Una dimostrazione contrattiva funziona sicuramente. Non dovrebbe però essere difficile dare una dimostrazione del lemma del cubo interno utilizzando il solo enunciato del teorema della funzione inversa, senza ripeterne la dimostrazione.

Mi limito ad elencare qui lo schema, ma se ci sono buchi siete pregati di segnalarli. 

1 - Intanto si dimostra qualcosa di questo tipo: se f(x) ed f(y) sono vicini, allora x e y sono vicini (questa è una sorta di Lipschitzianità dell'inversa). 

2 - Prendiamo un cubetto C con centro in x e semilato r, che pensiamo chiuso, e consideriamo la sua immagine. Ora f(x) sarà interno all'immagine f(C), quindi esiste almeno un cubetto con centro in f(x) e contenuto in f(C). 

3 - Indichiamo R il sup dei semilati per cui il cubetto con centro in f(x) sta in f(C). Allora il cubetto con centro in f(x) e semilato R sta a sua volta in f(C) (qui è stato utile pensare C compatto).

4 - Il nostro scopo è mostrare che R è almeno una certa quantità. Supponiamo allora che R sia più piccolo di quello che vorremmo. Prendiamo una qualunque punto z sul bordo del cubetto con centro in f(x) e semilato R. Per il punto 3 sappiamo che z=f(y) per un certo y in C. Inoltre per il punto 1 sappiamo che, se R è troppo piccolo, y sarà interno a C, dunque z sarà interno ad f(C).

5 - Dal punto 4 sappiamo che tutti i punti del bordo del cubetto con centro in f(x) e semilato R sono interni all'immagine di C. Questo contraddice la massimalità di R.

Mi pare che in questo modo si usi solo la lipschitzianità locale dell'inversa (anche questa solo locale) ed il fatto che, se x è interno a C, allora f(x) è interno ad f(C).

Fermo restando l'interesse per il lemma, la domanda che mi sono posto a suo tempo è però la seguente: serve davvero il lemma del cubetto interno nella dimostrazione della formula di cambio di variabili? Forse no, e l'idea dovrebbe essere che dal solo lemma di cubo esterno si ottiene la stessa formula con una disuguaglianza, e poi si chiude applicando la stessa disuguaglianza alla trasformazione inversa, un po' come alla lezione 40 (fine del punto 1.2). 

Non sarebbe male che qualcuno controllasse questo.