[quote=&quot;matt_93&quot;:1c7ov1ux]domanda teorica (riferita alla lezione 52) :
che cosa ha a che fare il segno degli autovalori con la segnatura di una forma quadratica?
Ho capito che la matrice associata a una qualsiasi forma quadratica è simmetrica e, per il teorema spettrale, si diagonalizza mediante una matrice ortogonale. 
Quello che non ho capito è il nesso che lega [u:1c7ov1ux] il segno[/u:1c7ov1ux] degli autovalori...[/quote:1c7ov1ux]

consideriamo al forma quadratica con matrice associata non diagonale:

[tex:1c7ov1ux]q&#40;v&#41;=v^tBv[/tex:1c7ov1ux]

essendo [tex:1c7ov1ux]B[/tex:1c7ov1ux] simmetrica si diagonalizza mediante matrice ortogonale M, pertanto:

[tex:1c7ov1ux]q&#40;v&#41;=v^tMDM^tv=&#40;M^tv&#41;D&#40;M^tv&#41;=w^tDw=q&#40;w&#41;[/tex:1c7ov1ux]

quindi la forma quadratica di partenza è equivalente ad un'altra forma quadratica che ha matrice associata diagonale

allora la segnatura di q(v) è la stessa di:

[tex:1c7ov1ux]q&#40;w&#41;=\lambda_1w_1^2+\lambda_2w_2^2+...+\lambda_nw_n^2[/tex:1c7ov1ux]