Alla cortese attenzione del Ch.mo Prof. Massimo Gobbino

ADESSO HO LA RISPOSTA DELLO SVILUPPO DI sin(x^5) IN SERIE DI MC LAURIN

Non capivo perchè bisognava sostituire nello svilippo di sin(t) brutalmente x^5 cioè:

sin(x^5) = (1)x^5 - (1)x^15/3! + .....ecc

Il motivo consiste nel fatto che il coefficiente di x^5 ,(1 uno) dello svipuppo (dopo la sostituzione) svia l'attenzione, ed anche il 3! a denominatore di x^15.

Il suo valore è 1, non perchè c'è un 1 nello sviluppo di :

sint = (1 uno)t - t3/3! + t^5/5! - ....ecc

ma perchè quell'1, viene dalla semplificazione di 120/5! 

Si proprio 120, perchè è ciò che si ottiene facendo la derivata quinta e valutandola nell'origine.

E siccome; 120 = 5! ottengo 5!/5! =1, e quindi soltanto x^5 come primo termine dello sviluppo.

Di conseguenza il 3! che c'è sotto (1)x^15/3!, non è altro che ciò che rimane dalla seguente semplificazione:

(4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15)/(1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15) = 1/(1x2x3) = 3!

Quindi: sin(x^5) = x^5 - [1/(1x2x3]X^15...ecc.....

Questo era l'anello di congiunzione che mi mancava.

Se prima la matrice cognitiva dell'ascoltatore, (in questo particolare sviluppo di polinomio) non fa un salto pindarico, non se ne esce fuori. 
Ecco perchè avevo scritto che spesso una cosa non detta combina guai di questo tipo.

Adesso mi chiedo se esiste qualche [b:8c75o4jo]&quot;metodo induttivo&quot; o altro[/b:8c75o4jo], che,senza fare le derivate porti alla dimostrazione che in:

[b:8c75o4jo]sint = t - t^3/3! + t^5/5! - ... ecc.[/b:8c75o4jo]

si possa sostituire [b:8c75o4jo]&quot;brutalmente&quot;[/b:8c75o4jo] un generico polinomio [b:8c75o4jo]p(x) di grado n[/b:8c75o4jo] al posto dell'argomento t del seno dentro lo sviluppo; 

perchè diversamente la vedo ardua.

Chiaramente io ho fatto un pò di calcoli con sin(x^3), che per WLOG è la stessa cosa, ma mi ha semplificato i conti.

Con stima
La Saluto cordialmente
Giuseppe Maimone