Beh, intanto riscrivo la disequazione, così è più comodo per tutti:

[latex:qj34wcnh]\log_5\left&#40;\sqrt{4-x}-2^x\right&#41;&gt;0[/latex:qj34wcnh]

Ora si tratta di osservare che per x=0 vale l'uguaglianza, per x&gt;0 si ha che

[latex:qj34wcnh]\sqrt{4-x}-2^x&lt;2-2^x&lt;1[/latex:qj34wcnh]

dunque il logaritmo non può essere positivo. Per x&lt;0, infine, vale che

[latex:qj34wcnh]\sqrt{4-x}-2^x&gt;2-2^x&gt;1[/latex:qj34wcnh]

quindi la disuguaglianza data è verificata perché l'argomento del logaritmo è maggiore di 1.

Il problema (inizialmente) è farsi venire in mente questo procedimento. D'altra parte, gli ultimi esercizi di ogni sezione servono proprio a questo, cioè per far vedere quanto si può fare quando si esce dagli schemi, e non ci si limita solo ad applicare bovinamente degli algoritmi di risoluzione (che fino a quel punto sono andati benissimo).

Nota bene: ciascuna delle disuguaglianze che ho scritto, da sola, è sostanzialmente banale. Accoppiandone 2 si ottiene già un esercizio di una certa complessità. Spesso in matematica, per andare da A a B, bisogna passare per una quindicina di posti incogniti. Ciascuno degli spostamenti non è difficile di suo; quello che è difficile è vedere la via.