gentile professore, vorrei capire come risolvere questo problema.


Sia [tex:ceis7wyv]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex:ceis7wyv] una funzione crescente (in senso deble) tale che la sua immagine [tex:ceis7wyv]f&#40;\mathbb{R}&#41;[/tex:ceis7wyv] risulti un intervallo. Dimostrare che [tex:ceis7wyv]f[/tex:ceis7wyv] è contina.

io ho fatto questo ragionamento:

sia [tex:ceis7wyv]I=f&#40;\mathbb{R}&#41;;[/tex:ceis7wyv] poiché [tex:ceis7wyv]f[/tex:ceis7wyv] è monotona crecente, esiste la funzione inversa anch'essa monotona crescente che risulerà definita da [tex:ceis7wyv]f^{-1}: I\to \mathbb{R}[/tex:ceis7wyv]; poichè l'inversa di una funzione continua è anch'essa continua, basterebbe dimostrare che la funzione [tex:ceis7wyv]f^{-1}: I\to \mathbb{R}[/tex:ceis7wyv] risulta continua per concludere che [tex:ceis7wyv]f[/tex:ceis7wyv] è continua. La funzione [tex:ceis7wyv]f^{-1}: I\to \mathbb{R}[/tex:ceis7wyv] è  monotaona crescente definita in un intervallo, e sappiamo che se anche l'insieme d'arrivo è un intervallo allora si può concludere che la funzione è continua; ma l'insieme d'arivo è [tex:ceis7wyv]\mathbb{R}[/tex:ceis7wyv] che non è un intervallo, come si può concludere che [tex:ceis7wyv]f^{-1}[/tex:ceis7wyv] e quindi [tex:ceis7wyv]f^[/tex:ceis7wyv] sia continua?