[quote=&quot;Massimo Gobbino&quot;:17q0lkqq]Mi pare infatti che con questo approccio si arrivi al risultato completo, cioè che S(p) è finito se e solo se p&gt;=15/8.[/quote:17q0lkqq]

Cerco di esplicitare il conto. Consideriamo

[latex:17q0lkqq]u&#40;x&#41;=d+\dfrac{c}{\|x-x_0\|^a}[/latex:17q0lkqq]

dove [latex:17q0lkqq]x_0[/latex:17q0lkqq] è il centro della palla o, ancora meglio, un punto del suo bordo. La condizione per stare in [latex:17q0lkqq]L^1[/latex:17q0lkqq] è

[latex:17q0lkqq]a&lt;3.[/latex:17q0lkqq]

La condizione per stare in [latex:17q0lkqq]W^{1,p}[/latex:17q0lkqq] è (quella sul gradiente è sempre la più restrittiva)

[latex:17q0lkqq]p&#40;a+1&#41;&lt;3[/latex:17q0lkqq]

Sotto queste ipotesi si trovano c e d per cui l'integrale di u e quello della potenza p del gradiente sono uguali a 5 (o a una qualsiasi altra coppia di numeri, ben inteso), come richiesto dal testo.

La condizione per non stare in [latex:17q0lkqq]L^5[/latex:17q0lkqq] è

[latex:17q0lkqq]5a&lt;3[/latex:17q0lkqq]

Ora non dovrebbe essere difficile mostrare che si trova un valore di a che soddisfa le 3 condizioni se e solo se [latex:17q0lkqq]p&lt;15/8[/latex:17q0lkqq].