Ok, provo a dare la soluzione del primo esercizio del compito di Natale. Se nel frattempo qualcuno mi può spiegare come mettere tutto come spoiler gliene sarei grato. Ci ho provato ma per qualche motivo non funziona.
[spoiler=&quot;CE_Esercizio_1&quot;:1bfzx0pb]ELE

La lagrangiana è data da [latex:1bfzx0pb]L&#40;x,s,p&#41;= x^{25} p_{1}^2 + y^{12 } p_{2}^2 + z^{2018} p_{3}^2 + s^{8102}[/latex:1bfzx0pb], e la ELE in forma differenziale è data da [latex:1bfzx0pb]div&#40;\nabla_{p} L&#41;= L_s[/latex:1bfzx0pb],cioè [latex:1bfzx0pb]50 x^{24} u_x + 2x^{25} u_{xx} + 24y^{11}u_y + 2 y^{12}u_{yy} + 4036 z^{2017} u_z + 2 z^{2018}u_{zz}=8102u^{8101}[/latex:1bfzx0pb]

ESISTENZA, UNICITA&#39; E REGOLARITA&#39; DEL MINIMO

Si procede con il metodo diretto.

1&#41;Formulazione debole

Considero la funzione [latex:1bfzx0pb]u_0 =1[/latex:1bfzx0pb] e cerco [latex:1bfzx0pb]u \in H^{1}_0 &#40;\Omega&#41;[/latex:1bfzx0pb] che risolva lo stesso problema, dove tuttavia adesso le condizioni di Dirichlet al bordo sono nulle e la lagrangiana è data da [latex:1bfzx0pb]L&#40;x,s,p&#41;= x^{25 }p_{1}^2 + y^{12 } p_{2}^2 + z^{2018} p_{3}^2 + &#40;s+1&#41;^{8102}[/latex:1bfzx0pb].

2&#41;Compattezza
Scegliamo come nozione di compattezza la convergenza forte [latex:1bfzx0pb]L^2[/latex:1bfzx0pb] per la parte di funzone e quella debole &#40;sempre [latex:1bfzx0pb]L^2[/latex:1bfzx0pb]&#41; per la parte di derivata.
Ponendo [latex:1bfzx0pb]F&#40;u&#41;= \int_{\Omega} L&#40;x,u, \nabla u&#41; \leq M[/latex:1bfzx0pb], otteniamo facilmente [latex:1bfzx0pb]||\nabla u||_{L^2} \leq M&#39;[/latex:1bfzx0pb], da cui per compattezza debole delle palle in [latex:1bfzx0pb]L^2[/latex:1bfzx0pb] posso estrarre una sottosuccessione convergente debolmente. A questo punto noto che &#40;grazie alla positività della parte di derivata della lagrangiana&#41; posso stimare anche la norma 8102 di [latex:1bfzx0pb]u[/latex:1bfzx0pb] uniformemente. Quindi posso stimare anche &#40;per la limitatezza di [latex:1bfzx0pb]m&#40;\Omega&#41;[/latex:1bfzx0pb] anche la norma [latex:1bfzx0pb]L^2[/latex:1bfzx0pb] di [latex:1bfzx0pb]u[/latex:1bfzx0pb], e per il teorema di immersione compatta ottengo una sottosuccessione che converge fortemente in [latex:1bfzx0pb]L^2[/latex:1bfzx0pb].

3&#41;Semicontinuità

Supponiamo di avere una successione [latex:1bfzx0pb]\{u_n\}[/latex:1bfzx0pb] che converga secondo la nozione di converrgenza data sopra. Vediamo anzitutto la semicontinuità per la parte di funzione. Dato che [latex:1bfzx0pb]u_n \to u_\infty[/latex:1bfzx0pb] forte in [latex:1bfzx0pb]L^2[/latex:1bfzx0pb], avremo che esiste una sottosuccessione che converge quasi ovunque. Essendo poi che [latex:1bfzx0pb]&#40;u_n +1&#41;^8102&#41; \geq 0[/latex:1bfzx0pb] posso usare Fatou. Detta quindi [latex:1bfzx0pb]u_{n_j}[/latex:1bfzx0pb] una sottosuccessione infizzante e detta [latex:1bfzx0pb]u_{n_{j_k}}[/latex:1bfzx0pb] un&#39;ulteriore sottosuccessione che converge puntualmente a [latex:1bfzx0pb]u_ \infty[/latex:1bfzx0pb], si ottiene che:
[latex:1bfzx0pb]\displaystyle \liminf_{n \to \infty} \int_{\Omega} &#40;u_n+1&#41;^{8102}= \lim{j \to \infty} \int_{\Omega} &#40;u_{n_j}+1&#41;^{8102}=\liminf{k \to \infty} \int_{\Omega} &#40;u_{n_{j_k}}+1&#41;^{8102} \geq \int_{\Omega} &#40;u_{\infty}+1&#41;^{8102}[/latex:1bfzx0pb]

