Credo di aver capito l'idea per il punto (k): ruotando in quel modo e considerando come funzione l'angolo [latex:2doteyov]\theta[/latex:2doteyov] delle coordinate polari, sul semipiano di destra, vicino all'origine, passando da una parte all'altra della cuspide la funzione ha un salto. 

Provando a fare i conti aggiusto un po' la funzione per controllarne l'integrale senza modificare il comportamento vicino all'origine, e considero quindi [latex:2doteyov]\theta e^{-r^2}[/latex:2doteyov].

Le derivate di questa dovrebbero avere problemi in zero, e se non ho sbagliato i conti lei sta in [latex:2doteyov]W^{1,p}&#40;\Omega&#41;[/latex:2doteyov] solo quando [latex:2doteyov]p&lt;2[/latex:2doteyov]. Ad esempio sta in [latex:2doteyov]W^{1,\frac{3}{2}}&#40;\Omega&#41;[/latex:2doteyov]. Se valesse l'estensione, l'estesa starebbe in [latex:2doteyov]W^{1,\frac{3}{2}}&#40;\mathbb{R}^2&#41;[/latex:2doteyov] e per immersione in [latex:2doteyov]W^{1,\frac{3}{2}^*}&#40;\mathbb{R}^2&#41; = W^{1,6}&#40;\mathbb{R}^2&#41;[/latex:2doteyov].

Il guaio è che nell'origine gli integrali relativi all'estesa si comportano come quelli della funzione di partenza, quindi l'estesa non può stare in [latex:2doteyov]W^{1,6}&#40;\mathbb{R}^2&#41;[/latex:2doteyov].

Sul sottografico della parabola invece devo ancora pensarci...

[color=#FF0000:2doteyov]EDIT[/color:2doteyov]: a parte le immersioni sbagliate, perché ovviamente si immerge in L e non in W, dovrebbe essere molto più semplice: la funzione [latex:2doteyov]\theta e^{-r^2}[/latex:2doteyov] sta in [latex:2doteyov]W^{1,p}&#40;\Omega&#41;[/latex:2doteyov] per ogni p, dunque se si potesse estendere, l'estesa sarebbe, per immersione, continua su [latex:2doteyov]\mathbb{R}^2[/latex:2doteyov], assurdo