Dati registro
insegnamento: Teoria della Misura
codice: 219AA
corso di studi: Laurea Magistrale
in Matematica (WMA-LM)
anno accademico: 2024,-2025
responsabile: Giovanni Alberti
docente: Giovanni Alberti
totale ore: 46
Lezioni
- Lunedì 30/09/2024, 18:00-20:00 (2 ore). Lezione:
Presentazione del corso e dettagli organizzativi: programma,
scopo del corso, prerequisiti, esame finale, nuovo orario.
Definizione di algebra e sigma-algebra, con esempi;
sigma-algebra generata da una famiglia di insiemi F,
sigma-algebra di Borel. Alcune proprietà elementari delle
sigma-algebre. Costruzione della sigma-algebra generata da F
usando l'induzione transfinita; corollario: i Boreliani su R^d
hanno la cardinalità del continuo. Esercizi (lasciati da fare).
- Venerdì 04/10/2024, 09:00-11:00 (2 ore). Lezione:
Esempi di famiglie di generatori per la sigma-algebra di Borel.
Coincidenza o meno dei Boreliani generati dalle diverse
topologie in uno spazio di Banach. Insiemi misurabili secondo
Lebesgue (e confronto con i Boreliani).
Spazi misurabili, mappa misurabile tra due spazi misurabili,
caratterizzazione delle misurabilità in termini di generatori
della sigma-algebra in arrivo (in particolare quando la
sigma-algebra in arrivo è quella di Borel). Proprietà elementari
delle mappe misurabili. Sotto quali ipotesi le funzioni continue
sono misurabili?
Algebra e sigma-algebra prodotto.
- Mercoledì 09/10/2024, 11:00-13:00 (2 ore). Lezione:
Per le funzioni a valori in R, e più in generale quelle "da
integrare", la misurabilità rilevante è quella in cui
sigma-algebra in arrivo è quella di Borel. Il prodotto delle
sigma-algebre di Borel è la sigma-algebra di Borel sul prodotto.
Il prodotto dei misurabili secondo Lebesgue sono contenuti
strettamente nei misurabili secondo Lebesgue sul prodotto.
Prodotto di infinite sigma-algebre.
Proprietà delle funzioni misurabili a valori in x = R o R^n o
spazio metrico: chiusura rispetto alla composizione con funzioni
continue, rispetto al sup e all'inf di famiglie numerabili,
rispetto al liminf e limsup di successioni, rispetto al limite
(se esiste).
- Mercoledì 16/10/2024, 11:00-13:00 (2 ore). Lezione:
Definizione di misura additiva su un'algebra, e relative
proprietà. Definizione di misura (sigma-additiva) su una
sigma-algebra e relative proprietà. Esempi elementari di misura,
tra cui: delta di Dirac e misura che conta i punti.
Operazioni su misure: somma (finita o infinita), inviluppo
superiore e inferiore di una famiglia di misure.
Terminologia: misure finite, sigma-finite e localmente finite;
misure non atomiche, complete, di Borel, di Radon; misure
Borel-regolari (dall'esterno/dall'interno), regolari
dall'esterno sugli aperti, dall'interno sui compatti.
- Venerdì 18/10/2024, 09:00-11:00 (2 ore). Lezione:
Costruzione dell'integrale per funzioni su uno spazio di misura,
parte 1. Definizione dell'integrale per funzioni semplici e per
funzioni positive; l'integrale è positivamente omogeneo e
monotono. Approssimazione dal basso delle funzioni misurabili
positive con funzioni semplici e additività dell'integrale.
Teorema di convergenza monotona.
- Lunedì 21/10/2024, 16:00-18:00 (2 ore). Lezione:
Costruzione dell'integrale per funzioni su uno spazio di misura,
parte 2. Lemma di Fatou (per gli integrali di funzioni
positive). Integrazione delle funzioni a valori in R
esteso. Definizione di funzioni summabili (o L^1); lo spazio
normato L^1(X) è completo; teorema di convergenza dominata.
Integrazione delle funzioni a valori in uno spazio di banach F
separabile: definizione della classe delle semplici e delle
funzioni L^1 da X in F; lo spazio L^1(X,F) è completo;
definizione di integrale per le funzioni semplici e poi per le
funzioni in L^1(X,F) (come estensione del funzionale lineare
dato dall'integrale delle funzioni semplici). Teorema di
convergenza dominata (per funzioni a valori in F).
- Venerdì 25/10/2024, 09:00-11:00 (2 ore). Lezione:
Dimostrazione di alcuni lemmi tecnici enunciati nella lezione
precedente:
1) caratterizzazione della continuità (= uniforme continuità)
per applicazioni lineari tra spazi normati;
2) una funzione uniformemente continua definita su un
sottoinsieme denso D di uno spazio metrico X e a valori in uno
spazio metrico completo Y si estende in modo unico ad una
funzione uniformemente continua da X in Y.
