[quote=&quot;e.rapuano&quot;:1sf3lk2o]Quindi in definitiva quando parliamo di &quot;proiezione&quot; non intendiamo la normale proiezione ortogonale (perchè questa si ha solo quando i sottospazi V e W sono uno l'ortogonale dell'altro), ma stiamo invece cambiando gli assi di riferimento...nel senso che (nel primo esercizio) non abbiamo l'asse x e l'asse y ma queste 2 rette rappresentate da V e W, di conseguenza le &quot;proiezioni&quot; non sono cateti di un triangolo rettangolo! Non so se ho detto cose sensate...  <!-- s:| --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_neutral.gif" alt=":|" title="Neutral" /><!-- s:| --> [/quote:1sf3lk2o]

Diciamo che sono cose abbastanza sensate, nel senso che stai descrivendo la situazione nel caso in cui V e W sono sottospazi di dimensione 1 del piano. Le proiezioni non sono cateti di un triangolo rettangolo, ma lati di un parallelogrammo storto. La cosa cambia un po' in dimensione più alta, quando geometricamente è tutto meno disegnabile.

[quote=&quot;e.rapuano&quot;:1sf3lk2o]Quindi trovare la matrice che rappresenta la proiezione su un sottospazio V ha senso solo se abbiamo un altro sottospazio W? <!-- s:?: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_question.gif" alt=":?:" title="Question" /><!-- s:?: --> [/quote:1sf3lk2o]

Diciamolo decentemente: dato un sottospazio V, *non* ha senso definire la proiezione su V e basta. Ha senso definire la proiezione su V come primo termine di una somma diretta V+W. Detto altrimenti: W diversi producono proiezioni su V diverse, anche se V è sempre lo stesso. In poche parole: per fare una proiezione bisogna essere in 2; per definire la proiezione su V, serve anche W.

Il caso della proiezione ortogonale è solo formalmente diverso: infatti si definisce la proiezione su V pensando che il W sia l'ortogonale di V.

In tutto questo le matrici non c'entrano nulla: il problema sta già nel definire la proiezione.

[quote=&quot;e.rapuano&quot;:1sf3lk2o]Capita sempre che per trovare la matrice di proiezione su un sottospazio di base {v1,v2,...vn} basta inserire v1,...vn nella matrice come colonne e mettere zeri nel resto della matrice? <!-- s:?: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_question.gif" alt=":?:" title="Question" /><!-- s:?: --> [/quote:1sf3lk2o]

Questo è troppo vago: dipende quale matrice vuoi trovare, cioè è chiaro che vuoi trovare la matrice della proiezione su V, ma non è chiaro con quali basi in partenza ed arrivo.

[quote=&quot;e.rapuano&quot;:1sf3lk2o]E comunque...un'altra cosa: nell'esercizio 4, V e W rappresentano 2 piani (quindi di dimensione 2) in R^3....la somma delle loro dimensioni è dunque 4...questa cosa come viene interpretata? cioè...nel caso di intersezione di dimensione 0 (2 piani paralleli) avremmo somma diretta in R^4, ma in R^3 cosa sarà? <!-- s:?: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_question.gif" alt=":?:" title="Question" /><!-- s:?: --> [/quote:1sf3lk2o]

Occhio: in questo contesto si parla di proiezioni su *sottospazi vettoriali*, quindi i piani paralleli non possono presentarsi, visto che tutto passa comunque per l'origine.