[quote=&quot;Crusp&quot;:39ouubr4]Mi sembra di aver trovato un'osservazione utile per la risoluzione del punto b).

Intanto provo a rispondere al punto a):

Innanzitutto si mostra che per ogni funzione [latex:39ouubr4]u \in C^1&#40;0,1&#41;[/latex:39ouubr4]  che rispetta le DBC [latex:39ouubr4]\int_0^1 -u&#39;^2+u^{2}\,dy \geq 0[/latex:39ouubr4]:

1) Si mostra che esiste [latex:39ouubr4]u_0[/latex:39ouubr4] soluzione di Ele con quei dati al bordo e che il funzionale valutato in [latex:39ouubr4]u_0[/latex:39ouubr4] è maggiore uguale a 0.

2) Si considera un competitore [latex:39ouubr4]w=u_0+v[/latex:39ouubr4] con [latex:39ouubr4]v[/latex:39ouubr4] nulla al bordo, si calcola [latex:39ouubr4]F&#40;u_0+v&#41;[/latex:39ouubr4] e si mostra che [latex:39ouubr4]F&#40;u_0+v&#41; \geq F&#40;u_0&#41;[/latex:39ouubr4] sfruttando il fatto che 0 è minimo globale per [latex:39ouubr4]\int_0^1-v&#39;^2+v^{2}\,dy[/latex:39ouubr4] con v nulla al bordo.

Quindi si deduce che l'inf da noi cercato è sicuramente [latex:39ouubr4]\geq 0[/latex:39ouubr4] e quindi per ogni valore di [latex:39ouubr4]\epsilon[/latex:39ouubr4] l'inf appartiene ad R.

Inoltre da quanto detto sopra si osserva che se [latex:39ouubr4]u[/latex:39ouubr4] in [latex:39ouubr4]H^1[/latex:39ouubr4] che soddisfa le DBC è tale che [latex:39ouubr4]\int_0^1 u&#39;^{4}+ \int_0^1 -u&#39;^2+u^{2}\,dy =0[/latex:39ouubr4] allora [latex:39ouubr4]u&#39;=0[/latex:39ouubr4] quasi ovunque e quindi [latex:39ouubr4]u[/latex:39ouubr4] è una costante e l'unica funzione costante che soddisfa le DBC è [latex:39ouubr4]u=2017[/latex:39ouubr4]. Quindi abbiamo che 0 non è sicuramente un minimo. 

Per quanto riguarda il punto b:

Direi che per ogni [latex:39ouubr4]\epsilon[/latex:39ouubr4] fissato l'inf del nostro problema è il minimo del funzionale [latex:39ouubr4]G_\epsilon[/latex:39ouubr4] che ora introdurrò:

Chiamato  [latex:39ouubr4]F_\epsilon =\int_0^1 \epsilon u &#39;^4-u&#39;^2+u^{2}\,dy[/latex:39ouubr4] il funzionale  - esteso a [latex:39ouubr4]+ \infty[/latex:39ouubr4] al di fuori di [latex:39ouubr4]Y=\{u \in C^1&#40;0,1&#41;: u&#40;0&#41;=u&#40;1&#41;=2017\}[/latex:39ouubr4] - si osserva che il suo rilassato è [latex:39ouubr4]G_\epsilon=\int_0^1\psi^{**}&#40;u&#39;&#41; + \int_0^1u^{2}\,dy[/latex:39ouubr4]( in [latex:39ouubr4]X=\{u \in H^{1,4}: u&#40;0&#41;=u&#40;1&#41;=2017 \}[/latex:39ouubr4] e [latex:39ouubr4]+\infty[/latex:39ouubr4] altrimenti) con [latex:39ouubr4]\psi=\epsilon x^4 -x^2[/latex:39ouubr4]. ( In realtà dovrei ancora verificare questa affermazione: sicuramente in [latex:39ouubr4]H^1[/latex:39ouubr4] è quello lì il rilassato perché la funzione [latex:39ouubr4]\psi[/latex:39ouubr4] ha crescita sopra quadratica. Dovrei verificare però che la dimostrazione che abbiamo fatto in classe va bene pure se abbiamo le DBC).

Si ha quindi che inf[latex:39ouubr4]F_\epsilon[/latex:39ouubr4] = inf[latex:39ouubr4]G_\epsilon[/latex:39ouubr4]. Però in realtà per l'inf di [latex:39ouubr4]G_\epsilon[/latex:39ouubr4] è in realtà un minimo in [latex:39ouubr4]X[/latex:39ouubr4]:

- la compattezza dei sottolivelli la si vede sfruttando il fatto che anche il convessificato ha crescita sopra quadratica;

- la Sci è gratis questa volta perché il convessificato è convesso.

Dici che torna? Spero di non aver detto delle cavolate.

