Ok credo di aver capito. Dalla regolarità [latex:1fanzgpy]H^2[/latex:1fanzgpy] passi alla [latex:1fanzgpy]H^4[/latex:1fanzgpy] per il teorema di regolarità. A questo punto per le immersioni avrai sicuramente [latex:1fanzgpy]u \in C^{k, \alpha}[/latex:1fanzgpy] per qualche [latex:1fanzgpy]k \geq 1[/latex:1fanzgpy]. Il problema è che se voglio la C infinità devo iterare, e mi sembra che nel momento in cui [latex:1fanzgpy]f \in C^{k,\alpha}[/latex:1fanzgpy] si possano usare le stime di Schauder per concludere che [latex:1fanzgpy]u \in C^{k + 2 , \alpha}[/latex:1fanzgpy].

Allora a questo punto si dovrebbe dimostrare che [latex:1fanzgpy]u^{8102} \in C^{k+2, \beta}[/latex:1fanzgpy], con [latex:1fanzgpy]\beta \neq \alpha[/latex:1fanzgpy], eventualmente.

Un altro modo potrebbe essere dimostrare che [latex:1fanzgpy]f=u^{8102} \in H^4[/latex:1fanzgpy], e da qui per regolarità avrei [latex:1fanzgpy]u \in H^6[/latex:1fanzgpy], e se riuscissi a iterare potrei avere immersioni nei [latex:1fanzgpy]C^k[/latex:1fanzgpy] che voglio. 

Il punto è che nessuno di questi due casi mi sembra così &quot;in discesa&quot; (soprattutto il primo, non ho idea di come usare le stime di Schauder in quel modo). 

Quindi cosa avete in mente per ottenere regolarità?