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Adesso mi chiedevo, è possibile che una funzione possa non essere uguale alla sua serie di taylor?
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Assolutamente sì, è possibile. Le funzioni che sono uguali alla propria serie di Taylor, ovviamente nella zona in cui la serie stessa converge, hanno un nome: si chiamano analitiche. Ora c'è un teorema che dice che tutte le funzioni ottenute a partire dalle funzioni elementari mediante composizioni e/o operazioni algebriche sono analitiche nella zona in cui non ci sono problemi tipo denominatori che si annullano e simili. 

E' chiaro quindi che le funzioni che non sono uguali alla somma della propria serie di Taylor sono comunque roba strana. L'esempio più classico è la funzione definita ponendo f(0)=0 e poi [tex:rvg35f5t]f&#40;x&#41;=e^{-1/x^2}[/tex:rvg35f5t] per [tex:rvg35f5t]x\neq 0[/tex:rvg35f5t]. Si può dimostrare (esercizio non troppo difficile ma nemmeno banale) che la funzione f(x) ha le derivate di ogni ordine, e tutte queste derivare sono uguali a 0 per x=0. 

Pertanto la serie di Taylor di questa funzione è la serie con tutti i coefficienti nulli, la quale ovviamente converge a 0 per ogni x reale. Tuttavia f(x) non è nulla per [tex:rvg35f5t]x\neq 0[/tex:rvg35f5t]. Come si suol dire: ha tutte le derivate nulle per x=0 ... eppur si muove!