Questi limiti sono sempre molto chiari intuitivamente, ma seccanti formalmente. 

Le vie di uscita classiche sono due.

La prima è trovare delle disuguaglianze. Nel caso specifico si può osservare che

[latex:2330c3c1]x^2+y^2\geq\sqrt{x^2+y^4}-1[/latex:2330c3c1],

cosa che si dimostra facilmente portando l'1 a sinistra e poi facendo i quadrati. A questo punto la tesi segue per confronto. Certo, occorre farsi venire in mente la disuguaglianza, e qui entra in gioco l'esperienza.

La seconda è il metodo delle successioni. Prendiamo una qualunque successione [latex:2330c3c1]&#40;x_n,y_n&#41;[/latex:2330c3c1] tale che [latex:2330c3c1]x_n^2+y_n^4\to +\infty[/latex:2330c3c1]. A meno di sottosuccessioni sappiamo che [latex:2330c3c1]x_n[/latex:2330c3c1] e [latex:2330c3c1]y_n[/latex:2330c3c1] ammettono limite nei reali estesi. Osserviamo ora che almeno uno di questi due limiti è [latex:2330c3c1]\pm\infty[/latex:2330c3c1], perché altrimenti l'ipotesi non sarebbe soddisfatta. A questo punto il gioco è fatto (qui ovviamente serve tutta la teoria sul rapporto tra i limiti e le successioni).

[color=#0000FF:2330c3c1][Ora sposto nella sezione sulle funzioni di più variabili, che è più appropriata per questa domanda][/color:2330c3c1]