Quell'esempio è un errore mio, veniale perché si corregge facilmente. Quella funzione ha il comportamento giusto nell'origine e all'infinito; il problema è l'annullamento del logaritmo anche in 1. Si rimedia facilmente considerando la funzione

[latex:2h2mynmq]\dfrac{e^{-\|x\|}}{\|x\|^{-1+d/p}&#40;\log^2&#40;\|x\|&#41;+1&#41;}[/latex:2h2mynmq]

Aggiungendo 1 ed il quadrato nel denominatore si evita il problema quando [latex:2h2mynmq]\|x\|=1[/latex:2h2mynmq], e si sistema anche il caso p=1.

Il doppio logaritmo è alla fine della lezione 30, e serviva per mostrare che le funzioni in [latex:2h2mynmq]H^1[/latex:2h2mynmq] del disco nel piano possono non essere limitate. In realtà basta un logaritmo solo, purché elevato alla potenza opportuna. Nel disco in dimensione 2 la funzione

[latex:2h2mynmq]|\log&#40;\|x\|&#41;|^a[/latex:2h2mynmq]

sta in [latex:2h2mynmq]H^1[/latex:2h2mynmq]ma non è limitata per ogni [latex:2h2mynmq]0&lt;a&lt;1/2[/latex:2h2mynmq]. L'esempio si generalizza facilmente a tutte le dimensioni. La funzione

[latex:2h2mynmq]\log&#40;|\log&#40;\|x\|&#41;|&#41;[/latex:2h2mynmq]

ha il pregio di andare bene in tutte le dimensioni (sta in [latex:2h2mynmq]W^{1,d}[/latex:2h2mynmq] ma non è limitata).