[quote=&quot;GIMUSI&quot;:rlwj5yjm]...il passaggio da [tex:rlwj5yjm]a=n/log2[/tex:rlwj5yjm] ad [tex:rlwj5yjm]a=n[/tex:rlwj5yjm] come si giustifica esattamente[/quote:rlwj5yjm]

In realtà non c'è nulla da giustificare. Sapendo che

[tex:rlwj5yjm]c_n\leq\dfrac{2^x}{\arctan x+x^n}[/tex:rlwj5yjm]

per ogni x&gt;0, io posso ottenere una stima dall'alto di [tex:rlwj5yjm]c_n[/tex:rlwj5yjm] sostituendo ad x il valore che mi pare, e non ho bisogno di giustificare in alcun modo la mia scelta. Ponendo x=n ottengo che il limite di [tex:rlwj5yjm]n!c_n[/tex:rlwj5yjm] è zero, dunque ho fatto quello che veniva richiesto, senza bisogno di ulteriori spiegazioni.

Questo per quanto riguarda la soluzione formale dell'esercizio, cioè quello che bisogna scrivere per avere una soluzione corretta. 

Poi ovviamente possiamo parlare, ed è giusto parlare, della fase euristica, cioè del perché mai a uno viene in mente di sostituire x=n, e non invece una delle altre infinite possibilità. Allora lì entra in gioco il &quot;brutal mode&quot; in cui uno trascura l'arcotangente e calcola esplicitamente il punto di minimo della funzione &quot;approssimante&quot;, che risulta essere proprio [tex:rlwj5yjm]n/\log 2[/tex:rlwj5yjm], e da lì uno si fa venire l'idea.

Certo l'esercizio sarebbe stato più interessante, ma anche più difficile, se avesse richiesto una stima *dal basso* di [tex:rlwj5yjm]c_n[/tex:rlwj5yjm], perché a quel punto non sarebbe stato più sufficiente sostituire ad x un valore particolare astuto. Inutile dire che ero stato tentato da questa opzione <!-- s:mrgreen: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_mrgreen.gif" alt=":mrgreen:" title="Mr. Green" /><!-- s:mrgreen: -->, ma poi ho desistito trattandosi in fondo di un compitino. Ma se qualcuno vuole divertirsi lungo questa sottile linea di confine, può provare a calcolare il limite di [tex:rlwj5yjm]n\sqrt[n]{c_n}[/tex:rlwj5yjm]