No no, forget it! Non si può andare oltre.

Per cominciare, per simmetria con il caso dell'esponenziale, io avrei posto f(a)=1 invece di f(2)=a, ma in fondo è solo questione di gusti. A quel punto, come giustamente hai osservato, si arriva bene a dimostrare che [latex:2ghnwn5l]f&#40;a^{q}&#41;=q[/latex:2ghnwn5l] per ogni razionale q, ma poi non si va più avanti.

Il motivo è che ... non si può andare avanti, nel senso che (in assenza di condizioni aggiuntive) esistono infinite funzioni che soddisfano la relazione [latex:2ghnwn5l]f&#40;xy&#41;=f&#40;x&#41;+f&#40;y&#41;[/latex:2ghnwn5l] per ogni coppia di numeri reali positivi. Certo se si impone la continuità, allora ce n'è una sola, e anche se si impongono condizioni molti più deboli, come l'esistenza di un rettangolo nel piano cartesiano (con y&gt;0) che non contiene punti del grafico.

La situazione per l'esponenziale è esattamente la stessa, e lo è pure per l'equazione [latex:2ghnwn5l]f&#40;x+y&#41;=f&#40;x&#41;+f&#40;y&#41;[/latex:2ghnwn5l]. Quest'ultima sui razionali ha solo soluzioni del tipo f(x)=ax, ma sui reali è tutta un'altra storia, a meno di non imporre la continuità o cose del genere.