Forse ci sono, presa una qualunque [latex:261oqilu]u_n[/latex:261oqilu] di quelle (chiamiamola [latex:261oqilu]u[/latex:261oqilu] per semplicità), si ha [latex:261oqilu]u \Delta u = uf[/latex:261oqilu], ora si integra su [latex:261oqilu]\Omega[/latex:261oqilu] ottenendo [latex:261oqilu]|\int_{\Omega} u \Delta u \, dx| = |\langle u,f \rangle| \leq ||u||_{L^2&#40;\Omega&#41;} \cdot ||f||_{L^2&#40;\Omega&#41;} \leq c || \nabla u ||_{L^2&#40;\Omega&#41;} \cdot M = M&#39; || \nabla u ||_{L^2&#40;\Omega&#41;}[/latex:261oqilu] (Cauchy-Schwarz + limitazione di f + Poincaré).

A questo punto si integra per parti il LHS e si ha [latex:261oqilu]LHS = || \nabla u ||_{L^2&#40;\Omega&#41;}^2[/latex:261oqilu] con la parte di bordo che è nulla per le condizioni al bordo di [latex:261oqilu]u[/latex:261oqilu]. 

Metto insieme: [latex:261oqilu]|| \nabla u ||_{L^2&#40;\Omega&#41;}^2 - M&#39;&#39; || \nabla u ||_{L^2&#40;\Omega&#41;} \leq 0[/latex:261oqilu] che implica la limitazione L2 del gradiente.

Il passaggio per parti è giustificato dalla regolarità L2, cioè possiamo usare Gauss Green sulle approssimanti e passare al limite scegliendo approssimanti [latex:261oqilu]H^1_0[/latex:261oqilu] per la [latex:261oqilu]u[/latex:261oqilu] e approssimanti [latex:261oqilu]H^2[/latex:261oqilu] per il laplaciano, giusto?