Ciao a tutti! Stavo cercando di mostrare che

[latex:13arpkgl]\displaystyle \lim_{x^2+y^2 \to +\infty} \frac{xy}{1+x^2+y^4} = 0[/latex:13arpkgl]

posta [latex:13arpkgl]\displaystyle g&#40;x,y&#41; = \frac{xy}{1+x^2+y^4}[/latex:13arpkgl] si nota che [latex:13arpkgl]\displaystyle g&#40;-x,-y&#41;=g&#40;x,y&#41;[/latex:13arpkgl] e che [latex:13arpkgl]\displaystyle g&#40;x,-y&#41;=-g&#40;x,y&#41;[/latex:13arpkgl]

per cui è sufficiente mostrare che il limite è [latex:13arpkgl]0[/latex:13arpkgl] in [latex:13arpkgl]\mathbb{R} \times [0,+\infty&#41;[/latex:13arpkgl]. A questo punto pongo [latex:13arpkgl]\displaystyle \varphi&#40;u,v&#41; = &#40;u,\sqrt{v}&#41;[/latex:13arpkgl] e osservo che è un omeomorfismo di [latex:13arpkgl]\mathbb{R} \times [0,+\infty&#41;[/latex:13arpkgl] in sé e sono tentato di scrivere

[latex:13arpkgl]\displaystyle \lim_{x^2+y^2 \to +\infty} g&#40;x,y&#41; = \lim_{u^2+v^2 \to +\infty} g&#40;\varphi&#40;u,v&#41;&#41;[/latex:13arpkgl]

ma [latex:13arpkgl]\displaystyle g&#40;\varphi&#40;u,v&#41;&#41;=\frac{u\sqrt{v}}{1+u^2+v^2}[/latex:13arpkgl] e questo viene bene in coordinate polari perché va come [latex:13arpkgl]1/\sqrt{\rho}[/latex:13arpkgl]

In generale come si giustificano passaggi del genere? In questo caso sono interessato a provare che se il limite di destra esiste allora esiste anche quello di sinistra e i due coincidono e poi dimostro che quello di destra esiste usando le polari. Per dimostrare l'implicazione è sufficiente la continuità? Il fatto che [latex:13arpkgl]\varphi[/latex:13arpkgl] è continua mi dice che l'immagine di una palla centrata nell'origine è contenuta in una palla in arrivo. In generale, sia per limiti all'infinito che in un punto, per una freccia sola è sufficiente la continuità?

Spero di essermi spiegato, ad ogni modo grazie a chi risponderà o avrà voglia di condividere altri dubbi  <!-- s:mrgreen: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_mrgreen.gif" alt=":mrgreen:" title="Mr. Green" /><!-- s:mrgreen: -->