Quando sopra scrivevo per continuità intendevo semplicemente che, se [latex:18asqswu]u_n\to u_\infty[/latex:18asqswu] in [latex:18asqswu]L^3[/latex:18asqswu], allora

[latex:18asqswu]\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\int|u_n-\arctan&#40;xyz&#41;|^3=\int|u_{\infty}-\arctan&#40;xyz&#41;|^3.[/latex:18asqswu]

Questa è sostanzialmente la continuità di una traslazione e della norma.

La convergenza debole in [latex:18asqswu]H^1[/latex:18asqswu] in tutto questo non serve proprio a nulla. Dalla limitatezza in [latex:18asqswu]H^1[/latex:18asqswu], via immersioni compatte, segue l'esistenza della sottosuccessione che ci serve, senza passare dalle convergenze deboli.

Poi se vogliamo possiamo, per curiosità accademica, metterci a disquisire della convergenza debole in [latex:18asqswu]H^1[/latex:18asqswu]. Pongo allora due domande, sperando che qualcuno risponda.

[list:18asqswu][*:18asqswu]Cosa vuol dire, non tautologicamente, che [latex:18asqswu]u_n\rightharpoonup u_\infty[/latex:18asqswu] debole in [latex:18asqswu]H^1[/latex:18asqswu] ?

[/*:m:18asqswu]
[*:18asqswu]Se [latex:18asqswu]u_n\to u_\infty[/latex:18asqswu] forte [latex:18asqswu]L^{27}[/latex:18asqswu] e [latex:18asqswu]u_n\rightharpoonup v_\infty[/latex:18asqswu] debole [latex:18asqswu]L^{34}[/latex:18asqswu], possiamo concludere quello che vorremmo? Perché?[/*:m:18asqswu][/list:u:18asqswu]