Ciao, stavo con Stefano a fare questo esercizio di analisi e mi sono imbattuto nel seguente esercizio di cui volevo un parere:
dimostrare che: 
Sia [tex:w3b5wrda]A\subseteq\mathbb{R}[/tex:w3b5wrda] un insieme e sia  [tex:w3b5wrda]Int&#40;A&#41;=A=Clos&#40;A&#41;[/tex:w3b5wrda], allora [tex:w3b5wrda]A=\mathbb{R}[/tex:w3b5wrda] oppure [tex:w3b5wrda]A=\emptyset[/tex:w3b5wrda].

La mia dimostrazione era la seguente:

Consideriamo [tex:w3b5wrda]A\subseteq\mathbb{R}[/tex:w3b5wrda] e supponiamolo non vuoto. Allora [tex:w3b5wrda]\exists x_0 \in A[/tex:w3b5wrda]. 

Definiamo [tex:w3b5wrda]T=\left\{x_0 +r \mid \left &#40;x_0 , x_0+r\right &#41;\subseteq A, r\ge 0 \right\}=[/tex:w3b5wrda][tex:w3b5wrda]\left\{x_0+r  \mid \left [x_0, x_0+r]\right \subseteq A, r\ge 0 \right\}[/tex:w3b5wrda], in particolare [tex:w3b5wrda]T \subseteq A[/tex:w3b5wrda]

Supponiamo per assurdo  [tex:w3b5wrda]\sup T=L\in\mathbb{R}[/tex:w3b5wrda] (il [tex:w3b5wrda]\sup[/tex:w3b5wrda] esiste perche' essendoci almeno [tex:w3b5wrda]x_0\ne\emptyset[/tex:w3b5wrda]allora per  la caratterizzazione di [tex:w3b5wrda]\sup:[/tex:w3b5wrda] [tex:w3b5wrda]\left &#40;L-\epsilon, L \right ] \cap T \ne 

\emptyset \quad \forall \epsilon&gt;0[/tex:w3b5wrda], essendo [tex:w3b5wrda]T\subseteq A[/tex:w3b5wrda] si ha anche che [tex:w3b5wrda]\left &#40;L-\epsilon, L \right ] \cap A \ne \emptyset \quad \forall \epsilon&gt;0[/tex:w3b5wrda], cioe' [tex:w3b5wrda]L\in Clos&#40;A&#41;=A[/tex:w3b5wrda]

[tex:w3b5wrda]A=Int&#40;A&#41; \rightarrow &#40;L-\epsilon,L+\epsilon&#41; \subseteq A[/tex:w3b5wrda], [tex:w3b5wrda]A=Clos&#40;A&#41; \rightarrow [L-\epsilon, L+\epsilon]\subseteq A[/tex:w3b5wrda].

Ma allora [tex:w3b5wrda][x_0,L] \cup [L-\epsilon, L+\epsilon]= [x_0, L+\epsilon] \subseteq A[/tex:w3b5wrda] da cui [tex:w3b5wrda]\sup T=L+\epsilon[/tex:w3b5wrda].

Assurdo