[quote=&quot;stefanini.m&quot;:1hxm9717]posto la mia soluzione dell'esercizio 4 del secondo appello.[/quote:1hxm9717]

Qualche commento su questa soluzione.

(a) Carina l'idea di usare la serie di Mengoli, ma ovviamente se ne poteva fare tranquillamente a meno. Basta osservare che C(1,0,0,0,0,...) non sta in [latex:1hxm9717]\ell^1[/latex:1hxm9717].

(b) Soluzione classica. Direi che non si può fare diversamente.

(c) Come scritta non è completa. In questo modo infatti si dimostra solo che C è un operatore limitato, anzi 1-Lipschitz, da [latex:1hxm9717]\ell^\infty[/latex:1hxm9717] in sé. Per concludere bisogna dimostrare, o meglio osservare (trattandosi in fondo del teorema delle medie di Cesaro), che l'operatore C manda lo spazio [latex:1hxm9717]c[/latex:1hxm9717] in sé, cioè manda successioni convergenti in successioni convergenti.

(d) La soluzione proposta è corretta. La complicazione nasce più che altro dalla notazione, come sempre quando si ha a che fare con successioni di successioni. In questi casi io preferisco pensare le successioni come funzioni definite sui naturali, come ad esempio ho fatto alla lezione 12, invece di usare il doppio indice. Ovviamente però è solo una questione di gusti. Nel linguaggio delle funzioni, si tratterebbe quindi di considerare la &quot;funzione&quot; [latex:1hxm9717]f_n[/latex:1hxm9717] che vale 1 nei primi n interi e poi sempre 0 (lo stesso discorso vale sostituendo 0 ed 1 con due qualunque valori diversi). Si osserva banalmente che queste &quot;funzioni&quot; sono equilimitare in [latex:1hxm9717]\ell^\infty[/latex:1hxm9717]. Non resta dunque che dimostrare che [latex:1hxm9717]C&#40;f_n&#41;[/latex:1hxm9717] non ha sottosuccessioni convergenti in [latex:1hxm9717]\ell^\infty[/latex:1hxm9717], cioè convergenti uniformemente se pensate come funzioni. Ora nella soluzione proposta si mostra che non esistono sottosuccessioni di Cauchy, imitando forse molte dimostrazioni viste a lezione. Qui si poteva forse osservare più velocemente che [latex:1hxm9717]C&#40;f_n&#41;[/latex:1hxm9717] tende puntualmente alla funzione costantemente uguale ad 1, quindi ogni sottosuccessione convergente uniformemente dovrebbe convergere alla funzione costantemente uguale ad 1, il che non è possibile perché il limite all'infinito è sempre uguale a 0.

P.S. Non mi stancherò mai di ringraziare chi posta le soluzioni, perché in questo modo si possono commentare facendo un lavoro utile per tutti.