Beh, cerchiamo di capire dove sta il problema.

Nella parte senza le derivate dovrebbe essere tutto liscio, se non sbaglio. Essendo [latex:2oqky8b6]u&#40;x&#41;[/latex:2oqky8b6] e [latex:2oqky8b6]v&#40;x&#41;[/latex:2oqky8b6] continue siamo nell'ambito del teorema di derivazione di integrali parametrici dell'analisi 2.

Nella parte con le derivate serve il teorema di derivazione degli integrali parametrici in ambito Lebesgue, per il quale basta una equi-dominazione della presunta derivata. Serve dunque una stima del tipo

[latex:2oqky8b6]|\sinh&#40;u&#39;&#40;x&#41;+tv&#39;&#40;x&#41;&#41;v&#39;&#40;x&#41;|\leq g&#40;x&#41;[/latex:2oqky8b6].

Ora il [latex:2oqky8b6]v&#39;&#40;x&#41;[/latex:2oqky8b6] fuori non dà nessun problema perché è continuo, dunque limitato. Per la parte con il seno iperbolico si può usare la formula di addizione e ci si riduce ad avere l'integrabilità di seno e coseno iperbolico di [latex:2oqky8b6]u&#39;&#40;x&#41;[/latex:2oqky8b6], la quale è sostanzialmente gratis dal fatto che [latex:2oqky8b6]u&#40;x&#41;[/latex:2oqky8b6] rende minimo, dunque in particolare finito, il funzionale.

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