Segnalo un fatto che mi sembra interessante. Se la questione sollevata dalla domanda fosse vera, a quel punto nell'esercizio in cui consideravamo gli autovalori e gli autovettori dell'inverso del laplaciano su [latex:1l10oge4]&#40;0, 2\pi&#41;^2[/latex:1l10oge4], che tornano [latex:1l10oge4]\sin&#40;nx&#41;\sin&#40;my&#41;[/latex:1l10oge4] e [latex:1l10oge4]n^2 + m^2[/latex:1l10oge4], avremmo che la densità di [latex:1l10oge4]\{\sin&#40;nx&#41;\sin&#40;my&#41;\}[/latex:1l10oge4] in [latex:1l10oge4]L^2[/latex:1l10oge4] discenderebbe non solo dal fatto che posso approssimare i rettangolini, maanche da considerazioni puramente teoriche. Questo potrebbe essere utile nel caso in cui abbia autovettori complicati (magari associati a domini balordi) il cui span risulterebbe denso direttamente dal teorema spettrale.

L'unico problema è che non saprei come dimostrare che, effettivamente, quelli che ho fornito sono i soli autovettori di [latex:1l10oge4]- \Delta[/latex:1l10oge4]. per ottenerli ho usato il metodo della separazione delle variabili, e non è detto, a priori, che tutti gli autovalori si possano scrivere a quel modo.