Proviamo a rispondere alla bonus question.
Supponiamo di aver già dimostrato che la soluzione sia definita per tempi positivi, crescente e non limitata.
Osserviamo che [latex:1ds435m9]\displaystyle u&#39; \ge \frac{\log2016}{\pi/2}=k&gt;1[/latex:1ds435m9], da cui integrando
[latex:1ds435m9]u&gt;2016+kt[/latex:1ds435m9] e quindi
[latex:1ds435m9]u-t&gt;2016+ct[/latex:1ds435m9] ,  [latex:1ds435m9]c&gt;0[/latex:1ds435m9]. Questo ci permette di affermare che [latex:1ds435m9]\arctan&#40;u-t&#41; \to \pi/2[/latex:1ds435m9] per [latex:1ds435m9]t \to +\infty[/latex:1ds435m9].
Applicando De l'Hospital si vede che [latex:1ds435m9]\displaystyle \frac{\log&#40;u+t&#41;}{t} \to 0[/latex:1ds435m9] per [latex:1ds435m9]t \to +\infty[/latex:1ds435m9].
Sempre per De l'Hospital e per quanto fin qui acquisito [latex:1ds435m9]\displaystyle \frac{u}{t^2} \to 0[/latex:1ds435m9] per [latex:1ds435m9]t \to +\infty[/latex:1ds435m9], cioè [latex:1ds435m9]u &lt; \epsilon t^2[/latex:1ds435m9] per [latex:1ds435m9]t&gt;t_1&gt;1[/latex:1ds435m9].
Ora
[latex:1ds435m9]\displaystyle u&#39; \le \frac{\log&#40;u+t&#41;}{\arctan&#40;2016+ct&#41;}&lt;\frac{\log&#40;u+t&#41;}{1}&lt;\log&#40;\epsilon t^2+t&#41;[/latex:1ds435m9] per [latex:1ds435m9]t&gt;t_1[/latex:1ds435m9].
Integrando
[latex:1ds435m9]\displaystyle u \le u&#40;t_1&#41;+ \int_{t_1}^t\log&#40;\epsilon x^2 + x&#41; dx[/latex:1ds435m9].
E' facile vedere che il secondo membro si &quot;comporta&quot; come [latex:1ds435m9]t \log t-t[/latex:1ds435m9] e che [latex:1ds435m9]\displaystyle \int_{t_1}^{+\infty}\frac{dt}{t \log t-t}[/latex:1ds435m9] diverge.
Finalmente
[latex:1ds435m9]\displaystyle \frac{1}{u} \ge \frac{1}{u&#40;t_1&#41;+ \int_{t_1}^t\log&#40;\epsilon x^2 + x&#41; dx}[/latex:1ds435m9] per [latex:1ds435m9]t&gt;t_1[/latex:1ds435m9] e quindi per confronto diverge anche il nostro integrale.
Ho fatto bene? <!-- s:shock: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_eek.gif" alt=":shock:" title="Shocked" /><!-- s:shock: -->  
Ma soprattutto, si poteva fare meglio?   <!-- s:mrgreen: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_mrgreen.gif" alt=":mrgreen:" title="Mr. Green" /><!-- s:mrgreen: -->