Avevo visto il messaggio, ma non sempre si ha il tempo di rispondere. Non sarebbe male se non dovessi farlo sempre io ... ci sarà qualcuno che in questo momento sta studiando la materia.

Il rilassato del funzionale

[latex:29hjnff7]\displaystyle\int_a^b\sin&#40;u&#39;&#41;[/latex:29hjnff7]

è l'integrale di [latex:29hjnff7]-1[/latex:29hjnff7] a tappeto. Questo è un enunciato piuttosto rapido e va interpretato. Detto con più dettagli, stiamo considerando il funzionale che vale l'espressione scritta sulle funzioni con una certa regolarità, e + infinito altrimenti in un certo ambiente più generale, ad esempio [latex:29hjnff7]L^2[/latex:29hjnff7]. Il risultato è che il suo rilassato è l'integrale di [latex:29hjnff7]-1[/latex:29hjnff7] in tutto l'ambiente più generale.

La dimostrazione è banale per quanto riguarda la stima dal basso, mentre per quanto riguarda le recovery basta osservare che le affini a tratti sono un denso in energia (rispetto a questa energia banale) e per quelle è facile fare la costruzione.

Il risultato che citi tu è invece più complicato, e riguarda il caso di dipendenza dalla derivata (come in questo caso), ma con Lagrangiana superlineare all'infinito. In questo caso la conclusione è che il rilassato ha una rappresentazione simile con la convessificata. Detto così sembrerebbe la stessa cosa, ma invece la differenza è profonda quando andiamo a scrivere per bene le cose. Ora la vera tesi è che il rilassato è uguale all'espressione con la convessificata se u sta in un opportuno spazio, mentre è + infinito altrimenti. In altre parole, avere il rilassato finito vuol dire essere abbastanza regolari, al contrario del caso con il seno in cui chiunque ha il rilassato finito.

In termini di dimostrazione, la difficoltà diventa dimostrare la stima dal basso, perché in certi casi bisogna dimostrare che si sta sopra + infinito, il che non è banale come stare sopra [latex:29hjnff7]-1[/latex:29hjnff7] nel caso del seno.