Nessuna anima pia mi può dare una mano? Provo a chiarire meglio il mio dubbio.
La classificazione delle isometrie in [latex:1otggwy5]\mathbb{R}^2[/latex:1otggwy5] si basa sulla ricerca dei punti fissi, quindi sulla ricerca dei vettori [latex:1otggwy5]x[/latex:1otggwy5] tali che:
[latex:1otggwy5]Ax+b=x[/latex:1otggwy5],
che può essere riscritto come:
[latex:1otggwy5]&#40;A-Id&#41;x=-b[/latex:1otggwy5].
Il mio dubbio riguarda il caso in cui non ci siano punti fissi, cioè il caso in cui i ranghi delle matrici [latex:1otggwy5]&#40;A-Id&#41;[/latex:1otggwy5] e [latex:1otggwy5]&#40;A-Id|-b&#41;[/latex:1otggwy5] non coincidano. Il caso in cui [latex:1otggwy5]&#40;A-Id&#41;[/latex:1otggwy5] ha rango [latex:1otggwy5]0[/latex:1otggwy5] è chiaro, quello che non mi torna è il caso in cui il rango è [latex:1otggwy5]1[/latex:1otggwy5]. Il fatto che il sistema non abbia soluzioni implica che il vettore [latex:1otggwy5]-b[/latex:1otggwy5] non appartiene all’immagine di [latex:1otggwy5]&#40;A-Id&#41;[/latex:1otggwy5]. Ciò che non mi è chiaro è come da qui si faccia a concludere che allora il vettore [latex:1otggwy5]-b[/latex:1otggwy5] è parallelo alla retta di simmetria della matrice [latex:1otggwy5]A[/latex:1otggwy5].