riproviamo ...


 Non avendo specificazioni sui termini della successione  [tex:3opha3k2]b_n,[/tex:3opha3k2] dobbiamo supporre possa assumere qualsiasi valore, e dunque non necessariamente mantenere segno costante (positivo o negativo);allora distinguiamo 

se [tex:3opha3k2]b_n,[/tex:3opha3k2] è definitivamente positiva o negativa allora la serie
 
[tex:3opha3k2]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,  b_n[/tex:3opha3k2] converge per il criterio del rapporto, poichè  [tex:3opha3k2]\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} =\frac{1}{2}&lt;l&lt;1[/tex:3opha3k2] 
 
Per definizione,  [tex:3opha3k2]a_n=b_{2n},[/tex:3opha3k2]  è una sottosuccessione di  [tex:3opha3k2]b_n[/tex:3opha3k2] (precisamente quella di termini pari): allora come noto, ogni sottosuccessione estratta da una sucessione convergente, risulterà convergente allo stesso limite; quindi avremo:
 
[tex:3opha3k2]\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=b_{2n} =0\quad \Rightarrow\quad  \lim_{n \to \infty}\frac{b_{2&#40;n+1&#41;}}{b_{2n}} =\lim_{n \to \infty}\frac{a_{ n+1 }}{a_  n }=\frac{1}{2}&lt;l&lt;1[/tex:3opha3k2]
 
Allora per il criterio del rapporto, anche la serie  [tex:3opha3k2]\sum_{n=1}^\infty\,\,  a_n[/tex:3opha3k2]  risulterà convergente; essendo infine  [tex:3opha3k2]\sum_{n=1}^\infty\,\,  |a_n|=\sum_{n=1}^\infty\,\,  a_n[/tex:3opha3k2]  convergente, allora anche la serie  [tex:3opha3k2]\sum_{n=1}^\infty\,\,  &#40;-1&#41;^n a_n[/tex:3opha3k2]   risulterà assolutamente convergente, e dunque convergente.

se [tex:3opha3k2]b_n,[/tex:3opha3k2] non è di segno costante, allora dobbiamo considerare la convergenza assoluta, cioè

[tex:3opha3k2]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,  |b_n|[/tex:3opha3k2] converge per il criterio del rapporto, poichè  [tex:3opha3k2]\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} =\frac{1}{2}&lt;l&lt;1[/tex:3opha3k2] 


Allora, anche in questo caso, per il criterio del rapporto,  la serie  [tex:3opha3k2]\sum_{n=1}^\infty\,\,  a_n[/tex:3opha3k2]  risulterà convergente; essendo poi [tex:3opha3k2]\sum_{n=1}^\infty\,\,  |a_n|=\sum_{n=1}^\infty\,\,  a_n[/tex:3opha3k2]  convergente, allora anche la serie  [tex:3opha3k2]\sum_{n=1}^\infty\,\,  &#40;-1&#41;^n a_n[/tex:3opha3k2]   risulterà assolutamente convergente, e dunque convergente.