Buonasera a tutti!
Avrei una domanda sulla formula di Taylor e in particolare vorrei capire fino a che punto si può estendere. Più precisamente:

Siano V e W due spazi vettoriali normati. Si consideri la successione di spazi normati definita per ricorrenza:

[latex:28e5srcr]{L}^0[/latex:28e5srcr](V,W)       = W
[latex:28e5srcr]{L}^{n+1}[/latex:28e5srcr](V,W) = lo spazio normato delle funzioni lineari continue tra V e  [latex:28e5srcr]{L}^n[/latex:28e5srcr](V,W), con la norma &quot;classica&quot;

Per ogni N quelli definiti sopra sono tutti spazi vettoriali normati. Ha quindi senso definire il differenziale di una funzione da V in 
[latex:28e5srcr]{L}^{n}[/latex:28e5srcr](V,W) per ogni N. In particolare ha senso definire i differenziali di ogni ordine per una funzione da V in W e Il differenziale di ordine N di una funzione, posto che esista, è una funzione tra V e [latex:28e5srcr]{L}^{n}[/latex:28e5srcr](V,W). Inoltre preso un elemento [latex:28e5srcr]{D}^{n}[/latex:28e5srcr] (che a posteriori vuole essere il differenziale di ordine n di una funzione tra V e W) appartenente a [latex:28e5srcr]{L}^{n}[/latex:28e5srcr](V,W) posso definire una funzione [latex:28e5srcr]{D}^{n - m}[/latex:28e5srcr] = [latex:28e5srcr]{D}^n&#40;{V}^{m}&#41;[/latex:28e5srcr] da V in [latex:28e5srcr]{L}^{n - m}[/latex:28e5srcr](V,W)   &quot;dando in pasto  a [latex:28e5srcr]{D}^{n}[/latex:28e5srcr] un elemento di V m-volte&quot;.

Se una funzione F da V in W è differenziabile n volte vale una formula di Taylor? Per il primo ordine dovrebbe valere (Dovrebbe seguire dalla definizione di differenziale) indipendentemente dalla dimensione di V e W ma per gli ordini successivi vale che 

F(x) = F(0) + [latex:28e5srcr]\sum_{i=1}^{n}{\frac{D_{F_0}^i&#40;x^i&#41;}{i!}}[/latex:28e5srcr] + o([latex:28e5srcr]\|x\|^n[/latex:28e5srcr]) 

Sia in dimensione finita che infinita?

Poi magari, quando siamo in dimensione finita e una volta fissate una base di W e una di V, si potrebbero ritrovare le derivate parziali di ogni ordine, come &quot;componenti&quot; dei differenziali. In questa maniera uno potrebbe &quot;svincolarsi&quot; dal dover per forza scegliere una base.

Grazie mille in anticipo! <!-- s:) --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_smile.gif" alt=":)" title="Smile" /><!-- s:) -->