[color=#0000FF:30e63hhk][Per prima cosa sposto nella sezione giusta ...][/color:30e63hhk]

La tua domanda è una di quelle che difficilmente troveranno risposta, perché è equivalente a chiedersi &quot;come faccio a fare i limiti?&quot;. Una ricetta universale non c'è ... mentre di esempi particolari ce ne sono ovunque, ad esempio nelle prime 9 lezioni di AM2_16.

Per quanto riguarda la funzione che proponi, si tratta di una funzione banalmente continua in tutto il piano perché è il massimo tra due funzioni continue. Questo è vero ad analisi 1, analisi 2, o più in generale in spazi metrici/topologici, sempre con la stessa dimostrazione.

Per quanto riguarda la differenziabilità, basta disegnarsi le zone in cui vale |x| e le zone in cui vale [latex:30e63hhk]y^2[/latex:30e63hhk]. Con un po' di precorso si vede che si tratta delle parti di piano delimitate dalle parabole [latex:30e63hhk]y=\pm x^2[/latex:30e63hhk]. Al di fuori di quelle parabole è tutto [latex:30e63hhk]C^\infty[/latex:30e63hhk], mentre sulle parabole non esiste nemmeno la derivata parziale rispetto ad x (che è un problema di analisi 1, dal momento che riguarda la restrizione ad una retta).