[quote=&quot;Massimo Gobbino&quot;:2j2s5flp]
[quote=&quot;GIMUSI&quot;:2j2s5flp]nfatti mi chiedevo come si potesse verificare la correttezza dello sviluppo di laplace...mi pare che operando sulla prima colonna, impiegando le proprietà Det4 (linearità) e Det5 (alternanza), scomponendo via via la matrice, scambiando le righe e gaussizzando i minori le cose tornino bene ( <!-- s:?: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_question.gif" alt=":?:" title="Question" /><!-- s:?: --> quindi anche dietro lo sviluppo di laplace c'è sempre gauss?)[/quote:2j2s5flp]
No, è tutto molto più semplice. Bisogna dimostrare che, assumendo che det in dimensione n verifichi (Det1)--(Det4), allora quella cosa scritta con lo sviluppo di Laplace verifica ancora (Det1)--(Det4). Ad esempio per (Det2) supponiamo che la matrice (n+1)*(n+1) abbia due righe uguali. Allora facendo Laplace rispetto alla prima colonna otteniamo (n+1) termini. Di questi, tutti tranne 2 coinvolgono un determinante n*n con due righe uguali, quindi nullo. Restano gli altri due termini, quelli in cui ho usato il termine proveniente da una delle due righe uguali, e bisogna dimostrare che sono l'uno l'opposto dell'altro. A meno del segno sono la stessa cosa, perché il termine preso dalla colonna è lo stesso e anche il determinante n*n coinvolge matrici che hanno solo le righe permutate. Si tratta di andare a vedere che il segno è opposto ...
Sono solo verifiche di questo tipo, e si trovano in qualunque libro (o uno può ovviamente farsele da sè, una volta capito come funziona). Alla fine però non aggiungono moltissimo alla comprensione, ed il motivo per cui le ho lasciate fuori, dovendo per forza tagliare da qualche parte per non procedere alla velocità della luce.[/quote:2j2s5flp]
chiarissimo...gauss consente di dimostrare che se la funzione determinante esiste essa è unica...e lo sviluppo di laplace permette di dimostrarne l'esistenza per induzione (soddisfacimento della basic)...
...il dubbio che mi era venuto è da dove venisse fuori l'espressione papabile &quot;sviluppo di laplace&quot;...ora mi è chiaro che questo è un aspetto che non c'entra nulla con il teorema ed in particolare con l'esistenza
[quote=&quot;Massimo Gobbino&quot;:2j2s5flp]
[quote=&quot;GIMUSI&quot;:2j2s5flp]un ultimo dubbio (forse stupido  <!-- s:oops: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_redface.gif" alt=":oops:" title="Embarassed" /><!-- s:oops: --> ): mi pare che l'unicità sia riferita al &quot;valore&quot; del determinante...ha senso anche parlare di unicità dell'espressione?[/quote:2j2s5flp]
Non ha senso. Le funzioni x+3 e [2(x+5)-4]/2 hanno gli stessi &quot;valori&quot;, ma forse diverse &quot;espressioni&quot;.[/quote:2j2s5flp]
avevo l'impressione infatti che fosse un dubbio stupido  <!-- s:cry: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_cry.gif" alt=":cry:" title="Crying or Very sad" /><!-- s:cry: -->