[quote=&quot;Balengs&quot;:1fetlx58]... Scusa GIMUSI ma io non proprio ho capito come affrontare i punti 3 e 4 di questo esercizio    <!-- s:( --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_sad.gif" alt=":(" title="Sad" /><!-- s:( --> 
In particolare 
- per quanto riguarda i polinomi, non so proprio come procedere... ho visto le soluzioni ma non capisco il modo di ragionare!  <!-- s:( --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_sad.gif" alt=":(" title="Sad" /><!-- s:( --> 
- per quanto riguarda le matrici, fintanto che si tratta di cercare la dimensione di V e di W mi riduco a risolvere un sistemone. Quale modo alternativo posso usare? Poi per trovare la dimensione di W + V e di W  ∩ V non ho capito il modo di procedere nelle soluzioni? Come si trova la base?

In allegato il mio (unico) svolgimento sul 1° punto A delle matrici <!-- s:oops: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_redface.gif" alt=":oops:" title="Embarassed" /><!-- s:oops: -->[/quote:1fetlx58]

premesso che sono sempre più arrugginito e potrei dire qualche sciocchezza...  <!-- s:) --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_smile.gif" alt=":)" title="Smile" /><!-- s:) -->  direi che

i [u:1fetlx58]polinomi[/u:1fetlx58] di grado minore o uguale a 4 sono uno spazio vettoriale di dimensione 5 con base (canonica): 

[tex:1fetlx58]x^4,x^3,x^2,x^1,1[/tex:1fetlx58]

quindi in termini di vettori

[tex:1fetlx58]x^4[/tex:1fetlx58] corrisponde a [tex:1fetlx58]e_1=&#40;1,0,0,0,0&#41;[/tex:1fetlx58]
…

[tex:1fetlx58]1[/tex:1fetlx58] corrisponde a [tex:1fetlx58]e_5=&#40;0,0,0,0,1&#41;[/tex:1fetlx58]

detto questo non hanno nulla di speciale e si trattano come gli altri spazi vettoriali; dalle definizioni di p(x) si determinano le basi dei sottospazi
dalle basi si deduce la base/dimensione di V+W; in questi esercizi si vedono a occhio; altrimenti puoi impostare il sistemone:
- si mettono i vettori delle due basi come vettori riga in un matricione
- applicando gauss vedi se sono o meno indipendenti e determini i pivot
- i vettori  corrispondenti ai pivot sono la base di V+W (puoi prendere quelli pre gauss o post gauss giacché le operazioni per riga non modificano lo span)

poi da Grassmann si trova subito la dimensione di  [tex:1fetlx58]V\cap W[/tex:1fetlx58]; la base in questi esercizi si vedono a occhio; se non la vedi ti tocca impostare il sistemone (come per gli spazi vettoriali &quot;normali&quot;)

per le [u:1fetlx58]matrici[/u:1fetlx58] quello che hai fatto va bene, forse non c’era bisogno di impostare i sistemi ma se ti senti più sicuro così ok
determinate le basi di V e W il primo problema è individuare la base di V+W; quando ho fatto gli esercizi mi veniva facile vederle rapidamente a occhio, ora un po’ meno; se non le vedi a occhio si può procedere impostando anche in questo caso il sistemone:
- si mettono le matrici delle due basi come vettori riga in un matricione
- applicando gauss vedi se sono o meno indipendenti e determini i pivot
- i vettori/matrici corrispondenti ai pivot sono la base di V+W

per [tex:1fetlx58]V\cap W[/tex:1fetlx58] vale quanto detto in precedenza