[quote=&quot;gio&quot;:2nrpwy8i]Salve a tutti!
Stavo svolgendo i compiti assegnati a fisica nell'anno 2018 e ho avuto un dubbio su un esercizio
Data f(x, y) = [latex:2nrpwy8i]\frac{x^2y^3+sin&#40;x^2y&#41;}{1+x^4+ |y|^7}[/latex:2nrpwy8i] devo prima provare che l'origine è un punto stazionario, e questo si fa con lo sviluppo di Taylor intorno all'origine; poi chiede di stabilire se la funzione ammette max o min su R2 e di dimostrare che ammette almeno cinque punti stazionari. Come procedo in questo caso?

Grazie mille in anticipo[/quote:2nrpwy8i]

Per  prima cosa dimostra che il limite all'infinito è 0 (ad esempio con un cambio di variabile che &quot;pareggi&quot; gli esponenti al denominatore). A questo punto dato che la funzione assume valori positivi e nagativi  (ad esempio perchè l'origine è una &quot;sella&quot;) esistono sia il massimo che il minimo assoluto e sono in punti stazionari. Dato che l'origine è una &quot;sella&quot; ci sono quindi almeno altri due punti stazionari. La funzione in [latex:2nrpwy8i]x[/latex:2nrpwy8i] è pari quindi se [latex:2nrpwy8i]&#40;x_0,y_0&#41;[/latex:2nrpwy8i] è un punto di minimo e [latex:2nrpwy8i]x_0\neq 0[/latex:2nrpwy8i] allora anche [latex:2nrpwy8i]&#40;-x_0,y_0&#41;[/latex:2nrpwy8i] è punto di minimo; d'altra parte per [latex:2nrpwy8i]x = 0[/latex:2nrpwy8i] la funzione è nulla e il minimo è negativo dunque  [latex:2nrpwy8i]x_0\neq 0[/latex:2nrpwy8i]. Analogo discorso per i punti di massimo.

In realtà in questo caso il numero di punti stazionari si faceva bene anche calcolando il gradiente direttamente (occhio solo alle derivate del valore assoluto).