Ciao, ho provato a svolgerlo di nuovo e ho pensato:
Sviluppando in 0 noto che l'integranda va come [tex:p3096d8v]\frac{1}{\sqrt{t}+o&#40;t&#41;}[/tex:p3096d8v] e quindi posso dire che è al massimo [tex:p3096d8v]\frac{1}{4}-Holder[/tex:p3096d8v] vedendo che l'integrale è una radice quarta (mi basta dire ciò per giustificare? o bisogna trattare anche gli o-piccoli?)
[tex:p3096d8v]\forall x\in &#40;0,1&#41;[/tex:p3096d8v], ma in generale su tutto il semiasse positivo, [tex:p3096d8v]\arctan&#40;\sqrt{t&#41;}\le \sqrt&#40;t&#41;[/tex:p3096d8v]
Quindi [tex:p3096d8v]\int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{1}{\arctan \sqrt{t}}\, dt\le\int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{1}{\sqrt{t}}\, dt=\sqrt[4]{x}[/tex:p3096d8v].
Questa è un quarto Holder, quindi anche la precedente lo era.
tutto ciò ci garantisce che la funzione in [tex:p3096d8v]&#40;0,1&#41;[/tex:p3096d8v] non è Lipschitziana, ma è solo uniformemente continua.
Per quanto riguarda l'intervallo [tex:p3096d8v][1,\infty&#41;[/tex:p3096d8v] la funzione è Lipschitziana dal momento che la sua derivata è: [tex:p3096d8v]\frac{1}{\arctan \sqrt[4]{x}}\frac{1}{2\sqrt{x}}\le \frac{\pi}{8}[/tex:p3096d8v]
Si conclude per rincollamento.  <!-- s:D --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_biggrin.gif" alt=":D" title="Very Happy" /><!-- s:D -->