Per la parte di derivata si usa o un teorema visto a lezione per cui convessità della lagrangiana più convergenza debole [latex:1bfzx0pb]L^1[/latex:1bfzx0pb] mi dà sci, oppure uso convessità forte + sci forte &#40;ottenuta come sopra&#41;= sci debole

4&#41;Unicità

 Per quanto riguarda l&#39;unicità, segue da un argomento di convessità e dalle condizioni di Dirichlet omogenee. Infatti la lagrangiana è convessa nelle variabili [latex:1bfzx0pb]&#40;s,p_1,p_2,p_3&#41;[/latex:1bfzx0pb], e anzi strettamente convessa nelle ultime 3 variabili. Scegliendo un altro competitore come minimo e scrivendolo come [latex:1bfzx0pb]w=u + v[/latex:1bfzx0pb], dove [latex:1bfzx0pb]u[/latex:1bfzx0pb] è il minimo trovato col metodo diretto e [latex:1bfzx0pb]v \in H^{1}_0 &#40;\Omega&#41;[/latex:1bfzx0pb], otteniamo che [latex:1bfzx0pb]F&#40;u+v&#41;&gt;F&#40;u&#41;[/latex:1bfzx0pb] non appena [latex:1bfzx0pb]\nabla v \neq 0[/latex:1bfzx0pb]. Questo significa che [latex:1bfzx0pb]v[/latex:1bfzx0pb] è costante, e che quindi deve essere 0 per via delle condizioni al bordo. 

5&#41;Regolarità
Possiamo scrivere la lagraniana come [latex:1bfzx0pb]\langle A&#40;x&#41; Du&#40;x&#41;,Du&#40;x&#41; \rangle + u^{8102}[/latex:1bfzx0pb], dove [latex:1bfzx0pb]A&#40;x&#41;= diag&#40;x^{25},y^{12},z^{2018}&#41;[/latex:1bfzx0pb]. Per come è fatto il dominio, la matrice è uniformemente ellittica. Da un argomento di troncamento, poi, si vede che la [latex:1bfzx0pb]u[/latex:1bfzx0pb] deve essere limitata, quindi [latex:1bfzx0pb]u^{8102} \in L^2[/latex:1bfzx0pb] e per il teorema di regolarità fino al bordo si ha [latex:1bfzx0pb]u \in H^{2}_0[/latex:1bfzx0pb]. Derivando due volte la [latex:1bfzx0pb]u^{8102}[/latex:1bfzx0pb] ottengo come unico problema un termine [latex:1bfzx0pb]&#40;Du&#41;^2[/latex:1bfzx0pb]. Ma [latex:1bfzx0pb]u \in H^2 \implies Du \in H^1 \implies Du \in L^{6}[/latex:1bfzx0pb] per immersione, perciò [latex:1bfzx0pb]u^{8102} \in H^2[/latex:1bfzx0pb] e [latex:1bfzx0pb]u \in H^4[/latex:1bfzx0pb]. Adesso, derivando 3 volte la [latex:1bfzx0pb]u^{8102}[/latex:1bfzx0pb], dovrei avere come unico problema i termini [latex:1bfzx0pb]&#40;D^2 u&#41;Du[/latex:1bfzx0pb] e [latex:1bfzx0pb]&#40;Du&#41;^3[/latex:1bfzx0pb]. L&#39;ultimo sta in [latex:1bfzx0pb]L^6[/latex:1bfzx0pb] per quanto osservato prima, mentre il primo sta in [latex:1bfzx0pb]L^2[/latex:1bfzx0pb] sfruttando le immersioni e holder. Quindi [latex:1bfzx0pb]u \in H^5 \implies Du \in H^4 \implies Du \in C^0 \implies u \in C^1[/latex:1bfzx0pb].[/spoiler:1bfzx0pb]