[quote=&quot;maimoneg&quot;:gmr8kqp7]6) Ha un senso tutto ciò che ho esposto sopra?[/quote:gmr8kqp7]

Ni. Forse riesco ad intravedere l'origine dei dubbi. Probabilmente il tentativo di spiegazione che segue crea più confusione che chiarezza, quindi va letto a proprio rischio e pericolo  <!-- s:D --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_biggrin.gif" alt=":D" title="Very Happy" /><!-- s:D --> .

Il fatto è che [latex:gmr8kqp7]\mathbb{R}^3[/latex:gmr8kqp7] esiste come spazio vettoriale molto prima di avere vettori ortogonali o prodotti scalari. Si tratta dello spazio delle terne (x,y,z) di numeri reali. Punto. Nessuna interpretazione geometrica. La base canonica è quella più bella, con un 1 e tutti gli altri 0. Ma nessuno sta dicendo che sia ortogonale, o fatta da vettori di lunghezza unitaria, perché semplicemente quei concetti non esistono ancora.

A quel punto uno si accorge che grazie alle basi possiamo trasformare i vettori, nel senso di elementi di uno spazio vettoriale, in numeri. Così tutti gli spazi vettoriali di dimensione 3 &quot;diventano&quot; [latex:gmr8kqp7]\mathbb{R}^3[/latex:gmr8kqp7], ma il diventare dipende dalla scelta di una base. Questo si vede bene nel momento in cui uno pensa allo spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado &lt;=2.

Per confondere le idee, a quel punto uno può tornare in [latex:gmr8kqp7]\mathbb{R}^3[/latex:gmr8kqp7] e scegliere una nuova base, una qualunque, e grazie a questa nuova base identificare i vettori, che sono terne di reali, con un'altra terna di reali, che sono le componenti del vettore. E qui nasce l'inghippo ... perché ora [latex:gmr8kqp7]\mathbb{R}^3[/latex:gmr8kqp7] gioca due ruoli: quello di insieme di vettori, e quello di terne di numeri che rappresentano gli stessi vettori rispetto ad una base.

Se quindi questa nuova base è (scrivo numeri a caso, sperando di beccare una base): v1=(3,2,1), v2=(7,3,9), v3=(12,-3,5), allora le componenti di (3,2,1) (il vettore) in questa nuova base saranno (1,0,0), ma non per questo v1 sarà diventato il primo vettore della base canonica. Il primo elemento della base canonica resta il vettore (1,0,0) che avrà le sue componenti strane rispetto alla base v1, v2, v3.