Il messaggio di quell'esempio voleva essere: occhio che possono succedere cose strane.

Poi potremmo aggiungere: ma non così strane. Ad esempio dovrebbe essere vero (esercizio  <!-- s:mrgreen: --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_mrgreen.gif" alt=":mrgreen:" title="Mr. Green" /><!-- s:mrgreen: --> ) che se esiste [latex:1uobcix1]u_{xx}[/latex:1uobcix1] allora per forza esiste [latex:1uobcix1]u_x[/latex:1uobcix1]. Poi però può accadere che [latex:1uobcix1]u_{xx}[/latex:1uobcix1] sia bellissima, ad esempio pure nulla, senza che [latex:1uobcix1]u_x[/latex:1uobcix1] sia molto bella, perché potrebbe dipendere in maniera buffa da y (altro esercizio).

Non ci sono inghippi mistici, ma il problema sta tutto in analisi 2. In che senso una funzione u è la &quot;primitiva&quot; di [latex:1uobcix1]u_x[/latex:1uobcix1]? Provando a dare un senso a questa frase si vede che ci sono molti problemi quando siamo nell'ambito delle funzioni che a priori sono solo misurabili. Ad esempio, potremmo dire che

[latex:1uobcix1]\displaystyle u&#40;x,y&#41;=u&#40;0,y&#41;+\int_0^x u_x&#40;s,y&#41;\,ds[/latex:1uobcix1]

ma immediatamente ci si accorge che u(0,y) potrebbe non avere molto senso.

Altro &quot;esercizio&quot;: sarà vero che se [latex:1uobcix1]u_x[/latex:1uobcix1] e [latex:1uobcix1]u_y[/latex:1uobcix1] esistono e sono continue, allora u(x,y) è di classe [latex:1uobcix1]C^1[/latex:1uobcix1] ? E sotto quali condizioni, date due funzioni v e w, possiamo trovare una u che le abbia come derivate parziali?