Possiamo poi discutere a lungo di vantaggi e svantaggi delle 3 definizioni. Ad esempio nello spirito della terza si potrebbe dare la definizione alla Darboux (ortodossa o &quot;unrestricted&quot;), che produce integrali inferiori/superiori per tutte le funzioni limitate, senza vincolo di continuità. In questo modo si dimostra ovviamente che gli integrali alla Darboux ed alla &quot;Riemann terzo modo&quot; coincidono.

Lo svantaggio della terza definizione è che richiede di aver dato prima la definizione di lunghezza di una curva, e quindi in un certo senso richiama quanto accade nelle altre due.

Quanto al fatto che tutte e 3 coincidano nel caso regolare, questo sostanzialmente è un esercizio: si tratta di far vedere che non cambia molto a &quot;taggare&quot; in un modo o nell'altro, perché i punti del tratto di curva parametrizzato da [latex:zndba72q][t_{i-1},t_i][/latex:zndba72q] sono vicini a tutti i punti del segmento congiungente gli estremi, da cui si chiude con l'uniforme continuità della funzione in un intorno della curva.

Se servono più dettagli, basta chiedere.