Ribadisco che questa è una mega-domanda, che riguarda un grosso problema, e non ha risposte scontate. Non si tratta nemmeno del solo punto in cui si confrontano l'approccio parametrico e quello non parametrico.

Limitiamoci intanto agli integrali curvilinei o superficiali, lasciando fuori integrali di flusso o &quot;integrali sul bordo&quot;, cioè concetti che dipendono anche da una scelta dell'orientazione e quindi pongono problemi ulteriori.

Quello che faccio durante il corso è definire curve e superfici come parametrizzazioni, e definire di conseguenza l'integrale a partire dalla parametrizzazione. Per salvare la faccia, definisco quando due parametrizzazioni si dicono equivalenti (cioè quando una composta l'inversa dell'altra risulta un diffeomorfismo tra gli insiemi dei parametri) e mostrare che in tal caso l'integrale viene lo stesso. Per usare un parolone, in questo modo si definisce l'integrale su classi di equivalenza di parametrizzazioni.

Mi rendo conto che non si ottiene una teoria del tutto soddisfacente, in quanto uno vorrebbe definire, in un certo senso, l'integrale sul supporto. Per far questo uno sarebbe anche disposto ad accettare le parametrizzazioni come mezzo, nel senso che, dato un supporto, uno prende una parametrizzazione &quot;decente&quot; del supporto e poi definisce l'integrale a partire da quella parametrizzazione. Facendo così però serve un teorema di indipendenza che dica che due qualunque parametrizzazioni decenti dello stesso supporto sono equivalenti tra di loro, per il solo fatto di parametrizzare lo stesso supporto in modo decente. Questo è il tipo di risultato che piacerebbe a Giovanni, se ho capito bene. Io aggiungo che magari uno vorrebbe pure definire integrali su supporti &quot;strani&quot;, ad esempio anche solo l'unione dei lati di un triangolo e delle 3 mediante, il che pone problemi vari quando si va a parametrizzare.

Il cannone che risponde a tutte queste domande è l'integrale rispetto alla misura di Hausdorff

<!-- m --><a class="postlink" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Hausdorff_measure">https://en.wikipedia.org/wiki/Hausdorff_measure</a><!-- m -->

il quale permette di definire intrinsecamente gli integrali n-dimensionali su supporti qualunque contenuti in uno spazio m dimensionale. Il giorno in cui il supporto viene parametrizzato in modo Lipschitz, anche in maniera non iniettiva o non surgettiva, la formula di area

<!-- m --><a class="postlink" href="https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Area_formula">https://www.encyclopediaofmath.org/inde ... ea_formula</a><!-- m -->

lega l'integrale definito via parametrizzazione a quello intrinseco, tenendo conto dei tratti ripetuti (che contano con molteplicità) e di quelli non coperti (che contano 0). Come corollario si ha che l'integrale definito a partire da due parametrizzazioni bigettive e Lipschitz dello stesso supporto coincide sempre.

La via &quot;elementare&quot; sarebbe di mostrare il risultato al quale punta Giacomo, ma l'esempio dell'infinito citato in un post precedente mostra che la risposta non è per nulla scontata, e sarà limitata a supporti con una buona struttura locale. Per farla breve, per avere speranza di dimostrare il risultato enunciato nel post iniziale di Giacomo servono delle ipotesi anche su [latex:kr7p5i4j]\Omega_3[/latex:kr7p5i4j] e non solo sulle due parametrizzazioni. Dovrebbe bastare che [latex:kr7p5i4j]\Omega_3[/latex:kr7p5i4j] sia una sottovarietà m-dimensionale di [latex:kr7p5i4j]\mathbb{R}^n[/latex:kr7p5i4j] e cioè, sostanzialmente, che in ogni punto esista una finestrella in cui l'insieme si può rappresentare come grafico di una funzione di n variabili a valori nelle restanti m-n variabili. 

Forse potrebbe valere la pena di iniziare ad indagare questo enunciato nel caso speciale in cui n=1 e m=2, cioè curve nel piano.