Utilizzando la definizione quasi equivalente di equivalenza asintotica imporre che [latex:1j3nf0za]f&#40;x&#41;[/latex:1j3nf0za] abbia ordine di infinitesimo [latex:1j3nf0za]2[/latex:1j3nf0za] per [latex:1j3nf0za]x \longrightarrow 0[/latex:1j3nf0za] vuol dire che esiste un [latex:1j3nf0za]c[/latex:1j3nf0za] reale diverso da [latex:1j3nf0za]0[/latex:1j3nf0za] tale che $$\lim_{x\to 0} {f(x) \over cx^2} =1 \iff \lim_{x\to 0} {f(x) \over x^2} =c$$
Ora facendo qualche passaggio ottieni:
$$\lim_{x\to 0} {x \cos{x} - \log(1+ax) \over x^2} =\lim_{x\to 0} {x (1+o(x))-ax+a^2 \cdot {x^2 \over 2}+o(x^2) \over x^2}=\lim_{x\to 0} {(1-a)x+x^2 \cdot {a^2 \over 2}+o(x^2)\over x^2}$$
Perchè questo sia reale come avevi trovato deve essere [latex:1j3nf0za]a=1[/latex:1j3nf0za] e questo conclude le richieste dell'esercizio. Il tuo procedimento ti ha portato ad affermare [latex:1j3nf0za]f&#40;x&#41; \sim {x^2 \over 2}[/latex:1j3nf0za] che è equivalente a [latex:1j3nf0za]{f&#40;x&#41; \over x^2 }\sim {1 \over 2}[/latex:1j3nf0za].