Ciao a tutti! Come da titolo inizio a postare i ragionamenti che ho seguito per cercare di risolvere gli esercizi di oggi, alcune cose non mi sono riuscite e per quanto riguarda le altre magari c'erano modi migliori! Comunque partiamo con il primo.

La funzione ha [latex]\sup_{A} f = +\infty[/latex] infatti per ogni [latex]n[/latex] si ha [latex](x_n,y_n,z_n)=(1/n,1,n) \in A[/latex] e [latex]\lim_{n \to +\infty} 1/n^2+1+n^4 = +\infty[/latex]. Voglio dimostrare che il [latex]\sup[/latex] è anche limite in modo da ottenere l'esistenza del minimo per Weierstrass generalizzato.

Considero [latex]\phi \colon A \to \mathbb{R^3}[/latex] definita come [latex]\phi(x,y,z)=(x,y^{3/2},z^2)[/latex] a questo punto osservo che posta [latex]g(u,v,w)=u^2+v^2+w^2[/latex] si ha

[latex]f(x,y,z)=g(\phi(x,y,z))[/latex] di conseguenza se [latex]\displaystyle \lim_{x^2+y^2+z^2 \to +\infty, \ (x,y,z) \in A} g(\phi(x,y,z)) = \lim_{u^2+v^2+w^2 \to +\infty, \ (u,v,w) \in \phi(A)} g(u,v,w)[/latex]