Salve, provo allora a ripostare la soluzione del punto b) del terzo esercizio dello scritto di Natale.

Si ha che [latex:12zeqpbh]\displaystyle F&#40;u&#41; \geq\int_{&#40;-1,1&#41;^2} dx dy \int_{&#40;-1,1&#41;} |u_z|^{2018}-|u|^{2000}dz[/latex:12zeqpbh].

In particolare, se mostriamo che il funzionale [latex:12zeqpbh]\displaystyle g&#40;u&#41;=\int_{&#40;-1,1&#41;}u&#39;^{2018}-u^{2000}[/latex:12zeqpbh] ha minimo in [latex:12zeqpbh]W^{1,2018}_0&#40;-1,1&#41;[/latex:12zeqpbh], dovremmo aver finito. Questa ultima parte dovrebbe essere una applicazione standard di compattezza dei sottolivelli+SCI come visto nel caso 1 dimensionale a lezione.

Per il punto c) invece, si dovrebbe avere inf meno infinito. In particolare, trovando funzione tale che [latex:12zeqpbh]F&#40;u&#41;  &lt;0[/latex:12zeqpbh] e considerando [latex:12zeqpbh]nu[/latex:12zeqpbh] si dovrebbe avere successione con inf meno infinito.

 Una funzione di questo tipo non dovrebbe essere impossibile da trovare, ammettendo di considerare l'inf in [latex:12zeqpbh]W^{1,2018}_0&#40;\Omega&#41;[/latex:12zeqpbh](che e' lo stesso per densita'). Se non ho fatto male i conti, una del tipo [latex:12zeqpbh]u&#40;x,y,z&#41;=cf&#40;x&#41;f&#40;y&#41;f&#40;z&#41;[/latex:12zeqpbh] con [latex:12zeqpbh]f&#40;x&#41;=1-|x|[/latex:12zeqpbh] dovrebbe tornare aggiustando [latex:12zeqpbh]c[/latex:12zeqpbh].


Non riesco a risolvere invece il primo punto del quarto esercizio della simulazione dell'anno nuovo. In particolare, ho provato sia ad utilizzare disuguaglianze per immersioni di Sobolev per dimostrare che l'inf esiste che al contrario a creare una successione con inf meno infinito, ma non riesco in nessuna delle due cose. E' probabile che mi stia sfuggendo qualcosa di basilare, ma non so bene cosa fare.