Avrei dei dubbi riguardo la dimostrazione per cui se ho una successione di operatori compatti [latex:3ep8xbez]\{f_n\}[/latex:3ep8xbez] da uno spazio normato [latex:3ep8xbez]X[/latex:3ep8xbez] a uno spazio metrico [latex:3ep8xbez]Y[/latex:3ep8xbez] completo che tendono, uniformemente sui limitati, a una certa [latex:3ep8xbez]f[/latex:3ep8xbez], allora quest'ultima è un operatore compatto.
Nella dimostrazione si fa uso della caratterizzazione dei relativamente compatti, per cui servirebbe che per ogni [latex:3ep8xbez]r&gt;0[/latex:3ep8xbez] esista un compatto [latex:3ep8xbez]K_r[/latex:3ep8xbez] che disti meno di [latex:3ep8xbez]r[/latex:3ep8xbez] da [latex:3ep8xbez]f&#40;A&#41;[/latex:3ep8xbez], dove con [latex:3ep8xbez]A[/latex:3ep8xbez] si indica un insieme limitato di [latex:3ep8xbez]X[/latex:3ep8xbez]. Tuttavia, nella dimostrazione, si fa uso della totale limitatezza di [latex:3ep8xbez]f_n &#40;A&#41;[/latex:3ep8xbez], ma non si menzionano compatti. Credo che si possa facilmente risolvere questo punto andando semplicemente a considerare un compatto che sta vicino a [latex:3ep8xbez]f_n&#40;A&#41;[/latex:3ep8xbez] e poi sfruttare la convergenza uniforme.
Quello che non capisco è come mai, dato che [latex:3ep8xbez]Y[/latex:3ep8xbez] è completo, si possa affermare che basti lavorare con insieme totalmente limitati. Il teorema in cui entrano in gioco completezza dello spazio (di tutto, però) e totale limitatezza è quello della caratterizzazione dei compatti in spazi metrici, ma non mi sembra che serva in questo caso, dato che stiamo lavorando con relativamente compatti.