Riporto il testo dell'esercizio.
Sia [latex:3trtexzy]p\in&#40;1,+\infty&#41;[/latex:3trtexzy] un numero reale. Consideriamo [latex:3trtexzy]\mathbb{R}^2[/latex:3trtexzy] con la norma definita da [latex:3trtexzy]||&#40;x,y&#41;||_p=&#40;|x|^p+|y|^p&#41;^{1/p}[/latex:3trtexzy] per ogni [latex:3trtexzy]&#40;x,y&#41;\in \mathbb{R}^2[/latex:3trtexzy]

a) Verificare che questa sia una vera norma su [latex:3trtexzy]\mathbb{R}^2[/latex:3trtexzy];
b) Dimostrare che, per ogni [latex:3trtexzy]K\subseteq \mathbb{R}^2[/latex:3trtexzy] chiuso non vuoto e per ogni [latex:3trtexzy]x_0\in \mathbb{R}^2[/latex:3trtexzy] esiste [latex:3trtexzy]z\in K[/latex:3trtexzy] che minimizzi la distanza da [latex:3trtexzy]x_0[/latex:3trtexzy];
c) Determinare se i punti di minimo sono unici nel caso [latex:3trtexzy]K[/latex:3trtexzy] si convesso;
d) Discutere le richieste precedenti per la norma [latex:3trtexzy]||&#40;x,y&#41;||_\infty[/latex:3trtexzy].

Vorrei capire se la mia soluzione va bene.

[spoiler=&quot; &quot;:3trtexzy]a&#41; La positività e l&#39;essere nulla solo per il vettore nullo sono ovvie.
Vediamo l&#39;omogeneità:
[latex:3trtexzy]||\lambda&#40;x,y&#41;||_p=||&#40;\lambda x, \lambda y&#41;||_p=&#40;|\lambda x|^p+|\lambda y|^p&#41;^{1/p}=[/latex:3trtexzy]
[latex:3trtexzy]=&#40;|\lambda|^p&#40;|x|^p+|y|^p&#41;&#41;^{1/p}=|\lambda|&#40;|x|^p+|y|^p&#41;^{1/p}=|\lambda|||&#40;x,y&#41;||_p[/latex:3trtexzy]
Vediamo la subadditività:
Sia [latex:3trtexzy]p&#39;=\frac{p}{p-1}[/latex:3trtexzy] l&#39;esponente coniugato di [latex:3trtexzy]p[/latex:3trtexzy].
[latex:3trtexzy]||&#40;x_1,y_1&#41;+&#40;x_2,y_2&#41;||^p_p=||&#40;x_1+x_2,y_1+y_2&#41;||^p_p=&#40;|x_1+x_2|^p+|y_1+y_2|^p&#41;=|x_1+x_2||x_1+x_2|^{p-1}+|y_1+y_2||y_1+y_2|^{p-1}\le[/latex:3trtexzy]
[latex:3trtexzy]\le|x_1||x_1+x_2|^{p-1}+|x_2||x_1+x_2|^{p-1}+|y_1||y_1+y_2|^{p-1}+|y_2||y_1+y_2|^{p-1}\le[/latex:3trtexzy]
[latex:3trtexzy]\le&#40;|x_1|^p+|y_1|^p&#41;^{1/p}&#40;|x_1+x_2|^p+|y_1+y_2|^p&#41;^{&#40;p-1&#41;/p}+&#40;|x_2|^p+|y_2|^p&#41;^{1/p}&#40;|x_1+x_2|^p+|y_1+y_2|^p&#41;^{&#40;p-1&#41;/p}=[/latex:3trtexzy]
[latex:3trtexzy]=&#40;|x_1+x_2|^p+|y_1+y_2|^p&#41;^{&#40;p-1&#41;/p}&#40;||&#40;x_1,y_1&#41;||_p+||&#40;x_2,y_2&#41;||_p&#41;=||&#40;x_1,y_1&#41;+&#40;x_2,y_2&#41;||^{p-1}_p&#40;||&#40;x_1,y_1&#41;||_p+||&#40;x_2,y_2&#41;||_p&#41;[/latex:3trtexzy].

