Per iniziare può andare bene il primo capitolo del classico Rudin (real and complex analysis). In realtà l'integrazione astratta non ha sotto nulla di strano: ad analisi 2 uno vede l'integrale in R^n, poi l'integrale delle funzioni sulle curve e sulle superfici (occhio: non l'integrale delle forme, che è un'altra storia) e si chiede: ma non è che c'è una struttura comune? La stessa cosa è la nozione di spazio vettoriale, che nasce da sola dopo che uno ha visto 10 oggetti diversi con le stesse proprietà astratte.

In realtà uno se la può anche studiare su wikipedia, iniziando dalle definizioni

<!-- m --><a class="postlink" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Measure_%28mathematics%29">https://en.wikipedia.org/wiki/Measure_%28mathematics%29</a><!-- m -->

per poi proseguire con la terna di risultati di passaggio al limite

<!-- m --><a class="postlink" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Monotone_convergence_theorem">https://en.wikipedia.org/wiki/Monotone_ ... ce_theorem</a><!-- m -->
<!-- m --><a class="postlink" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fatou's_lemma">https://en.wikipedia.org/wiki/Fatou's_lemma</a><!-- m -->
<!-- m --><a class="postlink" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Dominated_convergence_theorem">https://en.wikipedia.org/wiki/Dominated ... ce_theorem</a><!-- m -->

e per non farsi mancare nulla anche

<!-- m --><a class="postlink" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_differentiation_theorem">https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_ ... on_theorem</a><!-- m -->

Questo è tutto quello che serve per seguire i primi corsi avanzati, ad esempio il mio corso di calcolo delle variazione di quest'anno o i corsi di base di analisi funzionale, spazi di Sobolev, PDEs.