in dimensione 1 direi innanzitutto che le [latex:zi8spmb3]u_n[/latex:zi8spmb3] per immersione sono 1/2-holderiane, quindi nulle al bordo dato che sono [latex:zi8spmb3]H^1_0[/latex:zi8spmb3]. Poi la stima [latex:zi8spmb3]L^2[/latex:zi8spmb3] sulle [latex:zi8spmb3]\ddot{u}_n[/latex:zi8spmb3] mi dice che le [latex:zi8spmb3]u_n[/latex:zi8spmb3] stanno anche in [latex:zi8spmb3]H^2[/latex:zi8spmb3], e quindi le [latex:zi8spmb3]\dot{u}_n[/latex:zi8spmb3] stanno in [latex:zi8spmb3]H^1[/latex:zi8spmb3], dunque anche loro sono 1/2-holderiane.

La stima sulle derivate seconde inoltre mi dice che le [latex:zi8spmb3]\dot{u}_n[/latex:zi8spmb3] sono equi-1/2-holderiane con costante maggiorata da quell'[latex:zi8spmb3]M&#39;[/latex:zi8spmb3].

A questo punto si ottiene una stima addirittura [latex:zi8spmb3]L^{\infty}[/latex:zi8spmb3] per le derivate: per ogni [latex:zi8spmb3]n[/latex:zi8spmb3] esiste un punto [latex:zi8spmb3]a_n \in \Omega[/latex:zi8spmb3] tale che [latex:zi8spmb3]\dot{u}_n&#40;a_n&#41;=0[/latex:zi8spmb3] perché le [latex:zi8spmb3]u_n[/latex:zi8spmb3] sono nulle al bordo (Rolle), quindi [latex:zi8spmb3]|\dot{u}_n&#40;x&#41;| \leq |\dot{u}_n&#40;a_n&#41;|+|\dot{u}_n&#40;x&#41;-\dot{u}_n&#40;a_n&#41;| \leq 0 + M&#39;|x-a_n|^{1/2}= M&#39; \mu&#40;\Omega&#41;^{1/2} = M&#39;&#39;[/latex:zi8spmb3].