Provo a mettere degli Hints su una possibile soluzione dell'1.
Spoiler forti, leggere con cautela, magari provando ad andare avanti leggendone uno alla volta, e ritornare dopo averci provato un po' da soli  <!-- s:wink: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_wink.gif" alt=":wink:" title="Wink" /><!-- s:wink: --> 

[spoiler=&quot;Hint 1.0&quot;:8d1eqtr8][latex:8d1eqtr8]|f&#40;x,y&#41;|[/latex:8d1eqtr8]è crescente in rho.[/spoiler:8d1eqtr8]
[spoiler=&quot;Hint 1.1&quot;:8d1eqtr8]C&#39;è un punto in cui [latex:8d1eqtr8]f[/latex:8d1eqtr8] è positiva, e un punto in cui è negativa, quindi inf e sup sono &quot;all&#39;infinito&quot;.[/spoiler:8d1eqtr8]
[spoiler=&quot;Hint 1.2&quot;:8d1eqtr8]Brutal: all&#39;infinito me ne frego dell&#39;[latex:8d1eqtr8]1[/latex:8d1eqtr8] al denominatore, conta solo [latex:8d1eqtr8]x^4+y^4[/latex:8d1eqtr8]...[/spoiler:8d1eqtr8]
[spoiler=&quot;Hint 1.3&quot;:8d1eqtr8]Detta [latex:8d1eqtr8]g&#40;x&#41;=\frac{x^3y}{x^4+y^4}[/latex:8d1eqtr8], la funzione è omogenea, quindi costante sulle rette passanti per l&#39;origine.[/spoiler:8d1eqtr8]
[spoiler=&quot;Hint 1.4&quot;:8d1eqtr8]Quindi basta trovare max/min di [latex:8d1eqtr8]g[/latex:8d1eqtr8] su un compatto che interseca tutte le rette per l&#39;origine... Poi lungo la retta per l&#39;origine e il punto di massimo il [latex:8d1eqtr8]sup&#40;f&#41;=max&#40;g&#41;[/latex:8d1eqtr8].[/spoiler:8d1eqtr8]
[spoiler=&quot;Hint 1.5&quot;:8d1eqtr8]Usiamo i moltiplicatori di Lagrange, e pensiamo ad un vincolo che ci libera del denominatore, in modo da ridurre al minimo i conti!
In realtà ci sono anche altri modi per fare meno conti, vedi soluzione 2.[/spoiler:8d1eqtr8]
[spoiler=&quot;Soluzione 2&quot;:8d1eqtr8]Restringiamoci al primo quadrante per trovare il sup: vogliamo massimizzare un prodotto e minimizzare una somma... Non è che si riesce ad usare la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica?[/spoiler:8d1eqtr8]
Chiaramente il tutto va un po' formalizzato.