Provo a rispondere io <!-- s:D --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_biggrin.gif" alt=":D" title="Very Happy" /><!-- s:D -->

Dunque, effettivamente il minimo per il funzionale:

[tex:1w85m6ky]\displaystyle F_2&#40;u&#41; = \int_0^1 u^2+\arctan&#40;\dot{u}^2&#41; \ dx[/tex:1w85m6ky]

non esiste. Per vederlo, innanzitutto notiamo che sicuramente per ogni [tex:1w85m6ky]u \in C^1&#40;[0,1]&#41;[/tex:1w85m6ky] con [tex:1w85m6ky]u&#40;0&#41;=1[/tex:1w85m6ky] vale [tex:1w85m6ky]F_2&#40;u&#41; \ge 0[/tex:1w85m6ky]. In realtà vale [tex:1w85m6ky]F_2&#40;u&#41;&gt;0[/tex:1w85m6ky], in quanto se poni [tex:1w85m6ky]F_2&#40;u&#41;=0[/tex:1w85m6ky] ottieni che [tex:1w85m6ky]||\dot{u}||_{L^2}^2=0[/tex:1w85m6ky] e [tex:1w85m6ky]||u||_{L^2}^2=0[/tex:1w85m6ky], da cui [tex:1w85m6ky]u \equiv 0[/tex:1w85m6ky], e ciò è assurdo.

Per concludere, allora, possiamo mostrare che:

[tex:1w85m6ky]\displaystyle \inf_{u \in C^1&#40;[0,1]&#41; , u&#40;0&#41;=1} F_2&#40;u&#41;=0[/tex:1w85m6ky]

Si può dimostrare ciò in un paio di modi, dipende dalle tue conoscenze. Ti do le idee, poi tu ti metti a posto i conti:
- Consideri la successione [tex:1w85m6ky]&#40;\phi_n&#41;_{n \in \mathbb{N}^+}[/tex:1w85m6ky] ove [tex:1w85m6ky]\phi_n&#40;x&#41;=0[/tex:1w85m6ky] se [tex:1w85m6ky]x \ge 1/n[/tex:1w85m6ky], e [tex:1w85m6ky]\phi_n&#40;x&#41;=1-q_nx&#40;x-2/n&#41;[/tex:1w85m6ky] se [tex:1w85m6ky]x \le 1/n[/tex:1w85m6ky], con [tex:1w85m6ky]q_n[/tex:1w85m6ky] opportuna costante (insomma, da [tex:1w85m6ky]0[/tex:1w85m6ky] a [tex:1w85m6ky]1/n[/tex:1w85m6ky] una mezza parabola, e poi nulla a tappeto: l'importante è che il vertice della parabola sia nel punto [tex:1w85m6ky]&#40;1/n,0&#41;[/tex:1w85m6ky]). Se sviluppi i conti, hai facilmente che [tex:1w85m6ky]F_2&#40;\phi_n&#41; \le 1/n&#40;1+\pi/2&#41;[/tex:1w85m6ky], da cui la tesi;
- Se hai studiato la parte relativa al rilassamento, puoi usare il fatto che l'estremo inferiore del funzionale è uguale all'estremo inferiore del funzionale rilassato, ad esempio, in [tex:1w85m6ky]C^0&#40;[0,1]&#41;[/tex:1w85m6ky] con [tex:1w85m6ky]u&#40;0&#41;=1[/tex:1w85m6ky], il quale è sicuramente non negativo ma minore o uguale del funzionale di partenza (dovrebbe essere uguale, però non ho fatto i conti quindi ci metto solo mezza mano sul fuoco). A questo punto, consideri la successione di funzioni [tex:1w85m6ky]&#40;\psi_n&#41;_{n \in \mathbb{N}^+}[/tex:1w85m6ky] ove [tex:1w85m6ky]\psi_n[/tex:1w85m6ky] è fatta collegando i punti [tex:1w85m6ky]&#40;0,1&#41;,&#40;1/n,0&#41;,&#40;1,0&#41;[/tex:1w85m6ky] (affine a tratti), e concludi come sopra (i conti vengono più facili, e le funzioni sono più facili da immaginare).

Moralmente, stai prendendo la successione [tex:1w85m6ky]&#40;\psi_n&#41;_{n \in \mathbb{N}^+}[/tex:1w85m6ky], e poi stai raccordando nel punto [tex:1w85m6ky]1/n[/tex:1w85m6ky] in maniera [tex:1w85m6ky]C^1[/tex:1w85m6ky]: tale raccordo non cambia la sostanza, ossia la convergenza delle immagini secondo [tex:1w85m6ky]F_2[/tex:1w85m6ky] a [tex:1w85m6ky]0[/tex:1w85m6ky].

[color=#0040BF:1w85m6ky]Consiglio per il futuro: quando la parte sulla derivata è limitata, oppure ha crescita meno che lineare, e se intuisci che il minimo del funzionale sia una certa funzione [tex:1w85m6ky]u_0[/tex:1w85m6ky] che però non appartiene all'insieme dove stai operando (come in questo caso, è evidente che l'inf sia realizzato dalla funzione nulla), allora ciò presuppone la non esistenza del minimo. Infatti è standard generare una successione di funzioni dove ognuna è uguale a [tex:1w85m6ky]u_0[/tex:1w85m6ky] tra 1/n e 1-1/n, e poi in quei due intervallini usa parecchia derivata per soddisfare le condizioni al bordo. [/color:1w85m6ky]

Spero di essere stato chiaro, se hai dubbi scrivi pure, qualcuno ti risponderà <!-- s:D --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_biggrin.gif" alt=":D" title="Very Happy" /><!-- s:D -->

[color=#800000:1w85m6ky]EDIT: Prof., non sarebbe il caso di spostare ciò nella sezione &quot;Minimum problems 3&quot;?[/color:1w85m6ky]