[quote=&quot;M.A.L&quot;:3bbs4vin]ho poi invece un altro dubbio... in classe abbiamo dim che se una curva in un dato intervallo è monotona in un pezzo di intervallo e poi anche  nellaltro pezzo allora con gli opportuni accorgimenti da fare riusciamo a dire che e semplice... ma se invece in un pezzo è crescente e nell'altro è decrescente si può concludere che non è semplice;
- se poi ho una curva del tipo (t, sint) e per dimostrarne la semplicità su[-π,π] volessi applicare la def trovo subito t=s e sint=sin s... cosa posso dire a riguardo?[/quote:3bbs4vin]

Questo messaggio mi sembra parecchio confuso. Fissiamo alcuni punti. 

- Una componente monotona strettamente implica curva semplice.

- Se non ci sono componenti monotone la curva può essere o meno semplice.  Se si può dividere l'intervallo in cui varia il parametro in zone diverse, in ognuna di queste zone almeno una componente è monotona e quando il parametro varia in queste zone sai che la curva si trova in porzioni diverse di piano/spazio (occhio alle frontiere fra queste regioni di piano) allora la curva è semplice.

- Ovviamente quelle sopra sono solo condizioni sufficienti e non necessarie (pensa ad esempio ad una spirale).

- Per la seconda parte della tua domanda: è sempre ovvio che per [latex:3bbs4vin]t = s[/latex:3bbs4vin] si ha [latex:3bbs4vin]\gamma&#40;t&#41; = \gamma&#40;s&#41;[/latex:3bbs4vin] (dove [latex:3bbs4vin]\gamma[/latex:3bbs4vin] è la curva) ed infatti si richiede [latex:3bbs4vin]t\neq s[/latex:3bbs4vin], quindi nel tuo caso dato che per  [latex:3bbs4vin]t\neq s[/latex:3bbs4vin] non ci sono soluzioni la curva è semplice.