3) caratterizzazione della completezza di uno spazio normato in
termini della convergenza delle serie assolutamente convergenti;
4) le funzioni semplici da uno spazio di misura X in uno spazio
di Banach separabile F sono dense nello spazio L^1(X,F).
- Lunedì 28/10/2024, 16:00-18:00 (2 ore). Lezione:
Definizione di misura esterna mu su un insieme X. Definizione
degli insiemi mu-misurabili (secondo Caratheodory); la classe
M_mu degli insiemi mu-misurabili è una sigma-algebra e la
restrizione di mu a M_mu è una misura sigma-additiva. Teorema di
Carahteodory: se mu è una misura esterna su uno spazio metrico X
additiva sui distanti, allora la sigma algebra M_mu contiene i
Boreliani.
Costruzione di insiemi non misurabili: sia mu una misura finita
e completa sulla sigma-algebra M (su uno spazio topologico
ragionevole X), regolare dall'esterno sugli aperti; allora
esistono sempre insiemi non appartenenti a M.
- Giovedì 31/10/2024, 11:00-13:00 (2 ore). Lezione:
Costruzione di Caratheodory di una misura esterna mu su un
insieme X a partire da una classe di sottoinsiemi F e da una
funzione di gauge rho; mu è Borel-regolare dall'esterno (se gli
insiemi in F sono Boreliani). Il caso in cui F è un'algebra e
rho è monotona e sigma-subadditiva; misurabilità degli insiemi
in F se rho è anche additiva.
Costruzione della misura di Lebesgue L^d su R^d a partire dalla
famiglia F dei rettangoli d-dimensionali e dalla funzione rho
data dal volume. Verifica della misurabilità dei Boreliani, e
caratterizzazione degli insiemi L^d-misurabili, Verifica che L^d
coincide con il volume sui rettangoli.
- Lunedì 04/11/2024, 16:00-18:00 (2 ore). Lezione non
tenuta per assenza del docente (in missione fuori Pisa).
- Venerdì 08/11/2024, 09:00-11:00 (2 ore). Lezione non
tenuta per assenza del docente (in missione fuori Pisa).
- Lunedì 11/11/2024, 16:00-18:00 (2 ore). Lezione non tenuta
per sospensione didattica di ateneo.
- Venerdì 15/11/2024, 09:00-11:00 (2 ore). Lezione:
Misura di Hausdorff d-dimensionale H^d su uno spazio metrico X
(definita usando la costruzione di Caratheodory). Gli insiemi
Boreliani sono H^d-misurabili e H^d è Borel-regolare
dall'esterno; inoltre coincide con la misura di Lebesgue su R^d
(non dimostrato). Trasformazione di H^d secondo mappe Lipschitz.
Unicità delle misure d-dimensionali su superfici d-dimensionali
di classe C^1 (e su varietà Riemanniane) (enunciato del lemma
base, senza dimostrazione). Dimensione di Hausdorff.
- Lunedì 18/11/2024, 16:00-18:00 (2 ore). Lezione:
Definizione di lambda-sistema e lemma di Dynkin (teorema
pi-lambda). Conseguenza fondamentale: una misura finita è
univocamente determinata dai valori sua una classe di generatori
della sigma-algebra chiusa per intersezione. Corollario: una
misura di Borel finita su R è univocamente determinata dai
valori sugli intervalli e anche dalla funzione di ripartizione.
Il corollario può non valere per classi di generatori che non
sono chiuse per intersezione (esempi); in particolare una misura
di Borel finita su uno spazio metrico compatto non è
univocamente determinata dai valori sulle palle (senza
dimostrazione).
- Venerdì 22/11/2024, 09:00-11:00 (2 ore). Lezione:
Altre applicazioni del lemma di Dynkin e del risultato
sull'unicità delle misure enunciati nella lezione precedente.
Regolarità dall'esterno con aperti delle misure di Borel finite;
regolarità dall'interno con chiusi; regolarità dall'interno con
compatti nel caso di X spazio metrico completo. Estensione di
questi risultati ad alcune classi di misure non finite
(enunciati non ottimali).
Costruzione della misura prodotto per misure finite o
sigma-finite; la misura di un insieme nella sigma-algebra
prodotto come integrale della misura delle sezioni. Enunciato
per un insieme nel completamento della misura prodotto.
Complementi: il prodotto di due misure di Lebesgue non è
completo; la misura prodotto nel caso di misure non sigma-finite
può non essere unica e la formula basata sull'integrale delle
misure delle sezioni può non valere.
- Lunedì 25/11/2024, 16:00-18:00 (2 ore). Lezione:
Completamento della teoria delle misure prodotto: teorema di
Fubini-Tonelli (per funzioni positive / integrabili / sommabili
e a valori vettoriali).
