Salve, ero alle prese con questo esercizio, sono quasi arrivato in fondo ma non riesco a concludere:

4. (a) Scrivere il polinomio p(z)= z^6+4z^2 come prodotto di fattori di primo grado (a coefficenti complessi)

   (b) Determinare la soluzione generale dell'equazione differenziale [url=http&#58;//img819&#46;imageshack&#46;us/i/immaginehu&#46;jpg/:3b88gzj7][img:3b88gzj7]http&#58;//img819&#46;imageshack&#46;us/img819/6338/immaginehu&#46;jpg[/img:3b88gzj7][/url:3b88gzj7]

Una volta fatta la fattorizzazione di primo grado , avremo un polinomio del tipo:

P(z) = x * x * (x-z3) (x-z4) (x-z5) (x-z6)

sostituendo :

P(z) = x * x * (x-1-i) (x+1+i) (x+1-i) (x-1+i)

dopodiche si passa all'esercizio (b), ne quale avrò bisogno della fattorizzazione reale, per calcolare le radici della omogenea associata.

[url=http&#58;//img833&#46;imageshack&#46;us/i/immaginehfy&#46;jpg/:3b88gzj7][img:3b88gzj7]http&#58;//img833&#46;imageshack&#46;us/img833/9418/immaginehfy&#46;jpg[/img:3b88gzj7][/url:3b88gzj7]

E fin qui nessun problema (o almeno spero), ora iniziano i dubbi:

per calcolare la soluzione generale dell'omogenea associata, trovo le soluzioni specifiche per ogni fattore, e dopodiche le unisco tutte insieme

x^2 soluzione :  a+b t 
[url=http&#58;//img823&#46;imageshack&#46;us/i/immagineza&#46;jpg/:3b88gzj7][img:3b88gzj7]http&#58;//img823&#46;imageshack&#46;us/img823/3121/immagineza&#46;jpg[/img:3b88gzj7][/url:3b88gzj7]soluzione : [url=http&#58;//img801&#46;imageshack&#46;us/i/24370522&#46;gif/:3b88gzj7][img:3b88gzj7]http&#58;//img801&#46;imageshack&#46;us/img801/4520/24370522&#46;gif[/img:3b88gzj7][/url:3b88gzj7]
[url=http&#58;//img834&#46;imageshack&#46;us/i/immagineddm&#46;jpg/:3b88gzj7][img:3b88gzj7]http&#58;//img834&#46;imageshack&#46;us/img834/2186/immagineddm&#46;jpg[/img:3b88gzj7][/url:3b88gzj7]soluzione : [url=http&#58;//img844&#46;imageshack&#46;us/i/immaginenz&#46;jpg/:3b88gzj7][img:3b88gzj7]http&#58;//img844&#46;imageshack&#46;us/img844/1125/immaginenz&#46;jpg[/img:3b88gzj7][/url:3b88gzj7]

unendole tutte e tre avremo la soluzione genrale della omogenea :

 p(z)=[url=http&#58;//img833&#46;imageshack&#46;us/i/immagineod&#46;jpg/:3b88gzj7][img:3b88gzj7]http&#58;//img833&#46;imageshack&#46;us/img833/1454/immagineod&#46;jpg[/img:3b88gzj7][/url:3b88gzj7]

Proseguendo dovrò calcolare una soluzione qualunque della non omogenea, usando il metodo dell'indovino (per tentativi)
siccome la non omogenea è composta da 2 termini : [url=http&#58;//img821&#46;imageshack&#46;us/i/immagineeb&#46;jpg/:3b88gzj7][img:3b88gzj7]http&#58;//img821&#46;imageshack&#46;us/img821/1374/immagineeb&#46;jpg[/img:3b88gzj7][/url:3b88gzj7]
[b:3b88gzj7]Come devo fare?[/b:3b88gzj7]
io ho provato, a fare un unico tentativo che comprenda sia t^2 sia e^t
siccome nella prima parte della differenziale, abbiamo un sesto grado della derivata, allora il tentativo per il polinomio t^2 sarà di sesto grado invece che di secondo:
il tentativo per la soluzione della non omogenea sarà:

u(t) = [url=http&#58;//img832&#46;imageshack&#46;us/i/immaginewbj&#46;jpg/:3b88gzj7][img:3b88gzj7]http&#58;//img832&#46;imageshack&#46;us/img832/3918/immaginewbj&#46;jpg[/img:3b88gzj7][/url:3b88gzj7]

e ora derivo sei volte:

[url=http&#58;//img339&#46;imageshack&#46;us/i/immaginepn&#46;jpg/:3b88gzj7][img:3b88gzj7]http&#58;//img339&#46;imageshack&#46;us/img339/2650/immaginepn&#46;jpg[/img:3b88gzj7][/url:3b88gzj7]


[url=http&#58;//img830&#46;imageshack&#46;us/i/immagineip&#46;jpg/:3b88gzj7][img:3b88gzj7]http&#58;//img830&#46;imageshack&#46;us/img830/8714/immagineip&#46;jpg[/img:3b88gzj7][/url:3b88gzj7]


sostituendo nell'equazione differenziale otteniamo:

[url=http&#58;//img214&#46;imageshack&#46;us/i/immaginehr&#46;jpg/:3b88gzj7][img:3b88gzj7]http&#58;//img214&#46;imageshack&#46;us/img214/4035/immaginehr&#46;jpg[/img:3b88gzj7][/url:3b88gzj7]

da qui come bisogna procedere, ammesso che il procedimento adottato fino ad adesso sia giusto.

Grazie in anticipo