[quote=&quot;Massimo Gobbino&quot;:1823s1qk]
Assolutamente no. La condizione necessaria è soddisfatta per ogni [tex:1823s1qk]\alpha&gt;0[/tex:1823s1qk]. Perché?[/quote:1823s1qk]

Ho scritto un orrore matematico, logicamente 1/sqrt(n) -&gt;0 e arctan (1/n^a)-&gt; se 1/n^a -&gt;0, quindi è sufficiente che [tex:1823s1qk]\alpha&gt;0[/tex:1823s1qk].  <!-- s:oops: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_redface.gif" alt=":oops:" title="Embarassed" /><!-- s:oops: --> 



[quote=&quot;Massimo Gobbino&quot;:1823s1qk] Quale dei due termini comanda per [tex:1823s1qk]\alpha&gt;1/2[/tex:1823s1qk] ? E per [tex:1823s1qk]\alpha&lt;1/2[/tex:1823s1qk] ? [/quote:1823s1qk]
Per [tex:1823s1qk]\alpha&gt;1/2[/tex:1823s1qk]: Utilizzando il primo termine dello sviluppo di Taylor per l'arctan (1/n^a) ottengo ( 1/sqrt(n) - 1/n^a), mettendo in evidenza 1/sqrt(n) vedo che è proprio questo termine che comanda, dato che la parte fra parentesi tende ad 1. Quindi la mia serie si comporta come 1/sqrt(n) e, dato che (1/2)&lt;1, diverge.

Per [tex:1823s1qk]\alpha&gt;1/2[/tex:1823s1qk]: Utilizzando il primo termine dello sviluppo di Taylor per l'arctan (1/n^a) ottengo ( 1/sqrt(n) - 1/n^a), mettendo in evidenza  1/n^a vedo che è proprio questo termine che comanda, dato che la parte fra parentesi tende a -1. Quindi la mia serie si comporta come 1/n^a e, dato che a&lt;1, diverge.

[quote=&quot;Massimo Gobbino&quot;:1823s1qk]Cosa succede per [tex:1823s1qk]\alpha=1/2[/tex:1823s1qk] ? Entrano in gioco i termini successivi di Taylor ... Penso ci siano esempi analoghi nei video sulle serie parametriche di quasi tutti gli anni.[/quote:1823s1qk]

Per [tex:1823s1qk]\alpha=1/2[/tex:1823s1qk] utilizzo lo sviluppo di Taylor di ordine 3: 1/sqrt(n) - (1/sqrt(n)  -  1/3*(sqrt (n))^3 ), da cui :

1/3*(sqrt (n))^3 si comporta come 1/(sqrt (n))^3 , e dato che 3/2 &gt;1, la serie converge.

La ringrazio, è stato provvidenziale!