1. Richiami alla teoria di Lebesgue: Teoremi di passaggio al limite e di derivazione sotto il segno di integrale. Funzione distanza e costruzione della funzione di Urysohn in $\mathbb{R}^n$ e densità delle continue a supporto compatto in $L^1$. Continuita in media integrale e assoluta continuità dell'integrale di Lebesgue.Completezza di L^infty. Convoluzione tra funzioni di $L^1$ e di $L^p$. Supporto della convoluzione. Regolarizzazione tramite convoluzione. Mollificatori e densita delle funzioni regolari a supporto compatto in $L^p$. Applicazione al Lemma di Riemann-Lebesgue. (Per esempio in Brezis: Analisi funzionale, parte del capitolo 4)
2. Spazi vettoriali a dimensione infinita: norma e prodotto scalare. Successioni a quadrato sommabile e completezza di $l^2$. Sistemi ortonormali completi e chiusi. Diseguaglianza di Bessel e uguaglianza di Parseval. Serie di Fourier come proiezione. Completezza dei sistemi trigonometrici e teorema di Fischer-Riesz. prodotto cartesiano di sistemi ortonormali e completezza. Teorema della proiezione sul convesso e teorema di rappresentazione di Riesz. (Per esempio in Kolmogorov-Fomin: Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale)
3 Serie di Fourier. Soluzione dell'equazione delle onde tramite sviluppo di Fourier. Metodo della separazione delle variabili. Esempio di Weierstrass di funzione continua e non derivabile in nessun punto. Soluzione mediante serie di Fourier dell'equazione del calore e delle onde un una dimensione (caso periodico e con condizioni al contorno) . Soluzioni classiche e introduzione a quelle generalizzate. Calcolo di qualche serie di Fouruier esplicita. Convergenza puntuale e uniforme per serie di Fourier di funzioni regolari. Nucleo di Dirichlet e teorema di convergenza delle serie di Fourier per funzioni derivabili. Il caso regolare a tratti. Divergenza dell'integrale $\int_0^\pi|D_N(z)|\,dz$. Calcolo dell'integrale improprio di $\sin(x)/x$. Convergenza puntuale e uniforme della Serie di Fourier per funzioni regolari. Il caso regolare a tratti e il fenomeno di Gibbs. Il teorema di Fejér. Convergenza dei polinomi di Fejer in norma uniforme e in norma $L^1$. Stabilità dei coefficienti rispetto a variazioni in $L^1$. Il caso di funzioni $L^2(-\pi,\pi)$, la diseguaglianza di Bessel e il lemma di Riemann Lebesgue. Costruzione di una funzione continua la cui serie di Fourier non converge in zero. La trasformata di Hilbert periodica. Connessioni con gli integrali a valore principale. Studio dell'aggiunto. Il problema di Poisson nel cerchio unitario. Problema di Poisson nella palla bidimensionale. Proprietà del nucleo di Poisson e esempio di Hadamard. (Per esempio in Körner: Fourier Analysis)
4. Trasformata di Fourier: Definizione di trasformata di Fourier in $L^1$ e della sua inversa. Validità della formula di inversione per funzioni regolari. Calcolo di alcune trasformate elementari. Trasformata in $L^1$ e teoremi di invertibilità per funzioni regolari o con trasformata in $L^1$. Uguaglianza di Parseval e trasformata di Fourier in $L^2$. Applicazioni al problema di Poisson nel semi-spazio e all'equazione del calore in tutto lo spazio. Regolarità della soluzione del calore ottenuta tramite la formula di rappresentazione. Comportamento della soluzione del calore all'infinito in varie norme. Problema della sfera radiante e soluzione di Fourier. (Per esempio in Körner: Fourier Analysis)
5. Studio segno autovalori del Laplaciano con condizioni di Dirichlet. Laplaciano per funzioni radiali. Problema uni-dimensionale con condizioni di Robin. Esistenza di autovaolori negativi. Equazioni ordinarie del II ordine a coefficienti non costanti. Punti regolari, singolari e singolari regolari. Soluzioni come serie di potenze e metodo di Frobenius. Membrana oscillante con bordo rettangolare e circolare. Studio degli autovalori e origine delle funzioni di Bessel. Definizione di operatore autoaggiunto e definizione problema regolare di Sturm-Liouville. Teorema di Sturm-Liouville per problemi autoaggiunti regolari. Problemi di reazione diffusione in simmetria cilindrica. Alcune proprietà elementari delle funzioni di Bessel. formulazione variazionale dei problemi del secondo ordine in una variabile spaziale e cenni agli spazi di Sobolev. (per esempio in Folland Fourier Analysis: Cap 3-4 e Brezis: Analisi funzionale, parte iniziale del capitolo 8)