Ciao Mentina, scusami ma non riesco a capire la tua obiezione. 
La mia intenzione era quella di dimostrare che funzioni diverse nell'insieme di partenza hanno derivate diverse nell'insieme d'arrivo, mentre funzioni uguali, che hanno cioè lo stesso grafico, hanno anche derivate uguali; il tutto secondo la definizione di funzione iniettiva.