L'idea di è quella giusta, riporto solo qualche osservazione

[quote=&quot;FedeB&quot;:3s8lhq6m] ...
Essendo la dimensione di A = 4, ho bisogno di 4 vettori  [latex:3s8lhq6m]\{v1, v2, v3, v4\}[/latex:3s8lhq6m] per descriverla. Per definizione di base, ho bisogno di due cose: 

1) che la combinazione lineare sia indipendente

2) che i vettori siano generatori di A, cioè che  [latex:3s8lhq6m]Span \{v1, v2, v3, v4\} = 4[/latex:3s8lhq6m]

...[/quote:3s8lhq6m]

Puoi semplicemente affermare che è necessario trovare 4 vettori linearmente indipendenti, a qual punto dimensione e span sono assicurati (osserva anche che [latex:3s8lhq6m]Span \{v1, v2, v3, v4\} = 4[/latex:3s8lhq6m] non ha significato).


[quote=&quot;FedeB&quot;:3s8lhq6m]
...Che corrisponde al sistema:


[latex:3s8lhq6m]\begin{cases} ax1+bx5+cx9+dx13 = 0 \\ ax2+bx6+cx10+dx14 = 0 \\ ax3+bx7+cx11+dx15= 0 \\ ax4+bx8+cx12+dx16=0\end{cases}[/latex:3s8lhq6m]

In forma matriciale:


[latex:3s8lhq6m]\begin{pmatrix} 1&amp;1&amp;1&amp;1&amp;0\\1&amp;1&amp;1&amp;1&amp;0 \end{pmatrix}[/latex:3s8lhq6m]

...[/quote:3s8lhq6m]

Non mi pare che la forma matriciale corrisponda al sistema. Il sistema in a,b,c,d dovrebbe essere

[latex:3s8lhq6m]\begin{pmatrix} x1&amp;x5&amp;x9&amp;x13\\x2&amp;x6&amp;x10&amp;x14\\x3&amp;x7&amp;x11&amp;x15\\x4&amp;x8&amp;x12&amp;x16 \end{pmatrix}[/latex:3s8lhq6m]

[quote=&quot;FedeB&quot;:3s8lhq6m]...

Per la proprietà della base: se dim(A)=n e ho n vettori indipendenti, allora quei vettori costituiscono una base. La proprietà è verificata e quindi quei vettori costituiscono la base.

[/quote:3s8lhq6m]

In realtà hai impostato il sistema ma non hai trovato una base. La condizione per avere una base è che la matrice associata al sistema abbia rango 4.

Per risolvere l'esercizio puoi semplicemente utilizzare la base canonica esattamente come i vettori [latex:3s8lhq6m]n\times 1[/latex:3s8lhq6m] ed osservare che ogni matrice A 2x2

 [latex:3s8lhq6m]A = \begin{pmatrix} a&amp;b\\ c&amp;d \end{pmatrix}[/latex:3s8lhq6m]

può essere scritta come combinazione delle matrici elementari

[latex:3s8lhq6m]a\begin{pmatrix} 1&amp;0\\0&amp;0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 0&amp;1\\ 0&amp;0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix} 0&amp;0\\ 1&amp;0 \end{pmatrix}+d\begin{pmatrix} 0&amp;0\\0&amp;1 \end{pmatrix}[/latex:3s8lhq6m]
i cui coefficienti come puoi facimente verificare soddisfano la condizione rango=4.