Intanto provo a rispondere al punto a):

Innanzitutto si mostra che per ogni funzione [latex]u \in C^1(0,1)[/latex]  che rispetta le DBC [latex]\int_0^1 -u'^2+u^{2}\,dy \geq 0[/latex]:

1) Si mostra che esiste [latex]u_0[/latex] soluzione di Ele con quei dati al bordo e che il funzionale valutato in [latex]u_0[/latex] è maggiore uguale a 0.

2) Si considera un competitore [latex]w=u_0+v[/latex] con [latex]v[/latex] nulla al bordo, si calcola [latex]F(u_0+v)[/latex] e si mostra che [latex]F(u_0+v) \geq F(u_0)[/latex] sfruttando il fatto che 0 è minimo globale per [latex]\int_0^1-v'^2+v^{2}\,dy[/latex] con v nulla al bordo.

Quindi si deduce che l'inf da noi cercato è sicuramente [latex]\geq 0[/latex] e quindi per ogni valore di [latex]\epsilon[/latex] l'inf appartiene ad R.

Inoltre da quanto detto sopra si osserva che se [latex]u[/latex] in [latex]H^1[/latex] che soddisfa le DBC è tale che [latex]\int_0^1 u'^{4}+ \int_0^1 -u'^2+u^{2}\,dy =0[/latex] allora [latex]u'=0[/latex] quasi ovunque e quindi [latex]u[/latex] è una costante e l'unica funzione costante che soddisfa le DBC è [latex]u=2017[/latex]. Quindi abbiamo che 0 non è sicuramente un minimo. 

Se adesso mostrassimo che l'inf è 0, allora avremmo anche risposto al punto b.

Intanto lo mostro 

Provo a mostrarlo:

Osservo che la funzione [latex]\epsilon x^4 -x^2[/latex] si annulla, oltre che nello [latex]0[/latex] nei punti [latex]\epsilon_{1,2}=+ \epsilon^{\frac{-1}{2}}(-)[/latex]. Considero quindi una successione di funzioni fatta così: in 0 e in 1 fa 2015,