[quote=&quot;nomeutente&quot;:1toqdn4c]Domanda: Ma se ho, ad esempio, una matrice con 2 autovalori uguali che però hanno molt. algebrica = molt.geometrica la posso diagonalizzare comunque? cioè con blocchi di Jordan da 1 o i due uguali mi daranno comunque un blocco da 2 con l'1 a destra?[/quote:1toqdn4c]

In generale io l'ho capita così (lez. 37-44):

1 - Teoremi vari: una matrice qualsiasi ([tex:1toqdn4c]n*n[/tex:1toqdn4c] a coeff. reali o complessi) è [u:1toqdn4c]diagonalizzabile[/u:1toqdn4c] se e solo se per ogni autovalore [tex:1toqdn4c]\lambda[/tex:1toqdn4c] risulta [tex:1toqdn4c]MG&#40;\lambda&#41;=MA&#40;\lambda&#41;[/tex:1toqdn4c] (si dimostra infatti che questo garantisce l'esistenza di una base di autovettori); caso particolare: se gli autovalori sono tutti distinti per ogni [tex:1toqdn4c]\lambda[/tex:1toqdn4c] risulta [tex:1toqdn4c]MG&#40;\lambda&#41;=MA&#40;\lambda&#41;=1[/tex:1toqdn4c]; caso ultraparticolare (teorema spettrale): una matrice reale simmetrica si diagonalizza mediante una base ortonormale.

2 - Teorema forma di jordan in [tex:1toqdn4c]C[/tex:1toqdn4c]: una matrice qualsiasi ([tex:1toqdn4c]n*n[/tex:1toqdn4c] a coeff. reali o complessi) è sempre [u:1toqdn4c]jordanizzabile[/u:1toqdn4c]; ad ogni autovalore [tex:1toqdn4c]\lambda[/tex:1toqdn4c] corrispondono  [tex:1toqdn4c]MG&#40;\lambda&#41;[/tex:1toqdn4c] blocchi di jordan tali che la somma delle dimensioni dei blocchi risulti pari a [tex:1toqdn4c]MA&#40;\lambda&#41;[/tex:1toqdn4c] (il caso della diagonalizzazione può essere considerato un caso particolare di jordanizzazione con tutti i blocchi di dimensione [tex:1toqdn4c]1*1[/tex:1toqdn4c]).

3 - Teorema forma di jordan reale: ogni matrice reale si può portare nella [u:1toqdn4c]forma di jordan reale[/u:1toqdn4c]; in generale una matrice [tex:1toqdn4c]n*n[/tex:1toqdn4c] a coeff. reali si jordanizza in [tex:1toqdn4c]C[/tex:1toqdn4c]; se esistono autovalori complessi questi si presentano a coppie coniugate (la traccia = somma dei [tex:1toqdn4c]\lambda[/tex:1toqdn4c] è un numero reale) allora i rispettivi 2 blocchi [tex:1toqdn4c]k*k[/tex:1toqdn4c] si possono &quot;sostituire&quot; con un unico blocco a coefficienti reali [tex:1toqdn4c]2k*2k[/tex:1toqdn4c] fatto di k blocchetti 2x2 sulla diagonale con accanto (&quot;sopra&quot;) [tex:1toqdn4c]k-1[/tex:1toqdn4c] blocchetti di [tex:1toqdn4c]I_2_*_2[/tex:1toqdn4c].