Cerco intanto di rispiegare la domanda, così vedo se l'ho capita io ... 

Mettiamoci per semplicità in due variabili. Detti [tex:3mn8rx3g]e_1=&#40;1,0&#41;[/tex:3mn8rx3g] e [tex:3mn8rx3g]e_2=&#40;0,1&#41;[/tex:3mn8rx3g] i due vettori della base canonica, il gradiente (in un certo punto) è definito come il vettore

[tex:3mn8rx3g]\nabla f=\dfrac{\partial f}{\partial e_1}e_1+\dfrac{\partial f}{\partial e_2}e_2[/tex:3mn8rx3g]

Ovviamente, avendo scelto la base canonica, le due derivate parziali scritte sono le derivate parziali rispetto ad x e y della funzione.

Analogamente, se prendo una qualunque base [b:3mn8rx3g][color=#0000FF:3mn8rx3g]ortonormale[/color:3mn8rx3g][/b:3mn8rx3g] [tex:3mn8rx3g]\{v_1,v_2\}[/tex:3mn8rx3g] e calcolo il vettore

[tex:3mn8rx3g]\dfrac{\partial f}{\partial v_1}v_1+\dfrac{\partial f}{\partial v_2}v_2[/tex:3mn8rx3g]

ottengo magicamente lo stesso vettore di prima (ovviamente si intende che le due derivate sono le derivate direzionali rispetto ai vettori della nuova base). 

La stessa cosa non succede se la base non è ortonormale. Perché? Detto meglio: perché va bene se è una base ortonormale e perché va male se non lo è?

È una questione di algebra lineare ... Le due derivare direzionali sono i prodotti scalari tra il gradiente e le due direzioni. Quando è che le componenti di un vettore rispetto ad una base sono i prodotti scalari tra il vettore e gli elementi della base stessa? Semplice ... se e solo se la base è ortonormale!