Siccome il cattivo in questione sono io, rispondo io <!-- s:) --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_smile.gif" alt=":)" title="Smile" /><!-- s:) -->

Dunque, rispondo prima alla seconda domanda: non mi è affatto chiaro perchè calcoli [tex:2mu6tppy]F&#40;u&#41;[/tex:2mu6tppy] con [tex:2mu6tppy]u[/tex:2mu6tppy] soluzione dell'equazione di Jacobi associata a [tex:2mu6tppy]G[/tex:2mu6tppy], in quanto [tex:2mu6tppy]F[/tex:2mu6tppy] e [tex:2mu6tppy]G[/tex:2mu6tppy] sono funzionali distinti, e a priori valutare [tex:2mu6tppy]F[/tex:2mu6tppy] in punti di rilievo rispetto a [tex:2mu6tppy]G[/tex:2mu6tppy] non porta da nessuna parte. Non è che forse hai fatto confusione tra [tex:2mu6tppy]F[/tex:2mu6tppy] e [tex:2mu6tppy]G[/tex:2mu6tppy]? Comunque, rifacendomi a ciò che io ho scritto nelle soluzioni, [tex:2mu6tppy]G[/tex:2mu6tppy] soddisfa la condizione [tex:2mu6tppy]L^+[/tex:2mu6tppy], e per [tex:2mu6tppy]l&lt;x_0[/tex:2mu6tppy] soddisfa anche la condizione [tex:2mu6tppy]J^+[/tex:2mu6tppy], da cui si ha che [tex:2mu6tppy]G&#40;v&#41; \ge 0[/tex:2mu6tppy] per ogni [tex:2mu6tppy]v[/tex:2mu6tppy] ammissibile, e dato che [tex:2mu6tppy]G&#40;v_0&#41;=0[/tex:2mu6tppy], dove [tex:2mu6tppy]v_0[/tex:2mu6tppy] è la funzione identicamente nulla, si ha [tex:2mu6tppy]\inf G = \min G = 0[/tex:2mu6tppy]. Il caso [tex:2mu6tppy]l=x_0[/tex:2mu6tppy] si discute per linearità (vedi tra le lezioni, il discorso è stato affrontato a lezione). Nella soluzione, comunque, ho scritto che [tex:2mu6tppy]\inf G=\min G=0[/tex:2mu6tppy] solo se [tex:2mu6tppy]l \le x_0[/tex:2mu6tppy], non sempre. Tornando a [tex:2mu6tppy]F[/tex:2mu6tppy], ho dimostrato che [tex:2mu6tppy]F \ge G[/tex:2mu6tppy], da cui, dato che [tex:2mu6tppy]F&#40;u_0&#41;=0[/tex:2mu6tppy], dove [tex:2mu6tppy]u_0[/tex:2mu6tppy] è la funzione nulla a tappeto, si ha [tex:2mu6tppy]\inf F=\min F=0[/tex:2mu6tppy].
Spero di aver chiarito le idee, ma non nascondo di non aver capito molto bene la tua domanda.

Veniamo ora alla prima domanda (ben più comprensibile <!-- s:D --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_biggrin.gif" alt=":D" title="Very Happy" /><!-- s:D -->). Consideriamo un funzionale quadratico, ad esempio il seguente:

[tex:2mu6tppy]F&#40;u&#41;=\int_0^l \dot{u}^2-u^2 \ dx[/tex:2mu6tppy]

Chiaramente, se avessimo questo funzionale da studiare, non ci sogneremmo mai di calcolare la variazione seconda, però per stavolta facciamolo. Si ottiene lo stesso funzionale di partenza, a meno di un fattore [tex:2mu6tppy]2[/tex:2mu6tppy]. Infatti mi è capitato in altri corsi di veder introdurre un cosiddetto &quot;funzionale ausiliario&quot; che altro non era che la metà della variazione seconda, perchè quando si considera la variazione seconda spesso esce un fattore [tex:2mu6tppy]2[/tex:2mu6tppy] che non serve a nulla, ma che c'è. Tornando a noi, quindi, ho usato quell'approssimazione perchè l'arcotangente è una funzione che si approssima bene dall'alto, ma fondamentalmente ho approssimato il funzionale di partenza con il suo funzionale ausiliario, e prima di scrivere la soluzione sapevo già che, quasi al 100%, il funzionale di partenza e il suo funzionale ausiliario si comportavano alla stessa maniera: d'altronde, se uno non è abbastanza sicuro di quel che sta facendo, il conto finale nel caso [tex:2mu6tppy]l&gt;x_0[/tex:2mu6tppy] non lo fa <!-- s:D --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_biggrin.gif" alt=":D" title="Very Happy" /><!-- s:D --> Cosa voglio dire con ciò? Se tu calcoli la variazione seconda del funzionale di partenza in [tex:2mu6tppy]u_0[/tex:2mu6tppy] identicamente nulla, ti esce esattamente il funzionale [tex:2mu6tppy]G[/tex:2mu6tppy], a meno di un fattore [tex:2mu6tppy]2[/tex:2mu6tppy], di cui però ti importa il giusto. E poi puoi trarre le solite conclusioni... con la soluzione che ho proposto io, invece, ho cercato di mostrare un altro metodo, leggermente differente da quello standard, ma che sotto sotto nascondeva il mtodo standard. Morale: non è che è sbagliato, in questo caso, calcolare la variazione seconda... è che in matematica, quasi sempre, non esiste una sola strada <!-- s:) --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_smile.gif" alt=":)" title="Smile" /><!-- s:) -->