Io la 9 l'ho risolta così

PIANO DEL RAPPORTO

[tex:2nwss1ui]i&#41; a_n&gt;0

ii&#41;a_n \rightarrow +\infty[/tex:2nwss1ui]

i) Dimostrazione per induzione.

essendo i primi due termini uguali a zero, l' &quot;innesco&quot; si ha da n=2 in poi.

Passo base per n=2:   [tex:2nwss1ui]a_2=1[/tex:2nwss1ui]

Passo induttivo: Ipotesi: [tex:2nwss1ui]a_n&gt;0[/tex:2nwss1ui]    tesi: [tex:2nwss1ui]a_{n+1}&gt;0[/tex:2nwss1ui]  
Sfruttando la ricorrenza ricavo:
[tex:2nwss1ui]a_{n+1}=n-a_n &gt;0[/tex:2nwss1ui] valido se e solo se [tex:2nwss1ui]n&gt;a_n[/tex:2nwss1ui]

Dimostro quindi, sempre per induzione che  [tex:2nwss1ui]n&gt;a_n[/tex:2nwss1ui]

Passo base per n=2:   [tex:2nwss1ui]a_2=1[/tex:2nwss1ui]
Passo induttivo: Ipotesi:[tex:2nwss1ui]n&gt;a_n[/tex:2nwss1ui] tesi:[tex:2nwss1ui]n+1&gt;a_{n+1}[/tex:2nwss1ui]

[tex:2nwss1ui]a_{n+1}=n-a_n&lt;n+1-a_n&lt;n+1-n=1&lt;n+1[/tex:2nwss1ui]

All'inizio ho sfruttato la ricorrenza, nel passo successivo ho semplicemente sommato 1 per poi sfruttare al terzo passaggio l'ipotesi secondo cui [tex:2nwss1ui]n&gt;a_n[/tex:2nwss1ui] per cui andando a detrarre una quantità maggiore ho di sicuro un termine minore.

Avendo dimostrato che  [tex:2nwss1ui]n&gt;a_n[/tex:2nwss1ui] ne consegue anche che [tex:2nwss1ui]a_n&gt;0[/tex:2nwss1ui] 

ii) criterio del rapporto:
[tex:2nwss1ui]\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}[/tex:2nwss1ui]


[tex:2nwss1ui]\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n-a_n}{a_n} =\frac{n}{a_n} -1 \rightarrow +\infty[/tex:2nwss1ui]

Per cui, per il criterio del rapporto il limite diverge.