titolo: Sulla struttura degli insiemi di misura nulla. 
Applicazioni e problemi aperti

conferenza plenaria al XVIII congresso dell'Unione Matematica Italiana
Bari, 24-29 settembre 2007.

sunto: In questo intervento cercher\`o di illustrare alcuni risultati 
ottenuti in collaborazione con M. Cs\"ornyei (University College London) 
e D. Preiss (Warwick University), cfr. [1], [2].
L'obiettivo originale di questa ricerca era mettere a fuoco la struttura 
comune di alcune dimostrazioni della teoria geometrica della misura e 
dell'analisi reale. Uno dei risultati chiave del nostro approccio \`e un 
teorema di ricoprimento per insiemi di misura nulla nel piano, da cui 
seguono, tra le altre cose, a) una caratterizzazione degli insiemi di non 
differenziabilit\`a delle funzioni Lipschitziane in dimensione due, ovvero 
delle misure positive rispetto a cui vale il teorema di differenziabilit\`a
di Rademacher, b) una nuova dimostrazione del teorema di rango-uno per le 
funzioni BV (cfr. [3]), c) la soluzione in dimensione due proposta da 
J. Matousek [4] di un problema di M. Laczkovich. 

Nel caso più semplice, questo risultato di ricoprimento segue dalla sua 
versione discreta, che a sua volta \`e un'immediata conseguenza di un 
risultato di combinatoria noto come lemma di Dillworth (o se si preferisce 
del teorema di Erd\"os-Szekeres sulle sottosuccessioni monotone). Nelle 
situazioni pi\`u interessanti l'estensione di questi risultati a dimensioni 
superiori \`e una questione in gran parte ancora aperta. Abbiamo dimostrato 
che l'estensione pertinente del lemma di Dillworth alla dimensione tre 
proposta in [4] non vale, tuttavia questo non d\`a alcuna indicazione sulla 
validit\`a o meno del teorema di ricoprimento per insiemi di misura nulla 
nello spazio.

bibliografia:

[1] G. Alberti, M. Cs\"ornyei, D. Preiss, lavoro in preparazione.

[2] G. Alberti, M. Cs\"ornyei, D. Preiss, Structure of null sets in the plane 
and applications. Negli atti del "IV European Congress of Mathematics", 
(Stockholm, 27 giugno -2 luglio 2004), pagg. 3-22.

[3] G. Alberti, Rank one property for derivatives of functions with bounded 
variation, Proc. Royal Soc. Edinburgh A, 123 (1993), pagg. 239-274.

[4] J. Matousek, On Lipschitz mappings onto a square. Algorithms Combin. 14 
(1997), pagg. 303-309.