Faccio un breve riassunto sulla casistica della terza scheda degli esercizi sugli 1-extender da aperti [latex:u1oanezq]\Omega[/latex:u1oanezq] a [latex:u1oanezq]\mathbb{R}^2[/latex:u1oanezq], vediamo se ho ragionato bene:
[b:u1oanezq]Esercizio 1[/b:u1oanezq]
(a) [latex:u1oanezq]\Omega =[/latex:u1oanezq] quadrato. E' l'estensione del Brezis, ricordata nel primo commento del post.

(b) [latex:u1oanezq]\Omega =[/latex:u1oanezq] triangolo. L'estensione esiste, basta ricondursi al triangolo rettangolo, riflettere rispetto all'ipotenusa e poi procedere come nel punto precedente, come detto anche in un commento precedente.

(c) [latex:u1oanezq]\Omega =[/latex:u1oanezq] unione di tre quadranti del piano. Con una rotazione di [latex:u1oanezq]\pi/4[/latex:u1oanezq] questo [latex:u1oanezq]\Omega[/latex:u1oanezq] è il sottografico del valore assoluto di [latex:u1oanezq]x[/latex:u1oanezq], quindi si può estendere come nell'ultimo esercizio della scheda precedente con [latex:u1oanezq]Eu&#40;x,y&#41;=u&#40;x,2|x|-y&#41;[/latex:u1oanezq].

(d) [latex:u1oanezq]\Omega =[/latex:u1oanezq] unione di due quadranti opposti. L'estensione non esiste. Consideriamo ad esempio la funzione [latex:u1oanezq]u&#40;x,y&#41;[/latex:u1oanezq] che vale 1 sul primo quadrante e -1 sul terzo quadrante. Questa è sicuramente [latex:u1oanezq]W^{1,p}&#40;\Omega&#41;[/latex:u1oanezq] per ogni [latex:u1oanezq]p[/latex:u1oanezq], e se si potesse estendere, l'estesa sarebbe [latex:u1oanezq]W^{1,p}&#40;\mathbb{R}^2&#41;[/latex:u1oanezq] per ogni [latex:u1oanezq]p[/latex:u1oanezq], dunque ad esempio per [latex:u1oanezq]p=3[/latex:u1oanezq]. Quindi per immersione l'estesa sarebbe continua, ma ciò è assurdo perché in 0 non lo è.

(e) [latex:u1oanezq]\Omega =[/latex:u1oanezq] unione di due semipiani [latex:u1oanezq]\mathbb{R}\times &#40;1,+\infty&#41; \cup \mathbb{R} \times &#40;-\infty,-1&#41;[/latex:u1oanezq]. Direi che l'estensione esiste, riflettendo rispetto a y=1 la parte [latex:u1oanezq]\mathbb{R}\times &#40;1,3/2&#41;[/latex:u1oanezq] e rispetto a y=-1 la parte [latex:u1oanezq]\mathbb{R}\times &#40;-3/2,-1&#41;[/latex:u1oanezq] e poi raccordando in modo opportuno le due parti riflesse, nella zona [latex:u1oanezq]\mathbb{R} \times &#40;-1/2,1/2&#41;[/latex:u1oanezq]. Non sono però sicuro che questa operazione di raccordo sia effettivamente sempre fattibile controllando gli integrali...

(f) [latex:u1oanezq]\Omega =[/latex:u1oanezq] unione di due semipiani con lo stesso bordo [latex:u1oanezq]\{&#40;x,y&#41;\in \mathbb{R}^2 : x \neq y \}[/latex:u1oanezq]. L'extender non esiste, come nel punto (d) consideriamo la funzione [latex:u1oanezq]u&#40;x,y&#41; \in W^{1,3}&#40;\Omega&#41;[/latex:u1oanezq] che vale +1 su un semipiano e -1 sull'altro. Di nuovo l'estesa se esistesse dovrebbe essere continua, assurdo.

(g) [latex:u1oanezq]\Omega =[/latex:u1oanezq] striscia [latex:u1oanezq]&#40;0,1&#41;\times \mathbb{R}[/latex:u1oanezq]. L'estensione esiste: consideriamo la riflessione per parità rispetto all'asse y e rispetto alla retta verticale x=1, otteniamo una funzione [latex:u1oanezq]W^{1,p}&#40;\Omega&#39;&#41;[/latex:u1oanezq] dove [latex:u1oanezq]\Omega&#39; = &#40;-1,2&#41;\times \mathbb{R}[/latex:u1oanezq]. A questo punto estendiamo a 0 fuori da [latex:u1oanezq]\Omega&#39;[/latex:u1oanezq] e moltiplichiamo per una funzione cut-off [latex:u1oanezq]C^{\infty}_c&#40;\mathbb{R}^2&#41;[/latex:u1oanezq]che vale 1 in [latex:u1oanezq]\Omega[/latex:u1oanezq] e 0 fuori da [latex:u1oanezq]\Omega&#39;[/latex:u1oanezq]. La funzione ottenuta dovrebbe essere [latex:u1oanezq]W^{1,p}&#40;\mathbb{R}^2&#41;[/latex:u1oanezq].

