Già... Nella mia testa cambiavo anche le condizioni iniziali con [latex]u(\epsilon, 0) = \epsilon[/latex], ma naturalmente così è evidente che nessuno assicura il fatto che esista. Allora proverei a chiederei il seguente fatto:

1. Apertura della condizioni (J)+, (L)+.
Sia [latex]\lambda_n \to \lambda, \mu_n \to \mu[/latex], e consideriamo una (ELE). Se [latex]u_n[/latex] sono soluzioni della (ELE) con dati iniziali 
$$ u_n(0) = \lambda_n, \dot{u}_n = \mu_n $$ 
e similmente per [latex]u[/latex]. Supponiamo che per u_n valgano le condizioni L^+, J^+. Allora
(A) Le [latex]u_n[/latex] convergono uniformemente a [latex]u[/latex], e similmente per le derivate; questo deriva dalla dipendenza continua dei dati iniziali + compattezza dell'intervallo dove siamo + continuità delle funzioni in gioco.
(B) I coefficienti delle variazioni quadratiche n-esimi convergono uniformemente ai coefficienti della variazione quadratica finale se la Lagrangiana è C^2, per il punto (A) + regolarità della Lagrangiana
(C) Se la condizione (L)+ vale per u_n, vale per u (per banale convergenza del coefficiente);
(D) Se la condizione (J)+ vale per u_n, allora  vale per u. Infatti in realtà per u_n vale la condizione J++ e abbiamo delle [latex]w_n[/latex] soluzioni di 
$$ \ddot{w} = \alpha_n(x) \dot{w} + \beta_n(x) w$$
la (JDE), con [latex]\alpha_n \to \alpha, \beta_n \to \beta[/latex] uniformemente (ma questo dovrei ricontrollarlo... mi preoccupa il C al denominatore, ma è sempre maggiore di zero, non dovrebbe creare problemi; naturalmente per fare convergere le derivate dei coefficienti serve la lagrangiana C^3 ). Dunque per un lemma che abbiamo visto [latex]w_n \to w[/latex] uniformemente.