Annosa questione, davvero.

Il problema è che in dimensione maggiore di 1 le cose si complicano dannatamente. In dimensione 1 il termine di grado 2 o c'è o non c'è. Se non c'è si passa al terzo grado, e ancora una volta o c'è o non c'è, e allora si passa al quarto e così via.

In dimensione 2 o superiore la parte di secondo grado può esserci solo parzialmente (è il caso per esempio delle forme semidefinite positive ma non definite positive), e allora &quot;copre solo alcune direzioni&quot; lasciando scoperte le restanti. Questa copertura parziale rende falso uno degli statement del post iniziale, e cioè che in caso di Hessiano solo semidefinito basta una parte di terzo grado non nulla per escludere di essere in un punto di minimo locale. Ad esempio, la funzione

[latex:1zv04gmp]f&#40;x,y&#41;=x^2-x^3+y^4[/latex:1zv04gmp]

ha Hessiana semidefinita positiva, parte di terzo grado non nulla, eppure l'origine è un punto di minimo locale stretto.

Questo esempio ci dice, tra l'altro, che non basterebbe nemmeno sviluppare una teoria delle forme di grado k (che sarebbe comunque complicata per k maggiore di 2). Il problema è infatti che parti di grado differente possono collaborare a rendere il tutto positivo. Nell'esempio il termine [latex:1zv04gmp]x^2[/latex:1zv04gmp], per quanto insufficiente a coprire tutte le direzioni, basta per sconfiggere il cattivo [latex:1zv04gmp]x^3[/latex:1zv04gmp]; poi inaspettatamente arriva l'aiuto del termine di grado 4 a coprire un'altra direzione e magicamente la combinazione dei 3 termini di grado differente copre tutto un intorno dell'origine. A quel punto la situazione è stabile, nel senso che ogni funzione che sia uguale a quella data più [latex:1zv04gmp]o&#40;&#40;x^2+y^2&#41;^2&#41;[/latex:1zv04gmp] ha un minimo locale nell'origine. Ad esempio, la funzione

[latex:1zv04gmp]f&#40;x,y&#41;=\sin&#40;x^2&#41;-\sinh&#40;x^3&#41;+\arctan&#40;y^4&#41;+\log&#40;1+x^2y^3-x^8y^2&#41;[/latex:1zv04gmp]

ha (banalmente!) un minimo locale nell'origine.

Insomma, queste collaborazioni tra termini di grado diverso rendono la faccenda davvero complicata, al punto che, se proprio, occorrerebbe sviluppare una teoria delle forme costituite da termini di grado minore od uguale di k, che a quel punto però non sarebbero nemmeno omogenee.

Come se non bastasse, non basta poi testare la positività su una base, come qualche post successivo sembrerebbe lasciare intendere. Questo non vale nemmeno per le forme quadratiche, come per esempio

[latex:1zv04gmp]q&#40;x,y&#41;=2x^2+3y^2+5xy[/latex:1zv04gmp]

che sugli assi è molto positiva, ma ha un piccolo cono di negatività difficile da individuare senza la teoria generale. In altre parole, il controllo va fatto su tutte le infinite direzioni e deve essere uniforme.

Per concludere, in caso di Hessiano solo semidefinito, si possono ottenere informazioni dai termini successivi, ma bisogna sapere bene cosa si sta facendo. Questo può spiegare le indicazioni contrastanti: spesso nei corsi di servizio si finisce per dire che &quot;non si può dedurre nulla&quot; invece del più realistico &quot;la deduzione dai termini successivi è estremamente delicata&quot;.

P.S. Per i più esperti segnalo lo scritto di calcolo delle variazioni di settembre 2016, in cui il caso critico del punto (3b) si riduce proprio ad una questione di questo tipo in versione infinito dimensionale.