Non ho ben capito questo ragionamento sul 4b della christmas edition,

[quote=&quot;gino&quot;:o0p5bdp5] se [latex:o0p5bdp5]f \in W^{25,12}&#40;\mathbb{R}^{2018}&#41;[/latex:o0p5bdp5] allora [latex:o0p5bdp5]Tr&#40;f&#41; \in W^{24,q}&#40;\mathbb{R}^{2017}&#41;[/latex:o0p5bdp5] dove [latex:o0p5bdp5]q\in [ 12 ;\frac{12&#40;2018-1&#41;}{2018-12} ][/latex:o0p5bdp5]  (usando lo stesso argomento usato in classe per le [latex:o0p5bdp5]C^\infty_c[/latex:o0p5bdp5] controllo le norme delle derivate con le derivate immediatamente successive e per approssimazione sulle sobolev, questo è il punto che mi è parso interessante, ma di cui vorrei un riscontro)[/quote:o0p5bdp5]

nel senso che mi torna nel caso p=1 che si stimino le derivate parziali della traccia con le derivate seconde della funzione, come nella dimostrazione a lezione partendo da [latex:o0p5bdp5]u_x&#40;x,0&#41; = - \int_{0}^{+\infty}u_{xy}&#40;x,y&#41;dy[/latex:o0p5bdp5] e giungendo a [latex:o0p5bdp5]||u_x&#40;x,0&#41;||_{L^1&#40;\mathbb{R}^{d-1}&#41;} \leq ||u_{xy}||_{L^1&#40;\mathbb{R}^d_+&#41;}[/latex:o0p5bdp5]. Però dalla stima con p=1 non vedo come passare a quella con p generico, forse ci vuole una [latex:o0p5bdp5]v[/latex:o0p5bdp5] ausiliaria più furba.

Per questo esercizio in particolare ragionerei così: la [latex:o0p5bdp5]g[/latex:o0p5bdp5] non è che la traccia di [latex:o0p5bdp5]f[/latex:o0p5bdp5] sull'iperpiano [latex:o0p5bdp5]x_{2018} = \sum_1^{2017} x_i[/latex:o0p5bdp5], quindi posso stimare [latex:o0p5bdp5]||g||_{L^{12}&#40;\mathbb{R}^{2017}&#41;} \leq c ||f||_{1,12,\mathbb{R}^{2018}}[/latex:o0p5bdp5]. Si può poi applicare il risultato di improvement, ponendo quell'[latex:o0p5bdp5]r[/latex:o0p5bdp5] della dimostrazione non uguale a [latex:o0p5bdp5]p/p&#39;[/latex:o0p5bdp5] ma a [latex:o0p5bdp5]p^*/p&#39;[/latex:o0p5bdp5], dove il [latex:o0p5bdp5]p^*[/latex:o0p5bdp5] però è quello dell'immersione con [latex:o0p5bdp5]m[/latex:o0p5bdp5] generico e [latex:o0p5bdp5]mp&lt;d[/latex:o0p5bdp5], ottenendo che [latex:o0p5bdp5]g[/latex:o0p5bdp5] sta in [latex:o0p5bdp5]L^{\frac{p&#40;d-m&#41;}{d-mp}}[/latex:o0p5bdp5] (quell'esponente è circa 13,9), e per interpolazione in tutti gli [latex:o0p5bdp5]L^p[/latex:o0p5bdp5] intermedi.

Per quanto riguarda l'ottimalità di questo risultato, non sono ancora sicuro...