[quote=&quot;GIMUSI&quot;:26n51g72]mi pare corretto...e mi pare che in molti casi non sia nemmeno necessario risolvere il sistema...se i vettori dello spazio di partenza sono una base allora l'esistenza e l'unicità sono assicurati...se non sono una base ma la relazione di dipendenza tra i vettori di partenza sussiste anche per i corrispondenti vettori di arrivo si ha esistenza ma non unicità...altrimenti l'applicazione non esiste[/quote:26n51g72]

Questo diciamolo per bene.

[list:26n51g72][*:26n51g72]Se i vettori dello spazio di partenza sono una base allora l'esistenza e l'unicità sono assicurati, qualunque cosa ci sia in arrivo, senza dover fare altro.

[/*:m:26n51g72]
[*:26n51g72]se i vettori dello spazio di partenza sono linearmente indipendenti, ma non sono una base (quindi evidentemente sono troppo pochi per generare), allora c'è esistenza ma non unicità, senza dover fare altro (dimostrazione: posso completare i vettori in partenza ad una base e mandare gli elementi aggiunti dove mi pare: così non solo dimostro esistenza e non unicità, ma sono anche in grado di descrivere con opportuni parametri l'insieme di tutte le applicazioni lineari con la proprietà richiesta).

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[*:26n51g72]Se i vettori dello spazio di partenza non sono linearmente indipendenti, allora vuol dire che ci sono delle relazioni di dipendenza lineare tra di essi. In tal caso prendo una qualunque relazione di dipendenza lineare, e controllo se vale anche tra i rispettivi elementi in arrivo: se non vale, allora addio, non c'è esistenza, perché ho trovato condizioni incompatibili; se vale, allora posso eliminare una qualunque condizione che coinvolga vettori coinvolti nella relazione di dipendenza lineare. In questo modo ottengo un insieme di condizioni ridotte di uno, a cui ri-applicare il procedimento fino a ricadere in uno dei casi precedenti.[/*:m:26n51g72][/list:u:26n51g72]

Quello che non è vero è che &quot;se non sono una base ma la relazione di dipendenza tra i vettori di partenza sussiste anche per i corrispondenti vettori di arrivo si ha esistenza ma non unicità&quot;, come dimostra l'esempio di destra nella terza riga.

Questo è il metodo veloce per stabilire esistenza ed unicità. Poi per trovare la matrice si possono fare i cambi di base: il metodo forse più veloce, se si vuole la matrice dalla canonica alla canonica, è di scrivere la matrice dell'applicazione dalla base nuova alla canonica, che è immediata, e poi cambiare base in sola partenza.

In alternativa, sia per esistenza ed unicità, sia per la matrice, c'è il metodo bovino. Scrivo la matrice dell'applicazione con i coefficienti incogniti e poi impongo tutte le condizioni date. Ottengo un sistemone non omogeneo che può avere soluzione unica, oppure non esistenza, oppure esistenza senza unicità. Penso che sia molto istruttivo risolvere almeno qualche caso con entrambi i metodi.