La situazione e' questa: se vi fermate allo sviluppo

[tex:2vdnhzmi]f&#40;x,y&#41; = 1 + x^2y^2 + o&#40;x^2y^2&#41;[/tex:2vdnhzmi]

potete affermare senza problemi che nell'origine avete un punto di minimo in quanto nell'origine la funzione vale 1 e in un intorno dell'origine [tex:2vdnhzmi]x^2y^2 + o&#40;x^2y^2&#41;  &gt; 0[/tex:2vdnhzmi] (esattamente come in una variabile, dato che vicino all'origine [tex:2vdnhzmi]o&#40;x^2y^2&#41;&lt;&lt;x^2y^2[/tex:2vdnhzmi]).

Se invece procedete con lo sviluppo e scrivete [tex:2vdnhzmi]f&#40;x,y&#41; = 1 + x^2y^2 + o&#40;&#40;x^2+y^2&#41;^2&#41;[/tex:2vdnhzmi] a questo punto da qui non potete più concludere nulla. Non perchè il punto non sia più un punto di minimo per la funzione in questione (e ci mancherebbe!), ma perchè [color=#FF0000:2vdnhzmi] in questo ultimo passaggio avete perso delle informazioni[/color:2vdnhzmi] e una funzione con questo ultimo sviluppo potrebbe avere o meno un punto di minimo nell'origine.  E' solo il passaggio

[tex:2vdnhzmi]f&#40;x,y&#41; = 1 + x^2y^2 + o&#40;&#40;x^2+y^2&#41;^2&#41;[/tex:2vdnhzmi] [color=#80BF80:2vdnhzmi]implica f ha un minimo nell'origine[/color:2vdnhzmi] 

ad essere NON corretto, ma questo non ha nulla a che fare con il fatto che la funzione di partenza abia o meno  un minimo nell'origine.



In generale quando scrivete uno sviluppo di Taylor [color=#FF0000:2vdnhzmi]vi dimenticate[/color:2vdnhzmi] di quale era la funzione di partenza, ciò che conta sono solo le proprietà che si possono dedurre dallo sviluppo a cui siete arrivati, si stanno gettando delle informazioni, con l'idea che quelle che si buttano non sono rilevanti.  Se però se ne buttano troppe non si può più dedurre nulla e bisogna tornare indietro per controllare se si è buttato qualche cosa di importante. Come in questo caso, avete buttato l'informazione che f in realtà dipende solo dal prodotto [tex:2vdnhzmi]xy[/tex:2vdnhzmi].