La differenza tra i limiti all'infinito su tutto lo spazio e quelli su domini e' che nel secondo caso hai delle restrizioni in piu': ad esempio per dimostrare che il limite non esiste devi considerare due curve su cui il limite e' diverso ma che stanno nel dominio. Vediamo il tuo limite con [tex:wgppfpnz]f&#40;x,y&#41; = &#40;x+y&#41;\arctan&#40;y^2&#41;[/tex:wgppfpnz]. Su [tex:wgppfpnz]R^2[/tex:wgppfpnz] il limite non esiste: basta considerare [tex:wgppfpnz]f&#40;0,y&#41;[/tex:wgppfpnz], che per [tex:wgppfpnz]y\rightarrow +\infty[/tex:wgppfpnz] va a [tex:wgppfpnz]+\infty[/tex:wgppfpnz], mentre per [tex:wgppfpnz]y\rightarrow -\infty[/tex:wgppfpnz] va a [tex:wgppfpnz]-\infty[/tex:wgppfpnz]. Nel caso del dominio [tex:wgppfpnz]D_1[/tex:wgppfpnz] ancora il limite non esiste ma le due curve di prima non stanno in [tex:wgppfpnz]D_1[/tex:wgppfpnz] per [tex:wgppfpnz]y[/tex:wgppfpnz] molto grandi o molto negativi. Quindi devi cambiare curve. Se prendi [tex:wgppfpnz]f&#40;x,x&#41;[/tex:wgppfpnz] questa tende a [tex:wgppfpnz]+\infty[/tex:wgppfpnz] quando [tex:wgppfpnz]x\rightarrow +\infty[/tex:wgppfpnz], se consideri [tex:wgppfpnz]f&#40;x,0&#41;[/tex:wgppfpnz] invece è costantemente nulla. Sul dominio [tex:wgppfpnz]D_4[/tex:wgppfpnz] invece il limite esiste ed è [tex:wgppfpnz]+\infty[/tex:wgppfpnz], infatti quando [tex:wgppfpnz]x^2+y^2\rightarrow+\infty[/tex:wgppfpnz] in [tex:wgppfpnz]D_4[/tex:wgppfpnz] allora  sia [tex:wgppfpnz]x[/tex:wgppfpnz] che [tex:wgppfpnz]y[/tex:wgppfpnz] tendono a [tex:wgppfpnz]+\infty[/tex:wgppfpnz]. Nel dominio [tex:wgppfpnz]D_5[/tex:wgppfpnz]  il limite esiste ed è [tex:wgppfpnz]0[/tex:wgppfpnz].  Quando  infatti [tex:wgppfpnz]x^2+y^2\rightarrow+\infty[/tex:wgppfpnz] in [tex:wgppfpnz]D_5[/tex:wgppfpnz] allora  [tex:wgppfpnz]x\rightarrow +\infty[/tex:wgppfpnz] mentre [tex:wgppfpnz]y\rightarrow 0[/tex:wgppfpnz] (non basta!), inoltre si ha
[tex:wgppfpnz]0\leq f&#40;x,y&#41; \leq &#40;x+1&#41;\displaystyle \frac{1}{x^2}.[/tex:wgppfpnz]
In generale se vuoi dimostrare che un limite esiste in un dominio per prima cosa devi capire come è fatto il dominio (la prima domanda è chi può andare all'infinito in quel dominio) poi se ti servono delle stime queste devono essere valide nel dominio in questione (non in generale).