Credo di esserci arrivato e vorrei avere conferma dal Professor Gobbino o da altri. Lo sviluppo di Taylor a volte da informazioni a volte no. Innanzittutto mi ero sbagliaglio nel mio esempio e non avevo colto qualcosa di essenziale. Cerco di dare una spiegazione generale. Nei nostri esempi la funzione data è già un polinomio e quindi deve coincidere col suo sviluppo di Taylor. Supponiamo che f(x+h)= Somma in i che va da 0 a infinito di (P^i(h) ) , dove pongo P^i (h) è il polinomio omogeneo di grado i valutato nell'incremento h, (ad esempio P^0(h)=f(x), P^1(h)=(gradf(x))h,P^2(h)=1/2q(h),etc). Diremo che P^i con i maggiore di zero è definito positivo se assume valori positivi su tutti i vettori di una base di R^n, definito negativo se assume valori tutti negativi su una base di R^n,semidefinito positivo(negativo) se assume almeno su un vettore della base un valore positivo(negativo) e su tutti gli altri vale zero , non definito se su un vettore della base assume un valore positivo e su un altro negativo. Ora procediamo così, Supponiamo che P^1(h)=0 (cioè la x che compare in f(x+h) sia un punto critico), Se P^2(h) è definito positivo(negativo) allora x è pnt di min(max) per f, se è indefinito è sella, se è semidefinito si guardi P^3(k) dove k è la proiezione di h sul nucleo di P^1(è come aver ridotto il numero di variabili visto che supponevo che parlavamo della base canonica di R^n). Ora se P^3(k) non è identicamente nullo si conclude che il punto è una sella, se invece è identicamente nullo si va a valutare P^4(k) e si controlla se ha segno discorde anche debolmente con P^2(h), in tal caso il punto non è minimo ne massimo,altrimenti nel caso sia concorde si vede se strettamente e si conclude per massimo o minimo, nel caso con concorde non strettamente si escludono i vettori della base dove il polinomio è strettamente positivo(negativo) e si va avanti.
Il problema è che a differenza di quanto accadeva in una variabile, dove era molto difficile trovare funzioni a derivate tutte nulle in un punto, quando aumentiamo le variabili può capitarci che il per ogni i in N P^i(h) = 0, dove h appartiene a un sottospazio di R^n. In tal caso non possiamo concludere nulla come nel mio caso. Vediamo il tuo caso :  f(x,y)=x^2-y^4 , P^2(1,0)=1, P^2(0,1)=0 semidefinito positivo, P^3(x,y)=0, P^4(0,1)=-1 quindi segno discorde con P^2 e il punto non è massimo ne minimo.