[quote=&quot;Marcoment&quot;:3hpcb0ic]in un compatto una funzione è uniformemente continua se e solo se si può estendere con continuità sulla chiusura[/quote:3hpcb0ic]

Forse vuoi dire non in un compatto (che è già chiuso), ma in un limitato. Detto meglio: se un sottoinsieme D dei reali è limitato, allora [tex:3hpcb0ic]f: D \to\mathbb{R}[/tex:3hpcb0ic] è uniformemente continua se e solo se si può estendere in maniera continua alla chiusura.

La dimostrazione è semplice. Una freccia (se è UC, allora è estendibile con continuità), è il teorema di estensione. La freccia inversa (se è estendibile con continuità, allora è UC) si fa così: la chiusura di un limitato è compatta, l'estensione è continua sulla chiusura, quindi è UC nella chiusura per Heine-Cantor, quindi a fortiori è UC in D.

Se D invece di stare nei reali stesse in uno spazio metrico qualunque, allora basterebbe sostituire limitato con totalmente limitato.