Non riesco ancora ad avere del tutto chiaro la formula di taylor.
Stamani però sviluppando mediante taylor la funzione [tex:1h5nh4t0]e^x[/tex:1h5nh4t0], ed ottenendo la ben nota espressione [tex:1h5nh4t0]e^x=1+x+x/2+x/3!+.....x^n/n!+...[/tex:1h5nh4t0], facevo le seguenti considerazioni, indicando con [tex:1h5nh4t0]R[/tex:1h5nh4t0] il resto, cioé la somma dei termini mancanti successivi ad [tex:1h5nh4t0]x^n/n![/tex:1h5nh4t0], affinchè tale espressione risulti convergente ed covenientemente prolungata rappresenti il valore di [tex:1h5nh4t0]e^x[/tex:1h5nh4t0] con l'approssimazione desiderata dovrà aversi la seguente condizione, necessaria e sufficiente, cioè limite di [tex:1h5nh4t0]R[/tex:1h5nh4t0] per [tex:1h5nh4t0]n[/tex:1h5nh4t0] tendente ad infinito , deve essere uguale a zero. O mi sbaglio?
Per [tex:1h5nh4t0]x=1[/tex:1h5nh4t0] nel caso specifico avremo [tex:1h5nh4t0]e=1+1+1/2+1/3!+......+1/n!+....[/tex:1h5nh4t0], se mi arresto al termine [tex:1h5nh4t0]1/n![/tex:1h5nh4t0] commetterò un errore [tex:1h5nh4t0]R=[/tex:1h5nh4t0] [tex:1h5nh4t0]1/&#40;n+1&#41;!+1/&#40;n+2&#41;!+.....[/tex:1h5nh4t0][tex:1h5nh4t0]=[/tex:1h5nh4t0][tex:1h5nh4t0]1/n!&#40;n+1&#41;+1/n!&#40;n+1&#41;&#40;n+2&#41;+.....[/tex:1h5nh4t0][tex:1h5nh4t0]=[/tex:1h5nh4t0] [tex:1h5nh4t0]&#40;1/n!&#41;&#40;1/&#40;n+1&#41;+1/&#40;n+1&#41;&#40;n+2&#41;+......&#41;[/tex:1h5nh4t0].
La serie fra parentesi [tex:1h5nh4t0]1/&#40;n+1&#41;+1/&#40;n+1&#41;&#40;n+2&#41;+.....[/tex:1h5nh4t0] risulta ovviamente minore della serie [tex:1h5nh4t0]1/n+1/n^2+1/n^3+...[/tex:1h5nh4t0] i cui termini sono in una progressione geometrica di ragione [tex:1h5nh4t0]1/n[/tex:1h5nh4t0], la cui somma è perciò [tex:1h5nh4t0]&#40;1/n&#41;&#40;1/&#40;1-1/n&#41;&#41;[/tex:1h5nh4t0] [tex:1h5nh4t0]=[/tex:1h5nh4t0] [tex:1h5nh4t0]1/&#40;n-1&#41;[/tex:1h5nh4t0] che tende a zero per [tex:1h5nh4t0]n[/tex:1h5nh4t0] tendente ad infinito, inoltre questa somma essendo minore di [tex:1h5nh4t0]1/n[/tex:1h5nh4t0], la quantità [tex:1h5nh4t0]R[/tex:1h5nh4t0] risulterà minore di [tex:1h5nh4t0]1/n!n[/tex:1h5nh4t0], avremo quindi le seguenti disuguaglianze :
[tex:1h5nh4t0]e[/tex:1h5nh4t0] [tex:1h5nh4t0]&gt;[/tex:1h5nh4t0] [tex:1h5nh4t0]1+1+1/2!+1/3!+...+1/n![/tex:1h5nh4t0] ed

[tex:1h5nh4t0]e[/tex:1h5nh4t0] [tex:1h5nh4t0]&lt;[/tex:1h5nh4t0] [tex:1h5nh4t0]1+1+1/2!+...+!/n+1/n!n[/tex:1h5nh4t0],

 pertanto scelto  un opportuno [tex:1h5nh4t0]k[/tex:1h5nh4t0] compreso tra [tex:1h5nh4t0]0[/tex:1h5nh4t0] ed [tex:1h5nh4t0]1[/tex:1h5nh4t0] potrò scrivere [tex:1h5nh4t0]e=1+1+1/2+1/3!+.....+1/n!+k/n!n[/tex:1h5nh4t0].

Non so se ciò che ho riportato sia del tutto esatto, in generale ci si può ricondurre sempre ad una situazione di questo tipo?