[quote=&quot;samuele_basile&quot;:36kvetms]Buon giorno a tutti. Scusate il disturbo ma vorrei degli aiuti per quanto riguarda gauss green. Più o meno in due dimensioni me la cavo, ma appena arrivato alla terza blocco totale. Ad esempio questo esercizio {(cos t, sen t, v), (t,v) appartengono [0, 2pi]x[0,1]} U {z=0} U {z=1} e la funzione è f(x,y,z)=x^2. Devo calcolare l'integrale della funzione sul dominio dato ma non so come applicare gauss. Chi potrebbe aiutarmi a risolverlo? <!-- s:oops: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_redface.gif" alt=":oops:" title="Embarassed" /><!-- s:oops: --> grazie in anticipo[/quote:36kvetms]


Innanzi tutto dovresti scrivere il testo in maniera decente, altrimenti non si capisce nulla. 

Comunque: quello che hai descritto è il bordo di un solido V in  [tex:36kvetms]R^3[/tex:36kvetms], nel caso specifico si tratta di un cilindro in cui devi calcolare l'integrale di [tex:36kvetms]f[/tex:36kvetms] (quindi l'integrale si potrebbe fare facilmente anche senza usare Gauss-Green).

Se vuoi usare Gauss-Green si ha che:

[tex:36kvetms]\int_V f&#40;x,y,z&#41; \, dx\, dy\, dz= \int_{\delta V}&lt;F, \nu&gt; d\sigma[/tex:36kvetms] 

dove [tex:36kvetms]\nu[/tex:36kvetms]  è il versore normale esterno al bordo di V.

 Per applicare  Gauss-Green per prima cosa devi trovare una funzione vettoriale la cui divergenza è [tex:36kvetms]f[/tex:36kvetms]. Ce ne sono tante, ad esempio (ma non è detto sia quella che ti fa fare meno conti, provane  anche  altre!), [tex:36kvetms]F&#40;x,y,z&#41; = &#40;\frac{x^3}{3}, 0,0&#41;[/tex:36kvetms].

Il bordo di V è costituito da 3 pezzi: il cerchio  [tex:36kvetms]C_1=\{x^2+y^2 \leq 1, \; z = 0\}[/tex:36kvetms] dove il versore normale rivolto verso l'esterno è [tex:36kvetms]&#40;0,0,-1&#41;[/tex:36kvetms], il cerchio [tex:36kvetms]C_2=\{x^2+y^2 \leq 1, \; z =1\}[/tex:36kvetms] dove il versore normale rivolto verso l'esterno è [tex:36kvetms]&#40;0,0,1&#41;[/tex:36kvetms] e la superficie [tex:36kvetms]\{&#40;\cos t, \sin t, v&#41;\}\;  &#40;t,v&#41;\in[0, 2\pi]\times [0,1][/tex:36kvetms] con vettore normale rivolto verso l'esterno (non normalizzato)  [tex:36kvetms]&#40;\cos t, \sin t, 0&#41;[/tex:36kvetms].
Il prodotto scalare di [tex:36kvetms]F[/tex:36kvetms] con la normale calcolato su [tex:36kvetms]C_1[/tex:36kvetms] e [tex:36kvetms]C_2[/tex:36kvetms] è nullo.
Quindi il tuo integrale diventa

[tex:36kvetms]\int_0^{2\pi}dt \int_0^1 \frac{\cos^4 t}{3} dv[/tex:36kvetms]