Ciao, ho un dubbio che mi frulla per la testa da un po', ovvero: tutte le funzioni sono suriettive?

Mi spiego meglio. Siano dati due insiemi A e B non vuoti. Sia f: A-&gt;B (non conosco il math language, anzi se potete consigliarmi qualche link dove poterlo imparare) una funzione. Cioè:

(i) f è contenuto in AxB;
(ii) per ogni a in A esiste un solo b in B tale che (a, b) appartiene ad AxB.

Quindi la funzione non è altro che un insieme (un insieme di coppie (a,b) appartenenti ad AxB). Chiamiamo questo insieme F1.

Ora consideriamo f: A-&gt;C. Con C contenuto in B, ed inoltre C=B-{i valori di B che non hanno una controimmagine} cioè C=f(A) è l'immagine di A. Chiamiamo questo insieme (questa funzione) F2.

Ora F1=F2 ovviamente, cioè sono la stessa funzione, sia che la considero come f:A-&gt;B sia che la considero come f:A-&gt;C con C=f(A). Visto che F2 è suriettiva, anche F1 è suriettiva. Quindi f è suriettiva (?)

Non è una dimostrazione è solo un &quot;ragionamento&quot; che non riesco bene a comprendere se sia sensato o meno.

Vorrei dei chiarimenti a riguardo.

P.S. Anche perché esiste un teorema che si chiama [i:117sbofo]Teorema di invertibilità per le funzioni strettamente monotòne[/i:117sbofo] che ho trovato nel testo [i:117sbofo]Analisi Matematica 1 (Bramanti, Pagani, Salsa)[/i:117sbofo] che dice che se una funzione è strettamente monotòna allora è invertibile. Ma la stretta monotonìa implica solo l'iniettività e non la suriettività, quindi come fa ad essere invertibile se in generale non è biettiva? Qualcuno che possa farmi il quadro della situazione e schiarirmi le idee...