Ciao!

A meno di non sbagliarmi ancora una volta mi sembra che ai primi due punti si risponde facendo vedere - come dici tu - con il metodo diretto che l'inf è un minimo per ogni [latex]\epsilon[/latex].

Per quanto riguarda la parte per mostrare la SCI:

E' vero che la lagrangiana non è convessa in p, però puoi vedere la parte in p come somma di due termini: [latex]\epsilon p^4[/latex] e [latex]-p^2[/latex]. Per la prima puoi usare la convessità e per l'altra puoi usare la SCI della norma in [latex]L^2[/latex]. In questo modo:

[latex]Se v'_n \rightarrow v'[/latex] debole in [latex]L^4[/latex] (in particolare debole in [latex]l^2)[/latex]) allora hai che:



liminf[latex]\int_{0}^{1} v_n'^{4}-v_n'^2\, dx \geq liminf \int_{0}^{1} v_n'^{4}\, dx - liminf \int_{0}^{1} v_n'^{2}\, dx[/latex]