Grazie! Provo a scrivere la soluzione:

Ricordo che [latex:35cs1hu5]X=u \in H^{2,2}: u&#40;0&#41;=1, u&#39;&#40;0&#41;=1[/latex:35cs1hu5]. 

[latex:35cs1hu5]G_\epsilon= \int_{0}^{1} \epsilon u&#39;&#39;^2 +cos{u&#39;}+cos{u}\, dx[/latex:35cs1hu5] se [latex:35cs1hu5]u \in C^2:u&#40;0&#41;=1, u&#39;&#40;0&#41;=1[/latex:35cs1hu5] e [latex:35cs1hu5]+ \infty[/latex:35cs1hu5] altrimenti(in [latex:35cs1hu5]L^2[/latex:35cs1hu5] meno questo spazio).

Si vuole dimostrare che il gamma limite dei [latex:35cs1hu5]G_\epsilon[/latex:35cs1hu5] è [latex:35cs1hu5]F&#40;u&#41;:= \int_{0}^{1} -1 +cosu\, dx[/latex:35cs1hu5] se [latex:35cs1hu5]u \in X[/latex:35cs1hu5] e -1 altrimenti ( mi sembra sia questo il rilassato del &quot;gamma limite sbagliato&quot;) ed e è chiaro che basta dimostrare che il gamma limite dei [latex:35cs1hu5]F_\epsilon&#40;u&#41;:=\int_{0}^{1} \epsilon u&#39;&#39;^2 +cos{u&#39;}[/latex:35cs1hu5] è uguale [latex:35cs1hu5]\int_{0}^{1} -1[/latex:35cs1hu5] su tutto [latex:35cs1hu5]L^2[/latex:35cs1hu5].

LIM INF inequality:

Sia [latex:35cs1hu5]u_\epsilon \in L^2 \rightarrow u[/latex:35cs1hu5] per [latex:35cs1hu5]\epsilon \rightarrow 0^+[/latex:35cs1hu5].

Consideriamo quindi 2 casi:

1) liminf[latex:35cs1hu5]F_\epsilon&#40;u_\epsilon&#41;=+\infty[/latex:35cs1hu5] e quindi è tutto ok;

2) A meno di una sottofamiglia [latex:35cs1hu5]||F_\epsilon&#40;u_\epsilon&#41;||_{L^2} \leq M[/latex:35cs1hu5] per un certo [latex:35cs1hu5]M[/latex:35cs1hu5]. In particolare abbiamo che [latex:35cs1hu5]u_\epsilon \in C^2[/latex:35cs1hu5] (e verifica le condizioni al bordo) per ogni [latex:35cs1hu5]\epsilon[/latex:35cs1hu5] (della sottofamiglia..). 

Abbiamo quindi che  liminf[latex:35cs1hu5]\int_{0}^{1} \epsilon u_\epsilon&#39;&#39;^2 +cos{u_\epsilon&#39;} \geq[/latex:35cs1hu5] liminf [latex:35cs1hu5]\int_{0}^{1} -1\, dx[/latex:35cs1hu5].

LIM SUP inequality:

Considero le funzioni affini a tratti: 

-costituiscono un denso in energia per la funzione costante uguale a -1

-inoltre posso approssimare (addirittura uniformente) ogni funzione affine a tratti con delle rette di pendenza del tipo [latex:35cs1hu5]\pi + 2k\pi[/latex:35cs1hu5].

E' chiaro quindi che vale la limsup inequality.

Sia adesso [latex:35cs1hu5]\lambda[/latex:35cs1hu5] il minimo di [latex:35cs1hu5]\int_{0}^{1} cosu[/latex:35cs1hu5], allora osservo che:

liminf[latex:35cs1hu5]_{\epsilon \rightarrow 0^{+}} m_\epsilon \leq -1 + \lambda[/latex:35cs1hu5] [latex:35cs1hu5]\leq[/latex:35cs1hu5]liminf[latex:35cs1hu5]_{\epsilon \rightarrow 0^{+}}m_\epsilon[/latex:35cs1hu5].

E quindi abbiamo che il liminf, che è a questo punto un limite, è uguale a [latex:35cs1hu5]-1 + \lambda[/latex:35cs1hu5].