All'attenzione del Chi.mo Prof. Massimo Gobbino

La domanda che mi frulla per la testa da un pò di tempo, e sulla quale ho postato un questito che poi ho tolto, perchè lo ritenevo poco chiaro nella sua formulazione e che qui ripropongo è la seguente:

Per semplicita' mettiamoci in R^3.

Dati tre vettori qualunque linearmente indipendenti: 
v1, v2, v3, questi tre vettori hanno ciascuno 3 componenti con le quali, se voglio, posso
fare una matrice 3x3 considerandoli come colonne:

(v1|v2|v3|)

Se dico che le tre componenti dei tre vettori v1, v2, v3, sono relative ad una base qualunque possso ritenere di aver detto una cosa corretta?

1) Le tre componenti le devo necessariamente pensare nella base ortonormale cartesiana, che chiamo canonica?
2) Oppure: qualunque base non ha una sua canonica intrinseca (1,0,0), (0,1,0), e (0,0,1) ?
3) E se moltiplico la matrice di cui sopra ad esempio per (1,0,0) non ottengo sempre v1 qualunque sia la base?

4) Rimarrebbe da considerare la matrice identica intrinseca, perchè: sebbene il prodotto scalare dei suoi vettori faccia sempre zero, essi non sarebbero tra loro perpendicolari. (Ammesso se abbia senso in una base 
qualunque la definizione di prosotto scalare! visto che non mi dà la proiezione ortogonale in quanto vettori qualsiasi!)
E che significato avrebbe il determinante di tale canonica intrinseca?

5) Allora cosa accade? 
Per base canonica, si deve intendere sempre la canonica classica, con i tre versori ortogonali, e partire per definire le componenti di un vettore, sempre da quella e ci si semplifica la vita?
Oppure vista la linearità che domina questa parte della matematica (Algebra Lineare), va bene anche partire per la definizione delle componenti dei vettori, da una base qualsiasi e rompersi il collo con tutti i calcoli che si han da fare?

6) Ha un senso tutto ciò che ho esposto sopra?

Oggi è Pasqua, e Le auguro una Buona Pasqua e buone feste.

Cordialmente
Giuseppe Maimone