[tex:4uxlcrcq]\mbox { Sia }\,\,\, f:&#40;-\infty,0&#41;\to\mathb{R}\,\,\,\mbox{una unzione continua ed iniettiva tale che}[/tex:4uxlcrcq]

[tex:4uxlcrcq]\displaystyle\lim_{x \to -\infty}f&#40;x&#41;=-\infty.[/tex:4uxlcrcq]

[tex:4uxlcrcq]\mbox { Provare che } f \mbox {risulta crescente }[/tex:4uxlcrcq]

Io ho seguito questo ragionamento qui:

si tratta di provare che, [tex:4uxlcrcq]\forall\,\,x_1,x_2 \in &#40;-\infty,0&#41;[/tex:4uxlcrcq] si ha che [tex:4uxlcrcq]x_1&lt;x_2 \,\,\Rightarrow\,\,f&#40;x_1&#41;&lt;f&#40;x_2&#41;[/tex:4uxlcrcq]

Allora per ipotesi la funzione è continua ed iniettiva, e ciò significa che è certamente (strettamente) monotona: infatti poichè ogni funzione strettamente monotona è iniettiva, basterebbe fare vedere che [tex:4uxlcrcq]f[/tex:4uxlcrcq] è invertibile (lo è per ipotesi di iniettività) implica [tex:4uxlcrcq]f[/tex:4uxlcrcq] strettamente monotona. Alllra essendo strettamente monotona, dobbiamo dimostrare che essa è monotona crescente; a tale scopo utilizziamo l'ipotesi del limite, cioè:

[tex:4uxlcrcq]\displaystyle\lim_{x \to -\infty}f&#40;x&#41;=-\infty.[/tex:4uxlcrcq]

questo significa, per definizione, che:

[tex:4uxlcrcq]\forall \varepsilon&gt;0,\,\, \exists\delta&gt;0 : \,\,f&#40;x&#41;&lt;-\varepsilon,\,\,\,\forall x\in &#40;-\infty,0&#41; : x&lt;-\delta[/tex:4uxlcrcq]

e dunque 

[tex:4uxlcrcq]x_1&lt;x_2 \,\,\Rightarrow\,\,f&#40;x_1&#41;&lt;f&#40;x_2&#41;&lt;-\varepsilon,\quad \forall x\in &#40;-\infty,0&#41;[/tex:4uxlcrcq]

e dunque la funzione risulta monotona(strettamente) crescente.