Provo a mettere degli Hints su una possibile soluzione dell'1.
Spoiler forti, leggere con cautela, magari provando ad andare avanti leggendone uno alla volta, e ritornare dopo averci provato un po' da soli  :wink: 

[spoiler=&quot;Hint 1.0&quot;][latex]|f(x,y)|[/latex]è crescente in rho[/spoiler]
[spoiler=&quot;Hint 1.1&quot;]C'è un punto in cui [latex]f[/latex] è positiva, e un punto in cui è negativa, quindi inf e sup sono &quot;all'infinito&quot;[/spoiler]
[spoiler=&quot;Hint 1.2&quot;]Brutal: all'infinito me ne frego dell'[latex]1[/latex] al denominatore, conta solo [latex]x^4+y^4[/latex]...[/spoiler]
[spoiler=&quot;Hint 1.3&quot;]Detta [latex]g(x)=\frac{x^3y}{x^4+y^4}[/latex], la funzione è omogenea, quindi costante sulle rette passanti per l'origine[/spoiler]
[spoiler=&quot;Hint 1.4&quot;]Quindi basta usare i moltiplicatori di Lagrange per trovare max/min di [latex]g[/latex] su un compatto che interseca tutte le rette per l'origine... Poi lungo la retta per l'origine e il punto di massimo il [latex]sup(f)=max(g)[/latex].[/spoiler]
[spoiler=&quot;Hint 1.5&quot;]Pensiamo ad un vincolo che ci libera del denominatore![/spoiler]
[spoiler=&quot;Soluzione 2&quot;]Restringiamoci al primo quadrante per trovare il sup: vogliamo massimizzare un prodotto e minimizzare una somma... Non è che si riesce ad usare la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica?[/spoiler]