Nessuno interviene? Provo a dire qualcosa io.

[spoiler=&quot;Fallimento_Variazionale&quot;:36fwq44v]Perché l&#39;approccio variazionale non funziona nemmeno in dimensione 1 se p=1? Perché il minimo non esiste! Non sarebbe male che qualcuno provasse a spiegare perché.[/spoiler:36fwq44v]

Come uscirne? Vedo almeno 3 modi.

[spoiler=&quot;Uscita_1&quot;:36fwq44v]Uno si impara la teoria degli spazi BV. Lì si dimostra facilmente che il minimo esiste, dunque il metodo variazionale lì funziona, e vissero tutti felici e contenti  <!-- s:D --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_biggrin.gif" alt=":D" title="Very Happy" /><!-- s:D -->  <!-- s:mrgreen: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_mrgreen.gif" alt=":mrgreen:" title="Mr. Green" /><!-- s:mrgreen: -->[/spoiler:36fwq44v]
Insoddisfatti del primo approccio?

[spoiler=&quot;Uscita_2&quot;:36fwq44v]Supponiamo che non esista la costante richiesta. Allora esiste una successione [latex:36fwq44v]u_n[/latex:36fwq44v] &#40;dove?&#41;  con

[latex:36fwq44v]\|u_n\|=1[/latex:36fwq44v] e [latex:36fwq44v]\|\nabla u_n\|\leq\dfrac{1}{n}[/latex:36fwq44v].

Ora si dimostra &#40;esercizio facile&#41; che a meno di sottosuccessioni [latex:36fwq44v]u_n\to u_\infty[/latex:36fwq44v] &#40;in quali spazi?&#41; e che &#40;esercizio leggermente meno facile, e sicuramente meno ovvio di come possa sembrare all&#39;inizio&#41; [latex:36fwq44v]\nabla u_\infty\equiv 0[/latex:36fwq44v]. Da qui è discesa totale &#40;perché?&#41;.[/spoiler:36fwq44v]
E infine, perché non provare pure con un cannoncino?

[spoiler=&quot;Uscita_3&quot;:36fwq44v]Sia V lo spazio delle funzioni in [latex:36fwq44v]W^{1,1}[/latex:36fwq44v] a media nulla. La norma dello spazio ambiente &#40;1-norma di funzione + 1-norma di gradiente&#41; lo rende un Banach. Ma anche la norma risparmiosa &#40;solo 1-norma di gradiente&#41; lo rende un Banach &#40;questo non è ovvio, ma va dimostrato, perché anche i cannoni sono faticosi da usare&#41;. Ma allora ...[/spoiler:36fwq44v]
Tutto ok?