Ciao, il tuo svolgimento mi pare corretto, anche se un po' lungo e tentare di trovare una via rapida credo faccia parte di questo tipo di esercizio.

Ad esempio, si potrebbe usare la forma polare subito e ottenere

[latex:20jznuej]\iint_B\frac{e^{xy}}{&#40;x^2+y^2&#41;^{\alpha}}\,dx\,dy=\iint_B\frac{e^{\frac12 r \sin &#40;2\theta&#41;}}{r^{2\alpha-1}}\,dr\,d\theta\ge \frac{\pi}8\int_{1}^{\infty} \frac{e^{\frac r {2\sqrt 2}}}{r^{2\alpha-1}}\,dr[/latex:20jznuej]

che ne pensi?