Ecco degli hint per l'esercizio 3:

[spoiler=&quot;a1&quot;:o7hzn5lm]Innanzitutto la convergenza puntuale. Ma &quot;l&#39;arcotangente è solo lì a fare il buffone...&quot; [cit][/spoiler:o7hzn5lm]
[spoiler=&quot;a2&quot;:o7hzn5lm]La continuità passa al limite per convergenza uniforme, peccato che la serie non converga uniformemente in [latex:o7hzn5lm]&#40;0,+\infty&#41;[/latex:o7hzn5lm]. Ma la continuità è un discorso locale...[/spoiler:o7hzn5lm]
[spoiler=&quot;b1&quot;:o7hzn5lm]Per [latex:o7hzn5lm]x[/latex:o7hzn5lm] grandi, tutti i termini della serie diventano minuscoli, e la [latex:o7hzn5lm]x[/latex:o7hzn5lm] a numeratore non darà molto fastidio. Ho detto tutti? Forse non proprio tutti...[/spoiler:o7hzn5lm]
[spoiler=&quot;b2&quot;:o7hzn5lm]Per [latex:o7hzn5lm]n\ge 2[/latex:o7hzn5lm] posso tranquillamente buttare l&#39;arcotangente &#40;perché?&#41;. A questo punto scrivendo 
\[\frac x{n^{1+x}} = \frac x{n^{\frac x2}}\cdot \frac1{n^{1+\frac x2}} \]
il pezzo a sinistra è limitato uniformemente in [latex:o7hzn5lm]x[/latex:o7hzn5lm] e [latex:o7hzn5lm]n\ge 2[/latex:o7hzn5lm], quindi si comporta come un&#39;armonica generalizzata...[/spoiler:o7hzn5lm]
[spoiler=&quot;b3&quot;:o7hzn5lm]Si tratta di far vedere che per [latex:o7hzn5lm]x[/latex:o7hzn5lm] grandi la somma 

[latex:o7hzn5lm]\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \frac1{n^{1+\frac x2}}[/latex:o7hzn5lm] 

diventa molto piccola. Si riuscirà a far vedere, per esempio, che sta sotto a

[latex:o7hzn5lm]\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \frac \epsilon{n^2}[/latex:o7hzn5lm]?[/spoiler:o7hzn5lm]
[spoiler=&quot;b4&quot;:o7hzn5lm]Per [latex:o7hzn5lm]x[/latex:o7hzn5lm] piccolo, tutti i termini sono piccoli, quindi di nuovo si buttano i buffoni &#40;giustificare&#41;. Si tratta di stimare
\[ x \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} \frac1{n^{1+x}} \]
Come si comporta l&#39;armonica generalizzata?[/spoiler:o7hzn5lm]
[spoiler=&quot;b5&quot;:o7hzn5lm]Confronto serie-integrali...[/spoiler:o7hzn5lm]

Spero di non essere stato fuorviante...