Carissimi,

Sto cercando di risolvere il problema 3 del dello scritto del 25 dicembre 2015, punto (c).

A meno di un cambio di variabile [latex:ugfonwdz]v&#40;x&#41;=u&#40;x&#41;-\frac{7}{2}x[/latex:ugfonwdz], viene chiesto di studiare per quali l ha minimo il problema
$$ \min \left\{ G(v) = \int_0^l \dot{v}^2- v^2 : v(0) = 0,\ v(l) = 2016-\frac{7}{2}l \right\}$$

Io ho proceduto così: 
0. Notare che la ELE è la classica [latex:ugfonwdz]\ddot{v}=-v[/latex:ugfonwdz], che ha come soluzioni (usando solo [latex:ugfonwdz]v&#40;0&#41;=0[/latex:ugfonwdz]) le [latex:ugfonwdz]u&#40;x&#41; = A \sin&#40;x&#41;[/latex:ugfonwdz]
1. La variazione seconda del funzionale è [latex:ugfonwdz]G[/latex:ugfonwdz] stesso in qualsiasi candidato punto minimo. Quindi, se [latex:ugfonwdz]l &gt; \pi[/latex:ugfonwdz], non ci sono WLM e quindi neppure minimi globali.
2. Per [latex:ugfonwdz]l=\pi[/latex:ugfonwdz] la ELE non ha soluzioni: infatti imponendo la condizione in [latex:ugfonwdz]\pi[/latex:ugfonwdz] otteniamo [latex:ugfonwdz]0=v&#40;\pi&#41; = 2016- \frac{7\pi}{2}[/latex:ugfonwdz], assurdo. Non essendoci DLM, non ci sono neanche minimi globali.
3. Per il caso [latex:ugfonwdz]l &lt; \pi[/latex:ugfonwdz], notiamo che l'eccesso di weierstrass è un quadrato perfetto [latex:ugfonwdz]&#40;q-p&#41;^2 \ge 0[/latex:ugfonwdz], perciò usando la WRF otteniamo
$$F(u) - F(u_0) = \int_0^l E(x,u(x), p(x,u(x)), \dot{u}(x)) \ge 0$$
Perciò è effettivamente un minimo globale. 

Visto che di solito faccio errori sparsi (e che all'inizio del post la 3 non riuscivo a farla da un'ora), potreste dirmi se è corretto e se in sede di scritto servirebbero argomentazioni ulteriori? Grazie!