Non mi e' chiara la tesi del post iniziale. La tesi e' &quot;in realta' si puo' risalire al comportamento della serie, se il criterio del rapporto ci porta a L=1&quot; ?
(Attento bene che si parla di limite, e non di rapporto.)

Se si parla di criterio del rapporto, stiamo lavorando con serie a termini pari, che possono solo convergere e divergere a +oo, ed il limite del rapporto tra An+1 ed An puo' solo dirci che comportamento abbia la serie:
-se forzatamente diverga
-se forzatamente converga ad un numero ancora incognito
-se non e' possibile stabilirlo a priori (cioe', con il solo criterio del rapporto).

Esempio:

1/n^2, seguendo il criterio del rapporto, porta ad un L=1, e converge

n, fa L=1 e diverge a +oo. 

Quando L=1, non e' possibile stabilire a priori quale sia il comportamento della serie: va studiato in altri modi.