Io mi sa che so solo rispondere al punto a) e  mi sembra di aver trovato qualcosa di utile per il punto c:



Intanto provo a rispondere al punto a):

Innanzitutto si mostra che per ogni funzione [latex]u \in C^1(0,1)[/latex]  che rispetta le DBC [latex]\int_0^1 -u'^2+u^{2}\,dy \geq 0[/latex]:

1) Si mostra che esiste [latex]u_0[/latex] soluzione di Ele con quei dati al bordo e che il funzionale valutato in [latex]u_0[/latex] è maggiore uguale a 0.

2) Si considera un competitore [latex]w=u_0+v[/latex] con [latex]v[/latex] nulla al bordo, si calcola [latex]F(u_0+v)[/latex] e si mostra che [latex]F(u_0+v) \geq F(u_0)[/latex] sfruttando il fatto che 0 è minimo globale per [latex]\int_0^1-v'^2+v^{2}\,dy[/latex] con v nulla al bordo.

Quindi si deduce che l'inf da noi cercato è sicuramente [latex]\geq 0[/latex] e quindi per ogni valore di [latex]\epsilon[/latex] l'inf appartiene ad R.

Inoltre da quanto detto sopra si osserva che se [latex]u[/latex] in [latex]H^1[/latex] che soddisfa le DBC è tale che [latex]\int_0^1 u'^{4}+ \int_0^1 -u'^2+u^{2}\,dy =0[/latex] allora [latex]u'=0[/latex] quasi ovunque e quindi [latex]u[/latex] è una costante e l'unica funzione costante che soddisfa le DBC è [latex]u=2017[/latex]. Quindi abbiamo che 0 non è sicuramente un minimo. 

Per quanto riguarda il punto c:

Si vuole mostrare che il gamma limite del funzionale [latex]F_\epsilon=\int_0^1 \epsilon u''^2-u'^2+u^{2}\,dy[/latex] -  esteso a [latex]+ \infty[/latex] al di fuori dello spazio preso in considerazione - è [latex]F(u)=0[/latex] se [latex]u \in H^1[/latex] che rispetta le condizioni al bordo ed è uguale a [latex]+ \infty[/latex] altrimenti. 

LIM INF INEQUALITY:



Per farlo osservo che un denso in energia per [latex]F[/latex] così definito è 



Provo a mostrarlo:

Osservo che la funzione [latex]\epsilon x^4 -x^2[/latex] si annulla, oltre che nello [latex]0[/latex] nei punti [latex]\epsilon_{1,2}=+ \epsilon^{\frac{-1}{2}}(-)[/latex]. Considero quindi una successione di funzioni fatta così: in 0 e in 1 fa 2015,