Salve, vorrei proporre la soluzione del seguente esercizio.
Stabilire per quali valori del parametro [latex:3eicgebx]a&gt;0[/latex:3eicgebx] il seguente integrale risulta convergente:
[latex:3eicgebx]\iint_A\frac{\lvert\cos&#40;x&#41;\rvert^a}{{\lvert{x}\rvert}^3+{\lvert{y}\rvert}^3}\,dx\,dy[/latex:3eicgebx]
dove l'insieme dato è
[latex:3eicgebx]A=\bigl\{&#40;x,y&#41;\in R^2\colon x^2+y^2\le1,\,x\ge0,\,y\ge0\bigr\}[/latex:3eicgebx]
Allora, sull'insieme [latex:3eicgebx]A[/latex:3eicgebx] è [latex:3eicgebx]0\le x\le 1[/latex:3eicgebx]. Dunque, dovrebbero valere le seguenti relazioni:
[latex:3eicgebx]{\lvert{\cos&#40;x&#41;}\rvert}^a=\cos^a&#40;x&#41;\ge\Bigl&#40;1-\frac{x^2}{2}\Bigr&#41;^a\ge 1-\frac{a}{2}x^2[/latex:3eicgebx]
da cui segue che
[latex:3eicgebx]\iint_A\frac{\lvert\cos&#40;x&#41;\rvert^a}{{\lvert{x}\rvert}^3+{\lvert{y}\rvert}^3}\,dx\,dy\ge\iint_A\frac{1}{x^3+y^3}\,dx\,dy-\frac{a}{2}\iint_A\frac{x^2}{x^3+y^3}\,dx\,dy[/latex:3eicgebx]
Adesso, il primo integrale a destra diverge [latex:3eicgebx]\forall a&gt;0[/latex:3eicgebx]. Infatti, abbiamo che
[latex:3eicgebx]\iint_A\frac{1}{x^3+y^3}\,dx\,dy=\int_0^1\frac{1}{\rho^2}\,d\rho\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\cos^3&#40;\theta&#41;+\sin^3&#40;\theta&#41;}\,d\theta[/latex:3eicgebx]
dove l'integrale in [latex:3eicgebx]\theta[/latex:3eicgebx] è un numero &gt;0, in quanto integrale proprio di funzione continua &gt;0 su intervallo limitato; mentre l'integrale in [latex:3eicgebx]\rho[/latex:3eicgebx] diverge, essendo uguale a
[latex:3eicgebx]\lim_{\varepsilon\to 0^+}\Bigl&#40;\frac{1}{\varepsilon}-1\Bigr&#41;=+\infty[/latex:3eicgebx]
Il secondo integrale a destra, invece, converge [latex:3eicgebx]\forall a&gt;0[/latex:3eicgebx], essendo uguale a
[latex:3eicgebx]\frac{a}{2}\iint_A\frac{x^2}{x^3+y^3}\,dx\,dy=\frac{a}{2}\int_0^1\,d\rho\int_0^{\pi/2}\frac{\cos^2&#40;\theta&#41;}{\cos^3&#40;\theta&#41;+\sin^3&#40;\theta&#41;}\,d\theta=\frac{a}{2}\int_0^{\pi/2}\frac{\cos^2&#40;\theta&#41;}{\cos^3&#40;\theta&#41;+\sin^3&#40;\theta&#41;}\,d\theta[/latex:3eicgebx]
dove anche in questo caso, per motivazioni identiche a quelle sopra espresse, l'integrale in [latex:3eicgebx]\theta[/latex:3eicgebx] converge [latex:3eicgebx]\forall a&gt;0[/latex:3eicgebx]
A questo punto, se sono valide le considerazioni iniziali, è lecito affermare che, per la proprietà di linearità, l'integrale dato non converge per alcun valore di [latex:3eicgebx]a[/latex:3eicgebx] ?

Grazie in anticipo per le correzioni ed eventuali suggerimenti ..  <!-- s:) --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_smile.gif" alt=":)" title="Smile" /><!-- s:) -->