Io pensavo alla seconda che accenni, &quot;scrivi&quot; esplicitamente la derivata quarta di [latex:25ukymtf]u^{8101}[/latex:25ukymtf] e sai concludere dopo aver osservato che [latex:25ukymtf]D_{x_i} u , D_{x_i}^2 u \in L^{\infty}[/latex:25ukymtf] per i teoremi di immersione. A questo punto ripeti, osservando di volta in volta che le derivate giuste sono uniformemente limitate e che le altre (solo le ultime due) compaiono con esponente al più [latex:25ukymtf]1[/latex:25ukymtf].

Potremmo anche direttamente dire:
[latex:25ukymtf]u^{8101} \in L^{\infty} \subseteq L^2[/latex:25ukymtf], dunque [latex:25ukymtf]u \in H^2[/latex:25ukymtf]. Ora [latex:25ukymtf]2 \cdot 2 &gt; 3[/latex:25ukymtf], allora, per le immersioni ho [latex:25ukymtf]u \in C^{0,\alpha}[/latex:25ukymtf] per il valore giusto di [latex:25ukymtf]\alpha[/latex:25ukymtf]. 

Adesso dimostriamo che prodotto di [latex:25ukymtf]\alpha-[/latex:25ukymtf]Holder limitate è [latex:25ukymtf]\alpha-[/latex:25ukymtf]Holder.
Infatti [latex:25ukymtf]|f&#40;x&#41;g&#40;x&#41;-f&#40;y&#41;g&#40;y&#41;| \leq |f&#40;x&#41;||g&#40;x&#41;-g&#40;y&#41;|+|g&#40;y&#41;||f&#40;x&#41;-f&#40;y&#41;|[/latex:25ukymtf].

Dunque [latex:25ukymtf]u^{8101} \in C^{0,\alpha}[/latex:25ukymtf], quindi per Schauder [latex:25ukymtf]u \in C^{2,\alpha}[/latex:25ukymtf], ma allora tutte le derivate FINO al secondo ordine sono [latex:25ukymtf]\alpha-[/latex:25ukymtf]Holder (perché hanno gradiente limitato, quindi sono Lipschitz ed essendo su un limitato sono quindi Holder).

Ancora per il prodotto di [latex:25ukymtf]\alpha-[/latex:25ukymtf]Holder, abbiamo che [latex:25ukymtf]u^{8101} \in C^{2,\alpha}[/latex:25ukymtf], quindi [latex:25ukymtf]u \in C^{4,\alpha}[/latex:25ukymtf] e ripetendo analogamente si ha [latex:25ukymtf]u \in C^{\infty}[/latex:25ukymtf]