Se a questo punto riuscissimo a dire che il minimo [latex:39ouubr4]G_\epsilon[/latex:39ouubr4] in [latex:39ouubr4]X[/latex:39ouubr4] non può essere minimo per il funzionale [latex:39ouubr4]F_\epsilon[/latex:39ouubr4] avremmo risposto alla domanda del punto b: l'inf non è un minimo.[/quote:39ouubr4]

buongiorno al forum,
in verità penso che sia [latex:39ouubr4]\inf \left\{\int_0^1 -\dot u^2 + u^2 dx \right\}=-\infty[/latex:39ouubr4], questo lo si può vedere ad esempio  in due modi: o osservando che esiste sicuramente [latex:39ouubr4]u_0 \text{ per cui }\int_0^l \dot u_0^2 - u_0^2 dx&gt;0 \text{ per } l&lt;=\pi[/latex:39ouubr4]        ( infatti ricordo che in una delle lectures (mi pare la 28) sui quadratic functionals si dimostra che con DBC nulle agli estremi  [latex:39ouubr4]\min \left\{\int_0^l \dot u^2 - u^2 dx \right\}=0[/latex:39ouubr4] per [latex:39ouubr4]l&lt;=\pi[/latex:39ouubr4] e dal momento che il quadratic functional non è quello nullo, deve essere maggiore di 0 su qualche funzione [latex:39ouubr4]u_0[/latex:39ouubr4] );
prendo allora [latex:39ouubr4]l=1/2[/latex:39ouubr4] e un [latex:39ouubr4]u_0[/latex:39ouubr4] per cui [latex:39ouubr4]\int_0^{1/2} \dot u_0^2 - u_0^2 dx&gt;0[/latex:39ouubr4] , definisco allora [latex:39ouubr4]u_n=nu_0 \text{ per x in [0,1/2] e } u_n=\text{ congiunzione affine tra i punti &#40;1/2,l&#41; e &#40;1,2&#41;}[/latex:39ouubr4] allora ho che [latex:39ouubr4]F&#40;u_n&#41;=\int_0^{1/2} \dot u_n^2 - u_n^2 dx[/latex:39ouubr4] tende a [latex:39ouubr4]+\infty[/latex:39ouubr4], quindi [latex:39ouubr4]-F&#40;u_n&#41;=\int_0^{1/2} -\dot u_n^2 + u_n^2 dx[/latex:39ouubr4] tenderà a [latex:39ouubr4]-\infty[/latex:39ouubr4].


Altrimenti, in modo più rapido, osservo che [latex:39ouubr4]F&#40;u&#41;=\int_0^1 -\dot u^2 + u^2 dx[/latex:39ouubr4] ha lagrangiana del tipo [latex:39ouubr4]L&#40;x,s,p&#41;=\psi &#40;p&#41;+g&#40;x,s&#41;[/latex:39ouubr4] con [latex:39ouubr4]\psi[/latex:39ouubr4] tendente a [latex:39ouubr4]-\infty[/latex:39ouubr4] per p che va a [latex:39ouubr4]\pm\infty[/latex:39ouubr4], prendo allora una [latex:39ouubr4]u_0[/latex:39ouubr4] qualsiasi e su di essa costruisco una successione [latex:39ouubr4]u_n[/latex:39ouubr4] continua e affine a pezzi, che converga uniformemente su [latex:39ouubr4]u_0[/latex:39ouubr4] ma che lo faccia a &quot;zigzag&quot;, ovvero che abbia derivata  pari a [latex:39ouubr4]\pm n[/latex:39ouubr4] ovunque, allora [latex:39ouubr4]F&#40;u_n&#41;[/latex:39ouubr4] andrà a [latex:39ouubr4]-\infty[/latex:39ouubr4], e questo ci dice più in generale perché nei problemi di minimo si trova sempre [latex:39ouubr4]\psi&#40;p&#41;[/latex:39ouubr4] che va a + infinito agli estremi, altrimenti l'infimum sarebbe di sicuro [latex:39ouubr4]-\infty[/latex:39ouubr4]  <!-- s:) --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_smile.gif" alt=":)" title="Smile" /><!-- s:) --> .

Per il punto (b) anch'io ho provato a percorrere la strada del convessificato, il mio problema è che non sono riuscito a mostrare che su [latex:39ouubr4]u_o[/latex:39ouubr4] punto di minimo del convessificato siano uguali il funzionale convessificato e quello originale....e poi concludere tramite il trivial lemma... bhè se dovessi trovare una soluzione la posterò qui sotto sicuramente  <!-- s:) --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_smile.gif" alt=":)" title="Smile" /><!-- s:) -->

[color=#0000FF:39ouubr4]EDIT dopo aver letto la risposta di crusp mi sono accorto che  nella prima parte di quello che ho scritto ho sbagliato a definire le condizioni al bordo in modo consistente con l'esercizio.[/color:39ouubr4]