Non vorrei dirti cavolate, ma mi pare che l'ambientazione della gamma convergenza sia in uno spazio metrico (si usa ad esempio la nozione di aperto e di palle in certi lemmi, come quello che gli inf su un aperto delle [latex:1mb5j9jc]f_n[/latex:1mb5j9jc] possono solo crollare al liminf). Quindi ti direi che dovresti usare la [latex:1mb5j9jc]L^2[/latex:1mb5j9jc]. Ad esempio, per la dimostrazione della convergenza di quasi minimi n-esimi a un minimo del gamma liminf si usa quel lemma che menzionavo tra parentesi. A meno di rivedere la teoria ad hoc...

Però ti faccio notare che se date delle u_n in K riesci a estrarre una sottosuccessione convergente rispetto alla solita, hai anche naturalmente la [latex:1mb5j9jc]L^2[/latex:1mb5j9jc] (hai trovato un [latex:1mb5j9jc]u_{n_k}[/latex:1mb5j9jc] convergente uniformemente ad una u!).

Comunque colgo l'occasione per sollevare una domanda interessante: come facciamo a dimostrare che la nozione di convergenza solita, anche in un Hilbert qualsiasi, non proviene da quella di uno spazio metrico? 

Sulla convergenza uniforme delle funzioni, visto che sono [latex:1mb5j9jc]H^1[/latex:1mb5j9jc] dunque continue su un compatto è la norma infinito (no problemz)
Sulla convergenza debole, stavo pensando che [latex:1mb5j9jc]\langle u_n, \cdot \rangle[/latex:1mb5j9jc] è un operatore continuo (rispetto alla norma L^2) e lineare da H^1 a [latex:1mb5j9jc]\mathbb{R}[/latex:1mb5j9jc], ma purtroppo H^1 non è compatto e non si può prendere il max, ma se potessimo mi sembra che darebbe proprio la stessa nozione di convergenza (che dite?). E se per caso la convergenza debole potesse essere testata su una classe [latex:1mb5j9jc]L^2[/latex:1mb5j9jc]-compatta di funzioni? Il fatto è che tutte le proprietà che mi vengono in mente che una nozione metrica rispetta sono rispettate anche dalla convergenza debole, ad esempio:
1. Se [latex:1mb5j9jc]x_n \to x[/latex:1mb5j9jc], allora [latex:1mb5j9jc]x_{k_n} \to x[/latex:1mb5j9jc];
2. Unicità del limite;
3. Per cogliere in un certo senso il fatto delle palle, l'unica che mi è venuta in mente è: se [latex:1mb5j9jc]y_{k,n} \to x_k[/latex:1mb5j9jc] e [latex:1mb5j9jc]x_k \to x[/latex:1mb5j9jc] allora per ogni [latex:1mb5j9jc]n_k \to \infty[/latex:1mb5j9jc] vale [latex:1mb5j9jc]y_{k, n_k} \to x[/latex:1mb5j9jc] (con il disegnino delle palle è semplice da vedere in un metrico, ma a priori può sembrare strana).

Ciao!
Andrea

P.S: rinnovo la mia questione latex: c'è una scorciatoia a [latex] ?