Salve Professore...a quanto pare ho sbagliato tutto  <!-- s:roll: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_rolleyes.gif" alt=":roll:" title="Rolling Eyes" /><!-- s:roll: --> E il fatto di non capire bene dove sta la falla nel mio ragionamento mi preoccupa abbastanza.

Scrivo la mia dimostrazione, sperando di capire dove stanno i problemi:

Supponiamo di aver dimostrato la parte [latex:3bg39lir]a&#41;[/latex:3bg39lir], ovvero che [latex:3bg39lir]m_\epsilon[/latex:3bg39lir] è ben definito per ogni [latex:3bg39lir]\epsilon &gt;0[/latex:3bg39lir](Questo si fa usando il metodo indiretto).

Chiamo quindi [latex:3bg39lir]G_{\epsilon}[/latex:3bg39lir] la famiglia di funzionali [latex:3bg39lir]G_{\epsilon}&#40;u&#41;= \int_{0}^{1} \epsilon u&#39;&#39;^2 +cos{u&#39;}+cos{u}\, dx[/latex:3bg39lir] e li vedo come funzionali da [latex:3bg39lir]X \rightarrow \mathbb{R}[/latex:3bg39lir] e non da [latex:3bg39lir]L^2 \rightarrow \mathbb{R}[/latex:3bg39lir] (Forse ho già qui qualche problema? Anche se non capisco bene perché: la teoria fatta in classe non va bene per un qualsiasi spazio metrico, in questo caso un sottospazio metrico di [latex:3bg39lir]L^2[/latex:3bg39lir]?).

Vorrei mostrare che  [latex:3bg39lir]G_{\epsilon}[/latex:3bg39lir] gamma converge ad [latex:3bg39lir]F[/latex:3bg39lir]. Per far questo sfrutto il seguente lemma:

LEMMA:

Sia (X,d) spazio metrico, [latex:3bg39lir]f_\epsilon: X \rightarrow \mathbb{\overline{R}}[/latex:3bg39lir] una famiglia di funzionali ed [latex:3bg39lir]f_\infty: X \rightarrow \mathbb{\overline{R}}[/latex:3bg39lir]. E supponiamo che 

[latex:3bg39lir]\cdot[/latex:3bg39lir] Valga la lim-inf inequality;

[latex:3bg39lir]\cdot[/latex:3bg39lir] Esista un denso in energia per [latex:3bg39lir]f_\infty[/latex:3bg39lir] tale che per ogni punto di esso valga la limsup-inequality;

allora [latex:3bg39lir]f_\infty[/latex:3bg39lir] è il gamma limite della famiglia.



Mostriamo quindi che vale la liminf inequality:

Sia [latex:3bg39lir]u_\epsilon \in X \rightarrow u[/latex:3bg39lir] per [latex:3bg39lir]\epsilon \rightarrow 0^+[/latex:3bg39lir] rispetto la metrica di [latex:3bg39lir]L^2[/latex:3bg39lir]. Consideriamo quindi 2 casi:

1) liminf[latex:3bg39lir]G_\epsilon&#40;u_\epsilon&#41;=+\infty[/latex:3bg39lir] e quindi è tutto ok;

2) A meno di una sottofamiglia [latex:3bg39lir]||G_\epsilon&#40;u_\epsilon&#41;||_{L^2} \leq M[/latex:3bg39lir] per un certo [latex:3bg39lir]M[/latex:3bg39lir].

In questo secondo caso, con considerazioni simili a quelle che si possono fare per risolvere il primo punto dell'esercizio, si trova - sfruttando condizioni al bordo, compattezza...- una sottofamiglia (che indicherò ancora con le stesso indice) tale che:

[latex:3bg39lir]u_\epsilon \rightarrow[/latex:3bg39lir] uniformente ad un certo [latex:3bg39lir]u_\infty[/latex:3bg39lir], le derivate deboli (che in realtà sono proprio derivate, visto che siamo in [latex:3bg39lir]H^{2,2}[/latex:3bg39lir]) tendono tendono uniformemente alle derivate di [latex:3bg39lir]u_\infty[/latex:3bg39lir] e le derivate deboli seconde tendono debolmente in [latex:3bg39lir]L^2[/latex:3bg39lir] alle derivate deboli seconde di [latex:3bg39lir]u[/latex:3bg39lir]. In particolare abbiamo estratto una sottofamiglia che converge (rispetto questa nozione di convergenza) ad un elemento che sta ancora in [latex:3bg39lir]X[/latex:3bg39lir].

Per concludere quindi che vale la liminf inequality basta quindi osservare che 

liminf [latex:3bg39lir]G_\epsilon&#40;u_\epsilon&#41;\geq[/latex:3bg39lir]liminf (sottofamiglia)[latex:3bg39lir]\geq liminf \int_{0}^{1} cos{u_\epsilon&#39;}+cos{u_\epsilon}\, dx=\int_{0}^{1} cos{u_\infty&#39;}+cos{u_\infty}\, dx[/latex:3bg39lir]

dove questo ultimo passaggio è vero per la convergenza addirittura uniforme della sottofamiglia e delle loro derivate.



Passiamo quindi alla limsup inequality:


Osservo che un denso in energia per [latex:3bg39lir]F[/latex:3bg39lir] è [latex:3bg39lir]D=\{u \in C^2: u&#40;0&#41;=0, u&#39;&#40;0&#41;1[/latex:3bg39lir]. Infatti se [latex:3bg39lir]u \in X[/latex:3bg39lir] allora esiste una successione di funzioni in  [latex:3bg39lir]D[/latex:3bg39lir] che converge ad [latex:3bg39lir]u[/latex:3bg39lir] in [latex:3bg39lir]L^2[/latex:3bg39lir] e tale che derivate e derivate deboli seconde convergono rispettivamente alla derivata e alla derivata debole seconda di [latex:3bg39lir]u[/latex:3bg39lir]. ( Sicuramente esiste una successione in [latex:3bg39lir]C^2[/latex:3bg39lir]che converge in quel modo, per la definizione alternativa dello spazio di sobolev, ma in effetti non mi sono soffermato troppo a pensare che le condizioni al bordo potessero essere un problema  <!-- s:| --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_neutral.gif" alt=":|" title="Neutral" /><!-- s:| --> ).

Allora abbiamo chiaramente che il limite passa sotto il segno di integrale (per esempio perché cos è Lipschitz).

Resta quindi da mostrare che per ogni [latex:3bg39lir]u \in D[/latex:3bg39lir] esiste una recovery. Per questo fine,  basta in effetti prendere la successione costante uguale a se stessa: si vede subito che tutto torna.

Per quanto la coercività...( che a quanto pare ho ancora sbagliato  <!-- s:roll: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_rolleyes.gif" alt=":roll:" title="Rolling Eyes" /><!-- s:roll: --> ) magari la posto domani. Magari capire dove ho sbagliato in questa prima parte mi potrebbe aiutare anche per quell'altra.

Grazie (sopratutto per la pazienza!).


p.s. In generale passa qualche giorno tra lo scritto e l'eventuale orale?