[quote=&quot;Jonathanpizzicoli&quot;:3brppsad]Ciao a tutti..ho un po' di problemi a farmi tornare le serie in oggetto!


[tex:3brppsad]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\Big&#40;n^{\frac{1}{n}}-1\Big&#41;^2[/tex:3brppsad]

[tex:3brppsad]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\Big&#40; \frac{\pi}{2}-\arctan n\Big&#41;[/tex:3brppsad]

[tex:3brppsad]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}e-\Big&#40;1+\frac{1}{n} \Big&#41;^n[/tex:3brppsad]

grazie a chi sapesse aiutarmi.. <!-- s:D --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_biggrin.gif" alt=":D" title="Very Happy" /><!-- s:D -->[/quote:3brppsad]

[b:3brppsad][tex:3brppsad]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\Big&#40;n^{\frac{1}{n}}-1\Big&#41;^2[/tex:3brppsad][/b:3brppsad]

La serie è evidentemente a termini positivi, in quanto elevata al quadrato!Considerando il comportamento asintotico del termine generale si osserva che:

[tex:3brppsad]\displaystyle \Big&#40;n^{\frac{1}{n}}-1\Big&#41;^2= \Big&#40;e^{\frac{\ln n}{n}}-1\Big&#41;^2\sim \Big&#40;\frac{\ln n}{n}}  \Big&#41;^2=\frac{1}{n^2\ln^{-2} n} \to \mbox{Converge}[/tex:3brppsad]


[tex:3brppsad]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\Big&#40; \frac{\pi}{2}-\arctan n\Big&#41;[/tex:3brppsad]

essendo [tex:3brppsad]\frac{\pi}{2}-\arctan n=\arctan \frac{1}{n}[/tex:3brppsad] la serie data è equivalente a 

[tex:3brppsad]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\Big&#40; \frac{\pi}{2}-\arctan n\Big&#41;=\sum_{n=1}^{+\infty}\arctan \frac{1}{n}\sim \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} \to \mbox{Diverge}[/tex:3brppsad]


[tex:3brppsad]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}e-\Big&#40;1+\frac{1}{n} \Big&#41;^n[/tex:3brppsad]

essendo 

[tex:3brppsad]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}e-\Big&#40;1+\frac{1}{n} \Big&#41;^n=\sum_{n=1}^{+\infty}e-\sum_{n=1}^{+\infty}\Big&#40;1+\frac{1}{n} \Big&#41;^n[/tex:3brppsad]

essendo somma(algebrica) di due serie divergenti (Il termine generale non tende a zero!) per linearità la serie non converge