[quote=&quot;GIMUSI&quot;:v01rjhdd]Inoltre alla fine si stabilisce che in generale vale sempre la diseguaglianza seguente:

[latex:v01rjhdd]|f&#40;y&#41;-f&#40;x&#41;| \leq M\cdot \mbox{dist}&#40;y,x&#41;[/latex:v01rjhdd]

Si intende che questa valga sempre anche per funzioni con valori in [latex:v01rjhdd]\mathbb{R}^m[/latex:v01rjhdd]?[/quote:v01rjhdd]

Sì, ma il punto non è tanto avere m variabili in arrivo. Il punto è che, anche con una sola variabile in arrivo, se l'insieme non è convesso non si può, da una stima sulla norma del gradiente del tipo [latex:v01rjhdd]|\nabla f&#40;x&#41;|\leq M[/latex:v01rjhdd] per ogni x, dedurre che

[latex:v01rjhdd]|f&#40;y&#41;-f&#40;x&#41;|\leq M|y-x|[/latex:v01rjhdd]

Questo è possibile solo se y e x &quot;si vedono&quot;, cioè se tutto il segmento di estremi x ed y è contenuto nella zona in cui vale la stima sul gradiente.

Altrimenti (ad esempio quando la zona è il ferro di cavallo, o la corona circolare meno un raggio, o lo spiralone, come negli esempi perversi), vale sempre comunque che

[latex:v01rjhdd]|f&#40;y&#41;-f&#40;x&#41;|\leq M\cdot\mbox{dist}&#40;y,x&#41;[/latex:v01rjhdd]

dove con quel dist(x,y) si indica l'inf della lunghezza di tutte le spezzate che congiungono x ed y restando nella zona in cui vale la stima. Ad esempio, nell'esempio perverso 1, la dist tra i punti x ed y segnati in figura si ottiene praticamente &quot;facendo tutto il giro&quot;. In altre parole, quei due punti sono abbastanza lontani, e non molto vicini come sembrerebbe dal mondo esterno.

In questo modo continua a valere la Lipschitzianità che uno si aspetterebbe, ma non rispetto alla distanza del mondo esterno, ma rispetto ad una distanza calcolata restando nell'insieme, senza mai poter uscire.