Buonasera a tutti,
voglio provare a dare una generalizzazione della stima di un integrale vettoriale.
Sia [latex:1iiztd25]X[/latex:1iiztd25] un insieme. Sia [latex:1iiztd25]V[/latex:1iiztd25] uno spazio vettoriale normato di dimensione finita  e sia [latex:1iiztd25]V^*[/latex:1iiztd25] il suo spazio duale. Sia [latex:1iiztd25]F_{XV}[/latex:1iiztd25] l' insieme delle funzioni da [latex:1iiztd25]X[/latex:1iiztd25] in [latex:1iiztd25]V[/latex:1iiztd25] e [latex:1iiztd25]F_{XR}[/latex:1iiztd25] l' insieme delle funzioni da [latex:1iiztd25]X[/latex:1iiztd25] in [latex:1iiztd25]R[/latex:1iiztd25]. Sia [latex:1iiztd25]I_V[/latex:1iiztd25] una funzione da [latex:1iiztd25]F_{XV}[/latex:1iiztd25] in [latex:1iiztd25]V[/latex:1iiztd25] e sia [latex:1iiztd25]I_S[/latex:1iiztd25] una funzione da [latex:1iiztd25]F_{XR}[/latex:1iiztd25] in [latex:1iiztd25]R[/latex:1iiztd25]. Supponiamo che per ogni  [latex:1iiztd25]v[/latex:1iiztd25] appartenente a  [latex:1iiztd25]V^*[/latex:1iiztd25] e per ogni  [latex:1iiztd25]f[/latex:1iiztd25] appartenente a [latex:1iiztd25]F_{XV}[/latex:1iiztd25] valga la relazione [latex:1iiztd25]v&#40;I_V&#40; f &#41;&#41;[/latex:1iiztd25] = [latex:1iiztd25]I_S&#40; v &#40; f &#41; &#41;[/latex:1iiztd25]. Supponiamo inoltre che  [latex:1iiztd25]g&#40;x&#41;[/latex:1iiztd25] &lt;= [latex:1iiztd25]h&#40;x&#41;[/latex:1iiztd25] per qualunque [latex:1iiztd25]x[/latex:1iiztd25] appartenente a [latex:1iiztd25]X[/latex:1iiztd25] implica [latex:1iiztd25]I_S&#40;g&#41;[/latex:1iiztd25] &lt;= [latex:1iiztd25]I_S&#40;h&#41;[/latex:1iiztd25]. Supponiamo inoltre che [latex:1iiztd25]I_S[/latex:1iiztd25] sia nulla per la funzione identicamente nulla e che sia omogenea.

Allora accade che per qualunque  [latex:1iiztd25]f[/latex:1iiztd25] appartenente a [latex:1iiztd25]F_{XV}[/latex:1iiztd25] :

[latex:1iiztd25]|I_V&#40; f &#41;|[/latex:1iiztd25] &lt;=  [latex:1iiztd25]I_S&#40;|f|&#41;[/latex:1iiztd25]

Dim. 
Fissato [latex:1iiztd25]v[/latex:1iiztd25] appartenente al duale abbiamo che per ogni [latex:1iiztd25]f[/latex:1iiztd25]:
[latex:1iiztd25]v&#40;I_V&#40; f &#41;&#41;[/latex:1iiztd25]  = [latex:1iiztd25]I_S&#40; v&#40; f &#41; &#41;[/latex:1iiztd25]  &lt;= [latex:1iiztd25]I_S&#40; |v| |f| &#41;[/latex:1iiztd25]  
( segue dal fatto che  [latex:1iiztd25]v&#40;f&#41;[/latex:1iiztd25]  &lt;= |v| |f| e dalla monotonia di  [latex:1iiztd25]I_S[/latex:1iiztd25]. La norma di un elemento del duale è definita come :
[latex:1iiztd25]sup \frac{|v&#40;w&#41;|}{|w|}[/latex:1iiztd25] al variare  di [latex:1iiztd25]w[/latex:1iiztd25] in [latex:1iiztd25]V[/latex:1iiztd25] )

Se  [latex:1iiztd25]I_V&#40; f &#41;[/latex:1iiztd25] è il vettore nullo non c' è niente da dimostrare ( infatti [latex:1iiztd25]I_S[/latex:1iiztd25] calcolata per una funzione che è il valore assoluto di &quot;qualcosa&quot; avrà un valore maggiore o uguale rispetto a [latex:1iiztd25]I_S[/latex:1iiztd25] calcolata per la funzione identicamente nulla che restituisce per ipotesi il valore 0.

Altrimenti competo una base rispetto a  [latex:1iiztd25]I_V&#40; f &#41;[/latex:1iiztd25] e    scelgo [latex:1iiztd25]v[/latex:1iiztd25] in modo che [latex:1iiztd25]v&#40;I_V&#40; f &#41;&#41;[/latex:1iiztd25] sia uguale a [latex:1iiztd25]C|I_V&#40; f &#41;|^2[/latex:1iiztd25] e nulla negli altri componenti della base. C è definito come il sup della componente dei vettori di norma 1 rispetto all' elemento della base [latex:1iiztd25]I_V&#40; f &#41;[/latex:1iiztd25].  La norma di [latex:1iiztd25]v[/latex:1iiztd25] è  [latex:1iiztd25]C|I_V&#40; f &#41;|[/latex:1iiztd25]. Inserendo nella relazione di prima si ha che:

[latex:1iiztd25]C|I_V&#40; f &#41;|^2[/latex:1iiztd25]   &lt;=  [latex:1iiztd25]I_S&#40; C|I_V&#40; f &#41;| |f| &#41;[/latex:1iiztd25]  usando l' omogeneità di [latex:1iiztd25]I_S[/latex:1iiztd25] si ha che:

[latex:1iiztd25]C|I_V&#40; f &#41;|^2[/latex:1iiztd25]   &lt;= [latex:1iiztd25]C|I_V&#40; f &#41;|I_S&#40;  |f| &#41;[/latex:1iiztd25] da cui semplificando si ottiene la tesi.