Provo a dare una risposta al punto (b):

(Purtroppo non sono capace di metterlo come spoiler) [color=#0000FF:21prfmyy][EDIT by Massimo Gobbino: l'ho fatto io <!-- s:D --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_biggrin.gif" alt=":D" title="Very Happy" /><!-- s:D --> e ho anche aggiunto un pezzettino mancante in una formula][/color:21prfmyy]

[spoiler=&quot;soluzione_punto_b&quot;:21prfmyy]Per quanto detto nel punto &#40;a&#41; il minimo dovrebbe esistere quando [latex:21prfmyy]l \leq \frac{\pi}{2}[/latex:21prfmyy].

Sia quindi [latex:21prfmyy]l &lt; \frac{\pi}{2}[/latex:21prfmyy]. Si osserva che [latex:21prfmyy]u_0 = 0[/latex:21prfmyy] è soluzione dell&#39;equazione di Eulero associata al funzionale. Vorrei adesso far vedere che [latex:21prfmyy]u_0[/latex:21prfmyy] è il minimo globale e quindi che non esiste nessun valore di [latex:21prfmyy]l[/latex:21prfmyy] tale per cui il minimo è negativo.

Si osservi che il nostro funzionale è maggiore uguale a [latex:21prfmyy]G&#40;u&#41;=\int_{0}^{l}u&#39;^2 -10u^2+u^6\cos x\, dx[/latex:21prfmyy], per il quale, se non ho sbagliato i conti, si vede che [latex:21prfmyy]u_0[/latex:21prfmyy] è un minimo globale. Infatti sia  [latex:21prfmyy]w=u_0+v[/latex:21prfmyy] un competitore &#40;con v nulla al bordo&#41;.

Si consideri allora [latex:21prfmyy]\phi&#40;t&#41;=G&#40;u_0+tv&#41;[/latex:21prfmyy]. Facendo uno sviluppo di Taylor con resto di Lagrange si trova:

[latex:21prfmyy]\phi&#40;1&#41;=G&#40;u_0+v&#41;=G&#40;u_0&#41;+V^2&#40;u_0+t_*v&#41;[/latex:21prfmyy]

con [latex:21prfmyy]V^2[/latex:21prfmyy] variazione seconda di [latex:21prfmyy]G[/latex:21prfmyy]e [latex:21prfmyy]t_* \in [0,1][/latex:21prfmyy]. &#40;Dove si è sfruttato il fatto che [latex:21prfmyy]u_0[/latex:21prfmyy] è soluzione dell&#39;ELE anche per questo secondo funzionale.&#41;

Calcolando [latex:21prfmyy]V[/latex:21prfmyy] viene fuori che è sempre maggiore o uguale a 0, quindi in effetti [latex:21prfmyy]0[/latex:21prfmyy] è un minimo globale.[/spoiler:21prfmyy]