Le disuguaglianze usate sono la triangolare per il valore assoluto e la disuguaglianza di Holder poi. A questo punto dividendo per [latex:3trtexzy]||&#40;x_1,y_1&#41;+&#40;x_2,y_2&#41;||_p^{p-1}[/latex:3trtexzy] si ha la tesi.

b&#41;Esiste [latex:3trtexzy]r&gt;0[/latex:3trtexzy] tale che [latex:3trtexzy]C=\overline{B&#40;x_0,r&#41;}\cap K\neq \emptyset[/latex:3trtexzy]. Osserviamo che [latex:3trtexzy]C[/latex:3trtexzy] è limitato perché contenuto nella palla, e chiuso perché intersezione di chiusi. Dunque [latex:3trtexzy]C[/latex:3trtexzy] è compatto. Osserviamo inoltre che le distanze da [latex:3trtexzy]x_0[/latex:3trtexzy] dei punti di [latex:3trtexzy]K[/latex:3trtexzy] fuori dalla palla devono essere per forza maggiori di [latex:3trtexzy]r[/latex:3trtexzy], mentre quelle dei punti appartenenti alla palla sono minori o uguali a [latex:3trtexzy]r[/latex:3trtexzy], dunque se esiste il minimo deve trovarsi nella palla e dunque in [latex:3trtexzy]C[/latex:3trtexzy]. Poiché [latex:3trtexzy]C[/latex:3trtexzy] è compatto e la funzione [latex:3trtexzy]y\mapsto||x_0−y||_p[/latex:3trtexzy] è continua, per il teorema di Weierstrass esiste il minimo su [latex:3trtexzy]C[/latex:3trtexzy]e quindi su [latex:3trtexzy]K[/latex:3trtexzy].

c&#41; Per equivalenza delle norme, esiste una costante positiva $M$ tale che per ogni [latex:3trtexzy]&#40;x,y&#41;\in \mathbb{R}^2[/latex:3trtexzy] si abbia [latex:3trtexzy]||&#40;x,y&#41;||_p\le M||&#40;x,y&#41;||_2[/latex:3trtexzy]. Siano dunque [latex:3trtexzy]P,Q\in K[/latex:3trtexzy] due punti di minimo e sia [latex:3trtexzy]D[/latex:3trtexzy] tale minimo.
[latex:3trtexzy]||P-Q||_p\le M||P-Q||_2[/latex:3trtexzy]
Osserviamo che la quantità [latex:3trtexzy]\frac{P+Q}{2}\in K[/latex:3trtexzy], poiché [latex:3trtexzy]K[/latex:3trtexzy] convesso.
Per l&#39;identità del parallelogramma abbiamo:
[latex:3trtexzy]||P-Q||^2_2=||P-x_0+x_0-Q||^2_2=2||P-x_0||_2^2+2||Q-x_0||^2_2-||P+Q-2x_0||^2_2=[/latex:3trtexzy]
[latex:3trtexzy]=2||P-x_0||^2_2+2||Q-x_0||^2_2-4||\frac{P+Q}{2}-x_0||^2_2\le 2D^2+2D^2-4D^2=0[/latex:3trtexzy]
Dunque [latex:3trtexzy]||P-Q||_p\le M||P-Q||_2=0[/latex:3trtexzy], per cui abbiamo unicità del punto di minimo.

d&#41; Come prima, la positività e l&#39;essere nulla solo per il vettore nullo sono ovvie.
Vediamo l&#39;omogeneità:
[latex:3trtexzy]||\lambda &#40;x,y&#41;||_\infty=||&#40;\lambda x,\lambda y&#41;||_\infty=\max{&#40;|\lambda x|, |\lambda y|&#41;}[/latex:3trtexzy]
Senza perdere di generalità suppongo che il massimo sia [latex:3trtexzy]|\lambda x|[/latex:3trtexzy]. Allora è vero che [latex:3trtexzy]\max{&#40;|x|,|y|&#41;}=|x|[/latex:3trtexzy].
Allora [latex:3trtexzy]||\lambda &#40;x,y&#41;||_\infty=|\lambda x|=|\lambda||x|=|\lambda||\max{&#40;|x|,|y|&#41;}=|\lambda|||&#40;x,y&#41;||_\infty.[/latex:3trtexzy]
Vediamo la subadditività:
[latex:3trtexzy]||&#40;x_1,y_1&#41;+&#40;x_2,y_2&#41;||_\infty=||&#40;x_1+x_2,y_1+y_2&#41;||_\infty=\max{&#40;|x_1+x_2|,|y_1+y_2|&#41;}\le \max{&#40;|x_1|+|x_2|,|y_1|+|y_2|&#41;}[/latex:3trtexzy]
Supponiamo senza perdere di generalità che l&#39;ultimo massimo sia dato da [latex:3trtexzy]|x_1|+|x_2|[/latex:3trtexzy]. 
Allora [latex:3trtexzy]||&#40;x_1,y_1&#41;+&#40;x_2,y_2&#41;||_\infty\le |x_1|+|x_2| \le \max{&#40;|x_1|,|y_1|&#41;}+\max{&#40;|x_2|,|y_2|&#41;}=||&#40;x_1,y_1&#41;||_\infty+||&#40;x_2,y_2&#41;||_\infty.[/latex:3trtexzy]
Per gli altri punti si procede in maniera analoga a una norma [latex:3trtexzy]p[/latex:3trtexzy] generica.[/spoiler:3trtexzy]