Rispondo alle nuove domande.

[b:25yusbw5]Unicità[/b:25yusbw5]. Si può dimostrare che due serie di potenze che assumono lo stesso valore per tutti gli x in un intorno dell'origine hanno in realtà gli stessi coefficienti. Quindi non possono esistere due serie diverse che convergono alla stessa funzione. In realtà si può dimostrare di più: basta che le due serie assumano lo stesso valore su una successione di valori di x tendenti a 0 ed automaticamente hanno gli stessi coefficienti. La dimostrazione è un esercizio, non banalissimo, ma nemmeno difficile.

[b:25yusbw5]Dimostrazione della convergenza[/b:25yusbw5]. Per dimostrare che la serie di Taylor di una funzione converge alla funzione stessa (all'interno del raggio di convergenza più eventuali estremi), cioè che la funzione è analitica, lo strumento più comodo è la formula di Taylor con resto di Lagrange. C'è proprio un esempio di questo tipo nella lezione di quest'anno su Taylor-Lagrange.

[b:25yusbw5]Perché trasformare funzioni in polinomi?[/b:25yusbw5] Non ho competenze storiche per conoscere nei dettagli le motivazioni di Taylor e contemporanei. Vale però la pena osservare che oggi se pensiamo alla funzione seno o esponenziale abbiamo in mente una macchinetta che ne fornisce i valori su richiesta (una qualunque calcolatrice). Tempo fa non era così, e anche calcolare [tex:25yusbw5]2^\sqrt{3}[/tex:25yusbw5] era un problemone. Sostituire le funzioni con polinomi permetteva di risolvere questo problema. Anche qui consiglio la lezione di quest'anno su Taylor-Lagrange per ulteriori esempi. Piccola osservazione: l'esistenza delle calcolatrici non risolve magicamente il problema, ma semplicemente lo sposta: cosa fa la calcolatrice al suo interno quando gli si chiede [tex:25yusbw5]2^\sqrt{3}[/tex:25yusbw5] ?