ESERCIZIO
Consideriamo la successione definita per ricorrenza
 a_0 = 2008, a_(n+1) = arctan a_n .
Studiare la serie SUM (a_n)^alpha, al variare del parametro reale alpha.
SOLUZIONE
La serie converge per alpha &gt; 2, diverge altrimenti.
a_n tende a zero (perchè?).
Se dimostriamo che (a_n)^2 / 1/n -&gt; l (l diverso da zero), allora SUM (a_n)^(2alpha) ha lo stesso carattere di SUM 1/n^alpha. Ma l'ultima serie converge per alpha &gt; 1, quindi SUM (a_n)^beta, con beta = 2alpha,  convergerà per beta &gt; 2.
Dimostriamo allora che (a_n)^2 / 1/n -&gt; l (l diverso da zero).
(a_n)^2 / 1/n = n (a_n)^2 = n / 1/(a_n)^2,
Per calcolare il limite dell'ultima successione ci possiamo avvalere del seguente risultato: <!-- m --><a class="postlink" href="http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Stolz-Ces%C3%A0ro">http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... es%C3%A0ro</a><!-- m --> 
[(n+1)-n]/[ 1/(a_(n+1))^2-1/(a_n)^2] =1/ [ 1/(a_(n+1))^2-1/(a_n)^2]=1/[ 1/(arctan a_n)^2-1/(a_n)^2].
Il limite del denominatore dell'ultima espressione scritta è uguale al limite per x -&gt; 0 della funzione 
f(x) =  1/(arctan x)^2-1/x^2 (perchè?), il cui valore (diverso da zero) viene lasciato per esercizio.