La domanda di francicko andrebbe posta meglio. Dire che una funzione è analitica è ambiguo, così come lo è dire che una funzione è uniformemente continua: bisogna sempre specificare *dove* questo accade.

Una versione incompleta è la seguente. Se una funzione f(x) è analitica in un certo aperto, allora in ogni punto dell'aperto posso costruire la serie di Taylor di f(x), usando come coefficienti le derivate successive calcolate in quel punto e divise per gli opportuni fattoriali; questa serie converge a f(x) in un certo intervallo centrato nel punto in considerazione, la cui ampiezza dipende dal punto stesso. 

Ad esempio, la funzione f(x)=log(1+x) è analitica nella semiretta x&lt;1. Preso un qualunque punto della semiretta, ad esempio a=-4, la serie di Taylor di centro a converge a log(1+x) nell'intervallo (-9,1), che è l'intervallo centrato in a e di (semi)ampiezza 5. In questo caso la semi-ampiezza è la massima possibile, perché andare oltre 5 porterebbe la zona di analiticità oltre 1.

Tuttavia, l'ampiezza non è sempre la massima possibile. La funzione arctan x è analitica su tutto R, ma la serie di Taylor centrata in 0 converge solo in (-1,1). Ancora più buffo è che la serie di Taylor con centro in 8 converge in un intervallo la cui semi-ampiezza è la radice di 65 <!-- s:shock: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_eek.gif" alt=":shock:" title="Shocked" /><!-- s:shock: -->. Ovviamente a tutto questo c'è una spiegazione, e comparirà da qualche parte nelle lezioni del secondo semestre di analisi 2, quando ci occuperemo, appunto di analiticità. <!-- s:D --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_biggrin.gif" alt=":D" title="Very Happy" /><!-- s:D -->