Eccoci. La condizione sul  parametro:  [tex]\alpha &gt; 0[/tex]. La divisione corretta e' quindi

[tex]\displaystyle \int_{x^2+y^2\leq 1, \, x\geq 0, \, y\geq 0} \frac{arctang(xy)}{(x^2 + y^2)^\alpha} dx\, dy +  \int_{x^2+y^2\geq 1, \, x\geq 0, \, y\geq 0} \frac{arctang(xy)}{(x^2 + y^2)^\alpha} dx\, dy[/tex]

Dato che l'arcotangente a zero si comporta come il suo argomento,  il primo integrale si comporta come

[tex]\displaystyle \int_{x^2+y^2\leq 1, \, x\geq 0, \, y\geq 0} \frac{xy}{(x^2 + y^2)^\alpha} dx\, dy[/tex]

Questo integrale converge se e solo se  [tex]\alpha &lt; 2[/tex], basta passare in coordinate polari.

Vediamo il secondo integrale:

[tex]\displaystyle \int_{x^2+y^2\geq 1, \, x\geq 0, \, y\geq 0} \frac{arctang(xy)}{(x^2 + y^2)^\alpha} dx\, dy  \leq \frac{\pi}{2}\int_{x^2+y^2\geq 1, \, x\geq 0, \, y\geq 0} \frac{1}{(x^2 + y^2)^\alpha }dx\, dy[/tex]

Passando in coordinate polari si vede che questo integrale converge per [tex]\alpha &gt; 1[/tex]. [color=#FF0000]Dalla stima precedente NON possiamo dedurre nulla sul comportamento dell'integrale per   [tex]\alpha \leq 1[/tex][/color], dato che al primo passaggio abbiamo fatto una stima con un [tex]\leq[/tex].  L'idea e' che per  [tex]\alpha \leq 1[/tex] il secondo integrale  diverga, quindi [color=#FF0000]ci serve una stima dal basso[/color] (non dall'alto). Per fare questo dato che l'arcotangente si annulla sugli assi dobbiamo stare lontani dagli assi. Prendiamo un dominio piu' piccolo  [tex]D_1 =\{{x^2+y^2\geq 1, \, x\geq 0, \, y\geq 0, \, x \leq y\leq 2x\}[/tex] dove [tex]arctang(xy)\geq c &gt; 0[/tex]. Allora

[tex]\displaystyle \int_{x^2+y^2\geq 1, \, x\geq 0, \, y\geq 0} \frac{arctang(xy)}{(x^2 + y^2)^\alpha} dx\, dy  \geq \displaystyle \int_{D_1} \frac{arctang(xy)}{(x^2 + y^2)^\alpha} dx\, dy  \geq \displaystyle \int_{D_1} \frac{c}{(x^2 + y^2)^\alpha} dx\, dy[/tex]

Quest'ultimo integrale diverge quando [tex]\alpha \leq 1[/tex], quindi abbiamo finito: l'integrale di partenza converge se e solo se [tex]1 &lt; \alpha &lt;2[/tex]