[quote=&quot;GIMUSI&quot;:2wzmz3sv]in casi del genere pensavo di evitare lo scambio sommando  prima le righe; mi spiego, nel caso semplice con prima riga (0 1) e seconda riga (1 0), sommando alla prima la seconda otteniamo come prima riga (1 1) e infine, sottraendo questa dalla seconda, la matrice avente prima riga (1 1) e seconda riga (0 -1); [/quote:2wzmz3sv]
Ah, certo, si può fare anche così. 

[quote=&quot;GIMUSI&quot;:2wzmz3sv]comunque il punto è chiaro...gli scambi non sono un problema ( <!-- s:?: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_question.gif" alt=":?:" title="Question" /><!-- s:?: --> allora nemmeno gauss non ortodosso?)[/quote:2wzmz3sv]
Certamente, basta tenere conto di tutti i coefficienti diversi da 1 che si sono utilizzati.

[quote=&quot;GIMUSI&quot;:2wzmz3sv] <!-- s:?: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_question.gif" alt=":?:" title="Question" /><!-- s:?: --> ma la proprietà Det2 (due righe uguali <!-- s:arrow: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_arrow.gif" alt=":arrow:" title="Arrow" /><!-- s:arrow: --> det=0) come si verifica nel caso n=1?[/quote:2wzmz3sv]
Eheh, la proprietà è vuota, quindi verificata banalmente. Ad esempio, è vero che tutte le volte che ho vinto la lotteria sono ingrassato di 200 kg. E' un po' una sottigliezza logica, e per questo preferisco partire da casi più sensati.

[quote=&quot;GIMUSI&quot;:2wzmz3sv]nfatti mi chiedevo come si potesse verificare la correttezza dello sviluppo di laplace...mi pare che operando sulla prima colonna, impiegando le proprietà Det4 (linearità) e Det5 (alternanza), scomponendo via via la matrice, scambiando le righe e gaussizzando i minori le cose tornino bene ( <!-- s:?: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_question.gif" alt=":?:" title="Question" /><!-- s:?: --> quindi anche dietro lo sviluppo di laplace c'è sempre gauss?)[/quote:2wzmz3sv]
No, è tutto molto più semplice. Bisogna dimostrare che, assumendo che det in dimensione n verifichi (Det1)--(Det4), allora quella cosa scritta con lo sviluppo di Laplace verifica ancora (Det1)--(Det4). Ad esempio per (Det2) supponiamo che la matrice (n+1)*(n+1) abbia due righe uguali. Allora facendo Laplace rispetto alla prima colonna otteniamo (n+1) termini. Di questi, tutti tranne 2 coinvolgono un determinante n*n con due righe uguali, quindi nullo. Restano gli altri due termini, quelli in cui ho usato il termine proveniente da una delle due righe uguali, e bisogna dimostrare che sono l'uno l'opposto dell'altro. A meno del segno sono la stessa cosa, perché il termine preso dalla colonna è lo stesso e anche il determinante n*n coinvolge matrici che hanno solo le righe permutate. Si tratta di andare a vedere che il segno è opposto ...

Sono solo verifiche di questo tipo, e si trovano in qualunque libro (o uno può ovviamente farsele da sè, una volta capito come funziona). Alla fine però non aggiungono moltissimo alla comprensione, ed il motivo per cui le ho lasciate fuori, dovendo per forza tagliare da qualche parte per non procedere alla velocità della luce.

[quote=&quot;GIMUSI&quot;:2wzmz3sv]un ultimo dubbio (forse stupido  <!-- s:oops: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_redface.gif" alt=":oops:" title="Embarassed" /><!-- s:oops: --> ): mi pare che l'unicità sia riferita al &quot;valore&quot; del determinante...ha senso anche parlare di unicità dell'espressione?[/quote:2wzmz3sv]
Non ha senso. Le funzioni x+3 e [2(x+5)-4]/2 hanno gli stessi &quot;valori&quot;, ma forse diverse &quot;espressioni&quot;.