[quote=&quot;keine_ahnung&quot;:1p4lrx8s]Penso di aver capito dove va usata la proprietà Archimedea. Serve per essere sicuri che per ogni [latex:1p4lrx8s]\epsilon[/latex:1p4lrx8s] esista un [latex:1p4lrx8s]n[/latex:1p4lrx8s] per cui si possa scrivere [latex:1p4lrx8s]b_0-a_0&lt;\epsilon*2^n[/latex:1p4lrx8s]. È giusto?[/quote:1p4lrx8s]

Esatto!  <!-- s:D --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_biggrin.gif" alt=":D" title="Very Happy" /><!-- s:D --> 

[quote=&quot;keine_ahnung&quot;:1p4lrx8s]Mi rimane però un dubbio concettuale. Se si definiscono i reali usando la completezza invece che l’assioma di continuità è necessario anche assumere che i reali siano uno spazio metrico su cui quindi ha senso fare i limiti? Poiché nella definizione di limite si assume che l’epsilon sia reale, non è un po’ come mangiarsi la coda definire i reali assumendo che si possa fare il limite quando la definizione di limite stesso richiede aver definito i reali? Non so, forse mi sfugge qualcosa.[/quote:1p4lrx8s]

No, non ci si mangia la coda, ma bisogna aver chiaro in quale ordine si danno le definizioni. In un campo in cui valgono gli assiomi algebrici e di ordinamento non ci sono problemi a fare sottrazioni, valori assoluti e disuguaglianze. Pertanto possiamo dare la definizione di successione di Cauchy relativa a quel campo, nel senso che [latex:1p4lrx8s]a_n[/latex:1p4lrx8s] è di Cauchy nel campo se e solo se per ogni [latex:1p4lrx8s]\varepsilon[/latex:1p4lrx8s] nel campo e maggiore di 0 (lo 0 del campo, ovviamente) vale quello che deve valere quando m ed n sono abbastanza grandi.

Anche la definizione di limite si può dare solo relativamente a quel campo: [latex:1p4lrx8s]a_n\to a_\infty[/latex:1p4lrx8s] se e solo se per ogni [latex:1p4lrx8s]\varepsilon[/latex:1p4lrx8s] nel campo e maggiore di 0 vale che [latex:1p4lrx8s]|a_n-a_\infty|\leq\varepsilon[/latex:1p4lrx8s] definitivamente.

Finora dei reali non abbiamo usato niente, anche se la definizione di limite è quella che poi a posteriori varrà nei reali.

Ora possiamo enunciare l'assioma di completezza chiedendo che ogni successione di Cauchy relativa a quel campo abbia un limite relativo a quel campo.