Ciao!
Allora, la serie anzitutto non può variare da [tex:i3q9qet3]1\to +\infty[/tex:i3q9qet3] in quanto il logaritmo non è definito in zero. Quindi probabilmente c'è stato qualche errore di battitura, 

[tex:i3q9qet3]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2+3\sqrt[3]n}{n^3\ln^2n+4} \to \displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{n^2+3\sqrt[3]n}{n^3\ln^2n+4}[/tex:i3q9qet3]

Consideriamo  quest'ultima serie :  è certamente a termini positivi, quindi considerando il comportamento asintotico del termine  genrale, osserviamo che:

[tex:i3q9qet3]\displaystyle \frac{n^2+3\sqrt[3]n}{n^3\ln^2n+4} \sim  \frac{n^2} {n^3\ln^2n }=\frac{1} {n  \ln^2n }\to \text{converge}[/tex:i3q9qet3]

dunque la serie data converge per confronto asintotico.