@francicko,  come dice GIMUSI quel limite è un telefonatissimo rapporto -&gt; radice. 

Poi ovviamente possiamo divertirci ad osservare che, fatti i logaritmi, il rapporto -&gt; radice diventa un Cesàro, e quasi tutti i Cesàro si possono interpretare in termini di integrali e stime su primitive. Nel caso specifico

[tex:2v3grl3f]\displaystyle\log\sqrt[n]{\frac{&#40;2n&#41;!}{&#40;n!&#41;^2}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log\frac{2k&#40;2k-1&#41;}{k^2}[/tex:2v3grl3f]

L'ultima sommatoria la possiamo riscrivere come

[tex:2v3grl3f]\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left[\log 4+\log\left&#40;1-\frac{1}{2k}\right&#41;\right][/tex:2v3grl3f]

e da qui volendo si chiude in vario modo, compreso stimare le sommatorie con integrali.