La ringrazio  <!-- s:D --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_biggrin.gif" alt=":D" title="Very Happy" /><!-- s:D --> , provo a scriverle i passaggi che ho fatto.

Per la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica
[latex:3bxbkh4m]\sqrt{a_nb_n} \leq \frac{a_n+b_n}{2} =&gt;[/latex:3bxbkh4m]

[latex:3bxbkh4m]b_1\leq b_n \leq b_{n+1} \leq a_{n+1}\leq a_n \leq a_1[/latex:3bxbkh4m]

Per la definizione di successione monotona e per la definizione di successione limitata ho che:
[latex:3bxbkh4m]b_n[/latex:3bxbkh4m] risulta essere monotona crescente e limitata
[latex:3bxbkh4m]a_n[/latex:3bxbkh4m] risulta essere decrescente e limitata

Per il Teorema sull'esistenza dei limiti di successioni monotone
  
Esiste il limite  [latex:3bxbkh4m]\lim_{n\to +\infty} b_n = \sup &#40;b_n&#41;_{n\in\mathbb{N}}[/latex:3bxbkh4m]

Esiste il limite [latex:3bxbkh4m]\lim_{n\to +\infty} a_n=  \inf &#40;a_n&#41;_{n\in\mathbb{N}}[/latex:3bxbkh4m]

(Dubbio: primo riguardo l'utilizzo di questo teorema, secondo vorrebbe dire che per avere le due successione convergenti allo stesso limite dovrebbe essere  [latex:3bxbkh4m]\inf=\sup[/latex:3bxbkh4m])  

Corollario: una successione monotona è convergente se e solo se è limitata.
Quindi [latex:3bxbkh4m]a_n[/latex:3bxbkh4m] e [latex:3bxbkh4m]b_n[/latex:3bxbkh4m] convergono.
Ora vogliamo dimostrare che convergono allo stesso limite.
Da qui non so come procedere  <!-- s:( --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_sad.gif" alt=":(" title="Sad" /><!-- s:( --> 

Se non la disturbo troppo vorrei chiederle se può aiutarmi a scrivere la dimostrazione  in termini più rigorosi, tante grazie!!