Ciao a tutti! Ho provato a risolvere il seguente esercizio:

Sia [tex:3my2xzl6]A \in \mathcal{M}_n \left&#40;\mathbb{R}\right&#41;[/tex:3my2xzl6] una matrice tale ogni suo elemento appartenga a [tex:3my2xzl6]\mathbb{Z}[/tex:3my2xzl6]. Si dimostri che [tex:3my2xzl6]KerA[/tex:3my2xzl6] possiede una base di vettori appartenenti a [tex:3my2xzl6]\mathbb{Z}^n[/tex:3my2xzl6].

Ho provato a ragionare in questo modo: effettuando operazioni elementari per riga risolvo il sistema lineare [tex:3my2xzl6]AX=0[/tex:3my2xzl6] trovando una base di [tex:3my2xzl6]KerA[/tex:3my2xzl6] composta di vettori appartenenti a [tex:3my2xzl6]\mathbb{Q}^n[/tex:3my2xzl6] infatti con operazioni elementari di secondo tipo moltiplico le righe solo per [tex:3my2xzl6]\lambda \in \mathbb{Q}[/tex:3my2xzl6]. Sia [tex:3my2xzl6]\mathcal{B}=\left\{q_1,\cdots,q_k\right\}[/tex:3my2xzl6] una base di [tex:3my2xzl6]KerA[/tex:3my2xzl6] con [tex:3my2xzl6]q_i \in \mathbb{Q}^n\ \forall i \in \left\{1,\cdots,k\right\}[/tex:3my2xzl6], allora avrò che [tex:3my2xzl6]q_i=\left&#40;\frac{a_{i,1}}{b_{i,1}},\cdots,\frac{a_{i,n}}{b_{i,n}}\right&#41;[/tex:3my2xzl6] dove [tex:3my2xzl6]\forall j \in \left\{1,\cdots,n\right\}\quad a_{i,j}, b_{i,j} \in \mathbb{Z}[/tex:3my2xzl6] quindi detto [tex:3my2xzl6]m_i=mcm\left&#40;b_{i,1},\cdots,b_{i,n}\right&#41;[/tex:3my2xzl6] avrò che [tex:3my2xzl6]\tilde{\mathcal{B}}=\left\{m_1q_1,\cdots,m_kq_k\right\}[/tex:3my2xzl6] è la base cercata??