Salve, mi sono trovato a risolvere questo esercizio e volevo sapere se lo svolgimento è corretto.
Devo stabilire se l'integrale improprio della funzione data converge assolutamente su [latex:32xg9skk]R^2[/latex:32xg9skk]:
[latex:32xg9skk]f&#40;x,y&#41;=e^{x^2-y^2}[/latex:32xg9skk]
1) [b:32xg9skk]Osservazioni preliminari:[/b:32xg9skk]
[latex:32xg9skk]f&#40;x,y&#41;[/latex:32xg9skk] è definita su tutto [latex:32xg9skk]R^2[/latex:32xg9skk] ed è ovunque [latex:32xg9skk]f&#40;x,y&#41;&gt;0[/latex:32xg9skk]. Per motivi di simmetria, essendo la funzione data pari in entrambe le variabili, è sufficiente studiare la convergenza del suo integrale sul solo I[latex:32xg9skk]^{\circ}[/latex:32xg9skk] quadrante, poiché si comporta in maniera identica sugli altri tre. L'integrale presenta, dunque, un problema &quot; all'infinito &quot;, essendo l'insieme di integrazione illimitato.
2) [b:32xg9skk]Svolgimento:[/b:32xg9skk]
Sia dunque [latex:32xg9skk]B=\bigl\{&#40;x,y&#41;\in R^2\colon x\ge0,\,y\ge0\bigr\}[/latex:32xg9skk], allora si distinguono due casi:
Primo caso :
per [latex:32xg9skk]x\ge y[/latex:32xg9skk] l'insieme di integrazione si riduce a [latex:32xg9skk]C_1=\bigl\{&#40;x,y&#41;\in R^2\colon x-y\ge0,\,x\ge0,\,y\ge0\bigr\}=\bigl\{&#40;\rho,\theta&#41;\in R^2\colon\rho\ge0,\,0\le\theta\le\pi/4\bigr\}[/latex:32xg9skk] e per la funzione integranda vale la relazione
[latex:32xg9skk]f&#40;x,y&#41;=\frac{e^{x^2}}{e^{y^2}}\ge1[/latex:32xg9skk]
per cui abbiamo
[latex:32xg9skk]\iint_{C_1}e^{x^2-y^2}\,dx\,dy\ge\iint_{C_1}\,dx\,dy=\lim_{a\to +\infty}\int_0^a\rho\,d\rho\int_0^{\pi/4}\,d\theta=\lim_{a\to +\infty}\frac{\pi}{8}a^2=+\infty[/latex:32xg9skk]
Secondo caso :
per [latex:32xg9skk]x\le y[/latex:32xg9skk] l'insieme di integrazione diventa [latex:32xg9skk]C_2=\bigl\{&#40;x,y&#41;\in R^2\colon x-y\le0,\,x\ge0,\,y\ge0\bigr\}=\bigl\{&#40;\rho,\theta&#41;\in R^2\colon\rho\ge0,\,\pi/4\le\theta\le\pi/2\bigr\}[/latex:32xg9skk] e vale la relazione
[latex:32xg9skk]0&lt;f&#40;x,y&#41;=\frac{e^{x^2}}{e^{y^2}}\le1[/latex:32xg9skk]
Essendo dunque la funzione positiva, segue che il suo integrale su [latex:32xg9skk]C_2[/latex:32xg9skk] o converge o diverge a [latex:32xg9skk]+\infty[/latex:32xg9skk]. In ogni caso, data la divergenza già verificata su [latex:32xg9skk]C_1[/latex:32xg9skk], esso non modifica il comportamento dell'integrale sull'insieme [latex:32xg9skk]B[/latex:32xg9skk] di partenza.
3) [b:32xg9skk]Conclusioni:[/b:32xg9skk]
Complessivamente, dunque, l'integrale dato non converge.

Grazie in anticipo per correzioni e suggerimenti.