[quote=&quot;C_Paradise&quot;:1533hcrb]I termini che danno fastidio dovrebbero essere [latex:1533hcrb]&#40;D_{x_i}u&#41;^2[/latex:1533hcrb] perché a priori stanno solo in [latex:1533hcrb]L^1[/latex:1533hcrb], ma il fatto che [latex:1533hcrb]\Omega[/latex:1533hcrb] sia decente dovrebbe dirci ad esempio che [latex:1533hcrb]D_{x_i}u \in L^6[/latex:1533hcrb]? Di conseguenza avremmo che [latex:1533hcrb]&#40;D_{x_i}u&#41;^2 \in L^3[/latex:1533hcrb] e dunque in [latex:1533hcrb]L^2[/latex:1533hcrb] perché l'insieme ha misura finita. Una volta che otteniamo [latex:1533hcrb]u \in H^4[/latex:1533hcrb] dovrebbe essere tutto in discesa?[/quote:1533hcrb]

Credo lo sia, dopo aver verificato che [latex:1533hcrb]D_{x_i}u \in H^3[/latex:1533hcrb] e dunque, per un teorema di immersione, [latex:1533hcrb]D_{x_i} u \in L^{\infty}[/latex:1533hcrb], così come la derivata seconda. Il resto dovrebbe farsi tutto in modo analogo.

Comunque sta in [latex:1533hcrb]H^4[/latex:1533hcrb] perché la potenza giusta sta in [latex:1533hcrb]H^2[/latex:1533hcrb] (e vale l'equazione).

Mi chiedo però come si fa a fare nel caso [latex:1533hcrb]\Delta u = \sin u[/latex:1533hcrb], che mi pare sia fatto in [latex:1533hcrb]\mathbb{R}^d[/latex:1533hcrb] nelle lezioni.