Ciao a tutti!

Ho un dubbio che sembra un po' scemo ma non capisco dove sbaglio...

Il problema è il seguente: trovare i minimizers di [latex:1slfvbmr]F&#40;u&#41;=\int_0^{\pi} &#40;u&#39;&#39;&#41;^2[/latex:1slfvbmr], dove u varia tra le [latex:1slfvbmr]C^2&#40;0, \pi&#41;[/latex:1slfvbmr]. Le BC sono diverse a seconda della richiesta, ma poco importa. Per adesso affrontiamo il problema senza condizioni ulteriori.

Il problema di per sè è semplice: [latex:1slfvbmr]F&#40;u&#41;\ge 0[/latex:1slfvbmr] sempre, e [latex:1slfvbmr]F&#40;u&#41;=0[/latex:1slfvbmr] implica [latex:1slfvbmr]u&#39;&#39;=0[/latex:1slfvbmr], ovvero le rette (che effettivamente realizzano lo zero).
Ma se provo con approcci classici ho difficoltà per la derivata doppia:

APPROCCIO 1 (forma integrale): la variazione prima del funzionale lungo [latex:1slfvbmr]v \in C^{\infty}_c&#40;0,\pi&#41;[/latex:1slfvbmr]  è 2 [latex:1slfvbmr]\int u&#39;&#39; v&#39;&#39;[/latex:1slfvbmr]. 
Ponendola uguale a zero, otteniamo con metodi alla DBR che [latex:1slfvbmr]u&#39;&#39;  = cx+d[/latex:1slfvbmr] . Nello specifico, riconosciamo che le v''  al variare di [latex:1slfvbmr]v \in C^{\infty}_c&#40;0,\pi&#41;[/latex:1slfvbmr]sono tutte e sole le f a media nulla e con primitiva a media nulla. Aggiungendo una retta alla nostra u'' possiamo fare in modo che sia a media nulla e con primitiva a media nulla, perciò si approssima con funzioni [latex:1slfvbmr]C^{\infty}[/latex:1slfvbmr] con la stessa proprietà, e otteniamo al solito che u''-nostra retta ha norma quadra nulla, ovvero è nulla. Dunque u è una cubica (???). Ma non è neanche il problema più grosso, magari riusciamo ancora a fare in modo che sia una retta. 
Se ora vogliamo dimostrare con disuguaglianza che vanno bene, il termine centrale che solitamente va via per la ELE non se ne va, perchè non è detto che il competitor sia [latex:1slfvbmr]C^{\infty}_c&#40;0,\pi&#41;[/latex:1slfvbmr] e in questo caso il termine non si annulla automaticamente (come fa solitamente con un pizzico di fortuna) perchè al bordo non è necessariamente nulla. 

APPROCCIO 2 (forma differenziale): ritornando alla variazione prima, possiamo fare l'integrazione per parti facendo guadagnare derivate alla v (ma non alla u, perchè non abbiamo la giusta regolarità). Otteniamo così
$$ \int_0^{\pi} u v^{(4)} -[uv^{(3)} ]_0^{\pi} + [u' v'']_0^{\pi} $$
Che ci dà, scegliendo ordinatamente le v da provare, che u è una cubica che soddisfa [latex:1slfvbmr]u&#40;0&#41;=u&#40;\pi&#41;=u&#39;&#40;0&#41;=u&#39;&#40;\pi&#41;=0[/latex:1slfvbmr]. Quattro parametri, quattro condizioni... come immaginate l'unica soluzione è [latex:1slfvbmr]u\equiv 0[/latex:1slfvbmr], ma questa è una bugia! Sappiamo che ci dovrebbero essere anche le rette, già [latex:1slfvbmr]u&#40;0&#41;=0[/latex:1slfvbmr] non ci piace. 

Che si fa? Grazie dell'aiuto!
P.S. Il double dollar mi funziona per il latex non inline, ma il singolo no. E neanche \(. C'è un modo più comodo di [latex] ?