Non scomoderei il metodo diretto, ma userei la teoria generale delle equazioni differenziali lineari (l'insieme delle soluzioni è uno spazio affine, bla bla bla).

Poi possiamo discutere sul fatto che la teoria generale delle equazioni lineari si dimostra con le iterate o con il punto fisso, che alla fine poi è la stessa cosa. Il punto essenziale è però che la teoria delle equazioni lineari parte da un approccio con condizioni di Cauchy, e quel tipo di argomenti di solito si esporta malissimo ai problemi con condizioni al bordo.