Consideriamo l'esempio dal quale siamo partiti. Ci è stata data una retta che ha come vettore direzione, tra i tanti possibili, il vettore [tex:1dyfsxvg]v_1=&#40;-2,1&#41;[/tex:1dyfsxvg].  

Il vettore direzione di r2 ed r3 deve formare un certo angolo con [tex:1dyfsxvg]v_1[/tex:1dyfsxvg]. Siano quindi a e b le componenti dei vettori direzione che stiamo cercando. Si tratta di imporre, usando la solita formula, che

[tex:1dyfsxvg]-2a+b=\sqrt{5}\cdot\sqrt{a^2+b^2}\cdot\left&#40;\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right&#41;[/tex:1dyfsxvg]

dove il +- è dovuto al fatto che va bene sia l'angolo di 45 che quello di 135 ...

Si tratta ora di risolvere questa equazione. Facendo i quadrati e raccogliendo un po' di roba si arriva a

[tex:1dyfsxvg]3a^2-8ab-3b^2=0[/tex:1dyfsxvg]

Ora forse conviene ricordare che, in fondo, quello che ci interessa è il coefficiente angolare, cioè m=b/a. Dividendo tutto per [tex:1dyfsxvg]a^2[/tex:1dyfsxvg] e cambiando segno troviamo quindi

[tex:1dyfsxvg]3m^2+8m-3=0[/tex:1dyfsxvg]

da cui i due possibili valori di m (-3 e 1/3).

[Edit: corretto dopo la segnalazione di Roland]