[quote:1imtyysy]
mi sono un po' perso...vorrei ragioniare su un punto per volta...la conclusione del esercizio 1 valgono?...[tex:1imtyysy]END&#40;V,W&#41;[/tex:1imtyysy] è uno spazio vettoriale e le applicazioni [tex:1imtyysy]f_i_j&#40;v_i&#41;=a_i_jf&#40;w_j&#41;[/tex:1imtyysy] con i [tex:1imtyysy]v_i[/tex:1imtyysy] base di [tex:1imtyysy]V[/tex:1imtyysy] e i [tex:1imtyysy]w_j[/tex:1imtyysy] base di [tex:1imtyysy]W[/tex:1imtyysy] sono una sua base ?  <!-- s:? --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_confused.gif" alt=":?" title="Confused" /><!-- s:? -->[/quote:1imtyysy]

Beh sì, se tu dovessi solo dare una applicazione da V in W, ma qui il fatto è che bisogna dare una applicazione da R^3 in R^3 che fa così e cosà su V e W che sono sottospazi di R^3.
Per definire una applicazione da R^3 a R^3 dobbiamo dire che fa sui vettori di una base di R^3. Ora, a me viene in realtà una cosa molto simile alla tua, ma in cui chiedo che i vettori che tu non specifichi vadano in 0.
Tipo, fissiamo v1=(1,0,-1) e v2=(1,-1,0) e v3=(1,2,3). Questi sono una base di R^3. Adesso, se io scelgo dei numeri reali k,h,m,n qualsiasi, anche nulli, e impongo che
f(v1)=kv3, f(v2)=hv3, f(v3)=mv1+nv2
allora ho sicuramente definito una applicazione lineare che rispetta le richieste.
Se scelgo (k,h,m,n)=(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1) ottengo 4 applicazioni lineari che sicuramente generano lo spazio in questione e che dovrebbero essere linearmente indipendenti... e sono le tue, in cui però ho anche imposto di volta in volta che i vettori della base su cui non specifico la funzione vadano a 0.
Ma forse era quello che intendevi tu...?