Gentile professore, non so se ho usato troppa disinvoltua nel risolvere questa serie ..

[tex:1pwvw9ru]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\left[\frac{n!}{e^{n^2}}+&#40;-1&#41;^n\left&#40;1-\sin\beta\right&#41; ^{\frac{n^2}{n+1}}\right],\qquad \beta\in\mathbb{R}[/tex:1pwvw9ru]
 

Osserviamo che la serie la possiamo spezzare in due:
 
[tex:1pwvw9ru]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\, \frac{n!}{e^{n^2}}+\sum_{n=1}^\infty\,\,&#40;-1&#41;^n\left&#40;1-\sin\beta\right&#41; ^{\frac{n^2}{n+1}}[/tex:1pwvw9ru]
 
studiamo ora le due serie separatamente, per poi cercare di concludere utilizzando la linearità:
 
la prima serie è evidentemente a termini positivi; allora applicando il criterio della radice si ha:
 
[tex:1pwvw9ru]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{n!}{e^{n^2}} &amp;\stackrel{Sqrt}{\Longrightarrow}\lim_{n \to +\infty}\sqrt[n]{\frac{n!}{e^{n^2}}}=\lim_{n \to +\infty} {\frac{\sqrt[n]n!}{e^{n }}}   =0&lt;l&lt;1\to\text{converge}[/tex:1pwvw9ru]
 
la prima serie risulta dunque convergente per il criterio dela radice. 

La seconda serie: è evidentemente a segni alterni; consideriamo allora il valore assoluto del termine generale, e otteniamo:
 
[tex:1pwvw9ru]\displaystyle\left|&#40;-1&#41;^n\left&#40;1-\sin\beta\right&#41; ^{\frac{n^2}{n+1}}\right|=\left&#40;1-\sin\beta\right&#41; ^{\frac{n^2}{n+1}}\sim \left&#40;1-\sin\beta\right&#41; ^{n}[/tex:1pwvw9ru]
 
la seconda serie dunque si comporta asintoticamente come una serie geometrica di ragione [tex:1pwvw9ru]1-\sin\beta,[/tex:1pwvw9ru]  che sappiamo essere convergente quando  [tex:1pwvw9ru]|1-\sin\beta|&lt;1;[/tex:1pwvw9ru] osservando che

[tex:1pwvw9ru]|1-\sin\beta|&lt;1 \Leftrightarrow-1&lt;1-\sin\beta&lt;1[/tex:1pwvw9ru][tex:1pwvw9ru]\Leftrightarrow-2&lt; -\sin\beta&lt;0\Leftrightarrow 0&lt;  \sin\beta&lt;2[/tex:1pwvw9ru]

[tex:1pwvw9ru]\Leftrightarrow\begin{cases} \sin\beta&lt;2, &amp; \forall\beta \\ \sin\beta&gt;0, &amp; 0&lt;\beta&lt;\pi+ k\pi, k\in\mathbb{Z}
\end{cases},[/tex:1pwvw9ru] 

dunque la seconda serie risulta

[tex:1pwvw9ru]\left&#40;1-\sin\beta\right&#41; ^{n} =[/tex:1pwvw9ru][tex:1pwvw9ru]\begin{cases}\mbox {se}\,\,\,0&lt;\beta&lt;\pi+ k\pi,   \mbox{assolutamente convergente} \\ \mbox{se}\,\,\,\pi&lt;\beta&lt;2\pi+ k\pi,  \mbox{assolutamente divergente} 
\end{cases}[/tex:1pwvw9ru]
 
nel caso in cui la serie risulta assolutamente divergente, per vedere se c è convergenza semplice possiamo osservare che  [tex:1pwvw9ru]1-\sin\beta&gt;0, \forall\beta,[/tex:1pwvw9ru]  allora posto   [tex:1pwvw9ru]1-\sin\beta=\lambda[/tex:1pwvw9ru], considerando il limite delle somme parziali della serie si ha:

 
[tex:1pwvw9ru]\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\sum_{k=1}^n\,\,&#40;-1&#41;^k\left&#40;\lambda\right&#41; ^{k}[/tex:1pwvw9ru] [tex:1pwvw9ru]\displaystyle=\lim_{n \to +\infty}-\lambda+\lambda^2-\lambda^3+\lambda^4+....-\lambda^{2n-1}+\lambda^{2n}[/tex:1pwvw9ru]

[tex:1pwvw9ru]\displaystyle=\lim_{n \to +\infty}\left&#40; \lambda^2 +\lambda^4+... +\lambda^{2n}\right&#41;-\left&#40; \lambda+\lambda^3 +... +\lambda^{2n-1}\right&#41;[/tex:1pwvw9ru] 

[tex:1pwvw9ru]\displaystyle=\lim_{n \to +\infty}\lambda^2\left&#40; 1 +\lambda^2+\lambda^4+... +\lambda^{2n}\right&#41;- \lambda\left&#40;1+\lambda^2+\lambda^4 +... +\lambda^{2n }\right&#41;[/tex:1pwvw9ru] 

[tex:1pwvw9ru]\displaystyle=\lim_{n \to +\infty}\left&#40;1+\lambda^2+\lambda^4 +... +\lambda^{2n }\right&#41;\left&#40;\lambda^2-\lambda\right&#41;[/tex:1pwvw9ru]  

[tex:1pwvw9ru]=\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\frac{\left&#40;\lambda^2\right&#41;^{n+1}-1}{\lambda^2+1}\left&#40;\lambda^2-\lambda\right&#41;[/tex:1pwvw9ru]

[tex:1pwvw9ru]\displaystyle\sim\lim_{n \to +\infty} \left&#40;\lambda^2\right&#41;^{n+1}\sim\lim_{n \to +\infty}  \lambda^ {2n}[/tex:1pwvw9ru] [tex:1pwvw9ru]\displaystyle=\begin{cases} 0&amp;\text{se}\,\,\,0&lt;\lambda&lt;1,\\  +\infty&amp;\text{se}\,\,\, \lambda&gt;1,
\end{cases}[/tex:1pwvw9ru]
 
e dunque la serie converge semplicemente per [tex:1pwvw9ru]0&lt;\lambda&lt;1,[/tex:1pwvw9ru]  cioè per  [tex:1pwvw9ru]0&lt;\beta&lt;\pi+ k\pi;[/tex:1pwvw9ru]
 
Concludendo si ha:
 
[tex:1pwvw9ru]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\left[\frac{n!}{e^{n^2}}+&#40;-1&#41;^n\left&#40;1-\sin\beta\right&#41; ^{\frac{n^2}{n+1}}\right]=[/tex:1pwvw9ru][tex:1pwvw9ru]\displaystyle\begin{cases} \text{se}\,\,\,0&lt;\beta&lt;\pi+ k\pi, &amp; \mbox{ semplicemente convergente} \\ \box{se}\,\,\,\pi&lt;\beta&lt;2\pi+ k\pi, &amp; \mbox{  divergente} 
\end{cases}[/tex:1pwvw9ru]