Esercizio 4
[latex:k5pp4tqk]\displaystyle m_\epsilon=min\Big\{\int_0^1&#40;\dot{u}^2+\dot{u}^6+\epsilon\sin u&#41; dx : u \in C^1&#40;[0,1]&#41;, u&#40;0&#41;=0, u&#40;1&#41;=\epsilon  \Big\}[/latex:k5pp4tqk]
[latex:k5pp4tqk]m_\epsilon[/latex:k5pp4tqk] esiste per applicazione del metodo diretto. Per ogni epsilon infatti il seno è limitato dal basso e [latex:k5pp4tqk]\dot{u}^6\geqslant0[/latex:k5pp4tqk], da cui ottengo la compattezza. La SCI si ottiene sapendo che il termine con il seno si sistema con la convergenza uniforme, mentre i termini con [latex:k5pp4tqk]\dot{u}[/latex:k5pp4tqk] si sistemano assieme grazie alla convessità. La regolarità infine si conquista discutendo ELE debole (ad una certa sarà necessaria la monotonia di [latex:k5pp4tqk]\dot{u}^2+\dot{u}^6[/latex:k5pp4tqk] in [0,1] per poter invertire ed ottenere la regolarità di [latex:k5pp4tqk]\dot{u}[/latex:k5pp4tqk]). 

Riguardo alla convessità secondo me [latex:k5pp4tqk]0\leqslant \epsilon \leqslant \pi[/latex:k5pp4tqk]. Scrivo (ELE) e ottengo [latex:k5pp4tqk]2\ddot{u}+30\dot{u}^4\ddot{u}=\epsilon\cos u[/latex:k5pp4tqk], che può essere portata in forma normale [latex:k5pp4tqk]\ddot{u}=\displaystyle \frac {\epsilon\cos u}{2+30\dot{u}^4}[/latex:k5pp4tqk]. Devo quindi studiare il segno di [latex:k5pp4tqk]\ddot{u}[/latex:k5pp4tqk]. Esso ha deminatore sempre positivo, lo studio del segno si riduce allo studio di [latex:k5pp4tqk]\cos u[/latex:k5pp4tqk]. Quest'ultimo è &gt;0 quando [latex:k5pp4tqk]0\leqslant u&#40;x&#41; \leqslant \pi[/latex:k5pp4tqk], [latex:k5pp4tqk]\forall x \in [0,1][/latex:k5pp4tqk]. So che [latex:k5pp4tqk]u&#40;1&#41;=\epsilon[/latex:k5pp4tqk]. Quindi [latex:k5pp4tqk]\epsilon[/latex:k5pp4tqk] non può essere maggiore di [latex:k5pp4tqk]\pi[/latex:k5pp4tqk], sennò, per continuità, esisterebbe un c tale [latex:k5pp4tqk]u&#40;x&#41;&gt;\pi[/latex:k5pp4tqk], [latex:k5pp4tqk]\forall x \in &#40;c,1][/latex:k5pp4tqk], portandomi ad avere [latex:k5pp4tqk]\cos u &lt; 0[/latex:k5pp4tqk]. Dico che invece tutti gli [latex:k5pp4tqk]\epsilon \geqslant \ pi[/latex:k5pp4tqk] vanno bene. Infatti il minimo non può superare [latex:k5pp4tqk]\epsilon[/latex:k5pp4tqk], se lo superasse, potrei pagare sicuramente meno per troncamento ( i pezzi costanti costano poco).
Per il punto c) Ansatz [latex:k5pp4tqk]u&#40;x&#41;=\epsilon v&#40;x&#41;[/latex:k5pp4tqk].
Ottengo [latex:k5pp4tqk]\displaystyle F&#40;u&#41;=\int_0^1&#40;\dot{u}^2+\dot{u}^6+\epsilon\sin u&#41; dx =\\ \displaystyle
\int_0^1&#40;\epsilon^2\dot{v}^2+\epsilon^6\dot{v}^6+\epsilon\sin {\epsilon v}&#41; dx= \\ \displaystyle\epsilon^2\int_0^1&#40;\dot{v}^2+\epsilon^4\dot{v}^6+\frac{\sin {\epsilon v}}{\epsilon}&#41; dx=\epsilon^2G_\epsilon &#40;v&#41;[/latex:k5pp4tqk].
La dimostrazione che [latex:k5pp4tqk]G_\epsilon &#40;v&#41;\xrightarrow{\Gamma}\displaystyle\int_0^1\dot{v}^2+vdx[/latex:k5pp4tqk] si fa sfruttando la convessità e Taylor.

Purtroppo, infine non ho ancora capito come approcciare l'esericizio 3. Vorrei affrontarlo in maniera identica a come fatto a lezione nella Lezione 28, approssimando arcotangente e seno con il loro Taylor (anche vicino ad l, u è nulla), ma non so proprio come formalizzarlo... <!-- s:oops: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_redface.gif" alt=":oops:" title="Embarassed" /><!-- s:oops: --> quello che abbiamo fatto nella Lezione 41 mi sembra concettualmente molto diverso...