Salve, mi trovo a risolvere il seguente esercizio:
Calcolare l'integrale della funzione [latex:3otd5h8r]f&#40;x,y,z&#41;=1[/latex:3otd5h8r] sul dominio dato [latex:3otd5h8r]\Omega[/latex:3otd5h8r] assegnato mediante una caratterizzazione del suo bordo:
[latex:3otd5h8r]\partial{\Omega}=\bigl\{\bigl&#40;\sin&#40;t&#41;,\,\cos&#40;v&#41;,\,\cos^3&#40;t&#41;\bigr&#41;,\,\,&#40;t,v&#41;\in[0,\,2\pi]\times[0,\,\pi]\bigr\}\cup\bigl\{y=1\bigr\}\cup\bigl\{y=-1\bigr\}[/latex:3otd5h8r]
Nello svolgere l'esercizio, il risultato ottenuto è di segno opposto a quello indicato dal testo, pertanto ho pensato che l'orientazione della normale alla superficie del dominio [latex:3otd5h8r]\Omega[/latex:3otd5h8r] fosse opposta a quella convenzionalmente riconosciuta come positiva.
A questo punto mi chiedevo se fosse possibile intuire il verso della normale a partire dalla parametrizzazione assegnata. In questo caso, ad esempio, l'intersezione del dominio [latex:3otd5h8r]\Omega[/latex:3otd5h8r] con il piano [latex:3otd5h8r]y=0[/latex:3otd5h8r] genera una curva il cui sostegno è percorso in senso orario e, quindi, opposto a quello riconosciuto come positivo. Stando così le cose, è possibile che anche la normale alla superficie curva che delimita [latex:3otd5h8r]\Omega[/latex:3otd5h8r], calcolata attraverso la matrice jacobiana
[latex:3otd5h8r]J&#40;t,v&#41;=\begin{pmatrix}
x_t &amp; y_t &amp; z_t\\
x_v &amp; y_v &amp; z_v
\end{pmatrix}[/latex:3otd5h8r]
ed i suoi minori [latex:3otd5h8r]M_1[/latex:3otd5h8r], [latex:3otd5h8r]M_2[/latex:3otd5h8r] e [latex:3otd5h8r]M_3[/latex:3otd5h8r], sia orientata in direzione opposta a quella cercata, cioè verso l'interno di [latex:3otd5h8r]\Omega[/latex:3otd5h8r] ?
Nel caso la mia osservazione fosse giusta, è corretto in generale un approccio di questo tipo ?
Ringrazio in anticipo per eventuali chiarimenti, correzioni e suggerimenti.