[quote=&quot;Gabe&quot;:2t3niiue]Ho ancora qualche dubbio, più che altro vorrei vedere se ho capito bene:

Prendiamo una matrice A, questa la posso diagonalizzare, se consentito, mediante Autovettori; se questa non si può diagonalizzare la posso portare in forma canonica di Jordan (Reale e/o Complessa).[/quote:2t3niiue]

ti riporto una sintesi che avevo già fatto in un altro thread sulla diagonalizzazione/jordanizzazione:

In generale io l'ho capita così (lez. 37-44):

1 - Teoremi vari: una matrice qualsiasi ([tex:2t3niiue]n*n[/tex:2t3niiue] a coeff. reali o complessi) è [u:2t3niiue]diagonalizzabile[/u:2t3niiue] se e solo se per ogni autovalore [tex:2t3niiue]\lambda[/tex:2t3niiue] risulta [tex:2t3niiue]MG&#40;\lambda&#41;=MA&#40;\lambda&#41;[/tex:2t3niiue] (si dimostra infatti che questo garantisce l'esistenza di una base di autovettori); caso particolare: se gli autovalori sono tutti distinti per ogni [tex:2t3niiue]\lambda[/tex:2t3niiue] risulta [tex:2t3niiue]MG&#40;\lambda&#41;=MA&#40;\lambda&#41;=1[/tex:2t3niiue]; caso ultraparticolare (teorema spettrale): una matrice reale simmetrica si diagonalizza mediante una base ortonormale (di autovettori).

2 - Teorema forma di jordan in [tex:2t3niiue]C[/tex:2t3niiue]: una matrice qualsiasi ([tex:2t3niiue]n*n[/tex:2t3niiue] a coeff. reali o complessi) è sempre [u:2t3niiue]jordanizzabile[/u:2t3niiue]; ad ogni autovalore [tex:2t3niiue]\lambda[/tex:2t3niiue] corrispondono  [tex:2t3niiue]MG&#40;\lambda&#41;[/tex:2t3niiue] blocchi di jordan tali che la somma delle dimensioni dei blocchi risulti pari a [tex:2t3niiue]MA&#40;\lambda&#41;[/tex:2t3niiue] (il caso della diagonalizzazione può essere considerato un caso particolare di jordanizzazione con tutti i blocchi di dimensione [tex:2t3niiue]1*1[/tex:2t3niiue]).

3 - Teorema forma di jordan reale: ogni matrice reale si può portare nella [u:2t3niiue]forma di jordan reale[/u:2t3niiue]; in generale una matrice [tex:2t3niiue]n*n[/tex:2t3niiue] a coeff. reali si jordanizza in [tex:2t3niiue]C[/tex:2t3niiue]; se esistono autovalori complessi questi si presentano a coppie coniugate (la traccia = somma dei [tex:2t3niiue]\lambda[/tex:2t3niiue] è un numero reale) allora i rispettivi 2 blocchi [tex:2t3niiue]k*k[/tex:2t3niiue] si possono &quot;sostituire&quot; con un unico blocco a coefficienti reali [tex:2t3niiue]2k*2k[/tex:2t3niiue] fatto di k blocchetti 2x2 sulla diagonale con accanto (&quot;sopra&quot;) [tex:2t3niiue]k-1[/tex:2t3niiue] blocchetti di [tex:2t3niiue]I_2_*_2[/tex:2t3niiue].


[quote=&quot;Gabe&quot;:2t3niiue]Prendiamo una matrice B, simmetrica, questa è sicuramente diagonalizzabile e la posso diagonalizzare mediante gli Autovettori, i quali sono ortogonali; Il Teorema Spettrale dice che una matrice simmetrica è diagonalizzabile mediante una base ortonormale, [b:2t3niiue]ma non una qualsiasi[/b:2t3niiue], per esempio una base ortonormale è quella data dagli autovettori.[/quote:2t3niiue]

come osservato prima, una matrice simmetrica (a coefficienti reali) è diagonalizzabile mediante una base ortonormale (di autovettori; lo metto tra parentesi perché quando si parla di diagonalizzazione è scontato che la base sia costituita, per definizione, da autovettori)

non è del tutto corretto affermare che gli autovettori di una matrice simmetrica sono tutti ortogonali fra loro; più precisamente sono (gratuitamente) ortogonali gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti; se un autovalore ha molteplicità (algebrica) maggiore di uno allora ad esso corrisponde un autospazio per il quale si può determinare (non gratuitamente) una base ortogonale (di autovettori);

[quote=&quot;Gabe&quot;:2t3niiue]Consideriamo una Forma quadratica (che può essere def. positiva/negativa, indef. etc.) e la sua matrice associata B, simmetrica, questa può sempre essere diagonalizzata, e lo possiamo fare mediante gli autovettori, ottenendo una matrice diagonale D, che posso utilizzare per scrivere la Forma in un altra maniera più pulita.[/quote:2t3niiue]

esatto, nella nuova base (fatta di autovettori ortonormali), la forma quadratica si presenta in frac solo con i termini diagonali (spariscono i fastidiosi e ineleganti termini misti)

[quote=&quot;Gabe&quot;:2t3niiue]Consideriamo un Prodotto scalare e la sua matrice B (che può essere def. positiva/negativa, indef. etc.), simmetrica, io posso trovare una base ortonormale, mediante gli autovettori, i quali poi dovranno essere ortogonalizzati e ortonormalizzati rispetto al nuovo prodotto scalare.
Se però B è [b:2t3niiue]definita positiva[/b:2t3niiue], io posso prendere una base qualsiasi, partire dal primo vettore e proseguire con GS sempre secondo il prodotto scalare definito.

Ho capito qualcosa, o sono proprio fuori strada?[/quote:2t3niiue]

l'argomento &quot;prodotto scalare&quot; è piuttosto scivoloso...cerco di riepilogarti le cose essenziali (per come le ho intese io):

- ogni prodotto scalare, rispetto ad una certa base assegnata, può essere espresso nella forma (lez. 53): [tex:2t3niiue]x^tBy[/tex:2t3niiue]

- l'elemento [tex:2t3niiue]b_i_j[/tex:2t3niiue] della matrice associata al prodotto scalare nella base data [tex:2t3niiue]v_1,v_2,...,v_n[/tex:2t3niiue] è: [tex:2t3niiue]&lt;v_i,v_j&gt;[/tex:2t3niiue]

- se B è definita positiva si può applicare GS (extended mode) e ortogonalizzare e ortonormalizzare la base dei [tex:2t3niiue]v_i[/tex:2t3niiue] in una nuova base di [tex:2t3niiue]w_i[/tex:2t3niiue]

- rispetto alla nuova base la matrice associata al prodotto scalare diventa la matrice identità (infatti grazie al trattamento GS [tex:2t3niiue]&lt;w_i,w_j&gt;=0[/tex:2t3niiue] e [tex:2t3niiue]&lt;w_i,w_i&gt;=1[/tex:2t3niiue])

- se M è la matrice di cambio base (quella che ha per colonne i [tex:2t3niiue]w_i[/tex:2t3niiue]) allora [tex:2t3niiue]M^tBM=I[/tex:2t3niiue]

in tutto questo gli autovalori e autovettori non c'entrano nulla...e con questi concetti chiari in mente si affrontano bene gli esercizi delle schede n.44 e 45 e anche i temi di esame visti finora

poi ci sono gli argomenti più avanzati (&quot;Teorema B-Spettrale&quot; e &quot;Vera definizione di segnatura&quot;) trattati nelle schede 46 e 47 nei quali gli autovalori e autovettori entrano in gioco...