(h) [latex:u1oanezq]\Omega =[/latex:u1oanezq] sopragrafico di [latex:u1oanezq]|\sin &#40;x&#41;|[/latex:u1oanezq]. Il bordo è 1-lipschitz, dunque direi che l'extender esiste, riflettendo rispetto a [latex:u1oanezq]|\sin&#40;x&#41;|[/latex:u1oanezq] con [latex:u1oanezq]Eu&#40;x,y&#41; = u&#40;x,2|\sin&#40;x&#41;|-y&#41;[/latex:u1oanezq]. 

(i) [latex:u1oanezq]\Omega =[/latex:u1oanezq] sopragrafico di [latex:u1oanezq]|x|^{1/2}[/latex:u1oanezq]. In questo caso c'è una cuspide, e la corrispondente zona di integrazione che va restringendosi si può sfruttare per trovare una funzione che sia ad esempio [latex:u1oanezq]W^{1,3}&#40;\Omega&#41;[/latex:u1oanezq] ma che diverga nel vertice della cuspide, in modo che, assumendo per assurdo che l'extender esista, si trovi l'assurdo considerando l'estesa, che essendo  [latex:u1oanezq]W^{1,3}&#40;\mathbb{R}^2&#41;[/latex:u1oanezq], per immersione è continua, e invece non può esserlo nell'origine. 
Se ho fatto bene i conti scegliendo [latex:u1oanezq]u&#40;x,y&#41; = \dfrac{e^{-x^2-y^2}}{y^\alpha}[/latex:u1oanezq] con [latex:u1oanezq]0&lt;\alpha&lt;2/5[/latex:u1oanezq], dovrebbe funzionare (l'esponenziale a numeratore serve per far convergere gli integrali per y che va a + infinito).

(j) [latex:u1oanezq]\Omega =[/latex:u1oanezq] sottografico della parabola [latex:u1oanezq]y=x^2[/latex:u1oanezq]. Come si vede nell'esercizio 2 della scheda 2 sugli extender, la riflessione rispetto al grafico della parabola non funziona (se non sbaglio perché esplode la derivata dell'estesa rispetto a x). Il bordo non è lipschitz, e sarei portato a dire che in questo caso l'extender non esista, ma non ho trovato ancora controesempi...

(k) [latex:u1oanezq]\Omega =[/latex:u1oanezq] sottografico di [latex:u1oanezq]|x|^{1/2}[/latex:u1oanezq]. Idem come il punto (j).

[b:u1oanezq]Esercizio 2[/b:u1oanezq]
[latex:u1oanezq]\Omega = \left\{ &#40;x,y&#41;\in \mathbb{R}^2 : x&gt;1, \; 0&lt;y&lt; \dfrac{e^{-2018x}}{x \log^2 x} \right\}[/latex:u1oanezq]. Parto direttamente dal punto (c). Qui ci sono restringimenti del dominio che fanno sì che [latex:u1oanezq]u&#40;x,y&#41;=e^x[/latex:u1oanezq] sia [latex:u1oanezq]W^{m,p}&#40;\Omega&#41;[/latex:u1oanezq] per ogni [latex:u1oanezq]m[/latex:u1oanezq] e per ogni [latex:u1oanezq]p\leq 2018[/latex:u1oanezq]. Se esistesse l'1-extender a tutto [latex:u1oanezq]\mathbb{R}^2[/latex:u1oanezq] l'estesa di [latex:u1oanezq]u[/latex:u1oanezq] sarebbe a sua volta, ad esempio, [latex:u1oanezq]W^{1,3}&#40;\mathbb{R}^2&#41;[/latex:u1oanezq], dunque per immersione anche [latex:u1oanezq]L^\infty[/latex:u1oanezq], assurdo.

(d) Dire se esiste un 1-extender da [latex:u1oanezq]\Omega[/latex:u1oanezq] a...

[latex:u1oanezq]\Omega&#39; = \left\{ &#40;x,y&#41;\in \mathbb{R}^2 : x&gt;1, \; |y|&lt; \dfrac{e^{-2018x}}{x \log^2 x} \right\}[/latex:u1oanezq]. Direi che l'estensione da [latex:u1oanezq]\Omega[/latex:u1oanezq] a [latex:u1oanezq]\Omega&#39;[/latex:u1oanezq] esiste, basta estendere per parità rispetto all'asse x.

[latex:u1oanezq]\Omega&#39;&#39; = \left\{ &#40;x,y&#41;\in \mathbb{R}^2 : x&gt;1, \; y&lt; \dfrac{e^{-2018x}}{x \log^2 x} \right\}[/latex:u1oanezq]. In questo caso ho un punto interrogativo, sicuramente se si potesse poi estendere da [latex:u1oanezq]\Omega&#39;&#39;[/latex:u1oanezq] a [latex:u1oanezq]\mathbb{R}^2[/latex:u1oanezq], ciò escluderebbe la possibilità di una estensione da [latex:u1oanezq]\Omega[/latex:u1oanezq] a [latex:u1oanezq]\Omega&#39;&#39;[/latex:u1oanezq], ma qui mi sono fermato...