Complementi: esempio di funzione non integrabile sul quadrato
per cui gli integrali iterati non coincidono; costruzione della
misura prodotto tramite la procedura di Caratheodory (anche per
misure non sigma-finite); prodotto di una famiglia qualunque di
misure di probabilità (dimostrazione limitata a misure di Borel
su spazi compatti).
- Mercoledì 27/11/2024, 14:00-16:00 (2 ore). Lezione:
Misure mutuamente singolari, misura assolutamente continua
rispetto ad un altra. Decomposizione di Hahn, enunciato del
teorema di Radon-Nikodym (dimostrazione rimandata alla lezione
successiva).
- Venerdì 29/11/2024, 09:00-11:00 (2 ore). Lezione non
tenuta per adesione allo sciopero nazionale.
- Sabato 30/11/2024, 14:00-16:00 (2 ore). Lezione
(recupero della lezione del 29/11):
Dimostrazione del teorema di Radon-Nikodym
(avanzata dalla lezione precedente).
Complementi: una funzione su un intervallo integrabile secondo
Riemann è misurabile secondo Lebesgue e gli integrali di
Lebesgue e di Riemann coincidono. (Ma attenzione agli integrali
impropri.)
- Lunedì 02/12/2024, 16:00-18:00 (2 ore). Lezione:
Confronto tra convergenza, convergenza incondizionata e
convergenza assoluta per serie con addendi in spazi di Banach.
La convergenza incondizionata equivale alla convergenza assoluta
per gli spazi di dimensione finita.
Misure a valori reali e a valori vettoriali; misura variazione.
Misure a valori in uno spazio di dimensione finita: finitezza
della massa; rappresentazione come prodotto della misura
variazione per una densità a valori vettoriali; integrazione di
una funzione.
- Mercoledì 04/12/2024, 14:00-16:00 (2 ore). Lezione:
Dimostrazione di alcuni risultati enunciati nella lezione
precedente. Lo spazio di Banach delle misure a valori reali (o
vettoriali).
- Venerdì 06/12/2024, 09:00-11:00 (2 ore). Lezione:
X spazio compatto e C(X) spazio delle funzioni continue su X:
una misura di Borel su X a valori reali definisce per
integrazione un funzionale lineare e continuo su C(X). Teorema
di Riesz, prima versione: rappresentazione dei funzionali
positivi con una misura. Inizio della dimostrazione del teorema
di Riesz.
- Lunedì 09/12/2024, 16:00-18:00 (2 ore). Lezione:
Completamento della dimostrazione del teorema di Riesz per
funzionali positivi su uno spazio compatto.
Teorema di Riesz, seconda versione: rappresentazione dei
funzionali continui su C(X).
Teorema di Riesz, terza versione: rappresentazione dei
funzionali positivi su C_c(X) con X spazio localmente compatto.
Teorema di Riesz, quarta versione: rappresentazione dei
funzionali continui su C_0(X) con X spazio localmente compatto.
- Mercoledì 11/12/2024, 14:00-16:00 (2 ore). Lezione:
Applicazioni del Teorema di Riesz:
1) costruzione alternativa del prodotto di due misure di Borel
(positive e finite) su spazi di localmente compatti;
2) costruzione del prodotto di infinite misure di probabilità
(sempre su spazi compatti);
3) convergenza debole di misure di Borel a valori reali su uno
spazio compatto (o localmente compatto) e teorema di conpattezza
(sequenziale).
- Venerdì 13/12/2024, 09:00-11:00 (2 ore). Lezione:
Ripasso delle nozioni di base riguardanti le funzioni
semicontinue inferiormente (s.c.i.) o superiormente (s.c.s) su
uno spazio topologico; approssimazione dal basso delle funzioni
s.c.i. con funzioni continue.
Convergenza debole di misure positive su uno spazio compatto:
continuità della massa, semicontinuità inferiore della misura
degli aperti (e degli integrali di funzioni s.c.i.), ecc.
- Lunedì 16/12/2024, 16:00-18:00 (2 ore). Lezione:
Estensione dei risultati della lezione precedente alla
convergenza debole di misure positive su uno spazio localmente
compatto, e di misure a valori reali su uno spazio compatto.
Convergenza debole di successioni "tese" di misure: teorema di
compattezza di Prokhorov, continuità della massa, semicontinuità
della misura degli aperti, ecc.
- Mercoledì 18/12/2024, 14:00-16:00 (2 ore). Lezione non
tenuta per chiusura del Polo Fibonacci (dovuta a uno sciopero
del personale di portineria).
- Venerdì 20/12/2024, 09:00-11:00 (2 ore). Lezione
(recupero della lezione del 18/12):
Argomenti complementari.
1) L^q rappresenta il duale di L^p (come applicazione del
teorema di Radon-Nikodym);
2) immagine (push-forward) di una misura rispetto ad una mappa
misurabile;
3) disintegrazione di una misura (dimostrazione solo accennata).