Ciao a tutti,

mi capita di avere, nello spazio vettoriale
[tex:o09ysjog]X = C^0[0, \pi][/tex:o09ysjog],
sul quale è definito il prodotto scalare
[tex:o09ysjog]fg = \int_0^\pi f&#40;t&#41;g&#40;t&#41; dt[/tex:o09ysjog],
due funzioni: [tex:o09ysjog]f&#40;t&#41; = sin t[/tex:o09ysjog] e [tex:o09ysjog]g&#40;t&#41; = sin&#40;2t&#41;[/tex:o09ysjog].
Devo calcolare la distanza tra le due funzioni.

Ok, chiamata [tex:o09ysjog]d&#40;f, g&#41;[/tex:o09ysjog] la distanza tra f(t) e g(t), e chiamato [tex:o09ysjog]h&#40;t&#41; = f&#40;t&#41; - g&#40;t&#41;[/tex:o09ysjog], so che [tex:o09ysjog]d&#40;f, g&#41; = ||&lt;h,h&gt;_B || = \sqrt{&lt;h, h&gt;_B}[/tex:o09ysjog].
Bene, diciamo che una possibilità sarebbe quella di prendere l'integrale e fare direttamente:
[tex:o09ysjog]d&#40;f, g&#41; = \sqrt{\int_0^\pi h&#40;t&#41;h&#40;t&#41; dt} = \sqrt{\int_0^\pi &#40;sin&#40;t&#41; - sin&#40;2t&#41;&#41;^2 dt}[/tex:o09ysjog]

Ok, diciamo che un modo un attimino migliore per fare il calcolo è scegliere [tex:o09ysjog]sin&#40;t&#41;[/tex:o09ysjog] e [tex:o09ysjog]sin&#40;2t&#41;[/tex:o09ysjog] come base e calcolarsi la matrice B associata al prodotto scalare.

Per la cronaca: [tex:o09ysjog]B = \begin{bmatrix}\frac{\pi}{2} &amp; 0 \\ 0 &amp; \frac{\pi}{2}\end{bmatrix}[/tex:o09ysjog]

Gli integrali in questo caso sono un momento più maneggevoli, ma non di tanto e allora mi chiedevo (e perdonatemi se sto scrivendo una fesseria gigantesca):

non è che per caso la meravigliosa matrice B esiste un modo (la vogliamo chiamare magia?) per calcolarla più rapidamente?
Se ad esempio ho [tex:o09ysjog]sin&#40;t&#41;, sin&#40;2t&#41;, sin&#40;3t&#41;[/tex:o09ysjog] la matrice è, se non ho calcolato male, [tex:o09ysjog]B = \begin{bmatrix}\frac{\pi}{2} &amp; 0 &amp; 0 \\ 0 &amp; \frac{\pi}{2} &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; \frac{\pi}{2}\end{bmatrix}[/tex:o09ysjog]
Tutto questo ha per caso a che fare con la trasformata di Fourier alla quale mi pare abbia fatto accenno il prof. Gobbino in qualche video lezione?

Sorry per il lungo post e per le inevitabili bestialità che avrò scritto.

Ciao, L-