Gran bella domanda: quanto si può risparmiare nella dimostrazione del teorema di Schwarz?

Non ho una risposta immediata ... Diciamo che la dimostrazione vista a lezione (che poi è la &quot;solita&quot;) si può stiracchiare indebolendo le ipotesi fino a questo punto

[list:2avl8pwc]
[*:2avl8pwc][tex:2avl8pwc]f_{xy}&#40;x,y&#41;[/tex:2avl8pwc] esiste in [tex:2avl8pwc]&#40;-r,r&#41;\times&#40;-r,r&#41;[/tex:2avl8pwc] ed è continua in (0,0),

[/*:m:2avl8pwc]
[*:2avl8pwc][tex:2avl8pwc]f_x&#40;x,y&#41;[/tex:2avl8pwc] esiste in [tex:2avl8pwc]&#40;-r,r&#41;\times&#40;-r,r&#41;[/tex:2avl8pwc] ed è continua rispetto alla variabile x nei punti dell'asse y che cascano nell'intorno, cioè

[tex:2avl8pwc]\displaystyle\lim_{x\to 0}f_x&#40;x,y&#41;=f_x&#40;0,y&#41;\quad\quad\forall y\in&#40;-r-r&#41;[/tex:2avl8pwc].[/*:m:2avl8pwc][/list:u:2avl8pwc]

Allora [tex:2avl8pwc]f_{yx}&#40;0,0&#41;[/tex:2avl8pwc] esiste e coincide con [tex:2avl8pwc]f_{xy}&#40;0,0&#41;[/tex:2avl8pwc].

Lascio agli interessati il problema di dimostrare questa variante (si tratta solo di ottimizzare la solita dimostrazione), e di scoprire (cosa che in questo momento non so) se si possono indebolire ulteriormente le ipotesi (ad esempio quel minimo di continuità richiesta sulla derivata parziale rispetto ad x).