L'esercizio in questione chiede di integrare la funzione [latex:3tvl9olo]|z|[/latex:3tvl9olo] sull'insieme [latex:3tvl9olo]A[/latex:3tvl9olo] tale che [latex:3tvl9olo]x^2+y^2+z^2\leq 4[/latex:3tvl9olo],[latex:3tvl9olo]|x|\geq 1[/latex:3tvl9olo],[latex:3tvl9olo]|y|\geq 1[/latex:3tvl9olo].
Intanto si osserva che ci si può limitare a studiare il problema per [latex:3tvl9olo]z\geq 0[/latex:3tvl9olo] e moltiplicare per 2, visto che l'insieme è simmetrico per [latex:3tvl9olo]z[/latex:3tvl9olo].
L'insieme che si ottiene è il complementare in [latex:3tvl9olo]A[/latex:3tvl9olo] dell'instersezione fra la parte superiore della sfera e un parallelepipedo con [latex:3tvl9olo]&#40;x,y&#41;\in [-1,1]×[-1,1][/latex:3tvl9olo] e [latex:3tvl9olo]z[/latex:3tvl9olo] variabile. Quindi per ottenere l'integrale richiesto basta integrare su tutta la semisfera superiore e sottrarre l'integrale sull'intersezione descritta per poi moltiplicare per 2. Tale intersezione corrisponde al parallelepipedo per [latex:3tvl9olo][/latex:3tvl9olo][latex:3tvl9olo]z\in &#40;0,\sqrt{2}&#41;[/latex:3tvl9olo] e alla calotta sferica per [latex:3tvl9olo]z\in&#40;\sqrt{3},2&#41;[/latex:3tvl9olo]. Invece il problema sorge quando [latex:3tvl9olo]z\in&#40;\sqrt{2},\sqrt{3}&#41;[/latex:3tvl9olo] e l'intersezione corrisponde all'intersezione fra una circonferenza e un quadrato. Come si può calcolare l'area di tale intersezione volendo integrare per sezioni? È conveniente ragionare così o c'è un modo più furbo?