Allora, cerco di commentare punto per punto alcune cose che non mi sono chiare.

Abbiamo dimostrato che il valore assoluto di una Sobolev è ancora una Sobolev. Il problema è che non sono sicuro di come questo aiuti nel momento in cui tronco. Per troncare intendo che pongo uguale a [latex:3jbsneju]M[/latex:3jbsneju] la [latex:3jbsneju]u[/latex:3jbsneju] nei punti dove [latex:3jbsneju]u&#40;x&#41;&gt;M[/latex:3jbsneju]. Non mi è chiaro come usare il valore assoluto della funzione mi aiuti nel momento in cui devo troncare. Una possibilità che mi è venuta in mente adesso è considerare la funzione composta [latex:3jbsneju]g&#40;u&#40;x&#41;&#41;[/latex:3jbsneju] dove [latex:3jbsneju]g= \begin{cases} x \mbox{ se } |x|&lt;M \\ M \mbox { se } |x| \geq M \end{cases}[/latex:3jbsneju]. Certo, la funzione [latex:3jbsneju]g[/latex:3jbsneju] non è [latex:3jbsneju]C^1[/latex:3jbsneju] come richiederebbe il teorema visto, ma con un raccordino dovrebbe funzionare tutto ugualmente. In questo modo non si può ugualmente concludere?

Per quanto riguarda la semicontinuità, con Fatou non mi è chiaro come poter dire che [latex:3jbsneju]\int_{\Omega} \liminf_{n \to \infty} u_n ^{8102} \geq \int_{\Omega} u_\infty ^{8102}[/latex:3jbsneju] nel caso di sola convergenza [latex:3jbsneju]L^2[/latex:3jbsneju]. Per la parte di derivata non mi sono chiare le ultime due strategie suggerite. Se ho ben capito, l'ultima punterebbe a vedere il tutto come norma in quanto le norme sono SCI deboli, mentre la seconda userebbe un teorema visto che permetterebbe di concludere. Quello che non mi è molto chiaro è come vedere la SCI forte in questo caso. Inoltre il ragionamento per convessità che avevo fatto in questo caso funziona? O, per lo meno, ha senso?

Il discorso sull'estensione l'ho fatto perché (a meno che non mi sia perso qualcosa) il teorema di immersione compatta lo abbiamo visto solo per spazi [latex:3jbsneju]W^{1,p}_0[/latex:3jbsneju] e immergevamo nelle funzioni continue quando [latex:3jbsneju]p&gt;d[/latex:3jbsneju]. Invece il teorema di immersione (quindi con [latex:3jbsneju]\Omega = \mathbb{R}^d[/latex:3jbsneju]) lo abbiamo visto più in generale, e in particolare abbiamo visto che per [latex:3jbsneju]mp[/latex:3jbsneju] abbastanza grande, le funzioni [latex:3jbsneju]W^{m,p}&#40;\mathbb{R}^d&#41;[/latex:3jbsneju] si immergono in [latex:3jbsneju]C^k[/latex:3jbsneju]. Per questo dicevo che, se voglio la C infinità della funzione, devo guadagnare un [latex:3jbsneju]m[/latex:3jbsneju] grande per cui [latex:3jbsneju]u \in W^{m,2}_0 &#40;\Omega&#41;[/latex:3jbsneju], ma per concludere mi serve estendere a tutto lo spazio per poter usare il teorema di immersione (non compatta).

Infine, mi verrebbe da dire che lo spazio [latex:3jbsneju]W^{1,3/2}[/latex:3jbsneju] non andrebbe bene semplicemente perché per far partire la macchina del metodo diretto mi serve una limitazione sulle derivate, il cui esponente è in questo caso [latex:3jbsneju]2[/latex:3jbsneju]. Come idea generale, nel caso in cui gli esponenti sulle derivate parziali fossero diversi, direi che bisogna mettersi in [latex:3jbsneju]W^{1,p}[/latex:3jbsneju] dove [latex:3jbsneju]p[/latex:3jbsneju] è l'esponente maggiore.