[/tex:reqxtv58] rispetto alla nuova base?

ovvero...quali sono i coefficienti [tex:reqxtv58]x,y,z[/tex:reqxtv58] tali che [tex:reqxtv58]v=xv_1+yv_2+zv_3[/tex:reqxtv58]?

se consideriamo la matrice [tex:reqxtv58]M[/tex:reqxtv58] che ha per colonne le componenti (rispetto alla canonica) di [tex:reqxtv58]v_1,v_2,v_3[/tex:reqxtv58] il problema equivale a risolvere il sistema:

[tex:reqxtv58]Mx=y[/tex:reqxtv58]

dove

[tex:reqxtv58]x[/tex:reqxtv58] è il vettore colonna delle componenti incognite [tex:reqxtv58]&#40;x,y,z&#41;[/tex:reqxtv58] di [tex:reqxtv58]v[/tex:reqxtv58] nella nuova base

[tex:reqxtv58]y[/tex:reqxtv58] è il vettore colonna delle componenti note di [tex:reqxtv58]v[/tex:reqxtv58] nella base canonica (=vecchia base)

la cosa davvero fondamentale capire il [u:reqxtv58]significato della matrice M[/u:reqxtv58]

consideriamo ad esempio il vettore x=(1,0,0) che rappresenta le componenti di [tex:reqxtv58]v_1[/tex:reqxtv58] nella nuova base

il prodotto [tex:reqxtv58]Mx[/tex:reqxtv58] fornisce le componenti in base canonica di [tex:reqxtv58]v_1[/tex:reqxtv58] (= prima colonna di [tex:reqxtv58]M[/tex:reqxtv58]) e così via per gli altri vettori della nuova base

lo stesso discorso vale per qualsiasi vettore  di componenti [tex:reqxtv58]x=&#40;x,y,z&#41;[/tex:reqxtv58] rispetto alla nuova base...il prodotto [tex:reqxtv58]Mx[/tex:reqxtv58]  fornisce le componenti in base canonica di quel vettore

allora [tex:reqxtv58]M[/tex:reqxtv58] [b:reqxtv58][u:reqxtv58]rappresenta il cambio di base dalla nuova base alla canonica[/u:reqxtv58][/b:reqxtv58]

e dato che [tex:reqxtv58]y=Mx[/tex:reqxtv58] allora [tex:reqxtv58]M^-^1y=x[/tex:reqxtv58]

quindi la sua inversa (che esiste perché i [tex:reqxtv58]v_i[/tex:reqxtv58] sono l.ind.) [tex:reqxtv58]M^-^1[/tex:reqxtv58] [b:reqxtv58][u:reqxtv58]rappresenta il cambio di base dalla canonica alla nuova base[/u:reqxtv58][/b:reqxtv58]

la prima parte dell'esercizio chiede proprio questo: data una nuova base, determinare la matrice di cambio base dalla canonica alla nuova base

allora è sufficiente costruire, per ciascuna base, la matrice [tex:reqxtv58]M[/tex:reqxtv58] (mettendo in colonna i [tex:reqxtv58]v_i[/tex:reqxtv58] assegnati) ed invertirla...le [tex:reqxtv58]M^-^1[/tex:reqxtv58] sono la risposta delle prime due colonne dell'esercizio

nella seconda parte si chiede di fornire la matrice di cambio base dalla base [tex:reqxtv58]B_1[/tex:reqxtv58] alla base [tex:reqxtv58]B_2[/tex:reqxtv58] e c'è già tutto il necessario per risolverlo

indichiamo con [tex:reqxtv58]M[/tex:reqxtv58] la matrice di cambio base (nuova base --&gt; canonica) per [tex:reqxtv58]B_1[/tex:reqxtv58] e con [tex:reqxtv58]N[/tex:reqxtv58] la matrice di cambio base (nuova base --&gt; canonica) per [tex:reqxtv58]B_1[/tex:reqxtv58], allora per un generico vettore di componenti y (vettore colonna) nella base canonica risulta:

[tex:reqxtv58]y=Mx_1[/tex:reqxtv58]

[tex:reqxtv58]y=Nx_2[/tex:reqxtv58]

quindi

[tex:reqxtv58]Mx_1=Nx_2[/tex:reqxtv58]

e pertanto

[tex:reqxtv58]x_1=M^-^1Nx_2[/tex:reqxtv58]

quindi [tex:reqxtv58]M^-^1N[/tex:reqxtv58] [b:reqxtv58][u:reqxtv58]rappresenta il cambio di base dalla base 2 alla base 1[/u:reqxtv58][/b:reqxtv58]...ed è la risposta della terza colonna dell'esercizio