[quote=&quot;Firnen&quot;:3j9gio56]Il +1 aggiunto non dovrebbe essere nell'argomento del logaritmo?[/quote:3j9gio56]

 <!-- s:? --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_confused.gif" alt=":?" title="Confused" /><!-- s:? -->  <!-- s:? --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_confused.gif" alt=":?" title="Confused" /><!-- s:? -->  Perché lo vuoi aggiungere nell'argomento del logaritmo? La funzione di quell'1 è di evitare che il denominatore si annulli anche quando [latex:3j9gio56]\|x\|=1[/latex:3j9gio56].


[quote=&quot;Firnen&quot;:3j9gio56]Grazie a questo esempio son stati costruiti i controesempi ( traslazioni e sistemazione degli indici) dell' esercizio 4 dello scritto 5? Come si riscalano precisamente e da dove nasce l'idea per il caso p&lt;2 ?[/quote:3j9gio56]

Qui capisco poco la domanda. Le funzioni con potenze e logaritmi al denominatore tornano sempre utili quando si vuole stare &quot;giusto giusto&quot; in qualche spazio [latex:3j9gio56]L^p[/latex:3j9gio56], come nei classici esercizi &quot;trovare una funzione in (0,1) che sta in [latex:3j9gio56]L^p&#40;&#40;0,1&#41;&#41;[/latex:3j9gio56] se e solo [latex:3j9gio56]p\leq 77[/latex:3j9gio56] o se e solo se [latex:3j9gio56]p&lt;77[/latex:3j9gio56]&quot;.

Per quanto riguarda l'ultima domanda, mi pare che si riferisca all'esercizio 4a del compito 2019-5. Se è così, l'osservazione fondamentale è che su intervalli finiti che se ne stanno lontani da 0 le funzioni [latex:3j9gio56]f&#40;x&#41;[/latex:3j9gio56] e [latex:3j9gio56]f&#40;x^4&#41;[/latex:3j9gio56] hanno la stessa sommabilità, in quanto il cambio di variabili e la sua inversa hanno derivata limitata. Quindi è assurdo sperare che [latex:3j9gio56]f&#40;x^4&#41;[/latex:3j9gio56] stia in [latex:3j9gio56]L^2[/latex:3j9gio56] se [latex:3j9gio56]f&#40;x&#41;[/latex:3j9gio56] non sta almeno in [latex:3j9gio56]L^2[/latex:3j9gio56]. Il controesempio è una qualunque funzione che non stia per pochissimo in [latex:3j9gio56]L^2[/latex:3j9gio56], e quindi sta in tutti gli [latex:3j9gio56]L^p[/latex:3j9gio56] precedenti. Questo porta ad usare [latex:3j9gio56]\sqrt{x-1}[/latex:3j9gio56] al denominatore. L'aggiunta di [latex:3j9gio56]x^2[/latex:3j9gio56] a moltiplicare serve solo per sistemare il problema all'infinito. La funzione

[latex:3j9gio56]f&#40;x&#41;=\dfrac{e^{-x}}{|x-77|^{1/2}}[/latex:3j9gio56]

sarebbe andata ugualmente bene.