cerco di spiegare qual è la difficoltà che incontro nella costruzione di una base ortonormale comune ai due prodotti scalari definiti positivi

supponiamo che le matrici associate ai  due prodotti scalari definiti positivi siano: [tex:21p52syp]I[/tex:21p52syp] e [tex:21p52syp]B[/tex:21p52syp] (è sempre possibile ricondursi a questo caso)

ci proponiamo costruire una base ortonormale rispetto ad entrambi i prodotti scalari

sia [tex:21p52syp]v_1[/tex:21p52syp] il primo vettore della base, in generale risulterà:

[tex:21p52syp]v_1^tBv_1=b_1[/tex:21p52syp]

[tex:21p52syp]v_1^tIv_1= \parallel v_1 \parallel ^2[/tex:21p52syp]

affinché [tex:21p52syp]v_1[/tex:21p52syp] sia normalizzabile rispetto ai due prodotti scalari deve risultare:

[tex:21p52syp]v_1^tBv_1= v_1^tIv_1[/tex:21p52syp]

e quindi:

[tex:21p52syp]v_1^t&#40;B-I&#41;v_1= 0[/tex:21p52syp]

[tex:21p52syp]v_1 \neq 0[/tex:21p52syp]

cioè [tex:21p52syp]v_1[/tex:21p52syp] deve essere isotropo rispetto al prodotto scalare con matrice associata [tex:21p52syp]&#40;B-I&#41;[/tex:21p52syp]...e questo non è possibile in generale   <!-- s:roll: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_rolleyes.gif" alt=":roll:" title="Rolling Eyes" /><!-- s:roll: -->